数学天天练

数学天天练（26）
一、选择题
1．已知集合M=｛x|(x-1)2 < 4,x ∈R ｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M ∩N= （ ）
（A ）｛0，1，2｝ （B ）｛-1，0，1，2｝
（C ）{-1，0，2，3} （D ）{0，1，2，3}
2．等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1=（ ）
（A
） （B ）- （C
） （D ）-
3．设a =log 36,b=log 510,c=log 714,则
（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a
（C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c
4．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以
zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为
(A) (B) (C) (D)
5．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄l ,l β⊄则
（ ）
（A ）α∥β且l ∥α （B ）α⊥β且l ⊥β
（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l
二、解答题
6．如图，直棱柱ABC-111A B C 中，D ，E 分别是AB ，BB1的中点，1AA =AC=CB=
（Ⅰ）证明：1BC //平面1
ACD ； （Ⅱ）求二面角D-1AC -E 的正弦值.
2013年全国新课标二卷数学天天练（26）
参考答案
1．A
【解析】因为集合M=｛x|(x-1)2
< 4,x ∈R ｝={}|13x x -<<，N=｛-1，0，1，2，3｝，所以M ∩N=｛0，1，2｝，故选A.
【考点定位】本小题主要结合一元二次不等式，考查集合的运算（交集），属容易题，掌握一元二次不等式的解法与集合的基本运算是解答好本类题目的关键.
2．C
【解析】由S 3 = a 2 +10a 1得，1a +a 2 +a 3= a 2 +10a 1，即a 3= 9a 1，即21a q = 9a 1，解得2q = 9，又因为a 5 = 9，所以41a q = 9，解得119
a =，故选C. 【考点定位】本小题主要考查等比数列的通项公式与前n 项和公式,考查数列中基本量的计算，属容易题，掌握等比数列的基础知识是解决好本题的关键.
3．D
【解析】由题意知：
a =log 3631log 2=+211log 3=+,b=log 51051log 2=+211log 5
=+,c=log 71471log 2=+211log 7
=+,因为2log 3<2log 5<2log 7，所以a ＞b ＞c ，故选D. 【考点定位】本小题主要考查对数的运算、对数换底公式、对数函数的性质等基础知识，属中低档题，熟练对数部分的基础知识是解答好本类题目的关键.
4．A
【解析】由题意可知：该四面体为正四面体，其中一个顶点在坐标原点，另外三个顶点分别在三个坐标平面内，所以以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为选项A.
【考点定位】本小题主要考查立体几何中三视图的有关知识，考查同学们的空间想象能力，属中档题.
5．D
【解析】因为m ，n 为异面直线，所以在空间到一点P ，作'm m ，'
n n ，则l ⊥'m ，l ⊥'n ，即l 垂直于'm 与'n 确定的平面γ，又m ⊥平面α，n ⊥平面β，所以'm ⊥平面α，'n ⊥平面β，所以平面γ即垂直平面α，又垂直平面β，所以α与β相交，且交线垂直于平面γ，故交线平行于l ，选D.
【考点定位】本小题考查空间中线线、线面、面面的位置关系的判断，考查同学们的空间想象与逻辑推理能力等数学基本素养，解答的关键是空间想象力.
【答案】
（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3
【解析】（Ⅰ）连结1AC ，交1AC 于点O ，连结DO ，则O 为1AC 的中点，因为D 为AB 的中
点，所以
OD ∥1BC ，又因为OD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ，所以1BC //平面1ACD ；
（Ⅱ）由1AA =AC=CB=2
AB 可设：AB=2a ，则1AA ，所以AC ⊥BC ，又因为直棱柱，所以以点C 为坐标原点，分别以直线CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图，
则(0,0,0)C 、1)A 、(,,0)22D 、,)2
E ，
1)CA = ，CD = ，CE = ，
1(,A E = ，设平面1ACD 的法向量为(,,)n x y z = ，则0n CD ⋅= 且10n CA ⋅= ，可解得y x z =-=，令1x =，得平面1
ACD 的一个法向量为(1,1,1)n =-- ，
同理可得平面1
ACE 的一个法向量为(2,1,2)m =- ，则c o s ,n m <>= ，所以
s i n ,3n m <>= D-1AC -E 的正弦值为3。