随机过程的概念
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dS dt dz ln St ln St1 t
随机过程的统计特征
因为固定在某个时点上，随机过程退化为一个普通的随机变量，所以我们有以下定义：
定义一个随机过程X t 在任意时点的分布函数
为随机过程的一阶分布函数。
F x,t Xt x
称一阶分布函数的偏导数 为随机过程的一阶密度函数。
观察和把握联合分布的，所以我们退而研究随机过程的矩的性质。
二阶混合原点矩 称为自相关函数。
res,t E Xs Xt
二阶混合中心矩
Cov s,t E X s s Xt t re s,t st
称为协方差函数。
自相关函数和协方差函数是两个时间参数 和 的二元函数。当 s t 时协方差就退化
和 为常数， 服从在
函数和自协方差函数。
Xt a cosbt
上的均匀分布。试求 X t 的一阶密度函数、一阶期望、自相关
平稳性是指随着时间的变化，随机过程的某些特征会保持不变的性质。它是随机过程中 的重要概念。最常见的平稳性定义有强平稳过程和弱平稳过程。
如果一个随机过程的分布不随着时间的推移而变化，我们称该随机过程是一个强平稳过 程。即
过程。
鞅过程（
）
设, , 是概率空间， T 是固定的正数， t ,0 t T 是 的子 代数的域流。
稳过程没有相互包含的关系。但是满足一阶矩二阶矩有限这一性质的严平稳过程都是弱平稳 过程。
几种常见的随机过程
白噪音（
）
如果一个随机过程 t 满足 我们称 t 为一个白噪音过程。
s 0,s,t T
Байду номын сангаас
Cov
s,
t
0, s 2,
t s
t
显然白噪音过程属于弱平稳过程。
如果 s 恒等于一个非零常数，则我们很容易通过去均值将其转化为一个白噪音。
都有随机变量 X ,t R 与之对应，则称依赖于 t 的一族随机变量 X ,t 为一个随机
过程，有时也简写为 X t 或者 X t 。
随机变量 X ,t 是映射到实数轴的二元函数，自变量包括时间和状态。
如果固定在某个具体时点上，它退化为一个普通随机变量。 如果给定每个时点上的状态，它退化为时间的确定性函数，又称为样本路径。
F xt1 , xt2 ,...xtn ,t1,t2,...,tn F xt1t , xt2t ,...xtnt ,t1 t,t2 t,...,tn t
如果一个随机过程的一阶矩和二阶矩都存在（不为无穷大），而且不随时间的推移而变 化，称该随机过程是一个弱平稳过程。即：
s t ,s,t T
有些教材也将这样的随机过程称为白噪音。 白噪音的核心特征在于无条件自相关系数为零，即无自相关。
如果 t 是一个白噪音，那么满足
的随机过程称为
t a0 0t 1t1 ... qtq
过程。请自行验证 过程的弱平稳性和自相关性质。
如果 t 是一个白噪音，那么满足
的随机过程称为
t 0 1t1 2t2 ... ptp t
称为 ct 的随机过程的参数。
根据时间参数和状态是否连续 可以对随机过程进行分类：
（ ） 和 T 都是离散的。这是实际中最常出现的随机过程。 （ ） 连续， T 离散。 （ ） 离散， T 连续。 （ ） 和 T 都连续。以它为基础的金融学研究称为连续时间金融。在这种情况下我们可以
用许多方便的数学工具来处理随机过程，所以理论上大多采用此类模型。
记 St 为某只股票上市以来第 t 个交易日的收盘价，由于股价受各种随机因素的影响，因
此St 也是一个随机过程。
记 ct 为上述股票的看涨期权在 t 时刻的价格，其到期时点为 T ，执行价格为 K 。对于
t T 的时点， ct St ,t,T , K 也是一个随机变量，其取值取决于 St 的随机过程。 K 和 T 被
F xt1 , xt2 ,...,t1,t2,... Xt1 x1, Xt2 x2,...
f
F n xt1 , xt2 ,..., t1, t2,...
xt1 , xt2 ,..., t1, t2,... xt1xt2 ...
