高中数学-知识讲解_导数的综合应用题(提高)(理)
高中数学理科专题讲解高考大题专项(一)《导数的综合应用》教学课件
题型二 讨论函数的单调性例2(2019湖北八校联考一,21)已知函数f(x)=x3+ x2-4ax+1(a∈R).(1)略;(2)若函数h(x)=a(a-1)ln x-x3+3x+f(x),讨论函数h(x)的单调性.
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解题心得在判断函数f(x)的单调性时,若f'(x)中含有参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类讨论,分类的标准:(1)按导函数是否有零点分大类;(2)在大类中按导函数零点的大小分小类;(3)在小类中按零点是否在定义域中分类.
当-1<x<0时,g'(x)<0;当x>0时,g'(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,且仅当x=0时,f'(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)单调递增.又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.
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题型二 求函数的极值、最值例2(2019四川成都七中一模,21)已知函数f(x)=xsin x+2cos x+ax+2,其中a为常数.(1)略;(2)求函数f(x)在[0,π]上的最小值.
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解: (2)对∀x∈[0,π],f'(x)=xcos x-sin x+a,令g(x)=xcos x-sin x+a,g'(x)=-xsin x≤0,所以f'(x)在区间[0,π]上单调递减.当a≤0时,f'(x)≤f'(0)=a≤0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递减,故fmin(x)=f(π)=aπ.当a≥π时,f'(x)≥f'(π)=a-π≥0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递增,故fmin(x)=f(0)=4.当0<a<π时,因为f'(0)=a>0,f'(π)=a-π<0,且f'(x)在区间[0,π]上单调递减,结合零点存在定理可知,存在唯一x0∈(0,π),使得f'(x0)=0,且f(x)在[0,x0]上单调递增,在[x0,π]上单调递减.故f(x)的最小值等于f(0)=4和f(π)=aπ中较小的一个值.
高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.3知识点总结含同步练习及答案
描述:例题:高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用一、学习任务1. 了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;会求不超过三次的多项式函数的单调区间.2. 了解函数的极大(小)值、最大(小)与导数的关系;会求函数的极大(小)值,以及在指定区间上函数的最大(小)值.二、知识清单导数与函数的图象 利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值三、知识讲解1.导数与函数的图象(1)导数 表示函数 在点 处的切线斜率.当切线斜率为正值时,切线的倾斜角小于 ,函数曲线呈上升状态;当切线的斜率为负值时,切线的倾斜角大于 且小于 ,函数曲线呈下降状态.(2)如果在区间 内恒有 ,那么函数 在区间 内是常函数.()f ′x 0y =f (x )(,f ()x 0x 090∘90∘180∘(a ,b )(x )=0f′y =f (x )(a ,b ) 是函数 的导函数, 的图象如图所示,则 的图象最有可能是下列选项中的( )解:C导函数的图象在 轴的上方,表示导函数大于零,原函数的图象呈上升趋势;导函数的图象在 轴的下方,表示导函数小于零,原函数的图象呈下降趋势.由 时导函数图象在 轴的上方,表示在此区间上,原函数图象呈上升趋势,可排除 B、D 选项;由 时导函数图象在 轴的下方,表示在此区间上,原函数的图象呈下降趋势,可排除 A 选项.(x )f ′f (x )y =(x )f ′f (x )x x x ∈(−∞,0)x x ∈(0,1)xy=f(x)已知函数 的图象如图所示,则导函数f(x)(a,b)则函数 在开区间答案:解析:3. 已知函数 , 的导函数的图象如下图,那么 , 的图象可能是.A.B .C .D .D 和 都是单调递增的,但 增长的越来越慢, 增长的越来越快,并且在 处, 的切线的斜率应该相等.y =f (x )y =g (x )y =f (x )y =g (x )()f (x )g (x )f (x )g (x )x 0f (x ),g (x)高考不提分,赔付1万元,关注快乐学了解详情。
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案
′
解:(1)y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ⋅ (3x + 2)′ = 3e3x+2 ; (2)y ′ = (ln(2x − 1))′ =
1 2 . ⋅ (2x − 1)′ = 2x − 1 2x − 1
2.利用导数求函数的切线方程 描述: 利用导数求函数的切线方程 步骤一:求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ; 步骤二:根据直线方程的点斜式,得到切线方程为 y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 ). 例题: 求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程. 解:因为 y = ex + 1,所以 y ′ = ex ,故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为
解:(1)因为 y =
所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 .所以在点 P 处的切线方程是
y−
即
8 = 4(x − 2), 3
12x − 3y − 16 = 0.
(2)设切点为 (x 0 , y 0 ),则由(1)知切线的斜率 k = x2 ,切线方程为 y − y 0 = x2 (x − x 0 ) . 0 0 又切线过点 P (2,
8 1 ) 且 (x0 , y 0 ) 在曲线 y = x3 上,所以 3 3 ⎧ ⎪ 8 − y = x2 (2 − x0 ), 0 0 ⎨3 1 ⎪ ⎩ y = x3 , ⎪ 0 3 0 − 3x2 + 4 = 0, x3 0 0
整理得
即
(x0 − 2)2 (x0 + 1) = 0.
高中数学 导数的综合应用共52页
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27、只有把抱怨环境的心情,化为上进的力量,才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者,好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人,倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢!
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高中数学 导数的综合应用
36、“不可能”这个字(法语是一个字 ),只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气,不要看破要突 破,不 要嫉妒 要欣赏 ,不要 托延要 积极, 不要心 动要行 动。 38、勤奋,机会,乐观是成功的三要 素。(注 意:传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素,但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出,乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言,没有不变的承 诺,踏 上旅途 ,义无 反顾。 40、对时间的价值没有有深切认识 的人, 决不会 坚韧勤 勉。
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快,这是不可能的,因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
高中数学典型例题解析导数及其应用
高中数学典型例题分析第十章 导数及其应用§10.1导数及其运算一、知识导学1.瞬时变化率:设函数)(x f y =在0x 附近有定义,当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时,函数值相应地改变)()(0x f x x f y -∆+=∆,如果当x ∆趋近于0时,平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00趋近于一个常数c (也就是说平均变化率与某个常数c 的差的绝对值越来越小,可以小于任意小的正数),那么常数c 称为函数)(x f 在点0x 的瞬时变化率。
2.导数:当x ∆趋近于零时,xx f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数c 。
可用符号“→”记作:当0→∆x 时,x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c xx f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000,符号“→”读作“趋近于”。
函数在0x 的瞬时变化率,通常称作)(x f 在0x x =处的导数,并记作)(0x f '。
3.导函数:如果)(x f 在开区间),(b a 内每一点x 都是可导的,则称)(x f 在区间),(b a 可导。
这样,对开区间),(b a 内每个值x ,都对应一个确定的导数)(x f '。
于是,在区间),(b a 内,)(x f '构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数)(x f y =的导函数。
记为)(x f '或y '(或x y ')。
4.导数的四则运算法则:1)函数和(或差)的求导法则:设)(x f ,)(x g 是可导的,则)()())()((x g x f x g x f '±'='±即,两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)。
2)函数积的求导法则:设)(x f ,)(x g 是可导的,则)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='即,两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘上第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数。
高三数学导数的实际应用试题答案及解析
高三数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数 ().(1)若,求函数的极值;(2)设.①当时,对任意,都有成立,求的最大值;②设的导函数.若存在,使成立,求的取值范围.【答案】(1)参考解析;(2)①-1-e-1,②(-1,+∞)【解析】(1)由函数 (),且,所以对函数求导,根据导函数的正负性可得到结论(2)①当时,对任意,都有成立,即时,恒成立. 由此可以通过分离变量或直接求函数的最值求得结果,有分离变量可得b≤x2-2x-在x∈(0,+∞)上恒成立.通过求函数h(x)=x2-2x- (x>0)的最小值即可得到结论.②若存在,使.通过表示即可得到=,所以求出函数u(x)=(x>1)的单调性即可得到结论.(1)当a=2,b=1时,f (x)=(2+)e x,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).所以f ′(x)=e x. 2分令f ′(x)=0,得x1=-1,x2=,列表(0,)(,+∞)-↗极大值极小值↗由表知f (x)的极大值是f (-1)=e-1,f (x)的极小值是f ()=4. 4分(2)①因为g (x)=(ax-a)e x-f (x)=(ax--2a)e x,当a=1时,g (x)=(x--2)e x.因为g (x)≥1在x∈(0,+∞)上恒成立,所以b≤x2-2x-在x∈(0,+∞)上恒成立. 7分记h(x)=x2-2x- (x>0),则h′(x)=.当0<x<1时,h′(x)<0,h(x)在(0,1)上是减函数;当x>1时,h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上是增函数;所以h(x)min=h(1)=-1-e-1;所以b的最大值为-1-e-1. 9分解法二:因为g (x)=(ax-a)e x-f (x)=(ax--2a)e x,当a=1时,g (x)=(x--2)e x.因为g (x)≥1在x∈(0,+∞)上恒成立,所以g(2)=-e2>0,因此b<0. 5分g′(x)=(1+)e x+(x--2)e x=.因为b<0,所以:当0<x<1时,g′(x)<0,g(x)在(0,1)上是减函数;当x>1时,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上是增函数.所以g(x)min=g(1)=(-1-b)e-1 7分因为g (x)≥1在x∈(0,+∞)上恒成立,所以(-1-b)e-1≥1,解得b≤-1-e-1因此b的最大值为-1-e-1. 9分②解法一:因为g (x)=(ax--2a)e x,所以g ′(x)=(+ax--a)e x.由g (x)+g ′(x)=0,得(ax--2a)e x+(+ax--a)e x=0,整理得2ax3-3ax2-2bx+b=0.存在x>1,使g (x)+g ′(x)=0成立.等价于存在x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0成立. 11分因为a>0,所以=.设u(x)=(x>1),则u′(x)=.因为x>1,u′(x)>0恒成立,所以u(x)在(1,+∞)是增函数,所以u(x)>u(1)=-1,所以>-1,即的取值范围为(-1,+∞). 14分解法二:因为g (x)=(ax--2a)e x,所以g ′(x)=(+ax--a)e x.由g (x)+g ′(x)=0,得(ax--2a)e x+(+ax--a)e x=0,整理得2ax3-3ax2-2bx+b=0.存在x>1,使g (x)+g ′(x)=0成立.等价于存在x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0成立. 11分设u(x)=2ax3-3ax2-2bx+b(x≥1)u′(x)=6ax2-6ax-2b=6ax(x-1)-2b≥-2b 当b≤0时,u′(x)≥0此时u(x)在[1,+∞)上单调递增,因此u(x)≥u(1)=-a-b因为存在x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0成立所以只要-a-b<0即可,此时-1<≤0 12分当b>0时,令x0=>=>1,得u(x)=b>0,又u(1)=-a-b<0于是u(x)=0,在(1,x)上必有零点即存在x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0成立,此时>0 13分综上有的取值范围为(-1,+∞)------14分【考点】1.函数的极值.2.函数最值.3.函数恒成立问题.4.存在性的问题.5.运算能力.2.将一个边长分别为a、b(0<a<b)的长方形的四个角切去四个相同的正方形,然后折成一个无盖的长方体形的盒子.若这个长方体的外接球的体积存在最小值,则的取值范围是________.【答案】【解析】设减去的正方形边长为x,其外接球直径的平方R2=(a-2x)2+(b-2x)2+x2,由R′=0,∴x=(a+b).∵a<b,∴x∈,∴0<(a+b)< ,∴1<<.3.对于三次函数,给出定义:是函数的导函数,是的导函数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.某同学经研究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心.若,请你根据这一发现,求:(1)函数的对称中心为__________;(2)=________.【答案】(1);(2)2013.【解析】,,令,∴,∴∴对称中心为,∴,∴.【考点】1.新定义题;2.导数.4.已知,函数.(1)当时,写出函数的单调递增区间;(2)当时,求函数在区间[1,2]上的最小值;(3)设,函数在(m,n)上既有最大值又有最小值,请分别求出m,n的取值范围(用a表示).【答案】(1);(2);(3)详见解析.【解析】(1)对于含绝对值的函数一般可通过讨论去掉绝对值化为分段函数再解答,本题当时,函数去掉绝对值后可发现它的图象是由两段抛物线的各自一部分组成,画出其图象,容易判断函数的单调递增区间;(2)时,所以,这是二次函数,求其在闭区间上的最小值,一般要分类讨论,考虑对称轴和区间的相对位置关系,从而判断其单调性,从而求出最小值;(3)函数在开区间上有最大值和最小值,必然要使开区间上有极大值和极小值,且使极值为最值,由于函数是与二次函数相关,可考虑用数形结合的方法解答.试题解析:(1)当时,, 2分由图象可知,的单调递增区间为. 4分(2)因为,所以. 6分当,即时,; 7分当,即时,. 8分. 9分(3), 10分①当时,图象如图1所示.图1由得. 12分②当时,图象如图2所示.图2由得. 14分【考点】含绝对值的函数、二次函数.5.设,当时,恒成立,则实数的取值范围为。
最新高考数学指导:导数的综合应用精编版
