足球队排名次

足球队排名次摘要：本文利用高等代数中寻找特征向量的方法来解决足球排名次问题。

关键词：一、问题的提出下表给出了我国12支足球队在1988—1989年全国足球甲级联赛中的成绩，要求：1）设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法，并给出用该算法排出名次的结果. 2）把算法推广到任意N个队的情况.3）讨论：数据应具备什么样的条件，用你的方法才能够排出诸队的名次.对下表的说明：1）12支球队依次记作T1，T2，…，T12.2）符号X表示两队未曾比赛.3）数字表示两队比赛的结果，如T3行与T8行交叉的数字表示：T3与T8比赛了2场；T3与T8的进球数之比为0：1和3：1.二、问题的分析本题中要给排序的足球队不只是参加足球锦标赛、循环赛、淘汰赛的球队，而是随机进行比赛的一些球队.比赛场次肯定不全，也肯定不等，甚至每场比赛的重要性也不同，比赛的结果也有很大的随机性.如国际足联每三个月为全世界各个国家、各地区的足球队所进行的排序.这些国家有些未参加世界杯比赛，甚至多数国家之间并未比赛过，如与中国足球队比赛过的国家球队只占其中一小部分，因而完全套用一些锦标赛的方法是行不通的.众所周知，足球界对同一赛事中比赛结果的排名有现成的算法.例如，循环比赛结果的排名，按前述二分制（或三分制）计算总积分，以总积分的高低来决定名次的先后（总积分相同者，再比净胜球数的多少、总进球数的多数，再相同就抽签决定）.但是，这一算法着眼于排出比赛的胜负名次，并不总能合理地反映出各对的真实水平的高低.比赛名次当然主要决定于各队的真实水平，但各队在比赛场次安排中“运气”的好坏也有相当的影响.比如，某对在比赛中避开了强队而大胜弱队，就是由于运气好而得分高的例子.我们不能完全排除这一类因素，但应尽可能合理地考虑并处理它.另外，足球队的上述算法只适用于同一赛事的比赛结果，对于不同赛事的混合结果，特别对于比赛场次及数据参差不齐的情况（如本题所给的数据），就显得无能为力了.我们的目标就是针对这种不规则的比赛数据提出一种算法，尽可能合理地反映各队的真实水平.这里有一个问题可以反映本问题讨论的难度，即足球对之间的比赛结果不具有传递性.如甲队胜乙队，乙队胜丙队，然而丙队可以平甚至战胜甲队.再有甲队该场胜乙队，而另一场比赛可能乙队胜甲队，即使两场都是甲队胜了，也可能第一场3:2，，而第二场却是2:0胜了.然而数学上任何排序问题都应具有传递性，严格地讲，没有传递性就无法排序.其实不只是足球比赛，其他球类比赛中都存在类似的情况.能否用一个恰当的数学模型来描述它呢？其实这一问题是一个随机模型。

某队在比赛中的表现是一个随机变量，有均值也有方差，服从一定的分布.正因为如此，在每场比赛中某队的表现不该是千篇一律的，会有失常也会有超常发挥，不过大多数情况下是正常发挥.一些训练有素、经验丰富的球队经常表现比较稳定，也就是他们的方差比较小.每场比赛实际上是两个球队分别独立抽样（多数情况下是如此，甲队对乙队有恐惧心理就另当别论），比赛的结果实际上是比较样品的大小.正是由于抽样的随机性，各种不同的结果分别按不同的概率发生，因而造成比赛结果的不可传递性.在这种情况下，题目要求对足球队进行排序应理解为是对均值的排序。

变量是随机的，但均值却是不变的，从道理上来讲，是不受某场比赛的结果影响的.正因为如此，均值是具有传递性的，因此对均值进行排序从数学上来看是合理的.还应该指出的是，足球比赛不像田径比赛，虽然每次比赛的成绩是随机的，但其样品的观测值完全是已知的；而对球队比赛中体现的实力并不知道，从随机变量的若干样品去估计其均值是数理统计中已有不少现成方法的问题.足球比赛虽然也是抽样，却无法观测样本的准确值，每个球队的实力只能通过比赛去体现，这样足球比赛不是只有一个随机变量，而是有两个随机变量.我们并不知道样本的准确观测值，我们仅仅只知道是两个样品比较的相对结果，因此也就没有多少现成的方法可以借用.本问题的难点在于：一是，虽然知道比赛结果是两队抽样后样品的相对比较后的结果，但是应该指出的是这一相对比较结果是十分粗糙的.尽管国际足联排名的国家与地区的球队有100多个，加上各国家的甲级队、地方队，球队上万个，可是比赛的结果相比之下却是少得可怜，从9:0狂胜到0:9的惨败，只有几十种结果，这几十种结果去反映上千个（至少会有上万个）球队之间的相对比较值（不足上百万个至少也有几万个吧），所以上述相对比较结果是十分粗糙的.