2019高考数学(理科)二轮专题小题提速练(一)(带答案)
2019高考数学(理科)二轮专题小题提速练(三)(带答案解析)
小练（三）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合4 = {正N|烂6}, 8=UGR|〃-3x＞0},则A18=（）A. {3, 4, 5, 6} B, {^3<x<6}C. (4, 5, 6}D.知＜0或3＜心}解析：选C.依题意得川={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, 8={»<0或x>3},因此加8={4, 5, 6},选C.2.已知竺= b+2\(a, beR),其中i为虔数单位，则a-b={)A. -3B. -2C. -1D. 1树：-ai = 8+2i,因此a= -2, b=1, a-b= -3,选A.3.某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为（）3 A.—52 B.-51 C- 53 D,—10解析：选B将3名男生记为M, M2,必，2名女生记为站，庞，从这5名志愿者中选出2名的基本事件为（例，M沉（例，M）, （M,必），（M，冊），"必），（Mz,应），（仏，庞），（仏，站）（仏，冊），（站，庞），共有10种，其中所选的2名志愿者性SU相同的基本事件为（M,必），（M, M9,（心，必），（站，庞），42共有4种，因此选出的2名志愿者性§惟同的概率为一=一，选B. 10 54.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样f 问题：“三百七十丿厚关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还其意思是有f人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A.96 里B. 48 里6. 如图所示的程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中"m MOD n"表示777除以"的余数），若输入的m 、 S3 /輸方『/r=m MOD nC, 192里 D. 24 里解析：选A.依题意得，该人每天所走的路程依湘冽形成比为虹等比数列.记为{&},其前6项和等于2 = 378,解得a = 192,因此<%=-^ = 96,即该人第二天走了 96里，选A. 2-X = 1（a>0）的f 交点为材F 为抛物线的焦点，若|佈=5,则该双曲B. 3x±Sy=QC. 4史5*=0D. 5x±4*=0解析：选B.设点伍％,用，则有|物=刃+2 = 5,刃=3,帰=24,由点贝）宓曲-/=1上,a 妇弓一245知土所以双曲尸=1的^™ -^ = 0,即 3史5*=0,选B. Z7分别为495, 135,则输出的0=（线的渐近线方程为（A. Sx±3y=Q378,于是有「B. 5D. 90解析：选C.执行程序框图，777=495,力=135, r=90, /77 = 135, n= 90,不满足退出循环的条件；，=45, /77=90,力=45,不满足退出循环的条件；r=Q, m=4S, n=Q,退出循环.故输出的0=45,选C.7.以8C 的夕卜接圆的园心为O,半径为1, 2花=布+花 且|宓| = |葯，则向量3在向量新向上的投影 为（） 13 A-B.-- 2 2解析：选D.依题意知，圆心。
2019版二轮复习数学(理·普通生)通用版检测：附：4套“12+4”限时提速练
2019年4月附：4套“12＋4”限时提速练“12＋4”限时提速练(一) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知N 是自然数集，设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |6x ＋1∈N ，B ＝{0,1,2,3,4}，则A ∩B ＝( )A ．{0,2}B ．{0,1,2}C ．{2,3}D ．{0,2,4}详细分析：选B ∵6x ＋1∈N ，∴x ＋1应为6的正约数，∴x ＋1＝1或x ＋1＝2或x ＋1＝3或x ＋1＝6，解得x ＝0或x ＝1或x ＝2或x ＝5，∴集合A ＝{0,1,2,5}，又B ＝{0,1,2,3,4}，∴A ∩B ＝{0,1,2}．故选B.2．若复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋iD ．1－i详细分析：选C 因为(1＋i)z ＝2i ， 所以z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i.3．设向量a ＝(1,2)，b ＝(m ，m ＋1)，若a ∥b ，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－13D ．－3 详细分析：选A 因为a ＝(1,2)，b ＝(m ，m ＋1)，a ∥b ， 所以2m ＝m ＋1，解得m ＝1.4．在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q ＝2.若a m ＝a 1a 2a 3a 4(m ∈N *)，则m ＝( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8详细分析：选B 由题意可得，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，又a m ＝a 41q 6＝210，所以m ＝10.5．已知圆C 的圆心在坐标轴上，且经过点(6,0)及椭圆x 216＋y 24＝1的两个顶点，则该圆的标准方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝16B ．x 2＋(y －6)2＝72 C.⎝⎛⎭⎫x －832＋y 2＝1009D.⎝⎛⎭⎫x ＋832＋y 2＝1009详细分析：选C 由题意得圆C 经过点(0，±2)， 设圆C 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2， 由a 2＋4＝r 2，(6－a )2＝r 2， 解得a ＝83，r 2＝1009，所以该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －832＋y 2＝1009. 6．若⎝⎛⎭⎫x －2y n 的展开式中所有项的系数的绝对值的和为243，则⎝⎛⎭⎫x －2y n 的展开式中第3项的系数为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40详细分析：选C 令x ＝1，y ＝－1，得3n ＝243，故n ＝5，所以T 3＝C 25x 3⎝⎛⎭⎫－2y 2＝40x 3y －2，故选C.7．