2020北京市中考数学专题复习 二次函数综合题

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二、重难专题突破

专题七二次函数综合题(必考)

类型一抛物线图象性质问题

(8年2考:2017.27、2013.23)

1. (2019通州区一模)已知二次函数y=x2-ax+b在x=0和x=4时的函数值相等.

(1)求二次函数y=x2-ax+b的对称轴;

(2)过P(0,1)作x轴的平行线与二次函数y=x2-ax+b的图象交于不同的两点M、N.

①当MN=2时,求b的值;

②当PM+PN=4时,请结合函数图象,直接写出b的取值范围.

2. (2019石景山区一模)在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+1(k≠0)经过点A(2,3),与y轴交于点B,与抛物线y=ax2+bx+a的对称轴交于点C(m,2).

(1)求m的值;

(2)求抛物线的顶点坐标;

(3)N(x1,y1)是线段AB上一动点,过点N作垂直于y轴的直线与抛物线交于点P(x2,y2),Q(x3,y3)(点P在点Q的左侧).若x2<x1<x3恒成立,结合函数的图象,求a的取值范围.

3.(2019海淀区一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过点A(0,-3)和B(3,

0).

(1)求c的值及a,b满足的关系式;

(2)若抛物线在A,B两点间从左到右上升,求a的取值范围;

(3)结合函数图象判断:抛物线能否同时经过点M(-1+m,n),N(4-m,n)?若能,写出一个符合要求的抛物线的表达式和n的值;若不能,请说明理由.

类型二抛物线与直线(线段)的公共点问题

(8年5考:2019.26、2018.26、2015.27、2014.23、2012.23)

1.(2019朝阳区一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2x+a-3,当a=0时,抛物线与y轴交于点A,将点A向右平移4个单位长度,得到点B.

(1)求点B的坐标;

(2)将抛物线在直线y=a上方的部分沿直线y=a翻折,图象的其他部分保持不变,得到一个新的图象,记为图形M,若图形M与线段AB恰有两个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围.

2. (2019西城区一模)在平面直角坐标系中xOy中,已知抛物线y=x2-mx+n.

(1)当m=2时,

①求抛物线的对称轴,并用含n的式子表示顶点的纵坐标;

②若点A(-2,y1),B(x2,y2)都在抛物线上,且y2>y1,则x2的取值范围是;

(2)已知点P(-1,2),将点P向右平移4个单位长度,得到点Q.当n=3时,若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求m的取值范围.

3.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-(2a+2)x+b(a≠0),在x=0和x=6时函数值相等.

(1)求a的值;

(2)若抛物线与直线y=-2x的一个交点为(2,m),求抛物线的解析式;

(3)在(2)的条件下,直线y=-2x-4与x轴,y轴分别交于A、B两点,将线段AB向右平移n(n>0)个单位,同时将抛物线在2≤x≤7的部分图象向左平移n个单位后得到的图象记为G,若图象G与平移后的线段有公共点,结合函数图象,求n的取值范围.

第3题图

4.(2019丰台区二模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:y=ax2-2ax-3a(a≠0)和点A(0,-3).将点A向右平移2个单位,再向上平移5个单位,得到点B.

(1)求点B的坐标;

(2)求抛物线C1的对称轴;

(3)把抛物线C1沿x轴翻折,提到一条新抛物线C2,抛物线C2与抛物线C1组成的图象记为G.若图象G 与线段AB恰有一个交点时,结合图象,求a的取值范围.

类型三抛物线与直线(线段)构成封闭区域的整点问题

(仅2016.27考查)

1.(2019通州区期末)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax+m(a≠0)与x轴的交点为A、B,(点A在点B的左侧),且AB=

2.

(1)求抛物线的对称轴及m的值(用含字母a的代数式表示);

(2)若抛物线y=ax2-4ax+m(a≠0)与y轴的交点在(0,-1)和(0,0)之间,求a的取值范围;

(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有5个整点,结合函数的图象,直接写出a的取值范围.

2. (2019石景山区期末)在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2-4ax+3a的对称轴交于点A(m,-1),点A关于x轴的对称点恰为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的对称轴及a的值;

(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记直线y=kx+b(k≠0)与抛物线围成的封闭区域(不含边界)为W.

①当k=1时,直接写出区域W内的整点个数;

②若区域W内恰有3个整点,结合函数图象,求b的取值范围.

3.(2019门头沟区二模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-2ax-3a(a≠0)顶点为P,且该抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧).我们规定:抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区域”(不包含边界);横、纵坐标都是整数的点称为整点.

(1)求抛物线y=ax2-2ax-3a顶点P的坐标(用含a的代数式表示);

(2)如果抛物线y=ax2-2ax-3a经过(1,3).

①求a的值;

②在①的条件下,直接写出“G区域”内整点的个数.

(3)如果抛物线y=ax2-2ax-3a在“G区域”内有4个整点,直接写出a的取值范围.

参考答案

类型一 抛物线图象性质问题

1. 解:(1)∵二次函数y =x 2-ax +b 在x =0和x =4时的函数值相等. ∴对称轴为直线x =0+4

2 =2;

(2)①设点M 在点N 的左侧. ∵对称轴为直线x =2,MN =2,

∴点M 的坐标为(1,1),点N 的坐标为(3,1), ∴x =--a

2 =2,1=1-a +b ,

∴a =4,b =4; ②1≤b <5.

【解法提示】∵a =4,∴y =x 2-4x +b ,∵过P (0,1)作x 轴的平行线与二次函数y =x 2-4x +b 的图象交于不同的两点M 、N .∴1=x 2-4x +b 有两个不同的根,∴Δ=16-4b +4>0,∴b <5,∵PM +PN =4,∴1≤b <5.

2. 解:(1)∵y =kx +1(k ≠0)经过A (2,3), ∴k =1.

∵直线y =x +1与抛物线y =ax 2+bx +a 的对称轴交于点C (m ,2). ∴m =1;

(2)∵抛物线y =ax 2+bx +a 的对称轴为直线x =1, ∴-b

2a =1,即b =-2a .

∴y =ax 2-2ax +a =a (x -1)2. ∴抛物线的顶点坐标为(1,0); (3)当a >0时,如解图.

若抛物线经过点B (0,1),则a =1. 结合函数图象可得0<a <1. 当a <0时,不符合题意.

综上所述,a 的取值范围是0<a <1.

第2题解图

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