本问题就是根据精度较差的数据去精确排序，难度当然可想而知.本问题的第二个难点是随机问题要能有较为准确的结论，应该有丰富的观测数据.根据大数定律频率代替概率可以得到较为可靠的结果.然而本题中不少球队之间连很少的样本也没有，根本没有进行过比赛，几乎有点“无米之炊”的味道了，因此如何充分利用这有限的少之又少的信息，就显得非常重要了.本问题严格的数学描述如下： 为简化问题，假设每队在比赛中的实力体现服从正态分布，即有n 个总体(,),1,2,...,,0,i i i i i N i n μσμσ=>>,,1,2,...,,i j x i j n i jx =≠已知(,i j x x 为不全的观测值），要求对i μ从大到小进行排序.三、模型假设由上述分析知，这是一个相当复杂的问题，那么该从什么地方入手呢，采用什么样的数学工具呢？为了找到线索，应该简化问题，再对简化的问题进行分析以寻找突破点.为此先作如下假设（以后会逐步放松这些假设）：（1） 比赛是确定型的，或者每个队的方差均为0，抽样结果就是均值；（2） 比赛的结果是可以精确反映相对实力的，没有误差；（3） 比赛的场次是完全的，任意两个队之间都有比赛成绩.四、模型的建立与求解一、初步的排名方案目前足球比赛排名最通用的算法是总积分法、平均积分法.以下我们先从这两种方法开始，通过分析其缺点而进一步改进.【模型1 总积分法】按2分制或3分制，即胜一场得2分或者3分，平一场得1分，输一场不得分.计算各队在所有比赛比赛中总的得分，按总积分的高低排出名次.如果两队积分相等，则看净胜球总数，多的名次靠前；如果净胜球数再相等，看进球总数，进球数多的名次靠前.再相等只有靠点球来决定.点评：优点----综合各场比赛的情况，也设法多利用一些结果信息.缺点----（1）没有考虑对手的情况，胜第二名与胜第一名是同样看待的；（2）没有考虑胜负的程度，9:0猛灌与5:4险胜没有差别；（3）没有考虑到比赛场次的多少，显然多参加比赛是有利的.结论：只适用于循环赛.但是，在所给的数据表中，各队比赛场次有多有少，而按我们的假设，比赛场次的多少并不是由于该队在以前的比赛中的胜负所致.如果按照总积分法，则比赛场次少的队吃亏.为了克服缺点（3），很自然改为下面模型.【模型2 平均积分法】将每个队的总积分除以该队参加比赛的场数，得出每场平均分.按各队平均积分的高低来排名.但缺点（1）、（2）仍无法克服.为克服缺点（1），自然的算法应该是：胜强队得分应该多一些，胜弱队得分应该少一些.用数学语言说就是给每个队赋予一个“强度系数”(i x 非负实数），来反映该队实力的强弱，强队的系数大，弱队的系数小.如果对手的强度系数为i x ，你胜了它，你的得分就用这个系数对基本得分（2分）加权，为2i x ⨯分.这就提出了特征向量法.二、模型的建立与求解【模型三 特征向量法】为了叙述的方便，将第i 队记为T (1).i i N ≤≤要算出i T 的总的得分，先对每个j T 算出i T 对j T 的各场比赛中按2分制的平均得分，记为.ij a 如果i T 与j T 没有进行比赛，就取0,ij a =特别0ij a =（严格说来，对没有进行比赛的i T ，j T 取0ij a =并不合理，这等于是判这两队各输一场，他们相对于其他队就吃亏了.对于这种情形的详细的讨论将在后面进行）. 将i T 对j T 的上述得分ij a 用j T 的强弱系数j x 加权，则i T 对j T 的得分变为ij j j a x T 的总得分为： 1...(1)i i i iN N y a x a x =++这样算出的各队的总得分为1,...,N y y 反映了各队的实力强弱的比，可以作为排序的标准.我们的目的是为了求出反映各队强弱的比向量12(,,...,)T N y y y y =，但为了得到求y 又要用到反映各队实力强弱比的另一个向量12(,,...,).T N x x x x =将x,y 都写成列向量的形式，并记矩阵(),ij N N A a ⨯=则以上的计算公式（1）可以写成矩阵形式(2)y Ax =由于x 未知，当然不能直接从这个公式算出来了，但既然x 与y 同样都是反映各队实力强弱比的向量，有理由认为他们所反映的比相等，即存在正实数λ，使得y x λ=，即Ax x λ=，且是A 的特征根，x 是对应于λ的特征向量.