2020年高考数学指导:导数的综合应用精编版高考数学指导:导数的综合应用导数既是高中数学的新增内容,又是高考的新热点,导数知识的综合运用涉及到函数、方程、不等式、物体运动的瞬时速度和应用性问题.本文从以下八个方面研究导数的应用,供大家参考.(一)求与曲线的切线斜率有关的问题曲线«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处的切线斜率为«Skip Record If...»,切线方程为«Skip Record If...»«Skip Record If...»例1 (03年高考题)设«Skip Record If...»曲线«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处切线的倾斜角的取值范围为«Skip Record If...»则点P到曲线«Skip Record If...»对称轴距离的取值范围为().(A)«Skip Record If...» (B) «Skip Record If...» (C) «Skip RecordIf...» (D) «Skip Record If...»分析:本题应把曲线的切线斜率、二次函数的性质及不等式的性质结合起来思考.解:∵«Skip Record If...»曲线«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处的切线斜率是«Skip Record If...»又曲线«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处切线的倾斜角的取值范围为«Skip Record If...»因此斜率的取值范围是«Skip Record If...»,即«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»又曲线«Skip Record If...»对称轴方程为«Skip Record If...»«Skip Record If...»点P到曲线«Skip Record If...»对称轴距离为«Skip Record If...»其范围是«Skip Record If...», 故选(B).例2 (03年高考题)已知抛物线«Skip Record If...»如果直线«Skip Record If...»同时是«Skip Record If...»的切线,称«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段.(1)«Skip Record If...»取什么值时,«Skip Record If...»有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程;(2)若«Skip Record If...»有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.分析:先分别假设两抛物线上的切点,写出相应切线方程,再由它们是同一个方程,得出对应项系数相等进行思考.解:(1)函数«Skip Record If...»曲线«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»的切线方程«Skip Record If...»即«Skip Record If...»①函数«Skip Record If...»曲线«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»的切线方程:«Skip Record If...»即«Skip Record If...»②若直线«Skip Record If...»是过«Skip Record If...»的公切线,则①和②都是«Skip Record If...»的方程,所以«Skip Record If...»消去«Skip Record If...»若判别式«Skip Record If...»此时点P与Q重合.«Skip Record有且仅有一条公切线,由①得公切线方程为If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»(2)略.(二)求运动物体的瞬时速度物体的运动方程为«Skip Record If...»则物体的瞬时速度为«Skip Record If...»例3 向高为8m,上口直径为8m的倒圆锥形容器内注水,其速度为每分种4m«Skip Record If...»,求当水深为5m时,水面上升的速度.分析:由注水体积与容器内的水的体积相等,建立水深与时间的函数关系,再用导数方法思考相应时刻水深的变化率.解:设t分钟后水深为y m,此时水面半径为«Skip RecordIf...»m, «Skip Record If...»«Skip Record If...»当«Skip Record If...»«Skip Record If...».答:水面上升的速度为每分钟«Skip Record If...»米.例4 两船同时从同一码头出发,甲船以每时30公里的速度向北行驶,乙船以每时40公里的速度向东行驶,求两船相离的速度.分析:本题由物体运动距离与时间的关系,思考物体在各时刻的运动状态.解:依题意有,两船的距离d与时间t的函数关系为: «Skip Record If...» «Skip Record If...»,其中«Skip Record If...»两船相离的速度为每时«Skip Record If...»公里.(三)求函数单调区间函数«Skip Record If...»内可导,若«Skip Record If...»则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内为增函数(或减函数).即:①«SkipRecord If...»单增(减)区间为«Skip Record If...»的解集为«SkipRecord If...»②«Skip Record If...»在«Skip Record If...»单增(减))0(0)(<>'⇔x f ,在«Skip Record If...»内恒成立.例5 (02年高考题)已知函数«Skip Record If...»在x =1处有极小值«Skip Record If...»,试确定a ,b 的值,并求出«Skip Record If...»的单调区间.分析:由函数值和极值确定a 、b ,再根据导函数值的符号确定函数单调区间.解:由已知,可得«Skip Record If...»①,«Skip Record If...»«Skip Record If...»②.由①②得«Skip Record If...».故«Skip Record If...». «Skip Record If...». 令«Skip Record If...»«Skip Record If...»在«Skip Record If...»为单增;在«SkipRecord If...»为单减.例6 (03年高考题)设«Skip Record If...»求函数«SkipRecord If...»的单调区间.分析:本题是含参数函数的单调区间问题,要对参数进行分类讨论.解:«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»(1)当«Skip Record If...» 时,对所有«Skip RecordIf...»,有«Skip Record If...»此时«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内单调递增.(2)当«Skip Record If...»时,对所有«Skip RecordIf...»,有«Skip Record If...»此时«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内单调递增,在«Skip Record If...»内单调递增.又«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处连续,故«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内单调递增.(3)当«Skip Record If...»时,令«Skip Record If...»,即«Skip Record If...»解得«Skip Record If...»«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内单增,在«SkipRecord If...»内单增.令«Skip Record If...»,即«Skip Record If...»得«Skip Record If...»故«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内单调递减.(四)求函数的最值求可导函数«Skip Record If...»的极值的步骤为:①求导数«Skip Record If...»②求方程«Skip Record If...»的根;③检验«Skip Record If...»在方程根左右的符号,若左正右负,则«Skip Record If...»在这个根处取极大值;若左负右正,则«Skip Record If...»在这个根处取极小值;若左右符号相同,则«Skip Record If...»在这个根处没有极值.若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续,在«Skip Record If...»内可导,求«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的最值的步骤为:①求«Skip Record If...»内的极值;②将«Skip Record If...»的各个极值与«Skip Record If...»、«Skip Record If...»比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值.例7 (00年上海高考题)已知函数«Skip Record If...»(1)当«Skip Record If...»时,求函数«Skip Record If...»的最小值;(2)若对任意«Skip Record If...»恒成立,试求实数a的取值范围.分析:本题由导函数值的符号确定函数的单调性,再求其最值.解:(1)«Skip Record If...»«Skip Record If...»上单增,最小值为«Skip Record If...»(2)对«Skip Record If...»恒成立«Skip Record If...»恒成立«Skip Record If...»恒成立.设«Skip Record If...»,则a大于u的最大值,又«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»是减函数,当«Skip Record If...»时u取得最大值«Skip Record If...»«Skip Record If...»例8 求函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的最大值和最小值.分析:先用分段函数表示,思考连续函数在闭区间上的极值及在端点处的值,即可得出最值.解:∵«Skip Record If...»上连续,«Skip Record If...»必存在最大值和最小值.∵«Skip Record If...»«Skip Record If...»函数«Skip Record If...»在x=0处不可导,且解«Skip Record If...»得«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»«Skip Record If...»函数«Skip Record If...»在x=0处取得最小值0;在x=«Skip Record If...»处取得最大值10.(五)求参数的范围此类问题考虑参数与变量分离的方法解决.例9 (00年高考题)设函数«Skip Record If...»,其中«Skip Record If...».(1)解不等式«Skip Record If...»;(2)求«Skip Record If...»的取值范围,使函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上是单调函数.分析:要使函数单调则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上恒正或恒负.解:(1)略.(2)«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时, «Skip Record If...»«Skip Record If...»又a>0,«Skip Record If...»当且仅当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...» «Skip Record If...»上恒小于0.故«Skip Record If...»上是单减函数. 例10 (02年上海高考题)已知函数«Skip Record If...» (1)当«Skip Record If...»时,求函数«Skip Record If...»的最大值和最小值;(2)求实数a的取值范围,使«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上是单调函数.解: (1) «Skip Record If...»«Skip Record If...»令«Skip Record If...»则«Skip Record If...»比较«Skip Record If...»得«Skip Record If...»的最大值37,最小值1.(2)要使«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上单调,当且仅当«Skip Record If...»«Skip Record If...»即«Skip Record If...»总成立.«Skip Record If...»(六)求函数解析式此类问题往往先用待定系数法设出函数的解析式,再用函数性质思考.例11 (95年上海高考题)设«Skip Record If...»是二次函数,方程«Skip Record If...»有两个相等的实根,且«Skip Record If...»求«Skip Record If...»的表达式.分析:由待定系数法设出二次函数的解析式,用导函数比较系数和判别式为零来解.解:设«Skip Record If...»则«Skip Record If...»又«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»又方程«Skip Record If...»有两个相等实根, «Skip Record If...»故«Skip Record If...»例12 已知«Skip Record If...»是一个一元三次函数, «Skip Record If...»在«Skip Record If...»«Skip Record If...»处分别取得极值«Skip Record If...»求此函数的解析式.分析:由函数值和导函数值列出方程组思考解决.解:设«Skip Record If...»则«Skip Record If...»依题意有:«Skip Record If...»①«Skip Record If...»②«Skip Record If...»③«Skip Record If...»④解①②③④的方程组,得«Skip Record If...»即«Skip Record If...»(七)证明不等式这是导数问题的新题型, 函数、方程、不等式相互关联,解题时往往构造函数,考虑函数的性质.例13 (01年高考题)已知«Skip Record If...»是正整数,且«Skip Record If...»(1)证明:«Skip Record If...»(2)证明:«Skip Record If...»分析:本题不等式(2)等价于«Skip Record If...»,即«Skip Record If...» «Skip Record If...»,构造函数«Skip Record If...»思考其单调性即可.证明:(1)略.(2)考查函数«Skip Record If...»则«Skip Record If...»由«Skip Record If...»知,«Skip Record If...»«Skip Record If...»上单减.又«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»故«Skip Record If...»例14若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»取得极值«Skip Record If...»求证:«Skip Record If...»分析:由s, t是«Skip Record If...»的两实根,考查«Skip Record If...»的根的分布.证明:∵«Skip Record If...»«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»取得极值,«Skip Record If...»是方程«Skip Record If...»得两根,由根与系数关系知«Skip Record If...»均大于0.又«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»内分别有一根.∵«Skip Record If...»(八)解应用问题解决数学应用问题,先构造目标函数,再根据导数和不等式知识确定函数的极值或最值.例15 一种变压器的铁心的截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字型应具有«Skip Record If...»cm«Skip Record If...»的面积,问应如何设计正十字型的宽x和长y,才能使其外接圆的周长最短,这样可使绕在铁心上的铜线最省.解:设«Skip Record If...»由条件知«Skip Record If...»«Skip Record If...»设外接圆半径为R,«Skip Record If...»记«Skip Record If...» «Skip Record If...»则«Skip Record If...»令«Skip Record If...»此时«Skip Record If...»最小,即R最小,从而周长最小,此时«Skip Record If...»cm,«Skip Record If...»«Skip Record If...»cm.例16 (01年高考题)设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm«Skip Record If...»,画面的宽与高的比为«Skip Record If...»,画面的上、下各8cm空白,左、右各留5cm空白. 怎样确定画面的高与宽尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小?解:设画面高为x cm,宽为«Skip Record If...»cm,则«Skip Record If...»设纸张面积为S,有«Skip Record If...» «Skip Record If...»令«Skip Record If...»得«Skip Record If...»此时«Skip Record If...»S 有最小值,从而«Skip Record If...»答:画面的高为88cm,宽为55cm,能使宣传画所用纸张面积最小.。
专题21 导数及其应用(解答题)-备战2022年高考数学(理)母题题源解密(全国甲卷)(原卷版)
