电子科技大学 随机过程 覃思义 第三章sjgc3.1解析

(X,Y)的联合概率密度为
(x, y)
1
2 1 2 1 ρ2
exp
1
2(1 2 )
(x
1 )2
2 1
2ρ
( x 1 ) 1
(
y 2) 2
(
y
2 )2
2 2
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记
μ
E
X Y
E(X )
E(Y
)
μ1 μ2
,
X
x y
B
2 1
1 2
1
2 2
2
CBCτ)
? 思考问题： 能否保证Y= CX 服从非退 化正态分布
反例: 设随机变量X0与V相互独立,都服从 标准正态分布N(0,1), 令
X(1)=X0+V, X(2)=X0+2V, X(3)=X0+3V,
问(X(1),X(2),X(3))是否服从非退化正态分布?
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分析 设 X (1) 1
一般地, 若X=(X1, X2)是非退化二维正态随 机向量,其线性变换 Y= CX, 有
1) 每一分量服从正态分布; 2) 不能构成二维以上的非退化联合正态 分布;
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分析2) 设X=(X1, X2)的协方差矩阵为
B
2 1
1
2
1
2 2
2
,
R(B) 2
线性变换矩阵
Ct
c11 c12
c21 c22
奇异正态分布.
2.边缘分布及二阶矩
以下结论总假定随机向量X=(X1, X2, …, Xn)τ
服从N(μ, B ).
非退化
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定理3.1.2 n维正态分布随机变量X的任一 子向量
( X k1 , X k2 ,, X km )τ
(m n)
也服从正态分布B(μ~, B~ ), 其中 μ~ (k1 , k2 ,, km ), B~ 是B 保留第k1,k2,…,km 行及列所得的m 阶矩阵.
(u)
exp
i
t
u
1 2
ut
Bu
(**)
其中u (u1 , u2 ,. , un )t
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定义3.1.2 若μ是n 维实向量, B 是n 阶非负 定对称阵, 称以(**)式中的 (t) 为其特征函数 的n 维随机变量X 服从n 维正态分布.
注若(**)式中的 B,称X0 服从退化正态分布或
线性组合
n
ljX j,
j1
服从一维正态分布.
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可将多维正 态随机变量问 题转化为一维 正态分布问题.
定理3.1.7 若X=(X1,X2,…,Xn)τ 服从n维正 态分布N(μ,B),C=(cjk)m×n是任意矩阵,则Y=CX 服从m维正态分布N(Cμ,CBCτ).
正态分布的线 性变换不变性
§3.1 正 态 过 程
在现实问题中,满足一定条件的随机变量 之和的极限服从正态分布.
电子技术中的热噪声是由大量的热运动引 起,也服从正态分布.
由于一个随机过程可以用有限维分布来 描述,为研究正态过程应首先研究多维正态 分布随机变量.
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一、多维正态随机变量
1.概率密度与特征函数
若(X,Y)～ N ( μ1, σ12; μ2 , σ22; ρ)
证 对于任意m 维实值列向量u, Y 的特征函数为
Y (u) E(eiutY ) E(eiutCX ) E(ei(Ct u)t X )
exp
i
t
(Ct
u)
1 2
(Ct
u)t
B(Ct
u)
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exp
i(C
)t
u
1 2
ut
(CBC
t
)u
即随机向量Y=CX 服从m维正态分布N(Cμ,
X
X
(2)
1
X (3) 1
1
2 3
X0 V
C
X0 V
因
X0
V
～
N
பைடு நூலகம்
00 ,
1 0
0 1
X的协方差矩阵为
1 1
1 CBCτ= C 0
01Cτ
1 1
2 3
1 1
1 2
1 3
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|CBCτ| =
23 4 3 5 7 0, 4 7 10
参见P28例2
X=(X(1), X(2), X(3))不服从非退化正态分布.
其中σ1>0,σ2>0,
| |<1, 故协方差
矩阵满足|B|≠0.
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(X,Y)的联合概率密度为
(x, y)
1
2 1 2 1 ρ2
exp
1
2(1
2
)
(x
1 )2
2 1
2
( x 1 ) 1
(
y 2) 2
(
y
2 )2
2 2
1 2π B
1 2
exp
1 (X 2
cm1 cm2
,
R(C) 2
则线性变换 Y= CX的协方差矩阵为
Y CBCt , R(Y ) min( R(C), R(B)) 2
多元正态分布的 边缘分布仍是正 态分布
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定理3.1.3 设μ和 B 分别是随机向量X 的数 学期望向量及协方差矩阵, 即
E(Xi)=μi , 1≤i≤n;
bij=E{(Xi－μi)(Xj－μj)}, 1≤i ,j≤n.
3.独立性问题
定理3.1.4 n维正态 分布随机向量X1,X2,…, Xn相互独立的充要条 件是它们两两不相关.
j 1
n
D(Y )
n l jlkbjk LBLτ,
j1 k1
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2) 若C=(cjk)m×n, 线性变换 Z=CX,则 均值向量为 E(Z)=E(CX)=CE(X)=Cμ,
协方差矩阵为 DZ=CBCτ
定理3.1.6 X=(X1,X2,…,Xn)τ 服从n 维正态 分布N(μ,B)的充要条件是它的任何一个非零
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n维正态分布 由二阶矩确定.
等价于其协 方差矩阵是 对角阵.
4.正态随机向量的线性变换
定理3.1.5正态随机向量 X=(X1,X2,…,Xn)τ， 记E(X)=μ,协方差矩阵为B.
1) 对X 的线性组合
n
Y lj X j LX , L=(l1, l2 ,…, ln )
j 1
n
有 E(Y ) l j j Lμ,
B 1 ( X
μ)
（*）
其中X=(x1, x2, …, xn)τ,称X 服从n 维正态分布.
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记为X=(X1, X2, …, Xn)τ ～N(μ, B). 注当B=(bij)是n阶正定对称矩阵,有 B 0;
若 B 则0不能用(*)式给出其概率密度.
定理3.1.1 n维正态分布随机向量X=(X1, X2, …, Xn) 的特征函数为
μ )τ
B1(X
μ )
记为(X,Y) ～N(μ, B).
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定义3.1.1 设B=(bij) 是n 阶正定对称矩阵,μ是 n 维实值列向量, 定义n维随机向量
X=(X1, X2, …, Xn)t 的联合密度函数为
f x1, x2 ,, xn
1
n
(2π) 2
B
1 2
exp
1 2
(X
μ)τ