某几何体的三视图如图所示，俯视图是一个圆，其内有一个边长为2的正方形，正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，它们的底边长和圆的直径相等，它们的内接矩形的长和圆内正方形的对角线长相等，宽和正方形的边长相等，则俯视图中圆的半径是( )A ．2B ．2 2C ．3D.2＋1详细分析：选D 因为正方形的边长为2，所以正方形的对角线长为2， 设俯视图中圆的半径为R ， 如图，可得R ＝2＋1.8．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a ，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为( )A ．121B ．81C ．74D ．49详细分析：选B 第一次循环：S ＝1，n ＝2，a ＝8；第二次循环：S ＝9，n ＝3，a ＝16； 第三次循环：S ＝25，n ＝4，a ＝24；第四次循环：S ＝49，n ＝5，a ＝32；第五次循环：S ＝81，n ＝6，a ＝40，不满足a ≤32，退出循环，输出S 的值为81.9.函数f (x )＝A sin(2x ＋θ)A ＞0，|θ|≤π2的部分图象如图所示，且f (a )＝f (b )＝0，对不同的x 1，x 2∈[a ，b ]，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝3，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是减函数 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是增函数 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是减函数 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是增函数详细分析：选B 由题图知A ＝2，设m ∈[a ，b ]，且f (0)＝f (m )，则f (0＋m )＝f (m )＝f (0)＝3，∴2sin θ＝3，sin θ＝32，又|θ|≤π2，∴θ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，此时f (x )单调递增，所以选项B 正确．10.已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为36，点E ，F 分别为棱B 1B ，C 1C 上的点(异于端点)，且EF ∥BC ，则四棱锥A 1-AEFD 的体积为( )A ．2B ．4C ．6D ．12详细分析：选D 连接AF ，易知四棱锥A 1-AEFD 的体积为三棱锥F -A 1AD 和三棱锥F -A 1AE 的体积之和．设正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，则VF -A 1AD ＝13×12×a ×h ×a＝16a 2h ，V F -A 1AE ＝13×12×a ×h ×a ＝16a 2h ，所以四棱锥A 1-AEFD 的体积为13a 2h ，又a 2h ＝36，所以四棱锥A 1-AEFD 的体积为12.11．函数f (x )＝(2x 2＋3x )e x 的图象大致是( )详细分析：选A 由f (x )的解+析式知，f (x )只有两个零点x ＝－32与x ＝0，排除B 、D ；又f ′(x )＝(2x 2＋7x ＋3)e x ，由f ′(x )＝0知函数有两个极值点，排除C ，故选A. 12．已知函数f (x )＝ln x ＋x 与g (x )＝12ax 2＋ax －1(a ＞0)的图象有且只有一个公共点，则a 所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫12，23B.⎝⎛⎭⎫23，1 C.⎝⎛⎭⎫32，2D.⎝⎛⎭⎫1，32 详细分析：选D 设T (x )＝f (x )－g (x )＝ln x ＋x －12ax 2－ax ＋1，由题意知，当x ＞0时，T (x )有且仅有1个零点．T ′(x )＝1x ＋1－ax －a ＝x ＋1x －a (x ＋1)＝(x ＋1)·⎝⎛⎭⎫1x －a ＝(x ＋1)·1x ·(1－ax )． 因为a ＞0，x ＞0，所以T (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减，如图， 当x →0时，T (x )→－∞，x →＋∞时，T (x )→－∞， 所以T ⎝⎛⎭⎫1a ＝0，即ln 1a ＋1a －12a －1＋1＝0， 所以ln 1a ＋12a＝0.因为y ＝ln 1x ＋12x 在x ＞0上单调递减，所以ln 1a ＋12a ＝0在a ＞0上最多有1个零点．当a ＝12时，ln 1a ＋12a >0，当a ＝1时，ln 1a ＋12a ＝12＞0，当a ＝32时，ln 1a ＋12a ＜0，当a ＝2时，ln 1a ＋12a ＜0，所以a ∈⎝⎛⎭⎫1，32. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．若函数f (x )＝x 2＋axx 3是奇函数，则常数a ＝______.详细分析：函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 则由f (x )＋f (－x )＝0， 得x 2＋ax x 3＋x 2－ax －x 3＝0，即ax ＝0，则a ＝0. 答案：014．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，3x －5y ＋25≥0，x ＋4y －3≥0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为________．详细分析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋y ＝0，平移该直线， 当直线经过点A 时，z 取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，3x －5y ＋25＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝225，所以z max ＝3×(－1)＋225＝75.答案：7515．在平面直角坐标系xOy 中，与双曲线x 23－y 2＝1有相同渐近线，焦点位于x 轴上，且焦点到渐近线距离为2的双曲线的标准方程为________．