勾股定理及逆定理八年级下册
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13、点 到原点的距离为
14、已知点 ， ，则点A、B之间的距离为
15、三角形三边以下列各组数为边长：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中能构成直角三角形的有（ ）
A.2组 B.3组 C.4组 D.5组
16、下列说法正确的是（ ）
A.每个命题不一定都有逆命题B.每个定理都有逆定理
C.真命题的逆命题仍是真命题D.假命题的逆命题未必是假命题
、斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）。在斐波那契数列中第 个数可以用 表示（ ），这是用无理数表示有理数的一个范例。现在请你根据以上材料，计算斐波那契数列中的第1个数和第2个数。
26、如图26，是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以直角边为边，分别向外作正方形②和③′，……，依此类推，若正方形①的边长为64，则正方形⑦的边长为
四、能力提升
1、在 ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，则 ABC的面积为
2、古希腊哲学家柏拉图曾指出，如果 表示大于1的整数， ，那么 为勾股数。你认为对吗？如果对，请你说明理由，并根据这个结论写出一组勾股数。
20、在 中， ， 边上的中线 ，则
21、在 中， ，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
22、如图22，一块直角三角形的纸片，两直角边 ．现将直角边 沿直线 折叠，使它落在斜边 上，且与 重合，则 等于（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
23、如图23，在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的池塘边。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米。
24、如图24，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是（）
A．5≤h≤12B．5≤h≤24
C．11≤h≤12D．12≤h≤24
25、如图25，有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行米。
原命题（ 则 ） 逆命题（若 则 ）
3、勾股定理逆定理：如果三角形的三边分别为 、 、 满足 ，那么这个三角形是直角三角形。
二、例题分析
例1：在 中， ， 的对边分别记为 。
⑴若 ，求 边的大小
⑵ ，求 边的长及斜边上的高
⑶若已知两边分别为 、 ，求第三边的大小
例2：写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假。
11、如图六，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=2，求BC的长．
12、如图七，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?
13、如图八，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去．
5、若直角三角形两直角边长为 、 ，且满足条件 ，则该直角三角形的斜边长为
6、在数轴上作出表示数 的点
7、从点 发出的一束光，经 轴反射，过点 ，试求这束光从A点到B点所经过的路径长
8、下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）
A． B．
C． D．
9、下列命题的逆命题正确的有（）
①等边三角形是锐角三角形；②若 ，则 ；③若 ，则 ；
勾股定理及其逆定理
一、知识要点
1、勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为 、 ，斜边为 ，那么 。（即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）
作用：⑴已知直角三角形的两边求第三边
⑵已知直角三角形的一边，确定另外两边的关系
⑶证明含平方关系的问题等
2、原命题与逆命题
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互为逆命题；如果把其中一个叫原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
8、如图三，在直线 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 、 、 、 ，则
9、如图四，已知长方形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C／处，BC／交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为
10、如图五，正方形 ， 边上有一点 ，在 上有一点 ，使 为最短．求：最短距离 ．
A. B.
C. D.不确定
6、如图一，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
7、如图二，长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了m
A．13 B．13或 C．13或15 D．15
2、在平面直角坐标系中，已知点A ，B是 轴上一点，且AB=10，则点B的坐标为（）
A． 或 B． C． D． 或
3、在 ABC中， ， ，BC边上的高 ，则另一边BC等于（）
A．10 B．8 C．6或10 D．8或10
4、直角三角形斜边长是5，一直角边长是3，则该直角三角形的面积为
3、我们学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”。
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；……，发现这些勾股数的勾（较短的直角边）都是奇数，且从3起就没有间断过。
⑴请你根据上面规律写一组勾股数（与上述不同）
⑵若第一个数用字母 （ 为奇数且 ）表示，那么后两个数用含 的代数式分别表示为
、
⑶请你用学过的知识证明你所填⑵的结论。
4、已知点P是 ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫 ABC的费马点，已经证明：在三角形内角均小于 的 ABC，当 时，点P就是 ABC的费马点。若点P是腰长为 的等腰直角三角形DEF的费马点，则
5、在 中， ， ，点 是 边上的动点，过点 作 于点 ， 于点 ，则 的值是（ ）
⑴相等的两个角一定是对顶角
⑵如果 ，则
⑶若 ＞ ， ＞ ，则 ＞
⑷等腰三角形的两个底角相等
例3：、分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，5，12③1，2，3；④9，40，41；
⑤3 ，4 ，5 。其中能构成直角三角形的有（ ）组
A．2B．3C．4D．5
三、基础过关
1、若一个直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（）
17、已知三角形的三边长分别为 ，则该三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
18、下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A.内错角相等，两直线平行B.全等三角形对应边相等
C.对顶角相等D.同位角相等，两直线平行
19、已知 的三边长 满足关系式 ，则该三角形的形状为（ ）
A.等腰三角形 B.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
④全等三角形对应角相等；⑤如 ＞ ，则 ＜ 。
A．1个B．2个C．3个D．4个
10、在 ABC中，由下列条件中不能判断 ABC为直角三角形的是（）
A． B．
C． D．
11、若 ABC的三边 满足 ，则 ABC是（）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
12、若三角形的两边长为6或8，要使其成为直角三角形，则第三边的长为
⑴记正方形ABCD的边长为a1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，……，an，请求出a2，a3，a4的值；
⑵根据以上规律写出an的表达式．
、观察下列式子：①
②
……回答下列问题 ⑴利用你观察到的规律化简
⑵计算：
、设 ＞ ＞ ， ，则 （）
A． B．
C． D．