为方便起见，把矩阵A 称为得分矩阵，它的元素ij a 是T i j T 对的各场比赛的平均得分，是非负实数.按矩阵论的术语，A 是非负矩阵.按照矩阵论中关于非负矩阵Perron-Frobenius 定理，不可约的非负矩阵存在最大正实数根，对应于唯一（可相差常数倍）的实特征向量12(,,...,)T N x x x x =，这里，说某个非负矩阵不可约是指它不可能仅仅通过各行之间的置换和各列之间的置换化成至少有两个对角块的准对角阵.如果得分矩阵A 可约，就意味着N 支球队可以分成若干组（至少两组），所有的比赛只在同组的对之间举行.不同的组之间从未比赛过.在这样的情况下，显然不可能判定不同组队之间的水平的高低.因此，要能对各队排出名次，至少应要求得分矩阵是不可约的（如果将每个队用一个顶点表示，两队之间如果有比赛，就在相应的顶点之间连一条线，这样得到一个反映各队比赛情况的竞赛图.得分矩阵不可约，即相当于这个竞赛图是连同图）.这时就可以由Perron-Frobenius 定理知道A 存在最大正实特征根及相应的特征向量x ,可以取这个x 作为反映各队实力比的向量.在实际计算中，要求出矩阵的特征根需要解一元N 次方程，这一般是很困难的，更不要说还求特征向量了.而上述Perron-Frobenius 定理还指出：设(1,1,...,1)T e =是全由1组成的N 维列向量，A 是不可约的非负矩阵，λ是它的最大正实特征根，则极限lim m m x A ex λ→∞=存在，且就是A 对应于λ的特征向量.由此得出计算x 的使用算法如下.注意，我们所需要的是12(,,...,)T N x x x x =的个分量的比值.而将个分量同时扩大或缩小相同的倍数之后，其比值不变.为了使x 由这比值唯一决定，我们将x 的各分量同时除以它们的和12...,N x x x x =+++即用12,,...,T N x x x x x x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭代替x ，化为12''...'1N x x x +++=的情形，我们称满足条件12''...'1N x x x +++=的向量12'(',',...,')T N x x x x =为“归一化向量”，称上述将非负向量12(,,...,)T N x x x x =化成归一向量12'(',',...,')T N x x x x =的过程为”归一化”.先取(1,1,...,1)T e =的化归向量111(1)(,,...,)T x n n n=作为x 的初始值.换句话说，既然一开始并不知道各队实力的强弱，不妨先认为各队实力相同.将111(1)(,,...,)T x n n n=代入（2）中，算出(1)(1)y Ax =作为y 的最初近似值（即先不加权，直接计算i T 的总分12i i iN a a a ++作为(1)y 的第i 个分量）. (1)y 当然比(1)x 更好地反映了各队实力的强弱比，归一化后得到的(2)x 作为x 的更好近似值.再用这个(2)x 算出y 的更好近似值(2)(2)y Ax =.这个过程可以不断地进行下去，即在得到x 的第m 个近似值()x m 之后，再由()x m 算出()y m ，将()y m 归一化后得到(1)x m +，作为x 的第1m +个近似值.由Perron-Frobenius 定理可知，这一迭代过程是收敛的，极限lim ()x x x m →∞=存在且就是A 的对应于最大正实特征根的特征向量.实际计算中，只要(1)()x m x m +-的各分量的绝对值都小于预先给定的误差允许值ε，就可以结束计算，取(1).x x m =+求A 的特征向量x 的这一算法，在计算数学中叫做“幂方法”. 上面提出的特征向量法，是在建立了得分矩阵()ij N N A a ⨯=之后，求出A 的对应于最大正实特征根的特征向量，作为代表各队水平比的向量，以它为根据来为各队排名次.以下我们还需要提出进一步改进后的模型，它们都以求特征向量为基础，都可以叫做特征向量法.这些模型的区别是矩阵A 的构造法不同.我们将上述计算得分矩阵A 的特征向量的模型称为模型3'.【模型3' 得分矩阵法】矩阵()ij N N A a ⨯=的元素ij a 是i j T T 对各场比赛按二分制（或3分制）算出的平均得分.当i j T T 与没有进行过比赛时取0.ij a =模型3'比模型1、2更合理.