详细分析：与双曲线x 23－y 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程可设为x 23－y 2＝λ，因为双曲线焦点在x 轴上，故λ＞0，又焦点到渐近线的距离为2， 所以λ＝4，所求方程为x 212－y 24＝1.答案：x 212－y 24＝116．如图所示，在△ABC 中，∠ABC 为锐角，AB ＝2，AC ＝8，sin ∠ACB ＝26，若BE ＝2DE ，S △ADE ＝423，则sin ∠BAE sin ∠DAE＝________.详细分析：因为在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝8，sin ∠ACB ＝26， 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠ABC ，所以sin ∠ABC ＝223.又∠ABC 为锐角，所以cos ∠ABC ＝13.因为BE ＝2DE ，所以S △ABE ＝2S △ADE . 又因为S △ADE ＝423，所以S △ABD ＝4 2.因为S △ABD ＝12×BD ×AB ×sin ∠ABC ，所以BD ＝6.由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ×BD ×cos ∠ABD ，可得AD ＝4 2. 因为S △ABE ＝12×AB ×AE ×sin ∠BAE ，S △DAE ＝12×AD ×AE ×sin ∠DAE ，所以sin ∠BAEsin ∠DAE ＝2×ADAB ＝4 2.答案：4 2“12＋4”限时提速练(二) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若复数z ＝a1＋i＋1为纯虚数，则实数a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2详细分析：选A 因为复数z ＝a 1＋i ＋1＝a (1－i )(1＋i )(1－i )＋1＝a 2＋1－a2i 为纯虚数，所以a 2＋1＝0，且－a2≠0，解得a ＝－2.故选A.2．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤2x ＜ 2，B ＝{x |ln x ≤0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．[－1,0) C.⎣⎡⎭⎫12，1D ．[－1,1]详细分析：选A ∵12≤2x ＜ 2，∴－1≤x ＜12，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ＜12.∵ln x ≤0，∴0＜x ≤1，∴B ＝{x |0＜x ≤1}， ∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12.3．已知函数f (x )＝2x (x ＜0)，其值域为D ，在区间(－1,2)上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是( )A.12B.13C.14D.23详细分析：选B 因为函数y ＝2x 是R 上的增函数，所以函数f (x )的值域是(0,1)，由几何概型的概率公式得，所求概率P ＝1－02－(－1)＝13.4．已知B 是以线段AC 为直径的圆上的一点(异于点A ，C )，其中|AB |＝2，则 AC ―→·AB ―→＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4详细分析：选D 连接BC ，∵AC 为直径，∴∠ABC ＝90°， ∴AB ⊥BC ，AC ―→在AB ―→上的投影|AC ―→|cos 〈AC ―→，AB ―→〉＝|AB ―→|＝2， ∴AC ―→·AB ―→＝|AC ―→||AB ―→|cos 〈AC ―→，AB ―→〉＝4. 5．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．－3 B.32C ．3D ．4详细分析：选C 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y＝0，平移该直线，当直线过点B 时，z ＝2x ＋y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，所以B (2，－1)，故z max ＝2×2－1＝3.6．执行如图所示的程序框图，若输出的s ＝25，则判断框中可填入的条件是( )A ．i ≤4?B ．i ≥4?C ．i ≤5?D ．i ≥5?详细分析：选C 执行程序框图，i ＝1，s ＝100－5＝95；i ＝2，s ＝95－10＝85；i ＝3，s ＝85－15＝70；i ＝4，s ＝70－20＝50；i ＝5，s ＝50－25＝25；i ＝6，退出循环．此时输出的s ＝25.结合选项知，选C.7．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为( )A.π12 B.π6C.π4D.π3详细分析：选B 根据题意可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，将其图象向左平移φ个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＋2φ的图象，因为该图象所对应的函数恰为奇函数，所以2π3＋2φ＝k π(k ∈Z)，φ＝k π2－π3(k ∈Z)，又φ＞0，所以当k ＝1时，φ取得最小值，且φmin ＝π6，故选B.8．南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就提出了已知三角形的三边求其面积的公式：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方，得积．”即△ABC 的面积S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222，其中△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a >b >c ，并举例“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何？”则该三角形沙田的面积为( )A ．82平方里B ．83平方里C ．84平方里D ．85平方里详细分析：选C 由题意知三角形沙田的三边长分别为15里、14里、13里，代入三角形的面积公式可得三角形沙田的面积S ＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤132×152－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋152－14222＝84(平方里)．