专题21 导数及其应用(解答题)1.已知0a >且1a ≠,函数()(0)ax x f x x a =>.(1)当2a =时,求()f x 的单调区间;(2)若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点,求a 的取值范围. 【试题来源】2021年全国高考甲卷(理)【答案】(1)20,ln2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增;2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减;(2)()()1,,e e ⋃+∞. 【分析】(1)求得函数的导函数,利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性; (2)利用指数对数的运算法则,可以将曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点等价转化为方程ln ln x ax a =有两个不同的实数根,即曲线()y g x =与直线ln a y a=有两个交点,利用导函数研究()g x 的单调性,并结合()g x 的正负,零点和极限值分析()g x 的图象,进而得到ln 10a a e<<,发现这正好是()()0g a g e <<,然后根据()g x 的图象和单调性得到a 的取值范围.【解析】(1)当2a =时,()()()()22222ln 2222ln 2,242xx x x x x x x x x x f x f x ⋅-⋅-⋅===', 令()'0f x =得2ln 2x =,当20ln 2x <<时,()0f x '>,当2ln 2x >时,()0f x '<, 所以函数()f x 在20,ln2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增;2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减; (2)()ln ln 1ln ln a x a x x x af x a x x a a x a x a==⇔=⇔=⇔=,设函数()ln x g x x =, 则()21ln xg x x -'=,令()0g x '=,得x e =, 在()0,e 内()0g x '>,()g x 单调递增;在(),e +∞上()0g x '<,()g x 单调递减;()()1max g x g e e∴==, 又()10g =,当x 趋近于+∞时,()g x 趋近于0,所以曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点, 即曲线()y g x =与直线ln a y a =有两个交点的充分必要条件是ln 10a a e<<,这即是()()0g a g e <<, 所以a 的取值范围是()()1,,e e +∞.【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题,属较难试题,关键是将问题进行等价转化,分离参数,构造函数,利用导数研究函数的单调性和最值,图象,利用数形结合思想求解.1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数2()e x f x ax x =+-.(1)当a =1时,讨论f (x )的单调性; (2)当x ≥0时,f (x )≥12x 3+1,求a 的取值范围. 2.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数2() sin sin2f x x x =.(1)讨论f (x )在区间(0,π)的单调性; (2)证明:33()8f x ≤; (3)设*n ∈N ,证明:2222sin sin 2sin 4sin 234nn nx x xx ≤.3.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设函数3()f x x bx c =++,曲线()y f x =在点(12,f (12))处的切线与y 轴垂直.(1)求B .(2)若()f x 有一个绝对值不大于1的零点,证明:()f x 所有零点的绝对值都不大于1. 4.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数.证明:(1)()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点; (2)()f x 有且仅有2个零点.5.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.(1)讨论f (x )的单调性,并证明f (x )有且仅有两个零点;(2)设x 0是f (x )的一个零点,证明曲线y =ln x 在点A (x 0,ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线.6.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+.(1)讨论()f x 的单调性;(2)是否存在,a b ,使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1?若存在,求出,a b 的所有值;若不存在,说明理由.1.从全国看,高考在逐年加大对导数问题的考查力度,不仅题型在变化,而且问题的难度、深度与广度也在不断加大,本部分的要求一般有三个层次:(1)主要考查求导公式,求导法则与导数的几何意义; (2)导数的简单应用,包括求函数的单调区间、极值、最值等;(3)综合考查,如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合,设计综合题.2.利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性,实质上就是判断或证明不等式()0f x '>(()0f x '<)在给定区间上恒成立.一般步骤为: (1)求f ′(x );(2)确认f ′(x )在(a ,b )内的符号;(3)作出结论,()0f x '>时为增函数,()0f x '<时为减函数.注意:研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. 3.由函数()f x 的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在某一区间上单调,实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤)(()f x '在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立,然后分离参数,转化为求函数的最值问题,从而得参数的取值范围; (2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是()0f x '>(或()0f x '<)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题;(3)若已知()f x 在区间I 上的单调性,区间I 中含有参数时,可先求出()f x 的单调区间,令I 是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围. 4.函数极值问题的常见类型及解题策略(1)函数极值的判断:先确定导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. (2)求函数()f x 极值的方法: ①确定函数()f x 的定义域. ②求导函数()f x '. ③求方程()0f x '=的根.④检查()f x '在方程的根的左、右两侧的符号,确定极值点.如果左正右负,那么()f x 在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么()f x 在这个根处取得极小值;如果()f x '在这个根的左、右两侧符号不变,则()f x 在这个根处没有极值.(3)利用极值求参数的取值范围:确定函数的定义域,求导数()f x ',求方程()0f x '=的根的情况,得关于参数的方程(或不等式),进而确定参数的取值或范围. 5.求函数f (x )在[a ,b ]上最值的方法(1)若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增或递减,f (a )与f (b )一个为最大值,一个为最小值.(2)若函数f (x )在区间(a ,b )内有极值,先求出函数f (x )在区间(a ,b )上的极值,与f (a )、f (b )比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.(3)函数f (x )在区间(a ,b )上有唯一一个极值点时,这个极值点就是最大(或最小)值点. 注意:(1)若函数中含有参数时,要注意分类讨论思想的应用.(2)极值是函数的“局部概念”,最值是函数的“整体概念”,函数的极值不一定是最值,函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定. 6.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法:(1)分离参数法:将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的最值,根据要求得所求范围.一般地,()f x a ≥恒成立,只需min ()f x a ≥即可;()f x a ≤恒成立,只需max ()f x a ≤即可.(2)函数思想法:将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的极值(最值),然后构建不等式求解.7.利用导数解决函数的零点问题时,一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点,再利用导数判断在所给区间内的单调性,由此求解.1.已知函数321()23f x ax x x =+-+,其中a R ∈.(1)若函数()f x 恰好有三个单调区间,求实数a 的取值范围;(2)已知函数()f x 的图象经过点()1,3,且[2,2]x ∈-,求()f x 的最大值.2.已知函数()()ln 1xf x e ax =+-.(1)若函数()y f x =在点()()0,0f 处切线的斜率为0,求a 的值; (2)在第(1)问的前提下,讨论函数()y f x =的单调性及最值.3.已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =-+-. (1)当1a =-时,求函数()f x 的单调区间;(2)是否存在实数a ,使函数()()g x f x ax =-在(0,)+∞上单调递增?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,请说明理由.4.已知函数()ln f x x a x =-. (1)讨论()f x 的单调性;(2)若()f x 有两个相异零点12,x x ,求证:212x x e ⋅>.5.已知函数()()2ln =+-∈f x ax x x a R .(1)当1a =时,求()f x 在区间1[,1]3上的最值;(2)若()()g x f x x =-在定义域内有两个零点,求a 的取值范围. 6.定义在()0,∞+上的关于x 的函数2()(1)2x ax f x x e =--. (1)若a e =,讨论()f x 的单调性;(2)()3f x ≤在(]0,2上恒成立,求a 的取值范围.7.已知函数32()3f x x x ax b =-++在1x =-处的切线与x 轴平行. (1)求a 的值和函数()f x 的单调区间; (2)若函数()y f x =的图象与抛物线231532y x x =-+恰有三个不同交点,求b 的取值范围. 8.设函数()()22ln f x x a x a x =---(1)求函数()f x 的单调区间;(2)若函数()f x 有两个零点,求正整数a 的最小值. 9.已知函数()ln ()f x ax x a a R =--∈. (1)求函数()f x 的极值;(2)当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦|时,函数()f x 有两个不同的零点,求实数a 的取值范围.10.已知函数2()cos f x x a x =+,且曲线()y f x =在6x π=处的切线方程为6y x b π=-+.(1)求实数a ,b 的值;(2)若对任意(0,)x ∈+∞,都有2()0f x m -恒成立,求m 的取值范围.11.已知函数()xe f x x=,()ln g x x =.(1)当0a >时,讨论函数1()()()=--F x af x g x x的单调性;(2)当1a >时,求证:()()(1)1->-+axf x g ax e x . 12.已知函数2()e x f x mx =-.(1)若x 轴是曲线()y f x =的一条切线,求m 的值; (2)若当0x ≥时,()2sin 1f x x x ≥-+,求m 的取值范围.13.已知函数()2xf x xe ax a =-+()a R ∈.(1)当0a =时,求()f x 在[]22-,上的最值; (2)设()22x g x e ax =-,若()()()h x f x g x =-有两个零点,求a 的取值范围.14.已知函数()2ln f x ax x x =-+-.(1)讨论()f x 的单调性:(2)若()f x 在定义城上有两个极值点12x x ,,求证:()()1232ln 2f x f x +>-.15.已知函数()31ln 2f x x x x a =-+,()13212x a g x xe x x --=+-(a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)若函数()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上有零点,求a 的取值范围;(2)当1≥x 时,不等式()()f x g x ≤恒成立,求实数a 的取值范围. 16.已知函数()()23312x f x x e ax =--,其中实数()0,a ∈+∞.(1)讨论函数()f x 的单调性; (2)当12a >时,证明:关于x 的方程()233322f x ax x +=-有唯一实数解. 17.已知函数()ln f x a x x a =-+,()lng x kx x x b =--,其中,,a b k R ∈. (1)讨论函数()f x 的单调区间;(2)若1a =,任意[1,e]x ∈,不等式()()f x g x ≥恒成立时最大的k 记为c ,当[1,]b e ∈时,求b c +的取值范围.18.已知2()46ln f x x x x =--,(1)求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程以及()f x 的单调性;(2)令()()4(6)ln g x f x x a x =+--,若()g x 有两个零点分别为1x ,2x ()12x x <且0x 为()g x 唯一极值点,求证:12034x x x +>.19.已知函数()ln f x a x x =-.(1)若0a ≥,讨论函数()f x 的零点个数;(2)设1x ,2x 是函数()f x 的两个零点,证明:122eln 0x x a +->.20.已知函数()2ln f x x ax a x =+-.(1)若函数()f x 在[2,5]上单调递增,求实数a 的取值范围;(2)当2a =时,若方程()22f x x m =+有两个不等实数根12,x x ,求实数m 的取值范围,并证明121x x <.21.已知函数()ln (0)f x a x x a =+≠,2()e ()x g x bx b =+∈R . (1)记2()()h x f x x =+,试讨论函数()h x 的单调性;(2)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在1x =处的切线都过点(0,1).求证:当0x >时,()1()e 1g x f x x-+≥-. 22.已知函数()ln 1f x a x x =++(其中0a ≠, 2.71828e =⋅⋅⋅⋅⋅⋅) (1)当34a =-时,求函数()f x 的单调区间; (2)对任意的21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭均满足()f x x≤,试确定a 的取值范围.。
(完整版)导数应用题
(完整版)导数应用题
导数应用题
导数是微积分中的一个重要概念,它在物理学、经济学等学科
中有广泛的应用。
下面是几个关于导数应用的题目。
题目一:速度和加速度
一个物体随时间 t 的位移函数为:s(t) = 2t^3 - 3t^2 + 4t - 6。
求:
1. 物体在 t=2 时的速度;
2. 物体在 t=2 时的加速度。
题目二:边际利润
某公司生产某种产品的总成本和销售量之间的关系由函数 C(x) = 40x^2 - 10x + 200 决定,其中 x 表示销售量(单位:千件)。
产
品的销售价格为 500 元/件。
求:
1. 销售量为 10 千件时的总成本;
2. 销售量为 10 千件时的边际利润(边际利润定义为每增加一
单位销售量所带来的额外利润)。
题目三:物体的高度
一颗子弹以初速度 v0 被发射成 60°角度与水平面成的抛体轨迹。
子弹的飞行轨迹可以用函数 h(t) = -5t^2 + v0*sin(60°)*t 表示,
其中h(t) 表示子弹的高度(单位:米),t 表示时间(单位:秒)。
求:
1. 子弹飞行的最高点的高度;
2. 子弹从发射到达最高点的时间。
题目四:排队等候时间
某银行服务窗口的等候时间服从指数分布,平均等候时间为 10 分钟。
一位客户进入银行后等候 8 分钟后决定离开,请问他的等待
时间与等候时间之差服从的概率分布是什么?
以上是关于导数应用的几个题目,希望能帮助到你。
如果有任何疑问,请随时提问。
高考数学真题分类专题三 导数及其应用第八讲导数的综合应用答案