如果能确定联合分布，我们就完全掌握了随机过程的各种信息。但很多时候我们是难以
f x,t F x,t
x
t E Xt Xtd R XtdF Xt
2 t
Var
Xt
Xt t 2 d
R Xt t 2 dF Xt
以上概念都是时间 t 的函数。
以上统计特征只揭示了随机过程在某个固定时点上的信息。很多时候我们需要知道在不 同时点上随机过程的分布是否具有某种联系。所以进一步引入以下概念。
随机过程的概念
我们已经知道，在一个样本空间 ，通过构建 域的方法，我们可以构建概率测度
空间，并在此空间上定义随机（实数）变量。这其实是建立了从样本空间到实数的一个一元 函数（映射）。
在实际金融分析中，我们遇到的变量不仅具有随机性，还具有随时间而变化的性质，因 此需要用到随机过程的概念。
假设 是随机试验的样本空间， T 是一个参数集 一般指时间 。如果对于每个 t T ，
res,t re s t,t t re t s,s,t T
由于
Cov s,t res,t st ret s 2
所以弱平稳过程的自协方差也不随时间变化而变化。 二阶矩只与时间的间隔有关，而与时点的绝对位置无关。 由于弱平稳过程中对一阶矩和二阶矩的大小有要求，而严平稳过程没有，所以这两种平
每分钟扔一个硬币，定义样本空间为
H,T
将时间定义为 t1, t2,... ，并在 上定义概率测度，则
X t1, X t2 ,....
就是一个随机过程。如果将时点固定，其中的每一项都是一个随机变量；如果将每个时点的
状态确定，例如假设每次都出现 H ，那么
X H,t1, X H,t2 ,....
就是该随机过程的一条样本路径。
为方差了。
EXt | Xs,t s
ln St ln St1 t
t
期望值恒定 pt p0 i , E（pt） p0
i1
方差无界 Var pt t 2
cov（pt ,pts） E pt p0 pts p0 t s 2
自相关
s
ts
t st
自相关系数很高，且强记忆性。
正弦波过程：
随机过程的统计特征
因为固定在某个时点上，随机过程退化为一个普通的随机变量，所以我们有以下定义：
定义一个随机过程X t 在任意时点的分布函数
为随机过程的一阶分布函数。
F x,t Xt x
称一阶分布函数的偏导数 为随机过程的一阶密度函数。
观察和把握联合分布的，所以我们退而研究随机过程的矩的性质。
二阶混合原点矩 称为自相关函数。
res,t E Xs Xt
二阶混合中心矩
Cov s,t E X s s Xt t re s,t st
称为协方差函数。
自相关函数和协方差函数是两个时间参数 和 的二元函数。当 s t 时协方差就退化
和 为常数， 服从在
函数和自协方差函数。
Xt a cosbt
上的均匀分布。试求 X t 的一阶密度函数、一阶期望、自相关
平稳性是指随着时间的变化，随机过程的某些特征会保持不变的性质。它是随机过程中 的重要概念。最常见的平稳性定义有强平稳过程和弱平稳过程。
如果一个随机过程的分布不随着时间的推移而变化，我们称该随机过程是一个强平稳过 程。即
过程。
鞅过程（
）
设, , 是概率空间， T 是固定的正数， t ,0 t T 是 的子 代数的域流。
稳过程没有相互包含的关系。但是满足一阶矩二阶矩有限这一性质的严平稳过程都是弱平稳 过程。
几种常见的随机过程
白噪音（
）
如果一个随机过程 t 满足 我们称 t 为一个白噪音过程。
s 0,s,t T
Байду номын сангаас
Cov
s,
t
0, s 2,
t s
t
显然白噪音过程属于弱平稳过程。
如果 s 恒等于一个非零常数，则我们很容易通过去均值将其转化为一个白噪音。
都有随机变量 X ,t R 与之对应，则称依赖于 t 的一族随机变量 X ,t 为一个随机
过程，有时也简写为 X t 或者 X t 。
随机变量 X ,t 是映射到实数轴的二元函数，自变量包括时间和状态。