故选C.9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．5π＋18B ．6π＋18C ．8π＋6D ．10π＋6详细分析：选C 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体的表面积为2×12×4π×12＋2×12×π×12＋2×3＋12×2π×1×3＝8π＋6.10．已知f (x )是定义在[－2b,1＋b ]上的偶函数，且在[－2b ，0]上为增函数，则f (x －1)≤f (2x )的解集为( )A.⎣⎡⎦⎤－1，23 B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤13，1详细分析：选B ∵函数f (x )是定义在[－2b,1＋b ]上的偶函数， ∴－2b ＋1＋b ＝0，∴b ＝1，函数f (x )的定义域为[－2,2]， 又函数f (x )在[－2,0]上单调递增，∴函数f (x )在[0,2]上单调递减， ∵f (x －1)≤f (2x )，∴f (|x －1|)≤f (|2x |)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －1≤2，－2≤2x ≤2，|x －1|≥|2x |，解得－1≤x ≤13.11．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 5a 9＋a 4a 12＝81，则1a 6＋4a 8的最小值是( )A.73B ．9C ．1D ．3详细分析：选C 因为{a n }为等比数列，所以a 1a 11＋2a 5a 9＋a 4a 12＝a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝81，又因为等比数列{a n }的各项均为正数，所以a 6＋a 8＝9， 所以1a 6＋4a 8＝19(a 6＋a 8)⎝⎛⎭⎫1a 6＋4a 8＝195＋a 8a 6＋4a 6a 8≥19⎝⎛⎭⎫5＋2a 8a 6×4a 6a 8＝1， 当且仅当a 8a 6＝4a 6a 8，a 6＋a 8＝9，即a 6＝3，a 8＝6时等号成立，所以1a 6＋4a 8的最小值是1.12．过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在直线y ＝－1上，若 △ABC 为正三角形，则其边长为( ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14详细分析：选B 由题意可知，焦点F (0,1)，易知过焦点F 的直线的斜率存在且不为零，则设该直线方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝kx ＋1，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， 设线段AB 的中点为M ，则M (2k,2k 2＋1)， |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)(16k 2＋16)＝4(1＋k 2)．设C (m ，－1)，连接MC ， ∵△ABC 为等边三角形，∴k MC ＝2k 2＋22k －m ＝－1k ，m ＝2k 3＋4k ，点C (m ，－1)到直线y ＝kx ＋1的距离|MC |＝|km ＋2|1＋k 2＝32|AB |，∴|km ＋2|1＋k 2＝32×4(1＋k 2)， 即2k 4＋4k 2＋21＋k 2＝23(1＋k 2)，解得k ＝±2， ∴|AB |＝4(1＋k 2)＝12.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中，任取三条的不同取法有n 种，在这些取法中，若以取出的三条线段为边可组成钝角三角形的取法种数为m ，则mn ＝________.详细分析：由题意得n ＝C 35＝10，结合余弦定理可知组成钝角三角形的有(2,3,4)，(2,4,5)，共2个，所以m ＝2，故m n ＝210＝15.答案：1514．甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与体育委员的年龄不同，体育委员比乙的年龄小，据此推断班长是________．详细分析：若甲是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故丙是体育委员，乙是学习委员，但这与丙比学习委员的年龄大矛盾，故甲不是班长；若丙是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故甲是体育委员，这和甲与体育委员的年龄不同矛盾，故丙不是班长；若乙是班长，由于甲与体育委员的年龄不同，故甲是学习委员，丙是体育委员，此时其他条件均成立，故乙是班长．答案：乙15．已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过F ，A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若AB ―→＝3FA ―→，则此双曲线的离心率为________．详细分析：由F (－c,0)，A (0，b )， 得直线AF 的方程为y ＝bc x ＋b .根据题意知，直线AF 与渐近线y ＝ba x 相交，联立得⎩⎨⎧y ＝bc x ＋b ，y ＝ba x ，消去x 得，y B ＝bc c －a. 由AB ―→＝3FA ―→，得y B ＝4b ， 所以bc c －a ＝4b ，化简得3c ＝4a ，所以离心率e ＝43.答案：4316．一个直角三角形的三个顶点分别在底面边长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为________．详细分析：记该直角三角形为△ABC ，且AC 为斜边．法一：如图，不妨令点A 与正三棱柱的一个顶点重合， 取AC 的中点O ，连接BO ， ∴BO ＝12AC ，∴AC 取得最小值即BO 取得最小值，即点B 到平面ADEF 的距离． ∵△AHD 是边长为2的正三角形， ∴点B 到平面ADEF 的距离为3， ∴AC 的最小值为2 3.法二：如图，不妨令点A 与正三棱柱的一个顶点重合， 设BH ＝m (m ≥0)，CD ＝n (n ≥0)，∴AB 2＝4＋m 2，BC 2＝4＋(n －m )2，AC 2＝4＋n 2. ∵AC 为Rt △ABC 的斜边， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2，即4＋m 2＋4＋(n －m )2＝4＋n 2， ∴m 2－nm ＋2＝0，∴m ≠0，n ＝m 2＋2m ＝m ＋2m ，∴AC 2＝4＋⎝⎛⎭⎫m ＋2m 2≥4＋8＝12，当且仅当m ＝2m ，即m ＝2时等号成立， ∴AC ≥23，故AC 的最小值为2 3. 