、已知 、 为有理数， 、 分别表示 的整数部分和小数部分，且 ，试求 的值
14、已知点 ， ，则点A、B之间的距离为
15、三角形三边以下列各组数为边长：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中能构成直角三角形的有（ ）
A.2组 B.3组 C.4组 D.5组
16、下列说法正确的是（ ）
A.每个命题不一定都有逆命题B.每个定理都有逆定理
C.真命题的逆命题仍是真命题D.假命题的逆命题未必是假命题
、斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）。在斐波那契数列中第 个数可以用 表示（ ），这是用无理数表示有理数的一个范例。现在请你根据以上材料，计算斐波那契数列中的第1个数和第2个数。
26、如图26，是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以直角边为边，分别向外作正方形②和③′，……，依此类推，若正方形①的边长为64，则正方形⑦的边长为
四、能力提升
1、在 ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，则 ABC的面积为
2、古希腊哲学家柏拉图曾指出，如果 表示大于1的整数， ，那么 为勾股数。你认为对吗？如果对，请你说明理由，并根据这个结论写出一组勾股数。
20、在 中， ， 边上的中线 ，则
21、在 中， ，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
22、如图22，一块直角三角形的纸片，两直角边 ．现将直角边 沿直线 折叠，使它落在斜边 上，且与 重合，则 等于（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
23、如图23，在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的池塘边。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米。
24、如图24，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是（）
A．5≤h≤12B．5≤h≤24
C．11≤h≤12D．12≤h≤24
25、如图25，有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行米。
原命题（ 则 ） 逆命题（若 则 ）
3、勾股定理逆定理：如果三角形的三边分别为 、 、 满足 ，那么这个三角形是直角三角形。
二、例题分析
例1：在 中， ， 的对边分别记为 。
⑴若 ，求 边的大小
⑵ ，求 边的长及斜边上的高
⑶若已知两边分别为 、 ，求第三边的大小
例2：写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假。
11、如图六，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=2，求BC的长．
12、如图七，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?
13、如图八，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去．
5、若直角三角形两直角边长为 、 ，且满足条件 ，则该直角三角形的斜边长为
6、在数轴上作出表示数 的点
7、从点 发出的一束光，经 轴反射，过点 ，试求这束光从A点到B点所经过的路径长
8、下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）
A． B．
C． D．
9、下列命题的逆命题正确的有（）
①等边三角形是锐角三角形；②若 ，则 ；③若 ，则 ；
勾股定理及其逆定理
一、知识要点
1、勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为 、 ，斜边为 ，那么 。（即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）
作用：⑴已知直角三角形的两边求第三边
⑵已知直角三角形的一边，确定另外两边的关系
⑶证明含平方关系的问题等
2、原命题与逆命题
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互为逆命题；如果把其中一个叫原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
8、如图三，在直线 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 、 、 、 ，则
9、如图四，已知长方形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C／处，BC／交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为
10、如图五，正方形 ， 边上有一点 ，在 上有一点 ，使 为最短．求：最短距离 ．
A. B.
C. D.不确定
6、如图一，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
7、如图二，长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了m
A．13 B．13或 C．13或15 D．15
2、在平面直角坐标系中，已知点A ，B是 轴上一点，且AB=10，则点B的坐标为（）
A． 或 B． C． D． 或
3、在 ABC中， ， ，BC边上的高 ，则另一边BC等于（）
A．10 B．8 C．6或10 D．8或10
4、直角三角形斜边长是5，一直角边长是3，则该直角三角形的面积为
3、我们学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”。
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；……，发现这些勾股数的勾（较短的直角边）都是奇数，且从3起就没有间断过。
⑴请你根据上面规律写一组勾股数（与上述不同）
⑵若第一个数用字母 （ 为奇数且 ）表示，那么后两个数用含 的代数式分别表示为
、
⑶请你用学过的知识证明你所填⑵的结论。
4、已知点P是 ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫 ABC的费马点，已经证明：在三角形内角均小于 的 ABC，当 时，点P就是 ABC的费马点。若点P是腰长为 的等腰直角三角形DEF的费马点，则
5、在 中， ， ，点 是 边上的动点，过点 作 于点 ， 于点 ，则 的值是（ ）
⑴相等的两个角一定是对顶角
⑵如果 ，则
⑶若 ＞ ， ＞ ，则 ＞
⑷等腰三角形的两个底角相等
例3：、分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，5，12③1，2，3；④9，40，41；
⑤3 ，4 ，5 。其中能构成直角三角形的有（ ）组
A．2B．3C．4D．5
三、基础过关
1、若一个直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（）
17、已知三角形的三边长分别为 ，则该三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
18、下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A.内错角相等，两直线平行B.全等三角形对应边相等
C.对顶角相等D.同位角相等，两直线平行
19、已知 的三边长 满足关系式 ，则该三角形的形状为（ ）
A.等腰三角形 B.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
④全等三角形对应角相等；⑤如 ＞ ，则 ＜ 。
A．1个B．2个C．3个D．4个
10、在 ABC中，由下列条件中不能判断 ABC为直角三角形的是（）
A． B．
C． D．
11、若 ABC的三边 满足 ，则 ABC是（）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
12、若三角形的两边长为6或8，要使其成为直角三角形，则第三边的长为
⑴记正方形ABCD的边长为a1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，……，an，请求出a2，a3，a4的值；
⑵根据以上规律写出an的表达式．
、观察下列式子：①
②
……回答下列问题 ⑴利用你观察到的规律化简
⑵计算：
、设 ＞ ＞ ， ，则 （）
A． B．
C． D．
、已知 、 为有理数， 、 分别表示 的整数部分和小数部分，且 ，试求 的值