如果固定在某个具体时点上，它退化为一个普通随机变量。 如果给定每个时点上的状态，它退化为时间的确定性函数，又称为样本路径。
F xt1 , xt2 ,...xtn ,t1,t2,...,tn F xt1t , xt2t ,...xtnt ,t1 t,t2 t,...,tn t
如果一个随机过程的一阶矩和二阶矩都存在（不为无穷大），而且不随时间的推移而变 化，称该随机过程是一个弱平稳过程。即：
s t ,s,t T
有些教材也将这样的随机过程称为白噪音。 白噪音的核心特征在于无条件自相关系数为零，即无自相关。
如果 t 是一个白噪音，那么满足
的随机过程称为
t a0 0t 1t1 ... qtq
过程。请自行验证 过程的弱平稳性和自相关性质。
如果 t 是一个白噪音，那么满足
的随机过程称为
t 0 1t1 2t2 ... ptp t
称为 ct 的随机过程的参数。
根据时间参数和状态是否连续 可以对随机过程进行分类：
（ ） 和 T 都是离散的。这是实际中最常出现的随机过程。 （ ） 连续， T 离散。 （ ） 离散， T 连续。 （ ） 和 T 都连续。以它为基础的金融学研究称为连续时间金融。在这种情况下我们可以
用许多方便的数学工具来处理随机过程，所以理论上大多采用此类模型。
记 St 为某只股票上市以来第 t 个交易日的收盘价，由于股价受各种随机因素的影响，因
此St 也是一个随机过程。
记 ct 为上述股票的看涨期权在 t 时刻的价格，其到期时点为 T ，执行价格为 K 。对于
t T 的时点， ct St ,t,T , K 也是一个随机变量，其取值取决于 St 的随机过程。 K 和 T 被
F xt1 , xt2 ,...,t1,t2,... Xt1 x1, Xt2 x2,...
f
F n xt1 , xt2 ,..., t1, t2,...
xt1 , xt2 ,..., t1, t2,... xt1xt2 ...
如果能确定联合分布，我们就完全掌握了随机过程的各种信息。但很多时候我们是难以
f x,t F x,t
x
t E Xt Xtd R XtdF Xt
2 t
Var
Xt
Xt t 2 d
R Xt t 2 dF Xt
以上概念都是时间 t 的函数。
以上统计特征只揭示了随机过程在某个固定时点上的信息。很多时候我们需要知道在不 同时点上随机过程的分布是否具有某种联系。所以进一步引入以下概念。
随机过程的概念
我们已经知道，在一个样本空间 ，通过构建 域的方法，我们可以构建概率测度
空间，并在此空间上定义随机（实数）变量。这其实是建立了从样本空间到实数的一个一元 函数（映射）。
在实际金融分析中，我们遇到的变量不仅具有随机性，还具有随时间而变化的性质，因 此需要用到随机过程的概念。
假设 是随机试验的样本空间， T 是一个参数集 一般指时间 。如果对于每个 t T ，
res,t re s t,t t re t s,s,t T
由于
Cov s,t res,t st ret s 2
所以弱平稳过程的自协方差也不随时间变化而变化。 二阶矩只与时间的间隔有关，而与时点的绝对位置无关。 由于弱平稳过程中对一阶矩和二阶矩的大小有要求，而严平稳过程没有，所以这两种平
每分钟扔一个硬币，定义样本空间为
H,T
将时间定义为 t1, t2,... ，并在 上定义概率测度，则
X t1, X t2 ,....
就是一个随机过程。如果将时点固定，其中的每一项都是一个随机变量；如果将每个时点的
状态确定，例如假设每次都出现 H ，那么
X H,t1, X H,t2 ,....
就是该随机过程的一条样本路径。
为方差了。
EXt | Xs,t s
ln St ln St1 t
t
期望值恒定 pt p0 i , E（pt） p0
i1
方差无界 Var pt t 2
cov（pt ,pts） E pt p0 pts p0 t s 2
自相关
s
ts
t st
自相关系数很高，且强记忆性。
正弦波过程：