专题三 导数及其应用 第八讲 导数的综合应用答案部分 2019年1.解析 当1x =时,()112210f a a =-+=>恒成立; 当1x <时,()2222021x f x x ax aax =-+⇔-恒成立,令()()()()22221112111111x x x x x g x x x x x-----+==-=-=-=----()()11221201x x x⎛⎫--+---= ⎪ ⎪-⎝⎭, 所以()max 20ag x =,即0a >.当1x >时,()ln 0ln xf x x a xax=-⇔恒成立,令()ln x h x x =,则()()21ln ln x x x h x x -⋅'==当e x >时,()0h x '>,()h x 递增,当1e x <<时,()0h x '<,()h x 递减, 所以当e x =时,()h x 取得最小值()e e h =. 所以()min e ah x =.综上,a 的取值范围是[]0,e .2.解析(1)2()622(3)f x x ax x x a '=-=-. 令()0f x '=,得x =0或3ax =. 若a >0,则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '>;当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<.故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭单调递增,在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减;若a =0,()f x 在(,)-∞+∞单调递增; 若a <0,则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '>;当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<.故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增,在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减. (2)满足题设条件的a ,b 存在.(i )当a ≤0时,由(1)知,()f x 在[0,1]单调递增,所以()f x 在区间[0,l]的最小值为(0)=f b ,最大值为(1)2f a b =-+.此时a ,b 满足题设条件当且仅当1b =-,21a b -+=,即a =0,1b =-.(ii )当a ≥3时,由(1)知,()f x 在[0,1]单调递减,所以()f x 在区间[0,1]的最大值为(0)=f b ,最小值为(1)2f a b =-+.此时a ,b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-,b =1,即a =4,b =1.(iii )当0<a <3时,由(1)知,()f x 在[0,1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,最大值为b 或2a b -+.若3127a b -+=-,b =1,则a =,与0<a <3矛盾.若3127a b -+=-,21a b -+=,则a =a =-或a =0,与0<a <3矛盾.综上,当且仅当a =0,1b =-或a =4,b =1时,()f x 在[0,1]的最小值为–1,最大值为1.3.解析:(Ⅰ)当34a =-时,3()ln 04f x x x =->.3()4f 'x x =-=所以,函数()f x 的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+∞).(Ⅱ)由1(1)2f a≤,得04a <≤.当04a <≤时,()2f x a≤等价于22ln 0x a a --≥.令1t a=,则t ≥.设()22ln ,g t tx t =≥,则()2ln g t g x ≥=.(i )当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤()2ln g t g x ≥=.记1()ln ,7p x x x =≥,则1()p'x x =-=故所以,()(1)0p x p ≥= .因此,()2()0g t g p x ≥=≥.(ii )当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,1()1g t g x ⎛+= ⎝.令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦,则()10q'x =+>, 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,所以1()7q x q ⎛⎫⎪⎝⎭.由(i )得11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以,()<0q x .因此1()10g t g x ⎛+=> ⎝.由(i )(ii )得对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,),()0t g t ∈+∞,即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,均有()2xf x a. 综上所述,所求a的取值范围是⎛ ⎝⎦4.解析:(1)设()()g x f 'x =,则1()cos 1g x x x=-+,21sin ())(1x 'x g x =-++.当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()g'x 单调递减,而(0)0,()02g'g'π><, 可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点,设为α. 则当(1,)x α∈-时,()0g'x >;当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增,在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减,故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点,即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点.(2)()f x 的定义域为(1,)-+∞.(i )当(1,0]x ∈-时,由(1)知,()f 'x 在(1,0)-单调递增,而(0)0f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.(ii )当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时,由(1)知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,而(0)=0f ',02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭,所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()0f 'β=,且当(0,)x β∈时,()0f 'x >;当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增,在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又(0)=0f ,1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时,()0f x >.从而()f x 在0,2⎛⎤⎥⎝⎦π没有零点.(iii )当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时,()0f 'x <,所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭,()0f π<,所以()f x 在,2π⎛⎤π ⎥⎝⎦有唯一零点.(iv )当(,)x ∈π+∞时,ln(1)1x +>,所以()f x <0,从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上,()f x 有且仅有2个零点.5.解析:(1)f (x )的定义域为(0,1)(1,)+∞.因为211()0(1)f x x x '=+>-,所以()f x 在(0,1),(1,+∞)单调递增. 因为f (e )=e 110e 1+-<-,22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--, 所以f (x )在(1,+∞)有唯一零点x 1,即f (x 1)=0. 又1101x <<,1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-, 故f (x )在(0,1)有唯一零点11x . 综上,f (x )有且仅有两个零点.(2)因为0ln 01e x x -=,故点B (–ln x 0,01x )在曲线y =e x 上. 由题设知0()0f x =,即0001ln 1x x x +=-, 故直线AB 的斜率0000000000111ln 111ln 1x x x x x k x x x x x x +---===+-----.曲线y =e x在点001(ln ,)B x x -处切线的斜率是01x ,曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是1x , 所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y =e x 的切线.6.解析(1)因为a b c ==,所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-. 因为(4)8f =,所以3(4)8a -=,解得2a =. (2)因为b c =,所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-, 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.令()0f 'x =,得x b =或23a bx +=. 因为2,,3a ba b +都在集合{3,1,3}-中,且a b ≠, 所以21,3,33a b a b +===-.此时2()(3)(3)f x x x =-+,()3(3)(1)f 'x x x =+-. 令()0f 'x =,得3x =-或1x =.列表如下:所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-.(3)因为0,1a c ==,所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++,2()32(1)f 'x x b x b =-++.因为01b <≤,所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>, 则()f 'x 有2个不同的零点,设为()1212,x x x x <.由()0f 'x =,得12x x ==.列表如下:所以()f x 的极大值()1M f x =.解法一:()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭ ()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤.因此427M ≤. 解法二:因为01b <≤,所以1(0,1)x ∈.当(0,1)x ∈时,2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-. 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈,则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 令()0g'x =,得1x =.列表如下:所以当13x =时,()g x 取得极大值,且是最大值,故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭.所以当(0,1)x ∈时,4()()27f x g x ≤≤,因此427M ≤. 7.解析:(I )由321()4f x x x x =-+,得23'()214f x x x =-+.令'()1f x =,即232114x x -+=,解得0x =或83x =.又88(0)0,(),327f f ==所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-,即y x =与6427y x =-.(II )令()()g x f x x =-,[]2,4x ∈-.由321()4g x x x =-得23'()24g x x x =-. 令'()0g x =得0x =或83x =.'(),()g x g x 随x 的变化情况如表所示所以()g x 的最小值为-6,最大值为0,所以6()0g x -≤≤,即6()x f x x -≤≤. (III )由(II )知,当3a ≤-时,()()()003M a F g a a ≥=-=->; 当3a >-时,()()()2263M a F g a a ≥-=--=+>; 当3a =-时,()3M a =. 综上,当()M a 最小时,3a =-.8.解析 (Ⅰ)由已知,有'()e (cos sin )x f x x x =-.因此,当52,244x k k ππ⎛⎫∈π+π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时,有sin cos x x >,得()'0f x <,则()f x 单调递减;当32,244x k k ππ⎛⎫∈π-π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时,有sin cos x x <,得()'0f x >,则()f x 单调递增.所以,()f x 的单调递增区间为32,2(),()44k k k f x ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z . (Ⅱ)记()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭.依题意及(Ⅰ),有()e (cos sin )xg x x x =-,从而'()2e sin x g x x =-.当ππ,42x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()'0g x <, 故'()'()'()()(1)'()022h x f x g x x g x g x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此,()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以,当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭.(Ⅲ)依题意,()()10n n u x f x =-=,即cos e 1n xn x =.记2n n y x n =-π,则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 且()()()22e cos ecos 2e n n yx n n n n n n f y y x n -π-π==-π=∈N .由()()20e 1n n f y f y -π==及(Ⅰ),得0n y y . 由(Ⅱ)知,当,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()'0g x <,所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数,因此()()004n g y g y g π⎛⎫<= ⎪⎝⎭.又由(Ⅱ)知,()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-⎪⎝⎭, 故()()()()()022*******2sin cos sin c e e e e os e n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π-π-π-ππ--=-=<--. 所以,20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-.2010-2018年1.A 【解析】∵21()[(2)1]x f x x a x a e-'=+++-,∵(2)0f '-=,∴1a =-,所以21()(1)x f x x x e-=--,21()(2)x f x x x e-'=+-,令()0f x '=,解得2x =-或1x =,所以当(,2)x ∈-∞-,()0f x '>,()f x 单调递增;当(2,1)x ∈-时,()0f x '<,()f x 单调递减;当(1,)x ∈+∞,()0f x '>,()f x 单调递增,所以()f x 的极小值为11(1)(111)1f e-=--=-,选A .2.D 【解析】由导函数的图象可知,()y f x =的单调性是减→增→减→增,排除 A 、C ;由导函数的图象可知,()yf x =的极值点一负两正,所以D 符合,选D . 3.D 【解析】当0x时,令函数2()2x f x x e =-,则()4x f x x e '=-,易知()f x '在[0,ln 4)上单调递增,在[ln 4,2]上单调递减,又(0)10f '=-<,1()202f '=->,(1)40f e '=->,2(2)80f e '=->,所以存在01(0,)2x ∈是函数()f x 的极小值点,即函数()f x 在0(0,)x 上单调递减,在0(,2)x 上单调递增,且该函数为偶函数,符合 条件的图像为D .4.B 【解析】(解法一)2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意,当2m >时,822n m --≥-即212m n +≤.2262m nm n +⋅≤≤18mn ∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,8122n m --≤-即218m n +≤.2292m n m n +⋅≤≤812mn ∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以(182)(1828)816mn n n =-<-⨯⨯=,所以最大值为18.选B .(解法二)由已知得()(2)8f x m x n '=-+-,对任意的1[,2]2x ∈,()0f x '≤,所以1()02()0f f x ⎧'⎪⎨⎪'⎩≤≤,即0,021822m n m n m n ⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤≤.画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,令mn t =,则当0n时,0t ,当0n ≠时,tm n=,由线性规划的相关知识,只有当直线212m n +=与曲线t mn 相切时,t 取得最大值,由212192tn t n n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得6n ,18t ,所以max ()18mn =,选B .5.A 【解析】令()()f x h x x,因为()f x 为奇函数,所以()h x 为偶函数,由于 2()()()xf x f x h x x '-'=,当0x 时,'()()xf x f x - 0<,所以()h x 在(0,)+∞ 上单调递减,根据对称性()h x 在(,0)-∞上单调递增,又(1)0f -=,(1)0f ,数形结合可知,使得()0f x 成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-.6.D 【解析】由题意可知存在唯一的整数0x ,使得000(21)-<-xe x ax a ,设()(21)=-x g x e x ,()=-h x ax a ,由()(21)x g x e x '=+,可知()g x 在1(,)2-∞-上单调递减,在1(,)2-+∞上单调递增,作出()g x 与()h x 的大致图象如图所示,-a故(0)(0)(1)(1)>⎧⎨--⎩h g h g ≤,即132<⎧⎪⎨--⎪⎩a a e ≤,所以312a e ≤. 7.D 【解析】∵()ln f x kx x =-,∴1()f x k x'=-,∵()f x 在(1,)+∞单调递增, 所以当1x > 时,1()0f x k x '=-≥恒成立,即1k x≥在(1,)+∞上恒成立,∵1x >,∴101x<<,所以k ≥1,故选D .8.A 【解析】法一 由题意可知,该三次函数满足以下条件:过点(0,0),(2,0),在(0,0)处的切线方程为y x =-,在(2,0)处的切线方程为36y x =-,以此对选项进行检验.A 选项,321122y x x x =--,显然过两个定点,又2312y x x '=--, 则02|1,|3x x y y ==''=-=,故条件都满足,由选择题的特点知应选A .法二 设该三次函数为32()f x ax bx cx d =+++,则2()32f x ax bx c '=++由题设有(0)0(2)0(0)1(2)3f f f f =⎧⎪=⎪⎨'=-⎪⎪'=⎩,解得11,,1,022a b c d==-=-=.