费马点定理,在中考题中应用.doc

费马点

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“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。

若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P 到三角形的三个顶点A、B、

C 的距离之和比从其它点算起的都要小。

如图，在△ ABC中， P 为其中任意一点。连接AP，BP，得到△ ABP。

合并图册

合并图册 (2 张)

以点 B 为旋转中心，将△ ABP逆时针旋转60°，得到△ EBD

∵旋转 60°，且 BD=BP，

∴△ DBP 为一个等边三角形

∴PB=PD

因此，PA+PB+PC=DE+PD+PC

由此可知当 E、 D、P、C 四点共线时，为PA+PB+PC最小

若 E、 D、 P 共线

时，∵等边△ DBP

∴∠ EDB=120°

同理，若 D、 P、 C 共线时，则∠CPB=120°

∴P 点为满足∠ APB=∠BPC=∠APC=120°的点。历史背景