1.4群的同构

群 G 到它自身的同构映射称为群 G 的自同构.
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注
在群同构的定义中, 我们虽然使用了同
一个符号“ ”表示群 G ' 与 G
了方便.式 a b 与
的运算, 但这仅仅是为
(a) (b)分别是在群G与群 G '
中进行的运算,一般来说它们是不相同的.在讨论 具体的群时, 应该用它们各自的运算符号来代替.
1 是 G 到 G ' 的同构映射. 这就证明了
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定理1.4.2 定义 : G G ' ,则(1)若 是交换群, G
则 G ' 也是交换群.
(2)若G是有限群,则 G '也是有限群,且 G G ' .
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( y x) ( y ) ( x) y ' x '
于是 G '也是交换群.
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定理1.4.3 群的同构是一个等价关系, 即: (1) G G (反身性); (2) 若 G G,' 则 G ' G (对称性); (3) 若G G ', G ' G '', 则 G G '' (传递性).
所以 保持运算.
是 ( R, )到 ( R , ) 的同构映射. 这就证明了
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注 证明群之间的同构的步骤: 第一步 构作群 G与群 G ' 的元素间的对应关系, 并证明 是 G 到 G ' 的映射; 第二步 证明 是 G 到 G ' 的单映射. 即对任意的 x, y G, 由
( )( xy ) ( ( xy )) ( ( x) ( y )) ( ( x) ( ( y )) ( )( x)( )( y ),
所以 是 G到 G ''的同构映射,从而 G G ''.
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例3
设群U 4 {1, 1, i, i}是四次单位根群
(见§1.2例7),K {e, a, b, ab} 是由元素a, b和关系
a b e 和 ab ba 所定义的群.
2 2
问 U 4 与 K 是否同构, 为什么? 解 如果 U 4 K 同构,是U 4到 K 的同构映射.则 与 易知 (1) (i i ) [ (i )] e,
a, b G, (ab) ab (a) (b),
所以 是 G 到 G 的同构映射, 即 G G .
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其中变换群 G 称为 G 的左正则表示（left regular representation）,变换 a 称为由元素 a 所确定的左平移(left translation). 如果定义 a ( x) xa ,那么同样可以证明:
G' G 这里, G 、 、 '' 都是群.
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证 (1)(2)已证(见例1及定理1.4.1(3)).现证(3).
设 是G 到G '的同构映射, 是 G 到 G '' 的同构映射, '
则 是 G 到 G '' 的一一对应. 又对任意的 x, y G,
1
a ', b ' G ',
我们有
[ 1 (a ') 1 (b ')] [ 1 (a) 1 (b)]
a ' b ' [ 1 (a ' b ')],
是单射，所以 1 (a ' b ') 1 (a ') 1 (b '). 又因为
S X的任一子群称为 X 的一个变换群．
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定理1.4.4
每一个群都同构于一个变换群.
证 设 G是群,a G, (1)：确定非空集合 X ,取 X G. (2)：构作G 的一个变换 G .a G, 规定
a : G G
x ax
证明 ( xy) ( x) ( y).
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二．群同构的性质
定理1.4.1 设是 G 到 G '的同构映射,e与 e '分别是
G 与 G ' 的单位元,a 是G 的任一元素. 则
(e) e '; (a 1 ) ( (a)) 1 ; (2) 1 (3) 是可逆映射, 且 的逆映射 是群 G 到 G ' 的
x G.
则① a 是G 的一个变换（称为左乘变换）；
x ②设若 x, y G,a ( x) a ( y ),即 ax ay， y.
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于是 a 是单射. ③ g G, 可找 x a 1 , g G. 则a ( x) ax g. 于是 a 是满射.由此得 a 可逆，因此 a SG . 令 G {a | a G} SG 下证： 是 S G 的子群： G ①
x y