故该函数的解析式为321122y x x x =--,选A .9.C 【解析】由正弦型函数的图象可知:()f x 的极值点0x 满足0()f x =,则22x k m πππ=+()k Z ∈,从而得01()()2x k m k Z =+∈.所以不等式()22200[]x f x m +<,即为2221()32k m m ++<,变形得21[1()]32m k -+>,其中k Z ∈.由题意,存在整数k 使得不等式21[1()]32m k -+>成立.当1k ≠-且0k ≠时,必有21()12k +>,此时不等式显然不能成立, 故1k =-或0k =,此时,不等式即为2334m >,解得2m <-或2m >. 10.A 【解析】设所求函数解析式为()y f x =,由题意知(5)2,52f f =--=(),且(5)0f '±=,代入验证易得3131255y x x =-符合题意,故选A . 11.C 【解析】当(0,1]x ∈时,得321113()4()a x x x --+≥,令1t x=,则[1,)t ∈+∞,3234a t t t --+≥,令()g t =3234t t t --+,[1,)t ∈+∞,则()2981(1)(91)g x t t t t '=--+=-+-,显然在[1,)+∞上,()0g t '<,()g t 单调递减,所以max ()(1)6g t g ==-,因此6a -≥;同理,当[2,0)x ∈-时,得2a -≤.由以上两种情况得62a --≤≤. 显然当0x =时也成立,故实数a 的取值范围为[6,2]--.12.C 【解析】设()ln x f x e x =-,则1()xf x e x'=-,故()f x 在(0,1)上有一个极值点,即()f x 在(0,1)上不是单调函数,无法判断1()f x 与2()f x 的大小,故A 、B 错;构造函数()x e g x x =,2(1)()x e x g x x-'=,故()g x 在(0,1)上单调递减,所以()()12g x g x >,选C .13.【解析】B 当0a =,可得图象D ;记2()2a f x ax x =-+,232()2g x a x ax =-+ ()x a a R +∈,取12a =,211()(1)24f x x =--,令()0g x '=,得2,23x =,易知()g x 的极小值为1(2)2g =,又1(2)4f =,所以(2)(2)g f >,所以图象A 有可能;同理取2a =,可得图象C 有可能;利用排除法可知选B .14.C 【解析】若0c =则有(0)0f =,所以A 正确.由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++,因为函数32y x ax bx =++的对称中心为(0,0),所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ,所以B 正确.由三次函数的图象可知,若0x 是()f x 的极小值点,则极大值点在0x 的左侧,所以函数在区间0(,)x -∞单调递减是错误的,D 正确.选C .15.A 【解析】法一:由题意可得,00sin y x =[1,1]∈-,而由()f x =0[0,1]y ∈,当0a =时,()f x∴0[0,1]y ∈时,0()[1f x ∈.∴0(())1f f y >.∴ 不存在0[0,1]y ∈使00))((y y f f =成立,故B ,D 错;当1a e =+时,()f x当0[0,1]y ∈时,只有01y =时()f x 才有意义,而(1)0f =, ∴ ((1))(0)f f f =,显然无意义,故C 错.故选A .法二:显然,函数()f x 是增函数,()0f x ≥,从而以题意知0[0,1]y ∈.于是,只能有00()f y y =.不然的话,若00()f y y >,得000(())()f f y f y y >>, 与条件矛盾;若00()f y y <,得000(())()f f y f y y <<,与条件矛盾. 于是,问题转化为()f t t =在[0,1]上有解.由t =2tt e t a =+-,分离变量,得2()ta g t e t t ==-+,[0,1]t ∈因为()210tg t e t '=-+>,[0,1]t ∈,所以,函数()g t 在[0,1]上是增函数,于是有1(0)()(1)g g t g e ==≤≤, 即[1,]a e ∈,应选A .16.D 【解析】A .0,()()x R f x f x ∀∈≤,错误.00(0)x x ≠是()f x 的极大值点,并不是最大值点;B .0x -是()f x -的极小值点.错误.()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像,故0x -应是()f x -的极大值点;C .0x -是()f x -的极小值点.错误.()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像,故0x 应是()f x -的极小值点.跟0x -没有关系;D .0x -是()f x --的极小值点.正确.()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对称,再关于x 轴的对称图像.故D 正确.17.B 【解析】∵21ln 2y x x =-,∴1y x x'=-,由0y ',解得11x -,又0x >,∴01x<故选B .18.D 【解析】()xf x xe =,()(1)xf x e x '=+,0>x e 恒成立,令()0f x '=,则1-=x当1-<x 时,()0f x '<,函数单调减,当1->x 时,()0f x '>,函数单调增, 则1x =-为()f x 的极小值点,故选D .19.D 【解析】2()1222f x x ax b '=--,由(1)0f '=,即12220a b --=,得6a b +=.由0a >,0b >,所以2()92a b ab +=≤,当且仅当3a b ==时取等号.选D .20.D 【解析】若1x =-为函数()xf x e 的一个极值点,则易知a c =,∵选项A ,B 的函数为2()(1)f x a x =+,∴[()][()()](1)(3)xxxf x e f x f x e a x x e '=+=++,∴1x =-为函数()xf x e 的一个极值点满足条件;选项C 中,对称轴02bx a=->, 且开口向下,∵0,0a b <>,∴(1)20f a b -=-<,也满足条件; 选项D 中,对称轴02bx a=-<,且开口向上,∴0,2a b a >>, ∴(1)20f a b -=-<,与题图矛盾,故选D .21.D 【解析】由题2||ln MN x x =-,(0)x >不妨令2()ln h x x x =-,则1'()2h x x x=-,令'()0h x =解得2x =,因2x ∈时,'()0h x <,当)x ∈+∞时,'()0h x >,所以当x =时,||MN 达到最小.即2t =. 22.①③④⑤ 【解析】 令32(),()3f x x ax b f x x a '=++=+,当0a ≥时,()0f x '≥,则()f x 在R 上单调递增函数,此时30x ax b ++=仅有一个实根,所以(4)(5)对; 当3a =-时,由2()330f x x '=-<得11x -<<,所以1x = 是()f x 的极小值点.由(1)0f >,得31310b -⋅+>,即2b >,(3)对.1x =- 是()f x 的极大值点, 由(1)0f -<,得3(1)3(1)0b --⋅-+<,即2b <-,(1)对.23.①④【解析】(1)设12x >x ,函数2x 单调递增,所有122>2x x,120x x ,则m =1212()()f x f x x x --=121222x x x x >0,所以正确;(2)设1x >2x ,则120x x ->,则1212()()g x g x nx x 22121212()x x a x x x x12121212()()x x x x a x x a x x ,可令1x =1,2x =2,4a =-,则10n =-<,所以错误;(3)因为mn ,由(2)得:2121)()(x x x f x f --12x x a =++,分母乘到右边,右边即为12()()g x g x -,所以原等式即为12()()f x f x -=12()()g x g x -, 即为12()()f x g x -=12()()f x g x ,令()()()h x f x g x =-,则原题意转化为对于任意的a ,函数()()()h x f x g x =-存在不相等的实数1x ,2x 使得函数值相等,2()2x h x x ax =--,则()2ln 22x h x x a '=--,则()2(ln 2)2xh x ''=-,令0()0h x ''=,且012x <<,可得0()h x '为极小值. 若10000a =-,则0()0h x '>,即0()0h x '>,()h x 单调递增,不满足题意, 所以错误.(4)由(3) 得12()()f x f x -=12()()g x g x -,则1122()()()()f x g x g x f x +=+, 设()()()h x f x g x =+,有1x ,2x 使其函数值相等,则()h x 不恒为单调.2()2x h x x ax =++,()2ln 22x h x x a '=++,()2()2ln 220x h x ''=+>恒成立,()h x '单调递增且()0h '-∞<,()0h '+∞>.所以()h x 先减后增,满足题意,所以正确. 24.4【解析】当01x ≤时,()ln f x x ,()0g x ,此时方程|()()|1f x g x即为ln 1x 或ln 1x ,故x e 或1xe ,此时1x e符合题意,方程有一个实根. 当12x时,()ln f x x ,22()422g x x x ,方程|()()|1f x g x即为2ln 21x x 或2ln 21x x ,即2ln 10x x 或2ln 30x x ,令2ln 1yx x ,则120yx x,函数2ln 1y x x 在(1,2)x 上单调递减,且1x 时0y ,所以当12x 时,方程2ln 10x x 无解;令2ln 3yx x ,则120yx x,函数2ln 3y x x 在(1,2)x 上单调递减,且1x 时20y ,2x 时ln 210y ,所以当12x 时,方程2ln 30x x 有一个实根.当2x ≥时,()ln f x x ,2()6g x x ,方程|()()|1f x g x 即为2ln 61x x 或2ln 61x x ,即2ln 70x x 或2ln 50x x ,令2y ln 7x x ,则120yx x,函数2y ln 7x x 在[2,)x 上单调递增,且2x 时ln 230y ,3x 时ln320y ,所以当2x ≥时方程2ln 70x x有1个实根;同理2ln 50x x在[2,)x 有1个实根.故方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为4个.25.2【解析】由题意2()363(2)f x x x x x '=-=-,令()0f x '=得0x =或2x =.因0x <或2x >时,()0f x '>,02x <<时,()0f x '<. ∴2x =时()f x 取得极小值.26.【解析】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞,22211()1a x ax f x x x x-+'=--+=-. (i )若2≤a ,则()0'≤f x ,当且仅当2a =,1x =时()0f x '=,所以()f x 在(0,)+∞单调递减.(ii )若2a >,令()0f x '=得,x =或x =.当2()a a x +∈+∞时,()0f x '<;当x ∈时,()0f x '>.所以()f x在,)+∞单调递减,在单调递增.(2)由(1)知,()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点1x ,2x 满足210x ax -+=,所以121x x =,不妨设12x x <,则21x >.由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----,所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数1()2ln g x x x x=-+,由(1)知,()g x 在(0,)+∞单调递减,又(1)0g =,从而当(1,)x ∈+∞时,()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<,即1212()()2f x f x a x x -<--. 27.【解析】(1)当1=a 时,()1≥f x 等价于2(1)e10-+-≤xx .设函数2()(1)1-=+-xg x x e,则22()(21)(1)--=--+=--x x g'x x x e x e .当1≠x 时,()0<g'x ,所以()g x 在(0,)+∞单调递减. 而(0)0=g ,故当0≥x 时,()0≤g x ,即()1≥f x . (2)设函数2()1e -=-xh x ax .()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点.(i )当0≤a 时,()0>h x ,()h x 没有零点; (ii )当0a >时,()(2)e xh'x ax x -=-.当(0,2)∈x 时,()0<h'x ;当(2,)∈+∞x 时,()0>h'x .所以()h x 在(0,2)单调递减,在(2,)+∞单调递增. 故24(2)1e=-ah 是()h x 在[0,)+∞的最小值. ①若(2)0>h ,即2e 4<a ,()h x 在(0,)+∞没有零点;②若(2)0=h ,即2e 4=a ,()h x 在(0,)+∞只有一个零点;③若(2)0<h ,即2e 4>a ,由于(0)1=h ,所以()h x 在(0,2)有一个零点,由(1)知,当0>x 时,2e >xx ,所以33342241616161(4)11110e (e )(2)=-=->-=->a a a a a h a a a. 故()h x 在(2,4)a 有一个零点,因此()h x 在(0,)+∞有两个零点.综上,()f x 在(0,)+∞只有一个零点时,2e 4=a .28.【解析】(1)当0a =时,()(2)ln(1)2f x x x x =++-,()ln(1)1xf x x x'=+-+. 设函数()()ln(1)1xg x f x x x'==+-+,则2()(1)x g x x '=+. 当10x -<<时,()0g x '<;当0x >时,()0g x '>.故当1x >-时,()(0)0g x g =≥,且仅当0x =时,()0g x =,从而()0f x '≥,且仅当0x =时,()0f x '=. 所以()f x 在(1,)-+∞单调递增.又(0)0f =,故当10x -<<时,()0f x <;当0x >时,()0f x >.(2)(i )若0a ≥,由(1)知,当0x >时,()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ++->=≥,这与0x =是()f x 的极大值点矛盾. (ii )若0a <,设函数22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax==+-++++.由于当||min{x <时,220x ax ++>,故()h x 与()f x 符号相同. 又(0)(0)0h f ==,故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点.2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++.如果610a +>,则当6104a x a +<<-,且||min{x <时,()0h x '>, 故0x =不是()h x 的极大值点.如果610a +<,则224610a x ax a +++=存在根10x <,故当1(,0)x x ∈,且||min{x <时,()0h x '<,所以0x =不是()h x 的极大值点.如果610a +=,则322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--.则当(1,0)x ∈-时,()0h x '>; 当(0,1)x ∈时,()0h x '<.所以0x =是()h x 的极大值点,从而0x =是()f x 的极大值点 综上,16a =-. 29.【解析】(1)因为2()[(41)43]xf x ax a x a e =-+++,所以2()[2(41)][(41)43]xxf x ax a e ax a x a e '=-++-+++(x ∈R ) =2[(21)2]xax a x e -++.(1)(1)f a e '=-.由题设知(1)0f '=,即(1)0a e -=,解得1a =. 此时(1)30f e =≠. 所以a 的值为1.(2)由(1)得2()[(21)2](1)(2)x xf x ax a x e ax x e '=-++=--.若12a >,则当1(,2)x a∈时,()0f x '<; 当(2,)x ∈+∞时,()0f x '>. 所以()0f x <在2x =处取得极小值. 若12a ≤,则当(0,2)x ∈时,20x -<,11102ax x --<≤, 所以()0f x '>.所以2不是()f x 的极小值点. 综上可知,a 的取值范围是1(,)2+∞.30.【解析】(1)由已知,()ln xh x a x a =-,有()ln ln xh x a a a '=-.令()0h x '=,解得0x =.由1a >,可知当x 变化时,()h x ',()h x 的变化情况如下表:所以函数()h x 的单调递减区间(,0)-∞,单调递增区间为(0,)+∞.(2)证明:由()ln xf x a a '=,可得曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线斜率为1ln x a a .由1()ln g x x a'=,可得曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线斜率为21ln x a.因为这两条切线平行,故有121ln ln x a a x a =,即122(ln )1x x a a =.两边取以a 为底的对数,得21log 2log ln 0a a x x a ++=,所以122ln ln ()ln ax g x a+=-. (3)证明:曲线()y f x =在点11(,)xx a 处的切线1l :111ln ()xxy a a a x x -=⋅-.曲线()y g x =在点22(,log )a x x 处的切线2l :2221log ()ln a y x x x x a-=⋅-. 要证明当1ee a ≥时,存在直线l ,使l 是曲线()yf x =的切线,也是曲线()yg x =的切线,只需证明当1ee a ≥时,存在1(,)x ∈-∞+∞,2(0,)x ∈+∞,使得l 1和l 2重合.即只需证明当1e e a ≥时,方程组1112121ln ln 1ln log ln x x x a a a x a a x a a x a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩①②有解,由①得1221(ln )x x a a =,代入②,得111112ln ln ln 0ln ln x x a a x a a x a a-+++=. ③ 因此,只需证明当1ee a ≥时,关于1x 的方程③有实数解. 