yn=fx型的微分方程

离变量，得
dp = dy ． py
或
y= C2eC1x (C= eC2 )．
m 2 6T
dx dt
=
F0 m
(t
t2 2T
)
C1．
再积分一次，得
x=
F0 m
(1 2
t2
t3 6T
)
C1t
C2，
二、y = f (x, y) 型的微分方程
解法:
设y=p 则方程化为 p= f(x, p)．
设p=f(x,p)的通解为p=j(x,C1), 则
例3 求微分方程
(1x2) y=2xy
满足初始条件
例5 求微分yyy2 =0的通解．
解 设 y=p，则 y=pdp ， dy
代入方程，得
yp dp p 2=0． dy
两边积分得 ln|p|=ln|y|C，
即 p=C 1y 或 y= C 1y (C 1=eC)． 再分离变量并两边积分，便得 原方程的通解为
ln|y|=C 1x C2，
在y0、p0时，约去p并分
例3 求微分方程
(1x2) y=2xy
满足初始条件
的特解．
y|x=0 =1, y|x =0 =3
解 设y=p，代入方程并分 离变量，得
dp = 2x dx ． p 1 x2
由条件y|x =0 =3，得C 1=3， 所以
y=3(1x2)． 两边再积分，得
y=x33xC2． 又由条件y|x=0 =1, 得C 2=1， 于是所求的特解为
一、y(n) = f (x)型的微分方程
解法: 积分n 次
例1 求微分方程 y=e2x cos x
的通解．
y(n 1) = f (x)dxc1，
解 对所给方程接连积分三 次，得
y(n2) = [
· · · · · ·．
f (x)dxc1]dx c2，
y= 1 2
e 2xsin
x
C1，
y= 1 4
y=x33x1 ．
两边积分，得
ln|p|=ln(1x2)C，
即 p=y=C1(1x2) (C 1=eC)．
三、y=f(y, y)型的微分方程
解法:
例5 求微分yyy2 =0的通解．
设y=p ,有
y = dp = dp dy = pdp ． dx dy dx dy
原方程化为
p dp =f(y,p)． dy
时质点位于原点，且初速度为零，求这质点的运动规律．
解 设x=x(t)表示在时刻t 时质点的位置，根据牛顿第二定律， 质点运动的微分方程为
m
d2x dt 2
=F(t)．
由题设，力F(t)随 t 增大而均匀地减小，且t=0时，F(0)=F0， 所以F(t)=F0kt；又当 t=T 时，F(T)=0，从而
e 2xcos
xC1x
C2，
y= 1 e 2xsin x1
8
2
C1x2 C2x C 3．
这就是所给方程的通解．
例2 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox轴作直线运动．设力 F 仅是时间 t 的函数:F=F(t)．在开始时刻 t=0时F(0)=F0 ，随着时 间 t 的增大，此力F 均匀地减小，直到 t=T 时，F(T)=0．如果开始
的特解．
y|x=0 =1, y|x =0 =3
dy dx
=j(x,C1)．
原方程的通解为
y= j(x,C1)dxC2．
解 设y=p，代入方程并分 离变量，得
dp = 2x dx ． p 1 x2
两边积分，得 ln|p|=ln(1x2)C，
即 p=y=C1(1x2) (C 1=eC)．
二、y = f (x, y) 型的微分方程
设方程 p dp =f(y,p)的通解为 dy
y=p=j(y,C1), 则原方程的通解为
解 设 y=p，则 y=pdp ， dy
代入方程，得
yp dp p 2=0． dy
在y0、p0时，约去p并分 离变量，得
dp = dy ． py
dy
j( y, C1 ) =xC2
．
三、y=f(y, y)型的微分方程
t F(t)=F0(1T
)．Leabharlann Baidu
于是质点运动的微分方程又写为
由初始条件
x|t=0=0，
dx dt
|t=0=0，
d2x dt 2
=
F0 m
(1 t ) ． T
得C1=C2=0．
于是所求质点的运动规律为
其初始条件为
x|t=0=0，
dx dt
|t=0=0．
x = F0 (1 t 2 t3 ) ，0tT．
把微分方程两边积分，得