来自百度文库
(3) 对任意的 r R , 令x log 2 r ,

则
x R,
5
( x) 2 2
x
log 2 r
r,
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是 R 到 R 的满映射. 所以
(4)对任意的 x, y R,
( x y ) 2 x y 2 x 2 y ( x) ( y ),
1 1
(a 1 ) 为 (a) 的逆元. 所以
从而由逆元的惟一性得
( (a)) 1 ( a 1 ).
(3) 是G 到G ' 的一一对应,所以 是可逆映射,
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且其逆映射 是 G到 G '的一一对应.
1
下面证 保持运算.
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例１ 设 G 是群, 是 G 的恒等映射:
:
G G'
a a,
a G.
显然 是一一对应. 又对任意的 a, b G,
(ab) ab (a) (b).
所以, 是 G 的一个自同构,这个同构称为恒等同构.
4
1
Gr {a | a G}也是群 G 的一个变换群,称为 G 的
右正则表示, 同时也有 G Gr .
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: G G a a , a G,
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则 ①显然 是G 到 G 的映射. ②设 a, b G, 如果 (a) (b) , 即a b , 从而a (e) b (e),即 ae be, 于是 a b . 所以 是单射. ③ a G , 有a G ,使 ( a ) a ,所以 是满射. ④对任意的
(1) 同构映射.
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证 (1) 对任意 x G,有 ex x, 则
(e) (a) (ea) (a) e ' (a),
由消去律得 e ' (e).
(2) 因 (a ) (a) (a a) (e) e ',
a ,b G , x G,
(a b )( x) a (b ( x)) a (bx a(bx) abx ab ( x)
由 x 的任意性， a b ab G.
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② a G , 1 G , a
X, x X,
( )( x) ( ( x)) ( x), ( )( x) ( ( x)) ( x),
所以 .由此知, 是 S X 的单位元.
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(3) 设 是 S X 的任一可逆变换,则 的逆变换也是
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证
由定理1.4.1我们知道, G 与 G '是一一对应的,
于是,若 G是有限群,则 G ' 也是有限群,且 G G ' . 下证(1): 若 x ', y ' G, ( x) x ', ( y) y ', 我们有 x ' y ' ( x) ( y ) ( x y )
1 1 . 可逆的, 并且
所以 S X 的每一个元素在 S X 中都有逆元. 从而由群的定义知, S X 关于变换的合成构成群.
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定义1.4.2(对称群)非空集合 X的全体可逆变换 关于变换的合成 所构成的群 S X 称为集合 X 的对称群.
§1.4 群的同构
一、群同构的定义
定义1.4.1 ---同构映射 例1 例2 定理1.4.3 ---群同构是等 价关系 例3
二、群同构的性质
定理1.4.1 ---群同构的性质一 定理1.4.2 ---群同构的性质二
三、凯莱定理
定义1.4.2 ---对称群 定理1.4.4 ---变换群判定
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例２ 设 R 为全体实数组成的加法群, R 表示 全体正实数组成的乘法群，则群 R 与 R 同构.


( x) 2 x , 证 (1) 对任意的 x R, 令
则 是 R到 R 的映射. (2) 设 x, y R, 如果 ( x) ( y ), 即 2 2 , 所以 是 R到 R 的单映射.
2
而 (1) e, 是单射,我们可以得到 1 1.
这是一个矛盾.从而知 U 4与 K 不同构.
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三．凯莱定理
1．对称群与变换群 设 X 是任一非空集合,令 S X 是 X 的全体可逆变 换所组成的集合.如果 , 是 X 的任意两个可逆变 换, 则变换的合成:
:
X X
x ( ( x)), x X
仍是X 的可逆变换.所以 是 S X 的代数运算.
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(1) 由于映射的合成满足结合律,所以( S X , )的运算 也满足结合律; (2) 设 是 X的恒等变换,则 X .且对任意的
( x) ( y) 导出 x y;
第三步 证明 是 G 到 G '的满映射. 即对任意的
x ' G ', 证明存在 x G, 使 ( x) x ';
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第四步 证明 保持运算. 即对任意的 x, y G,
1
一、群同构的定义
定义1.4.1
设 G 与 G '是两个群， 是 G 到 G '的
a, b G,
一一对应，使得
(a b) (a) (b),
则称 为群G到G '的一个同构映射(isomorphism), 简称同构.并称群 G 与群 G ' 同构, 记作
: G G '.
1
(a a1 )( x) a (a x) aa x x,
1
(a1 a )( x) a1 (ax) a 1ax x.
a a a a 为恒等映射,所以 1 (a )1 , 于是 a
1 1
于是证明了G 是 S G 的子群. ③下面证明: G G 令