设函数12ln ln ()ln ln ln x xau x a xa a x a a=-+++, 即要证明当1ee a ≥时,函数()y u x =存在零点.2()1(ln )x u x a xa '=-,可知(,0)x ∈-∞时,()0u x '>;(0,)x ∈+∞时,()u x '单调递减,又(0)10u '=>,21(ln )21()10(ln )a u a a '=-<, 故存在唯一的0x ,且00x >,使得0()0u x '=,即0201(ln )0x a x a-=.由此可得()u x 在0(,)x -∞上单调递增,在0(,)x +∞上单调递减.()u x 在0x x =处取得极大值0()u x .因为1ee a ≥,故ln(ln )1a -≥, 所以0000012ln ln ()ln ln ln xxau x a x a a x a a=-+++02012ln ln 22ln ln 0(ln )ln ln a ax x a a a+=++≥≥. 下面证明存在实数t ,使得()0u t <. 由(1)可得1ln xa x a +≥, 当1ln x a>时, 有12ln ln ()(1ln )(1ln )ln ln a u x x a x a x a a+-+++≤ 2212ln ln (ln )1ln ln aa x x a a=-++++,所以存在实数t ,使得()0u t <因此,当1ee a ≥时,存在1(,)x ∈-∞+∞,使得1()0u x =.所以,当1ee a ≥时,存在直线l ,使l 是曲线()yf x =的切线,也是曲线()yg x =的切线.31.【解析】(1)函数()f x x =,2()22g x x x =+-,则()1f x '=,()22g x x '=+.由()()f x g x =且()()f x g x ''=,得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩,此方程组无解,因此,()f x 与()g x 不存在“S 点”. (2)函数2()1f x ax =-,()ln g x x =, 则1()2()f x ax g x x'='=,. 设0x 为()f x 与()g x 的“S 点”,由00()()f x g x =且00()()f x g x ''=,得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,(*) 得01ln 2x =-,即120e x -=,则1221e 22(e )a -==. 当e2a =时,120e x -=满足方程组(*),即0x 为()f x 与()g x 的“S 点”.因此,a 的值为e 2. (3)对任意0a >,设32()3h x x x ax a =--+.因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<,,且()h x 的图象是不间断的,所以存在0(0,1)x ∈,使得0()0h x =.令03002e (1)x x b x =-,则0b >.函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=,,则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′,′.由()()f x g x =且()()f x g x ''=,得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩,即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩,(**) 此时,0x 满足方程组(**),即0x 是函数()f x 与()g x 在区间(0,1)内的一个“S 点”. 因此,对任意0a >,存在0b >,使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”. 32.【解析】(1)函数()f x的导函数1()f x x'=-, 由12()()f x f x ''=1211x x -=-, 因为12x x ≠12=.= 因为12x x ≠,所以12256x x >.由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x +=+=.设()ln g x x =,则1()4)4g x x'=,所以所以()g x 在[256,)+∞上单调递增, 故12()(256)88ln 2g x x g >=-,即12()()88ln 2f x f x +>-. (2)令(||)a k m e-+=,2||1()1a n k+=+,则 ()||0f m km a a k k a -->+--≥,()))0a f n kn a n k n k n --<---<≤ 所以,存在0(,)x m n ∈使00()f x kx a =+,所以,对于任意的a ∈R 及(0,)k ∈+∞,直线y kx a =+与曲线()y f x =有公共点.由()f x kx a =+得ln x ak x-=.设ln ()x ah x x-=,则22ln 1()12()x ag x a h x x x --+--+'==,其中()ln 2g x x =-. 由(1)可知()(16)g x g ≥,又34ln 2a -≤, 故()1(16)134ln 2g x a g a a --+--+=-++≤,所以()0h x '≤,即函数()h x 在(0,)+∞上单调递减,因此方程()0f x kx a --=至多1个实根.综上,当34ln 2a -≤时,对于任意0k >,直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.33.【解析】(1)()f x 的定义域为(,)-∞+∞,2()2(2)1(1)(21)x x x x f x ae a e ae e '=+--=-+,(ⅰ)若0a ≤,则()0f x '<,所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. (ⅱ)若0a >,则由()0f x '=得ln x a =-.当(,ln )x a ∈-∞-时,()0f x '<;当(ln ,)x a ∈-+∞时,()0f x '>, 所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减,在(ln ,)a -+∞单调递增. (2)(ⅰ)若0a ≤,由(1)知,()f x 至多有一个零点.(ⅱ)若0a >,由(1)知,当ln x a =-时,()f x 取得最小值,最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+.①当1a =时,由于(ln )0f a -=,故()f x 只有一个零点; ②当(1,)a ∈+∞时,由于11ln 0a a-+>,即(ln )0f a ->,故()f x 没有零点; ③当(0,1)a ∈时,11ln 0a a-+<,即(ln )0f a -<. 又422(2)e(2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>,故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln(1)n a>-,则00000000()e (e 2)e 20nnnnf n a a n n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a->-,因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点. 综上,a 的取值范围为(0,1).34.【解析】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞.设()ln g x ax a x =--,则()()f x xg x =,()0f x ≥等价于()0g x ≥. 因为(1)0g =,()0g x ≥,故(1)0g '=,而1()g x a x'=-,(1)1g a '=-,得1a =. 若1a =,则1()1g x x'=-.当01x <<时,()0g x '<,()g x 单调递减;当1x >时,()0g x '>,()g x 单调递增.所以1x =是()g x 的极小值点,故()(1)0g x g =≥.综上,1a =.(2)由(1)知2()ln f x x x x x =--,()22ln f x x x '=--. 设()22ln h x x x =--,则1()2h x x'=-. 当1(0,)2x ∈时,()0h x '<;当1(,)2x ∈+∞时,()0h x '>.所以()h x 在1(0,)2单调递减,在1(,)2+∞单调递增.又2()0h e ->,1()02h <,(1)0h =,所以()h x 在1(0,)2有唯一零点0x ,在1[,)2+∞有唯一零点1,且当0(0,)x x ∈时,()0h x >;当0(,1)x x ∈时,()0h x <;当(1,)x ∈+∞时,()0h x >.因此()()f x h x '=,所以0x x =是()f x 的唯一极大值点. 由0()0f x '=得00ln 2(1)x x =-,故000()(1)f x x x =-. 由0(0,1)x ∈得,01()4f x <. 因为0x x =是()f x 在(0,1)的最大值点,由1(0,1)e -∈,1()0f e -'≠得120()()f x f e e -->=.所以220()2ef x --<<.35.【解析】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞.①若a 0≤,因为11()ln 2022f a =-+<,所以不满足题意; ②若>0a ,由()1a x a f 'x x x-=-=知,当()0x ,a ∈时,()<0f 'x ;当(),+x a ∈∞时,()>0f 'x ,所以()f x 在(0,)a 单调递减,在(,)a +∞单调递增,故x a =是()f x 在(0,)+∞的唯一最小值点.由于()10f =,所以当且仅当a =1时,()0f x ≥. 故a =1.(2)由(1)知当(1,)x ∈+∞时,1ln 0x x -->令112n x =+得11ln(1)22n n+<,从而 221111111ln(1)ln(1)ln(1)112222222n n n ++++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+=-<故2111(1)(1)(1)222n e ++⋅⋅⋅+<而23111(1)(1)(1)2222+++>,所以m 的最小值为3.36.【解析】(Ⅰ)因为(21)121x x x '--=--,()x xe e --'=- 所以 ()(1)(21)21x x f x e x x e x --'=----- (1)(212)21xx x e x ----=-1()2x > (Ⅱ)由(1)(212)()021xx x e f x x ----'==-错误!未找到引用源。
(完整版)高中导数经典知识点及例题讲解
§ 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题自学引导1.通过实例分析,了解平均变化率的实际意义.2.会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身1.函数f (x )在区间[x 1,x 2]上的平均变化率为ΔyΔx=________. 2.平均变化率另一种表示形式:设Δx =x -x 0,则ΔyΔx=________,表示函数y =f (x )从x 0到x 的平均变化率.1.f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1答 案2.f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx名师讲解1.如何理解Δx ,Δy 的含义Δx 表示自变量x 的改变量,即Δx =x 2-x 1;Δy 表示函数值的改变量,即Δy =f (x 2)-f (x 1).2.求平均变化率的步骤求函数y =f (x )在[x 1,x 2]内的平均变化率. (1)先计算函数的增量Δy =f (x 2)-f (x 1). (2)计算自变量的增量Δx =x 2-x 1.(3)得平均变化率Δy Δx =f x 2-f x 1x 2-x 1.对平均变化率的认识函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势,且区间长度越小,表现得越精确.如函数y =sin x 在区间[0,π]上的平均变化率为0,而在[0,π2]上的平均变化率为sin π2-sin0π2-0=2π.在平均变化率的意义中,f (x 2)-f (x 1)的值可正、可负,也可以为零.但Δx =x 2-x 1≠0.典例剖析题型一求函数的平均变化率例1 一物体做直线运动,其路程与时间t的关系是S=3t-t2.(1)求此物体的初速度;(2)求t=0到t=1的平均速度.分析t=0时的速度即为初速度,求平均速度先求路程的改变量ΔS=S(1)-S(0),再求时间改变量Δt=1-0=1.求商ΔSΔt就可以得到平均速度.解(1)由于v=St=3t-t2t=3-t.∴当t=0时,v0=3,即为初速度.(2)ΔS=S(1)-S(0)=3×1-12-0=2 Δt=1-0=1∴v=ΔSΔt=21=2.∴从t=0到t=1的平均速度为2.误区警示本题1不要认为t=0时,S=0.所以初速度是零.变式训练1 已知函数f(x)=-x2+x的图像上一点(-1,-2)及邻近一点(-1+Δx,-2+Δy),则ΔyΔx=( )A.3 B.3Δx-(Δx)2 C.3-(Δx)2D.3-Δx 解析Δy=f(-1+Δx)-f(-1)=-(-1+Δx)2+(-1+Δx)-(-2)=-(Δx)2+3Δx.∴ΔyΔx=-Δx2+3ΔxΔx=-Δx+3答案D题型二平均变化率的快慢比较例2 求正弦函数y=sin x在0到π6之间及π3到π2之间的平均变化率.并比较大小.分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率,再比较大小.解设y=sin x在0到π6之间的变化率为k1,则k 1=sinπ6-sin0π6-0=3π.y =sin x 在π3到π2之间的平均变化率为k 2,则k 2=sin π2-sin π3π2-π3=1-32π6=32-3π.∵k 1-k 2=3π-32-3π=33-1π>0,∴k 1>k 2.答:函数y =sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π,在π3到π2之间的平均变化率为32-3π,且3π>32-3π.变式训练2 试比较余弦函数y =cos x 在0到π3之间和π3到π2之间的平均变化率的大小.解 设函数y =cos x 在0到π3之间的平均变化率是k 1,则k 1=cos π3-cos0π3-0=-32π.函数y =cos x 在π3到π2之间的平均变化率是k 2,则k 2=cosπ2-cos π3π2-π3=-3π.∵k 1-k 2=-32π-(-3π)=32π>0,∴k 1>k 2.∴函数y =cos x 在0到π3之间的平均变化率大于在π3到π2之间的平均变化率.题型三 平均变化率的应用例3 已知一物体的运动方程为s (t )=t 2+2t +3,求物体在t =1到t =1+Δt 这段时间内的平均速度.分析 由物体运动方程―→写出位移变化量Δs ―→ΔsΔt解 物体在t =1到t =1+Δt 这段时间内的位移增量 Δs =s (1+Δt )-s (1)=[(1+Δt )2+2(1+Δt )+3]-(12+2×1+3) =(Δt )2+4Δt .物体在t =1到t =1+Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt =(Δt )2+4ΔtΔt=4+Δt .变式训练3 一质点作匀速直线运动,其位移s 与时间t 的关系为s (t )=t 2+1,该质点在[2,2+Δt ](Δt >0)上的平均速度不大于5,求Δt 的取值范围.解 质点在[2,2+Δt ]上的平均速度为v -=s 2+Δt -s 2Δt=[2+Δt 2+1]-22+1Δt=4Δt +Δt2Δt=4+Δt .又v -≤5,∴4+Δt ≤5. ∴Δt ≤1,又Δt >0,∴Δt 的取值范围为(0,1]. § 1.1 函数的单调性与极值 1.1.2 导数的概念自学引导1.经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念建立的一些实际背景.2.了解瞬时变化率的含义,知道瞬时变化率就是导数.3.掌握函数f (x )在某一点x 0处的导数定义,并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点x 0处的导数.课前热身1.瞬时速度.设物体的运动方程为S =S (t ),如果一个物体在时刻t 0时位于S (t 0),在时刻t 0+Δt 这段时间内,物体的位置增量是ΔS =S (t 0+Δt )-S (t 0).那么位置增量ΔS 与时间增量Δt 的比,就是这段时间内物体的________,即v =S t 0+Δt -S t 0Δt.当这段时间很短,即Δt 很小时,这个平均速度就接近时刻t 0的速度.Δt 越小,v 就越接近于时刻t 0的速度,当Δt →0时,这个平均速度的极限v =lim Δt →0ΔS Δt =lim Δt →0S t 0+Δt -S t 0Δt就是物体在时刻t 0的速度即为________. 2.导数的概念.设函数y =f (x )在区间(a ,b )上有定义,x 0∈(a ,b ),当Δx 无限趋近0时,比值Δy Δx =f x 0+Δx -f x 0Δx无限趋近于一个常数A ,这个常数A 就是函数f (x )在点x =x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|x =x 0.用符号语言表达为f ′(x 0)=lim Δx →0Δy Δx=________1.平均速度 瞬时速度 答 案2.lim Δx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx名师讲解1.求瞬时速度的步骤(1)求位移增量ΔS =S (t +Δt )-S (t );(2)求平均速度v =ΔS Δt;(3)求极限limΔt→0ΔSΔt=limΔt→0S t +Δt-S tΔt;(4)若极限存在,则瞬时速度v=limΔt→0ΔS Δt.2.导数还可以如下定义一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是limΔx→0f x+Δx-f x0Δx=limΔx→0ΔyΔx.我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数.记作f′(x0)或y′|x=x,即f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f x+Δx-f x0Δx.3.对导数概念的理解(1)“导数”是从现实生活中大量类似问题里,撇开一些量的具体意义,单纯地抓住它们数量上的共性而提取出来的一个概念,所以我们应很自然的理解这个概念的提出与其实际意义.(2)某点导数即为函数在这点的变化率.某点导数概念包含着两层含义:①limΔx→0ΔyΔx存在,则称f(x)在x=x0处可导并且导数即为极限值;②limΔx→0ΔyΔx不存在,则称f(x)在x=x0处不可导.(3)Δx称为自变量x的增量,Δx可取正值也可取负值,但不可以为0.(4)令x=x0+Δx,得Δx=x-x0,于是f′(x)=limx→x0f x-f xx-x与定义中的f′(x0)=limΔx→0f x+Δx-f x0Δx意义相同.4.求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数的增量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0);(2)求平均变化率:ΔyΔx=f x+Δx-f x0Δx;(3)取极限,得导数:f′(x0)=limΔx→0Δy Δx.典例剖析题型一物体运动的瞬时速度例1 以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体,t秒时高度为s(t)=v0t-12gt2,求物体在时刻t0处的瞬时速度.分析先求出Δs,再用定义求ΔsΔt,当Δt→0时的极限值.解∵Δs=v0(t0+Δt)-12g(t+Δt)2-(v0t0-12gt2)=(v0-gt0)Δt-12g(Δt)2,∴ΔsΔt=v0-gt0-12g·Δt.∴当Δt→0时,ΔsΔt→v0-gt0.故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0-gt0.规律技巧瞬时速度v是平均速度v在Δt→0时的极限.因此,v=limΔt→0v=limΔt→0ΔsΔt.变式训练1 一作直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s=5t-t2,求此物体在t=2时的瞬时速度。