答案：2 3“12＋4”限时提速练(三) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知a ，b ∈R ，复数a ＋b i ＝2i1－i，则a ＋b ＝( ) A ．2 B ．1 C ．0D ．－2详细分析：选C 因为a ＋b i ＝2i1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝2i (1＋i )2＝－1＋i ，所以a ＝－1，b ＝1，a ＋b ＝0.2．设集合A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，1] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)详细分析：选D 由A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ，又A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，所以a ≥2. 3．若点⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α＝( ) A.32B.12C ．－32D ．－12详细分析：选C 因为sin5π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π6＝sin π6＝12，cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32， 所以点⎝⎛⎭⎫12，－32在角α的终边上，且该点到角α顶点的距离r ＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1， 所以sin α＝－32. 4．从某校的一次数学考试中，随机抽取50名同学的成绩，算出平均分为72分，若本次成绩X 服从正态分布N (μ，196)，则该校学生本次数学成绩在86分以上的概率约为( )(附：若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜Z ＜μ＋σ)＝0.682 7, P (μ－2σ＜Z ＜μ＋2σ)＝0.954 5) A ．0.022 8 B ．0.045 5 C ．0.158 7D ．0.317 3详细分析：选C 这50名同学成绩的平均数为72，由题意知X 服从正态分布N (72,142)， 故P (72－14<X <72＋14)＝0.682 7， ∴P (X >86)＝12(1－0.682 7)≈0.158 7.5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于( )A.33B.233C. 3D ．2详细分析：选D 由三视图知，该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P -ABCD ，如图，该四棱锥的高h ＝3，底面ABCD 是边长分别为2，3的矩形，所以该四棱锥的体积V ＝13S 四边形ABCD ×h ＝13×2×3×3＝2.故选D.6．已知直线l ：y ＝3x ＋m 与圆C ：x 2＋(y －3)2＝6相交于A ，B 两点，若∠ACB ＝120°，则实数m 的值为( )A ．3＋6或3－ 6B ．3＋26或3－2 6C ．9或－3D ．8或－2详细分析：选A 由题知圆C 的圆心为C (0,3)，半径为6，取AB 的中点为D ，连接CD ，则CD ⊥AB ，在△ACD 中，|AC |＝6，∠ACD ＝60°，所以|CD |＝62，由点到直线的距离公式得|－3＋m |(3)2＋1＝62，解得m ＝3±6.7．在如图所示的程序框图中，如果输入a ＝1，b ＝1，则输出的S ＝( )A ．7B ．20C ．22D ．54详细分析：选B 执行程序，a ＝1，b ＝1，S ＝0，k ＝0，k ≤4，S ＝2，a ＝2，b ＝3；k ＝2，k ≤4，S ＝7，a ＝5，b ＝8；k ＝4，k ≤4，S ＝20，a ＝13，b ＝21；k ＝6，不满足k ≤4，退出循环．则输出的S ＝20.8．若直线x ＝a π(0＜a ＜1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，则不等式tan x ≥2a 的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π6≤x ＜k π＋π2，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π3≤x ＜k π＋π2，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z 详细分析：选B 由正切函数的图象知，直线x ＝a π(0<a <1)与函数y ＝tan x 的图象没有公共点时，a ＝12，所以tan x ≥2a ，即tan x ≥1，其解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z . 9．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2且S n ＋1＝2S n ，设b n ＝log 2a n ，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 017b 2 018的值是( )A.4 0352 018B.4 0332 017C.2 0172 018D.2 0162 017详细分析：选B 由S n ＋1＝2S n 可知，数列{S n }是首项为S 1＝a 1＝2，公比为2的等比数列，所以S n ＝2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1，所以b n ＝log 2a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n －1，n ≥2.当n ≥2时，1b n b n ＋1＝1(n －1)n ＝1n －1－1n ，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 017b 2 018＝1＋1－12＋12－13＋…＋12 016－12 017＝2－12 017＝4 0332 017.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋a ，x ＜1，ln x ＋1，x ≥1，若方程f (x )＝2有两个解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(－∞，5)D ．