但仔细考虑还是有不合理之处：用来加权的向量12(,,...,)T N x x x x =代表的是各队的水平比，而算出的向量12(,,...,)T N y y y y Ax ==的各分量是各队的得分，严格地说来，向量12(,,...,)T N y y y y =代表的是各队水平的差而不是比.如果某队屡战屡败，得分为0，它所对应的0.i y =这当然说明它比别的队都差，但不能说它与别队的水平比是0，或者说别队的水平是它的无穷倍.设想将记分制改为：胜一场得1分，平一场得0分，输一场得-1分，这也是合理的.这样就相当于将各队的得分各减去1分，y 的各分量同时减去1，它们互相的差不变，但比却变了.而代表各队水平的向量x 却不应因此而改变.由此看来，更合理的办法就是：用反映i j T T 与的水平的比的正实数ij ij b a 代替，用水平比矩阵()ij N N B b ⨯=来代替得分矩阵.这样，有y Bx =算出的向量y 就仍是水平比向量，它才是真正与x 成正比，从而是特征向量.水平比矩阵B 与得分矩阵A 的一个显著区别是：所有的矩阵元素ij b 都是正实数，不能为0.而且，既然ij b 是i j T T 与的水平比，而ji j i b T 是与T 的水平比，ij ji b b 与就应互为倒数.特别i 1(T 1ii b =即与自己的水平比为）.这样的矩阵B 称为互反矩阵.B 的元素(1,)ij b i j N ≤≤是各队两两之间的水平比，而所求出的特征向量x 就是各队的水平比.这正是“层次分析法”的主要思想.现在的问题是：怎样具体算出水平比矩阵B 呢？显然应该根据i j T T 与比赛的成绩来算出ij b .很自然就会想到用,i j T T 相互比赛得分的比ij ji a a 作为ij b .这样ji ji ij a b a =自然就是ij b 的倒数了.但这也有个问题，假如0ji a =怎么办？我们可以认为，凡是有资格参加比赛的队i T 都不是0，而是有一个起码水平0(a a >是待定参数）.将这个起码分a 加上比赛得分ij a 作为i j T T 与的水平分.参数a 可以由体育界的人士根据经验来确定，它的大小在一定程度上反映比赛的成绩的可信度以及偶然因素起作用的机会塞维尔大小.这样就可以得到如下模型.【模型4 参数法】预先取定参数(0)a a >，设任意i j T T 对的各场比赛平均得分为ij a ，则取ijij ji a a b a a +=+.所以的ji b 组成的水平比矩阵()ij N N B b ⨯=.再求出B 的对应于最大正实特征根的特征向量作为反映各队水平的向量.当i j T T 与未比赛时，两队水平比ij b 应该怎么选取呢？我们取.i ij jx b x =这样的取法的正确性当然无可争议，但问题是,i j x x 未知，当i j ≠时不能得到ij b 的确切值(1.i ii ix i j x ===当时,b 有确切值）记{1|}i j J j N T T =≤≤与比赛过，{1|}S j N j J =≤≤∉是与i T 未比赛过的队的编号的集合（包括i 在内），则对任意1,ij j N j J b ≤≤∈当时可以由比赛成绩算出，是已知的；而当.i ij jx j S b x ∈=时我们有 11N N i i ij j ij j j ij j i ij j j j J j S j J j j x y b x b x x b x rx c x x =∈∈∈===+=+=∑∑∑∑∑其中，||r S =是与i T 未比赛过的队（包括i T 自己）的个数，则,,0,ij ij b j J c r j i ∈⎧⎪==⎨⎪∈≠⎩当当当j S 且j i可见，我们可以用矩阵()ij N N C c ⨯=代替B 来进行计算.也就是说，如果共有r 个对（包括i T 自己）没有和i T 比赛过，则取ii b r =，而当i j T T 与没有比赛（且i j ≠）时将i ,0.ij j b b 都取作再用幂方法求所得的矩阵特征向量即可. 上述模型4中的参数a 的选定带有主观随意性，不能令人满意.而且，a 是否应因,i j T T 的不同而异，也是问题.更主要的问题是：计算ij b 时所用的得分ij a 是应用平均积分法求得的，其中有不理性.