71知识讲解_导数的综合应用题(提高)(文)
导数及其应用》全章复习与巩固学习目标】能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题:例如利润最大、用料最省、效率最高等问要点梳理】 要点一:有关切线问题 直线与曲线相切,我们要抓住三点: ① 切点在切线上; ② 切点在曲线上;③ 切线斜率等于曲线在切点处的导数值 要点诠释: 通过以上三点可以看出,抓住切点是解决此类题的关键,有切点直接求,无切点则设切点,布列方程要点二:有关函数单调性的问题要点诠释:则 f '(x) 0.2) f '(x) 0或 f'(x) 0恒成立,求参数值的范围的方法: ① 分离参数法: m g(x)或m g(x).1 )如果恒有 f '(x) 0,则函数f(x)在(a , b )内为增函数; 2)如果恒有 f '(x) 0,则函数f(x)在(a , b )内为减函数; 3)如果恒有 f '(x) 0,则函数f (x)在(a , b )内为常数函数.设函数 y f (x) 在区间1. 会利用导数解决曲线的切线的问题2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题组.4. (a , b )内可导,(1)若函数f(x)在区间(a , b )内单调递增,则f'(X) 0,若函数f(x)在(a , b )内单调递减,② 若不能隔离参数,就是求含参函数 f(x,m) 的最小值 f(x,m)min或是求含参函数 f(x,m) 的最大值 f(x,m)max ,使 f ( x, m)max 0) 要点三:函数极值、最值的问题 函数极值的问题求方程 f (x) 0 的根;负右正,则 f(x) 在这个根处取得极小值 .( 最好通过列表法 ) 要点诠释: ① 先求出定义域② 一般都要列表:然后看在每个根附近导数符号的变化:若由正变负,则该点为极大值点; 变正,则该点为极小值点注意:无定义的点不用在表中列出③ 根据表格给出结论:注意一定指出在哪取得极值 函数最值的问题若函数y f (x)在闭区间[a,b ]有定义,在开区间(a,b)内有导数,则求函数y f (x)在[a,b ]上的最 大值和最小值的步骤如下:求在(a,b)内所有使f(X) 0的的点的函数值和 f(x)在闭区间端点处的函数值 f (a), f (b);y f (x)在闭区间[a,b ]上的最小值.要点诠释: ①求函数的最值时,不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值,只需将导数为0的点和端点的 函数值进行比较即可 .使f ( x, m)min 01) 确定函数的定义域; 2) 求导数 f (x) ;4) 检查f'(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则f(x) 在这个根处取得极大值;如果左若由负1) 求函数f (x)在(a, b)内的导数f(X); 2) 求方程f(X)0在(a,b)内的根;4) 比较上面所求的值,其中最大者为函数y f(x)在闭区间[a,b ]上的最大值,最小者为函数② 若f (x )在开区间(a,b )内可导,且有唯一的极大(小)值,则这一极大(小)值即为最大(小)值 要点四:优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题,常常可以归结为函数的最大值问题,从而可 用导数来解决.我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具,导数在实际生活中的应用主要是解决 有关函数最大值、最小值的实际问题利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤:分析实际问题中各量之间的关系,找出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y f (x );求函数的导数f '(X ),解方程f '(X ) 0 ; 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小,最大 (小)者为最大(小)值.要点诠释:①解决优化问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定 函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适当的函数关系 相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具. 利用导数解决优化问题的基本思路:②得出变量之间的关系 y f (X )后,必须由实际意义确定自变量 X 的取值范围;③ 在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.④ 在求实际问题的最大(小)值时,一定要注意考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去. 【典型例题】类型一: 利用导数解决有关切线问题例1.若直线y kx 与曲线y X 3 3X 22X 相切,试求k 的值. 【思路点拨】当切点未知时,应先设出切点.【解析】 设y kx 与y X 33X 22X 相切于P (X o ,y 0)(1) .再通过研究f '(X ) 0的情形,如果函数在这点有极大又 y' 3x 26x 2••• k y'I xx . 3x o 2 6x o 2,③由①②③得:(3x o 26x o 2) x o = X o 33x o 2即(2x o 3)x 1 二 X o 0或X o举一反三:物线方程和抛物线上的切点坐标.f (x) 3x 2 2x故抛物线方程为y 232x ,切点为(2,8).类型二:利用导数解决有关函数单调性、极值最值的问题存在,请说明理由.则y kx o ①3 o 2 yX o3x o2x 0,②【总结升华】当切点未知时,要先设切点,然后根据直线与曲线相切的三个关系列方程组, 从而求得参数 【变式】 已知曲线f(x)X 3 X 2X 3在X1处的切线恰好与抛物线2px(p 0)相切,求抛【答案】 f( 1)2 , •••曲线 y f(X)上的切点为 A( —1,2).•••切线方程为y 2 2(x 1),即 y 2x 4.设抛物线上的切点为 B(x o , y o ),显然抛物线上的切点在抛物线的上半支, 抛物线上半支的方程为y J2px ,2J x o2,得 P 8x o又•••点B 在切线上,••• 2x o 4 由(1)(2)求得 P 16, x o 2y o 8.例2.已知定义在 R 上的函数 f (X) ^x 3-(a 4)x 23 2的区间,对任意的a 的可能取值,函数f(X)在该区间上都是单调递增的?若存在,求出这样的区间;2(2 a)x a , 1,1],问:是否存在这样若不【思路点拨】求出 f (X )后,要根据题意把它视为关于 a 的函数.【变式2】函数f (X )X22sin X 的图象大致是(2)a X 24x 4,则g (a )为a 的一次(型)函数,[1,1]恒成立 不等式g (a ) 0对任意a [ 1,1]恒成立,(,1)和(3,),对任意的a [ 1,1],函数f (X )在该区间内均是单调递增函数 【总结升华】①函数单调的等价含义即函数的导数恒正(或恒负) ②一次函数的图象多为线段,所以其恒正问题,即线段的两端点值均正 举一反三:X 恰有三个单调区间,试确定 a 的取值范围,并求出这三个单调区间2 13a(X 一) 3a(X 3a由f (X ) 0得X由f (X ) 0,得.——J 3a•••综上可知,当a 0时, f (X )恰有三个单调区间:1减区间(,占(了【答案】 f(X) 3ax 2(1) (X) 1 0(X R ),此时f (X )只有一个增区间 ),与题设矛盾;(2)(X )1 0 ,此时f (X )只有一个增区间),与题设矛盾;【解析】令g (a ) (X 0对任意ag(1) g( 1)0即 X 23X 2 0,解得X 1或X 3 5X 6 0•••当 X ( ,1)或 X (3,)时f (X )0对任意a [ 1,1]恒成立 •••对任意a [1,1], f (x )在(,1)或(3,)上都是单调递增的•••存在区间 【变式1】若f (X ) ax 30时,(X) 【高清课堂:导数的应用综合 370878 例题1】【答案】C则有x0,^3%1g (x)- 0 +g(x)1减极小值增1JJ4 0 fk7V Iw J首先易判断函数为奇函数,排除A ,求导后解导数大于零可得周期性区间,从而排除B 、D,故选C.3例3.已知a € R ,函数f(x) 4x 2ax a , (1)求f(x)的单调区间,(2)证明:当 0 < x < 1 时,f(x)+ 2 a > 0.【思路点拨】(1)求导后对参数进行分类讨论,由导函数的正负号求出原函数的单调区间; (2)首先要考虑去掉绝对值, 显然要分类讨论,其次是要证明高次函数在所给区间恒大于零,构造函数,利用导函数的知识解决.【解析】(1) 由题意得f(X)12x 22a ,当a 0时,f (x) 0恒成立,此时 f(x)的单调递增区间为当a 0时,12(x 香)(x若),此时函数f(x)的单调递增区间为⑵由于0 x 1,当 a 2 时,f (x) 4x 3 当a 2时,f (x) a 2 4x 3 2a(1 x) 2 4x 3设 g(x) 2x 3 2x 1,0 x 1,则 g (x) 6x 22 2ax 2 4x 34x 4(1 x) 2 4x73 6(x.)(x2.S H X4C4B 0a a 66). 2.34x1 …x 1.所以g(x)min g 芒)1羊0.39 当 0 x 1 时,2x 32x 1 0.【总结升华】导数式含参数时,如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点 举一反三:【高清课堂:导数的应用综合370878 例题4】【答案】••• f(x)在(0, 1)上是增函数,••• x €( 0 , 1)时,f ’(x)=3ax 2+2x>0 恒成立,2即a 一对x €( 0, 1 )恒成立,3x•••—在(0 , 1)上单调增,3x又 f (1) a 2 1.27a 2•- f(x)在(0,1)上的最大值为故 f(X) a 2 4x 3 4x 2 0.【变式】 已知函数 f(x)=ax 3+x 2+1,x € (0 , 1](1) 若f(x)在 (0,1)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2) 求f(x)在 (0, 1)上的最大值.(1) f ’(x)=3ax 2+2x ,••• x=12时,—取最大值3x |(a2 3,2-时也符合题意),则a 3(2)①当a ②当a 2 2时 3 2 2—时,令f '(x) 3ax 2x 0,由x 0 ,得x3 2 一时,f '(x) 0;当 3a 2 f (x)在(0 ,1)上单调增, f(x)max f(1) a 2. 23a 2 3a 4 27a 2x 1 时,f '(x) 0,1…x1.4 27a 2例 4.设函数 f(X) x(x a)2( x R ),其中 a R .【解析】5x y 80.(1)若,当变化时,的正负如下表:aaa 4 3因此,函数f (x)在x—处取得极小值f —,且f — —a 3; 3 33 27函数f (x)在x a 处取得极大值f (a),且f (a)0 .(2)若a 0,当x 变化时,f(X)的正负如下表:(I)当 1时,求曲线 y f(x)在点(2, f(2))处的切线方程; (n)当0时,求函数 f (x)的极大值和极小值.(I)当1 时,f (x)x(x 1)2x 3 2x 2 x ,得 f(2)2,且f (x) 3x 24x 1 , f (2)5 .所以,曲线yx(x1)2在点(2, 2)处的切线方程是y 2 5(x 2),整理得(n) f(x)x(x a)2x 3 2ax 2(x)3x 24ax(3x a)(x a).由于a a或30,以下分两种情况讨论.f (x) 0 ,解得x因此,函数f(x)在x a 处取得极小值f(a),且f(a) 0 ;a aa 4 3函数f (x)在x —处取得极大值f -,且f ——a 3• 3 33 27【总结升华】1.导数式含参数时,如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点,求根法和图象法.2.列表能比较清楚的看清极值点3.写结论时极值点和极大(小)值都要交代清楚 举一反三:【高清课堂:导数的应用综合370878 例题2】【答案】D【答案】— 1令t U x ,则求f(t) 2at 古在(0, 1 ]上的最大值由题得f '(x) 11 xx 3 3x , 令 f'(X) 0得x3; 令 f'(x) 0得0 xf'(x) 0得x3,故知函数 f ( x)在区间(0,3)上为减函数,在区间在点x3处有极小值1 In 3 0 ;1e 1 1 , 又 f(1) 3,fe 31 0, f(—) e 1 3e3;(3,)为增函数,0,故选择D.般采用1【变式1】设函数f(x) -x In x(x 0),则 3(—,1),(1, e)内均有零点.e(-,1),(1,e)内均无零点.e1(一,1)内有零点,在区间e ,1(―,1)内无零点,在区间A.在区间B.在区间C.在区间D.在区间 y f(x)(1,e)内无零点.(1,e)内有零点. 【变式2】求函数y 2aJx 1-在 x (0, x 1]上的最大值(其中a R ).显然f(t)在(0, 1: 上为增函数,所以 f max (t) f (1) 2a 1由以上讨论知类型三:利用导数解决优化问题管理费,预计当每件产品的售价为 x 元(9w x w 11时,一年的销售量为(12 — x)2万件.(1)求分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x (元)的函数关系式;(2 )当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 【解析】(1)分公司一年的利润 L (万元)与售价x (元)的函数关系式为:L=(x — 3 — a)(12 — X)2, x € [9 , 11].(2) L / =(12 — X)2 — 2(x — 3 — 0)(12 — x)=(12 — x) (•18+2a — 3x).2-a 或x=12 (不合题意,舍去).32 28-a 一 .3 3L max =(9 — 3— 0)(12— 9)2=9(6 — a).0时, 0时, 2 f'(t) 2a严 易知t 0,1需时,f '⑴ 0, f(t)为增函数 于是若1 a 若a 1 (此时 时,f'(t) 0 (此时 所以 f max (t) fV a0, f (t)为减函数.1 ),则f (t)在(0, 1 ]上为增函数,此时 1 ),则 f (t)在 0, 上为增函数,在 max ( t) f (1) 2a 1. 上为减函数. 33F 当a 1时,max (t ) f (1) 2a 1 ; 1时, max (t)例5.某分公司经销某种品牌产品, 每件产品的成本为3元, 并且每件产品需向总公司交a 元(3< a w)的 L 最大,并求出 L 的最大值Q (a ).令L / =0得x 6 2 在x 6 —a 两侧 3 L /的值由正变负. 2 •••①当 8 6 —a 3 9,即3 a 9时, 2为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为 15层.f'(x) 0,当 10 <x< 15 时,f'(x)②当9 2 -a 328,即一 3 5时, L max2 -a3 12 2 2 -a 3 二 Q(a)综上,若3 9(6 a),9一,则当每件售价为 2 9元时, 分公司一年的利润 L 最大,最大值Q (a ) =9(6 — a)(万 _ 9元);若一 W a W5则当每件售价为(2 2a )元时,分分司一年的利润3 L 最大,最大值 Q ( a )=4 Q(a) 4 3 la (万元).3【总结升华】 在第(2)问中,务必注意实际意义对定义域的影响;在第( 2)问中,因x 6 -a 的318 2 a大小不确定,故 L' 3(x 12) x -8一a 的符号不确定,故必须对 a 进行分类讨论.3举一反三:【变式】某单位用 2 160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的 楼房.经测算,如果将楼房建为 x (x > 10层,则每平方米的平均建筑费用为 560+48x (单位:元).为 了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用 =购地总费用) 建筑总面积【答案】设楼房每平方米的平均综合费用为 f (x),则2160 10000 f(x) (560 48x) -0000- 560 48x 直(X 10,x N). xf '(x) 48 窖,令 f'(x) 0 ,x得 x=15 . 当x > >15时,因此,当x=15时,f (x)取得最小值f(15) 2000 .为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15层.。
高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.1知识点总结含同步练习及答案
导数的几何意义当点趋近于点时,割线
趋近于确定的位置,这个确定位置的直线 P n P (,f ()) x 0x 0 P P n P P
).
.
.
.
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解析:图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度.
答案:解析:4. 如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记 时刻五角星露出水面部分的图形面积为
,则导函数 的图象大致为
.
A .
B .
C
.D .
A
导函数 为单位时间内五角星出水的面积率,由图可知当一个角出来时,面积率由 开始,逐渐增多,当一个角
都出完了,则面积率一下由最大开始减小,当出最后两个角时,面积率会先增加,然后减小到 .