(－∞，5]详细分析：选C 法一：当x ≥1时，由ln x ＋1＝2，得x ＝e.由方程f (x )＝2有两个解知，当x ＜1时，方程x 2－4x ＋a ＝2有唯一解．令g (x )＝x 2－4x ＋a －2＝(x －2)2＋a －6，则g (x )在(－∞，1)上单调递减，所以当x ＜1时，g (x )＝0有唯一解，则g (1)＜0，得a ＜5，故选C.法二：随着a 的变化引起y ＝f (x )(x ＜1)的图象上下平移，作出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，由图象知，要使f (x )＝2有两个解，则 a －3<2，得a <5.11．已知F 是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若|PF |＝2|Q F |，且∠PF Q ＝120°，则椭圆E 的离心率为( )A.13B.12C.33D.22详细分析：选C 设F 1是椭圆E 的右焦点，如图，连接PF 1，Q F 1.根据对称性，线段FF 1与线段P Q 在点O 处互相平分，所以四边形PF Q F 1是平行四边形，|F Q |＝|PF 1|，∠FPF 1＝180°－∠PF Q ＝60°，根据椭圆的定义得|PF |＋|PF 1|＝2a ，又|PF |＝2|Q F |，所以|PF 1|＝23a ，|PF |＝43a ，而|F 1F |＝2c ，在△F 1PF 中，由余弦定理，得(2c )2＝⎝⎛⎭⎫23a 2＋⎝⎛⎭⎫43a 2－2×23a ×43a ×cos 60°，化简得c 2a 2＝13，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝33.12．已知函数f (x )＝e xx2＋2k ln x －kx ，若x ＝2是函数f (x )的唯一极值点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，e 24 B.⎝⎛⎦⎤－∞，e2 C ．(0,2]D ．[2，＋∞)详细分析：选A f ′(x )＝e x (x －2)x 3＋k (2－x )x ＝(x －2)(e x －kx 2)x 3(x ＞0)，令f ′(x )＝0，得x ＝2或e x ＝kx 2(x ＞0)．由x ＝2是函数f (x )的唯一极值点知e x ≥kx 2(x ＞0)恒成立或e x ≤kx 2(x ＞0)恒成立， 由y ＝e x (x ＞0)和y ＝kx 2(x ＞0)的图象可知，只能是e x ≥kx 2(x ＞0)恒成立． 当x ＞0时，由e x≥kx 2，得k ≤e xx2.设g (x )＝e xx2，则k ≤g (x )min .由g ′(x )＝e x (x －2)x 3，得当x ＞2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当0＜x ＜2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，所以g (x )min ＝g (2)＝e 24，所以k ≤e 24.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a ，b 满足a ⊥b ，|a |＝1，|2a ＋b |＝22，则|b |＝________.详细分析：法一：因为|2a ＋b |＝22， 所以4a 2＋4a ·b ＋b 2＝8. 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0.又|a |＝1，所以4×1＋4×0＋b 2＝8，所以|b |＝2. 法二：如图，作出OA ―→＝2a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝2a ＋b ，因为a ⊥b ，所以OA ⊥OB ，因为|a |＝1，|2a ＋b |＝22， 所以|OA ―→|＝2，|OC ―→|＝22， 所以|OB ―→|＝|b |＝2.法三：因为a ⊥b ，所以以O 为坐标原点，以a ，b 的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，因为|a |＝1，所以a ＝(1,0)，设b ＝(0，y )(y ＞0)，则2a ＋b ＝(2，y )，因为|2a ＋b |＝22，所以4＋y 2＝8，解得y ＝2，所以|b |＝2.答案：214．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x －y ＋4≥0，2x ＋y －4≤0，则z ＝x ＋3y 的最大值为________．详细分析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线x ＋3y ＝0，并平移该直线，当直线经过点A (0，4)时，目标函数z ＝x ＋3y 取得最大值，且z max ＝12.答案：1215．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos C ＝14，c ＝3，且a cos A ＝bcos B，则△ABC 的面积等于________． 详细分析：由a cos A ＝b cos B 及正弦定理，得sin A cos A ＝sin Bcos B ，即tan A ＝tan B ，所以A ＝B ，即a ＝b .由cos C ＝14且c ＝3，结合余弦定理a 2＋b 2－2ab cos C ＝c 2，得a ＝b ＝6，又sin C＝1－cos 2 C ＝154，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝3154. 答案：315416．如图，等腰三角形PAB 所在平面为α，PA ⊥PB ，AB ＝4，C ，D 分别为PA ，AB 的中点，G 为CD 的中点．平面α内经过点G 的直线l 将△PAB 分成两部分，把点P 所在的部分沿直线l 翻折，使点P 到达点P ′(P ′∉平面α)．若点P ′在平面α内的射影H 恰好在翻折前的线段AB 上，则线段P ′H 的长度的取值范围是________．详细分析：在等腰三角形PAB 中，∵PA ⊥PB ，AB ＝4， ∴PA ＝PB ＝2 2.∵C ，D 分别为PA ，AB 的中点， ∴PC ＝CD ＝2且PC ⊥CD . 连接PG ，P ′G ，∵G 为CD 的中点，∴PG ＝P ′G ＝102. 连接HG ，∵点P ′在平面α内的射影H 恰好在翻折前的线段AB 上， ∴P ′H ⊥平面α，∴P ′H ⊥HG ，∴HG ＜P ′G ＝102. 易知点G 到线段AB 的距离为12，∴HG ≥12，∴12≤HG ＜102.又P ′H ＝⎝⎛⎭⎫1022－HG 2， ∴0＜P ′H ≤32.答案：⎝⎛⎦⎤0，32“12＋4”限时提速练(四) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．