试想如果i j T T 与只赛了一场，i T 一战一胜得2分，平均得分2ij a =；假如i j T 对T 赛了三场，i T 三战三胜，共得6分，平均得分2ij a 仍为.但实际上，三战三胜的难度显然比一战一胜大，而两者得分相同，这就不合理了.应该让三战三胜的得分比一战一胜的得分多，这才是合理的.为什么我们觉得三战三胜的得分比一战一胜大呢？假如i j T T 胜的概率是70%，则一战一胜的概率也是70%,很有可能实现；但三战三胜的概率就只有3(70%)34.3%=，很难实现，如果实现了，就有理由认为胜j T 的概率不只70%，而有可能是89%≈，由此得出以下模型.【模型5 概率法】对任何两个队T T i j 、，客观存在着i j ij T T p 胜的概率.用ij p 和ji p 的比ijij ji p b p =作为i j T T 与的水平比，构造出水平比矩阵B ，算出各队的水平比向量.以ijji p p 作为i j T T 与的水平比，其合理性当然是毋庸置疑的.但同样显而易见的问题是：怎样找出概率ij p 来呢？当然只能以两队的比赛成绩为依据，从成绩表中的数据算出ij p 来.从统计的额角度看，两队进行若干场比赛的结果，并不能绝对地反映两队水平的高低.但这些结果却是ij ji p p 和在一定程度上的实现.我们设法从这些结果反推出ij p 、ji p ，具体来说，根据i j T T 在对的各场比赛中的总得分（注意不是平均得分）来计算.我们的主要想法是：假如ij p 、ji p 预先给定了，则可以由它们分别算出i j T T 在对的各场比赛中总得分0分，1分，2分，…，的概率，这些概率都是ij ji p p 和的函数.假如i T 的实际总得分为m 分，就有理由认为i T 得m 分的概率比得其他分的概率都大（这就是极大似然估计的思想：认为实际发生了的事情比没有发生的事情的概率大）.这样就可以得到关于ij ji p p 、的一些不等式，其中包含参数m .解这些不等式就得到ij ji p p 、对于m 的依赖关系，从而可以由已知数m （由比赛成绩表算出）决定未知的ij ji p p 、.将这个想法付诸实施时，需要解决一个技术性问题：平均的概率怎么计算？为此，我们将每场比赛抽象成由两个半场组成，没半场只有胜负，没有平局（注意：这只是为了分析问题而想象的两个半场，并不是实际比赛的上半场和下半场）.在两个半场中一胜一负就是全场的平局，而胜两场和负两场分别是全场的胜和输.我们还规定在半场中胜得1分，负得0分，则全场的胜、负、平的得分就分别是2，1，0分，与原来的规定一致.将i j ij T T q 在半场中战胜的概率作为唯一一个独立参数，简记为,1.ji q q q =-则由此可以算出i T T j 对进行多场比赛时i T 的各种得分情况出现的概率.比如，在三场比赛中i T 如果得4分（可能是两胜或一胜两平），那就是i T 在6个“半场”中胜四个半场，负两个半场，概率为4426C (1).q q -一般的，在n 场比赛中i T 得m 分的概率为C (1).m m n m nq q --如果i T 在对的n 场比赛中实际的总得分为m ，则认为i T 得m 分的概率比得其他分的概率都要大，即n C (1)C (1),,.m m n m k k n k n q q q q k n k m --->-≤≤≠对所有的0 对给定的m 值解出这些不等式，就得到由m q 决定的的取值范围，结果如下表.这里，i T 的每一种得分值m 对应于q 的一个取值范围.将q 值到底定在这个范围里的什么位置呢？这个选择的自由仍留给体育界人士，按比赛结果的可信度来决定.比如，可以选择在范围的上限或下限或中间.一个更为合理的处理方法是：根据净胜球数w 的多少来决定把q 值选在所得范围的高处或地处，也就是说，将q 设计成w 的某个递增函数，其取值范围就是i T 的总得分m 所决定的q 的范围，随w 的增加而趋近于这个范围的上界.q 值决定之后，就可以算出ij ji p p 、，从而算出22()(1)ij ij q b b q =-.也不妨直接取1ij q b q =-.i j T T 与没有比赛的情形可以按模型4同样的方法处理.五、模型的检验与比较既然数学模型必须接受实际的检验，那么，为解决这个问题的前述各种模型孰优孰劣，用什么标准来检验呢？当然，直观上说，每战必胜的队一定排在第一，每战必败的队一定排在最后，无论用哪一个模型算出来的结果都是一样的，这检验不出模型的优劣。