t S (t )(S (0)=0)y =(t )S ′()y =(t )S ′0。
完整版)导数的综合大题及其分类
完整版)导数的综合大题及其分类.导数在高考中是一个经常出现的热点,考题难度比较大,多数情况下作为压轴题出现。
命题的主要热点包括利用导数研究函数的单调性、极值、最值,不等式,方程的根以及恒成立问题等。
这些题目体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用。
题型一:利用导数研究函数的单调性、极值与最值这类题目的难点在于分类讨论,包括函数单调性和极值、最值综合问题。
1.单调性讨论策略:单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点,将函数定义域分段,在各段上讨论导数的符号。
如果不能确定导数等于零的点的相对位置,还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论。
2.极值讨论策略:极值的讨论是以单调性的讨论为基础,根据函数的单调性确定函数的极值点。
3.最值讨论策略:图象连续的函数在闭区间上最值的讨论,是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的。
在极值和区间端点函数值中最大的为最大值,最小的为最小值。
例题:已知函数f(x)=x-,g(x)=alnx(a∈R)。
x1.当a≥-2时,求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间;2.设h(x)=f(x)+g(x),且h(x)有两个极值点为x1,x2,其中h(x1)=h(x2),求a的值。
审题程序]1.在定义域内,依据F′(x)=0的情况对F′(x)的符号进行讨论;2.整合讨论结果,确定单调区间;3.建立x1、x2及a间的关系及取值范围;4.通过代换转化为关于x1(或x2)的函数,求出最小值。
规范解答]1.由题意得F(x)=x-x/(x2-ax+1)-alnx,其定义域为(0,+∞)。
则F′(x)=(x2-ax+1)-x(2ax-2)/(x2-ax+1)2.令m(x)=x2-ax+1,则Δ=a2-4.①当-2≤a≤2时,Δ≤0,从而F′(x)≥0,所以F(x)的单调递增区间为(0,+∞);②当a>2时,Δ>0,设F′(x)=0的两根为x1=(a+√(a2-4))/2,x2=(a-√(a2-4))/2,求h(x1)-h(x2)的最小值。
高三数学导数的实际应用试题答案及解析
高三数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数,.(Ⅰ)若曲线在点处的切线与直线垂直,求的值;(Ⅱ)求函数的单调区间;(Ⅲ)设,当时,都有成立,求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)当时,的单调增区间为;当时,的单调增区间是,的单调减区间是.(Ⅲ).【解析】(Ⅰ)利用导数的几何意义,曲线在点处的切线斜率为在点处的导数值. 由已知得.所以.,(Ⅱ)利用导数求函数单调区间,需明确定义域,再导数值的符号确定单调区间. 当时,,所以的单调增区间为.当时,令,得,所以的单调增区间是;令,得,所以的单调减区间是.(Ⅲ)不等式恒成立问题,一般利用变量分离转化为最值问题. “当时,恒成立”等价于“当时,恒成立.”设,只要“当时,成立.”易得函数在处取得最小值,所以实数的取值范围.(Ⅰ)由已知得.因为曲线在点处的切线与直线垂直,所以.所以.所以. 3分(Ⅱ)函数的定义域是,.(1)当时,成立,所以的单调增区间为.(2)当时,令,得,所以的单调增区间是;令,得,所以的单调减区间是.综上所述,当时,的单调增区间为;当时,的单调增区间是,的单调减区间是. 8分(Ⅲ)当时,成立,.“当时,恒成立”等价于“当时,恒成立.”设,只要“当时,成立.”.令得,且,又因为,所以函数在上为减函数;令得,,又因为,所以函数在上为增函数.所以函数在处取得最小值,且.所以.又因为,所以实数的取值范围. 13分(Ⅲ)另解:(1)当时,由(Ⅱ)可知,在上单调递增,所以.所以当时,有成立.(2)当时,可得.由(Ⅱ)可知当时,的单调增区间是,所以在上单调递增,又,所以总有成立.(3)当时,可得.由(Ⅱ)可知,函数在上为减函数,在为增函数,所以函数在处取最小值,且.当时,要使成立,只需,解得.所以.综上所述,实数的取值范围.【考点】利用导数求切线,利用导数求单调区间,利用导数求最值2.已知y=f(x)与y=g(x)都为R上的可导函数,且f′(x)>g′(x),则下面不等式正确的是()A.f(2)+g(1)>f(1)+g(2)B.f(1)+f(2)>g(1)+g(2)C.f(1)﹣f(2)>g(1)﹣g(2)D.f(2)﹣g(1)>f(1)﹣g(2)【答案】A【解析】∵f'(x)>g'(x),∴f'(x)﹣g'(x)>0,∴[f(x)﹣g(x)]′>0,∴函数f(x)﹣g(x)在R上为增函数.∵1<2,∴f(1)﹣g(1)<f(2)﹣g(2),移向即得f(2)+g(1)>f(1)+g(2)故选A3.某公司生产一种产品,固定成本为20000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x的关系是,则当总利润最大时,每年生产产品的单位数是()A.150B.200C.250D.300【答案】D【解析】∵总利润由P′(x)=0,得x=300,故选D.4.一个圆柱形圆木的底面半径为1m,长为10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分.现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形(如图所示,其中O为圆心,在半圆上),设,木梁的体积为V(单位:m3),表面积为S(单位:m2).(1)求V关于θ的函数表达式;(2)求的值,使体积V最大;(3)问当木梁的体积V最大时,其表面积S是否也最大?请说明理由.【答案】(1);(2);(3)是.【解析】(1)本题求直四棱柱的体积,关键是求底面面积,我们要用底面半径1和表示出等腰梯形的上底和高,从图形中可知高为,而,因此面积易求,体积也可得出;(2)我们在(1)中求出,这里的最大值可利用导数知识求解,求出,解出方程在上的解,然后考察在解的两边的正负性,确定是最大值点,实质上对应用题来讲,导数值为0的那个唯一点就是要求的极值点);(3),上(2)我们可能把木梁的表面积用表示出来,,由于在体积中出现,因此我们可求的最大值,这里可不用导数来求,因为,可借助二次函数知识求得最大值,如果这里取最大值时的和取最大值的取值相同,则结论就是肯定的.试题解析:(1)梯形的面积=,. 2分体积. 3分(2).令,得,或(舍).∵,∴. 5分当时,,为增函数;当时,,为减函数. 7分∴当时,体积V最大. 8分(3)木梁的侧面积=,.=,. 10分设,.∵,∴当,即时,最大. 12分又由(2)知时,取得最大值,所以时,木梁的表面积S最大. 13分综上,当木梁的体积V最大时,其表面积S也最大. 14分【考点】(1)函数解析式;(2)用导数求最值;(3)四棱柱的表面积及其最值.5.一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当速度为20 km/h时,每小时消耗的煤价值40元,其他费用每小时需400元,火车的最高速度为100 km/h,火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少?【答案】速度为20 km/h时,总费用最少【解析】设火车的速度为x km/h,甲、乙两城距离为a km.由题意,令40=k·203,∴k=,则总费用f(x)=(kx3+400)·=a.∴f(x)=a (0<x≤100).由f′(x)==0,得x=20.当0<x<20时,f′(x)<0;当20<x<100时,f′(x)>0.∴当x=20时,f(x)取最小值,即速度为20 km/h时,总费用最少.6.已知函数(Ⅰ)若对任意,使得恒成立,求实数的取值范围;(Ⅱ)证明:对,不等式成立.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)详见解析.【解析】(Ⅰ) 利用导数分析单调性,进而求最值;(Ⅱ)利用不等式的放缩和数列的裂项求和试题解析:(I)化为易知,,设,设,,,上是增函数,(Ⅱ)由(I)知:恒成立,令,取相加得:即证明完毕【考点】查导数,函数的单调性,数列求和,不等式证明7.设等差数列{an }的前n项和为Sn,已知(a5-1)3+2 011·(a5-1)=1,(a2 007-1)3+2 011(a2 007-1)=-1,则下列结论正确的是()A.S2 011=2 011,a2 007<a5B.S2 011=2 011,a2 007>a5C.S2 011=-2 011,a2 007≤a5D.S2 011=-2 011,a2 007≥a5【答案】A 【解析】令,在R上单调递增且连续的函数所以函数只有唯一的零点,从而可得,同理∵(a5-1)3+2 011·(a5-1)=1,(a2 007-1)3+2 011(a2 007-1)=-1两式相加整理可得,由,可得>0,由等差数列的性质可得【考点】函数性质与等差数列及性质点评:本题的入手点在于通过已知条件的两数列关系式构造两函数,借助于函数单调性得到数列中某些特定项的范围,再结合等差数列中的相关性质即可求解,本题难度很大8.已知定义在上的函数满足,且,,若数列的前项和等于,则=A.7B.6C.5D.4【答案】B【解析】由得,即为R上的减函数,所以,由,得,即,解得或,又,所以,故,数列即,其前项和为,整理得,解得,故选B.【考点】本题考查了导数与数列的综合运用点评:此类问题常常利用导数法研究函数的单调性,然后再利用数列的知识求解9.已知f(x)=x-(a>0),g(x)=2lnx+bx且直线y=2x-2与曲线y=g(x)相切.(1)若对[1,+)内的一切实数x,小等式f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;(2)当a=l时,求最大的正整数k,使得对[e,3](e=2.71828是自然对数的底数)内的任意k个实数x1,x2,,xk都有成立;(3)求证:.【答案】(1);(2)的最大值为.(3)当时,根据(1)的推导有,时,,即.令,得,化简得,。
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导数的综合应用题【学习目标】1. 会利用导数解决曲线的切线的问题。
2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题。
3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题。
4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题:例如利润最大、用料最省、效率最高等问题【要点梳理】要点一、有关切线问题直线与曲线相切,我们要抓住三点: ①切点在切线上 ②切点在曲线上③切线斜率等于曲线在切点处的导数值。
要点诠释:通过以上三点可以看出,抓住切点是解决此类题的关键,有切点直接求,无切点则设切点,布列方程组。
要点二、有关函数单调性的问题设函数()y f x =在区间(a ,b )内可导,(1)如果恒有'()0f x >,则函数()f x 在(a ,b )内为增函数; (2)如果恒有'()0f x <,则函数()f x 在(a ,b )内为减函数; (3)如果恒有'()0f x =,则函数()f x 在(a ,b )内为常数函数。
要点诠释:(1)若函数()f x 在区间(a ,b )内单调递增,则'()0f x ≥,若函数()f x 在(a ,b )内单调递减,则'()0f x ≤。
(2)'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立,求参数值的范围的方法: ① 分离参数法:()m g x ≥或()m g x ≤。
② 若不能隔离参数,就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ,使min (,)0f x m ≥。
(或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ,使)max (,)0f x m ≤)要点三、函数极值、最值的问题1.函数极值的问题①确定函数的定义域; ②求导数)(x f '; ③求方程0)(='x f 的根;④检查'()f x 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点诠释: (1)先求出定义域(2)一般都要列表:然后看在每个根附近导数符号的变化:若由正变负,则该点为极大值点; 若由负变正,则该点为极小值点。
注意:无定义的点不用在表中列出(3)依表给结论:注意一定指出在哪取得极值。
2.函数最值的问题若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义,在开区间(,)a b 内有导数,则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下:(1)求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '; (2)求方程0)(='x f 在),(b a 内的根;(3)求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ,)(b f ; (4)比较上面所求的值,其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值,最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.要点诠释:①求函数的最值时,不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值,只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。
②若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且有唯一的极大(小)值,则这一极大(小)值即为最大(小)值. 要点四、优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题,常常可以归结为函数的最大值问题,从而可用导数来解决。
我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具,导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题。
利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤:(1) 分析实际问题中各量之间的关系,找出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y =f (x );(2) 求函数的导数f ′(x ),解方程f ′(x )=0;(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小,最大(小)者为最大(小)值.要点诠释1.解决优化问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具. 利用导数解决优化问题的基本思路:2. 得出变量之间的关系()y f x =后,必须由实际意义确定自变量x 的取值范围;3. 在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )=0的情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.4. 在求实际问题的最大(小)值时,一定要注意考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去.【典型例题】类型一: 利用导数解决有关切线问题例1.若直线y kx =与曲线3232y x x x =-+相切,试求k 的值.【思路点拨】当切点未知时,应先设出切点。
. 【解析】 设y kx =与3232y x x x =-+相切于00(,)P x y则00y kx =①3200032y x x x =-+,②又2'362y x x =-+ ∴0200'|362x x k y x x ===-+,③由①②③得:(200362x x -+)0x =3200032x x x -+, 即200(23)0x x -=∴00302x x ==或,∴124k k ==-或.【总结升华】当切点未知时,要先设切点,然后根据直线与曲线相切的三个关系列方程组,从而求得参数值。
举一反三:【变式】 已知曲线3)(23+++=x x x x f 在1-=x 处的切线恰好与抛物线px y 22=)0(>p 相切,求抛物线方程和抛物线上的切点坐标. 【答案】,2)1(=-f ∴曲线)(x f y =上的切点为A(-1,2).123)(2++='x x x f ,∴2)1(=-'f ,∴切线方程为)1(22+=-x y ,即42+=x y .设抛物线上的切点为),(00y x B ,显然抛物线上的切点在抛物线的上半支, 抛物线上半支的方程为px y 2=,则xp y 22=', ∴2220=='=x p y x x ,得08x p = (1)又∵点B在切线上,∴42200+=x px (2) 由(1)(2)求得2,160==x p ,∴80=y . 故抛物线方程为x y 322=,切点为(2,8). 类型二: 利用导数解决有关函数单调性的问题 例2.已知函数f (x )=In(1+x )-x +22k x (k ≥0)。
(Ⅰ)当k =2时,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (Ⅱ)求f (x )的单调区间。
【思路点拨】(Ⅱ)求出导数(1)'()1x kx k f x x+-=+后,主要根据(1)x kx k +-的正负进行分类讨论。
【解析】(I )当2k =时,2()ln(1)f x x x x =+-+,1'()121f x x x=-++由于(1)ln 2f =,3'(1)2f =,所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为3ln 2(1)2y x -=- 即 322ln 230x y -+-=(II )(1)'()1x kx k f x x+-=+,(1,)x ∈-+∞.当0k =时,'()1xf x x=-+.所以,在区间(1,0)-上,'()0f x >;在区间(0,)+∞上,'()0f x <. 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-,单调递减区间是(0,)+∞.当01k <<时,由(1)'()01x kx k f x x +-==+,得10x =,210kx k-=>所以,在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上,'()0f x >;在区间1(0,)kk-上,'()0f x <故()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞,单调递减区间是1(0,)kk-.当1k =时,2'()1x f x x=+故()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞.当1k >时,(1)'()01x kx k f x x +-==+,得11(1,0)kx k-=∈-,20x =.所以没在区间1(1,)k k --和(0,)+∞上,'()0f x >;在区间1(,0)kk -上,'()0f x <故()f x 得单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞,单调递减区间是1(,0)kk-【总结升华】(1)解决此类题目,关键是解不等式'()0f x ≥或'()0f x ≤,若'()f x 中含有参数,须分类讨论。
(2)特别应注意,在求解过程中应先写出函数的定义域。
举一反三: 【变式1】函数()2sin 2=-xf x x 的图象大致是( )【答案】C首先易判断函数为奇函数,排除A ,求导后解导数大于零可得周期性区间,从而排除B 、D,故选C.【变式2】. 已知函数1()ln 1a f x x ax x -=-+-()a R ∈. 当12a ≤时,讨论()f x 的单调性; 【答案】类型三:利用导数解决函数极值、最值的问题 例3. 设e ex ax x f x()1()(2-⋅-+=为自然对数的底,a 为常数且R x a ∈<,0),)(x f 取极小值时,求x 的值.【思路点拨】求导后可采用求根法求出极值点,再结合函数图象讨论增减性以确定极值。
【解析】)1()1()12()(2-⋅⋅-++⋅+='--x xe x ax e ax x f)2)(1(-+⋅-=-x ax ez令210)(或ax x f -=⇒=' (1)0121<<->-a 即当,由表)(,1x f ax 时-=∴取极小值.(2)0)2(21)(,21212≤-⋅⋅-='-==--x e x f a a x 时即当无极值. (3)121-<<-a 即当时,由表2,().x f x ∴=-时取极小值11,0,,()2a x f x a -<<=-综上当时时取极小值,取极小值时时当)(,2,21x f x a -=-<。
【总结升华】1. 导数式含参数时,如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点,一般采用求根法和图像法。
2. 列表能比较清楚的看清极值点。
3. 写结论时极值点和极大(小)值都要交代清楚。