复数z ＝2＋i1－i的共轭复数对应的点在复平面内位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限详细分析：选D 复数z ＝2＋i 1－i ＝(2＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋3i 2＝12＋32i ，则复数z 的共轭复数为z＝12－32i ，所以复数z 的共轭复数对应的点的坐标是⎝⎛⎭⎫12，－32，该点位于第四象限． 2．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x ≥1，N ＝{}y |y ＝1－x 2，则M ∩N ＝( )A ．(－∞，2]B ．(0,1]C ．[0,1]D ．(0,2]详细分析：选B 由2x ≥1得x －2x ≤0， 解得0<x ≤2，则M ＝{x |0<x ≤2}； 函数y ＝1－x 2的值域是(－∞，1]， 则N ＝{y |y ≤1}，因此M ∩N ＝{x |0<x ≤1}＝(0,1]．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝( ) A ．52 B ．78 C ．104D ．208详细分析：选C 依题意得3a 7＝24，a 7＝8，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝104，选C.4．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝ －2x ，则f (1)＋f (4)等于( )A.32 B ．－32C ．－1D ．1详细分析：选B 由f (x ＋4)＝f (x )知f (x )是周期为4的周期函数， 又f (x )是定义在R 上的偶函数，故f (4)＝f (0)＝－1，f (1)＝f (－1)，又－1∈[－2,0]，所以f (－1)＝－2－1＝－12，所以f (1)＝－12，f (1)＋f (4)＝－32.5．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→在AB ―→方向上的投影是( ) A.322B ．－322C ．3 5D ．－3 5详细分析：选C 依题意得，AB ―→＝(2,1)，CD ―→＝(5,5)，AB ―→·CD ―→＝(2,1)·(5,5)＝15，|AB ―→|＝5，因此向量CD ―→在AB ―→方向上的投影是AB ―→·CD ―→|AB ―→|＝155＝3 5. 6．若二项式⎝⎛⎭⎫55x 2＋1x 6的展开式中的常数项为m ，则⎠⎛1m (x 2－2x)d x ＝( )A.13 B ．－13C ．－23D.23详细分析：选D 因为二项式的通项公式为T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎫55x 26－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝⎝⎛⎭⎫556－r C r6x 12－3r ，令12－3r ＝0，得r ＝4，所以m ＝⎝⎛⎭⎫552C 46＝3，所以⎠⎛1m (x 2－2x )d x ＝⎠⎛13(x 2－2x)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪31＝⎝⎛⎭⎫13×33－32－⎝⎛⎭⎫13－1＝23，故选D.7．在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1,1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为( )A .34 B.23C .12D.14详细分析：选D 作出不等式表示的平面区域如图所示，故所求概率P (y ≤2x)＝12×12×11×1＝14.8．某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，则其俯视图中椭圆的离心率为( )A .12B.24C .22D.32详细分析：选C 依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a ，则斜边长为2a ，圆锥的底面半径为22a 、母线长为a ，因此其俯视图中椭圆的长轴长为2a 、短轴长为a ，其离心率e ＝1－⎝⎛⎭⎫a 2a 2＝22. 9．已知点P ，A ，B 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，直线AB 过坐标原点，且直线PA ，PB 的斜率之积为13，则双曲线的离心率为( )A.233B.153 C ．2D.102详细分析：选A 根据双曲线的对称性可知点A ，B 关于原点对称， 设A (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)，所以⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x22a2－y 22b2＝1，两式相减得x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b 2，即y 21－y 22 x 21－x 22＝b 2a2， 因为直线PA ，PB 的斜率之积为13，所以k PA ·k PB ＝y 1－y 2 x 1－x 2·－y 1－y 2－x 1－x 2＝y 21－y 22 x 21－x 22＝b 2a 2＝13， 所以双曲线的离心率为e ＝1＋b 2a2＝ 1＋13＝233.10．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后的图象关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A.32B.12C ． －12D ．－32详细分析：选D 依题意得，函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ是奇函数，则sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝0，又|φ|<π2，因此π3＋φ＝0，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－32. 11．设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为2，23，4，则其外接球的表面积为( )A ．48πB ．32πC ．20πD ．12π详细分析：选B 依题意，设题中的三棱锥外接球的半径为R ，可将题中的三棱锥补形成一个长方体，则R ＝1222＋(23)2＋42＝22，因此三棱锥外接球的表面积为4πR 2＝32π.12．已知函数f (x )＝x 3－3x ，则方程f [f (x )]＝1的实根的个数是( ) A ．9 B ．7 C ．5D ．3详细分析：选A 依题意得f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)， 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0.所以函数f (x )在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，且 f (－1)＝f (2)＝2，f (1)＝－2，f (±3)＝f (0)＝0.在平面直角坐标系内画出直线y ＝1与函数y ＝f(x )的图象(图略)，结合图象可知，它们共有三个不同的交点，记这三个交点的横坐标由小到大依次为x 1，x 2，x 3， 则－3<x 1<－1<x 2<0，3<x 3<2.再画出直线y ＝x 1，y ＝x 2，y ＝x 3，结合图象可知，直线y ＝x 1，y ＝x 2，y ＝x 3与函数y ＝f (x )的图象的交点个数均为3，且这些交点的横坐标各不相同，所以方程f [f (x )]＝1的实根个数是9.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝2x ，则f (log 49)＝________. 详细分析：因为当x <0时，f (x )＝2x ，令x >0，则－x <0，故f (－x )＝2－x ，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x >0时，f (x )＝－2－x ，又因为log 49＝log 23>0，所以f (log 49)＝f (log 23)＝－2－log 23＝－2log 213＝－13.答案：－1314．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________. 详细分析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)， 所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝0不满足条件； 由cos α－sin α＝14，两边平方得1－sin 2α＝116，所以sin 2α＝1516.答案：151615．已知点A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 为其焦点，以F 为圆心，|FA |为半径的圆交准线于B ，C 两点，若△FBC 为正三角形，且△ABC 的面积为1283，则抛物线的方程为________．详细分析：如图，可得|BF |＝2p3，则由抛物线的定义知点A 到准线的距离也为2p 3，又△ABC 的面积为1283，所以12×2p 3×2p 3＝1283，解得p＝8，故抛物线的方程为y 2＝16x .答案：y 2＝16x16．在数列{a n }和{b n }中，a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n ，a 1＝1，b 1＝1.设c n ＝1a n＋1b n，则数列{c n }的前2 018项和为________．详细分析：由已知a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n ，得a n ＋1＋b n ＋1＝2(a n ＋b n )，所以a n ＋1＋b n ＋1a n ＋b n＝2，所以数列{a n ＋b n }是首项为2，公比为2的等比数列， 即a n ＋b n ＝2n ，将a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n相乘，得a n ＋1b n ＋1a n bn＝2，所以数列{a n b n }是首项为1，公比为2的等比数列， 所以a n b n ＝2n －1，因为c n ＝1a n ＋1b n ，所以c n ＝a n ＋b n a n b n ＝2n2n －1＝2，数列{c n }的前2 018项和为2×2 018＝4 036. 答案：4 036。
2019高考数学(理科)二轮专题小题提速练(六)(带答案解析)
小练(六)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合4 = {Mlog2(x-1)<0}, 8={如0},则加8=()A.(0, 1) B, (0, 1］C. (1, 2) D, (1, 2］解析：选C.由Iog2(x-1)<0可得log2(x-1)<log21,再由函数的定义域和单调性可得0<x-1<1,即1 <x <2,从而4 = (1, 2), >4n8=4=(1, 2),选C.2.若复数z满足空=3 + i(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的点位于()1+iA.第Y限B,第二象限C.第三象限D.第四象限树：选A.由公=3 + i,可得z-i=(3 + i)(1+i) = 2 + 4i,即z=2 + 5i, 新复平面内所对应的点(2, 5)位于1+i第Y限.3.已知直线/的斜率为幻隘［角为3,则-0<^<-"是"絶1"的()4A.充分而:箱牛B. 蠣而不充^{牛C.充要耕D. 职充耕解析：选A.当0 <&%, 0〈危1;反之，当虹1时，0与宏强故“0〈但土是"虹1"的充4 4 2 4分而不必要条件，选A.4.在区间［0, 2］上随机地取一^尤，则事件-2A2-3x<Q-发生的概率为()7.执行如图所示的程序框图，若输入的"=40,则输出的/的值是（）33° 3解析：选B.由2^ - 3x<0,得Q<x<-故所求概率匹 _=-选B. 2M 4 5. cos 63°sin 177° + sin 243°sin 87° =(1 B.--2嘶:选 D 解A ： cos 63°sin 177° + sin 243°sin 87° = cos 63° sin(90° + 87°) + sin(180° + 63°)sin 87° = cos63E 87。
2019高考数学(理科)二轮专题小题提速练(五)(带答案解析)
小 练㈤一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的.) 1.已知集合〃 ={-1, 0, 1), A = {^x=n/, m^Ui,贝！JC 泌=( A. {0, 1) B. {-1, 0, 1)C. 0D. {-1} 树：选D.-.^1 = (A |X =/772, /77GM = (0, 1), /.C 以={-1},蠣D.A. 2依C. 3^2解析：选C.复数z=3-i-2i = 3-3i,则|2 = 3魏，故选C.3.已知命题p, q,则“r 〃为假命题”是“日人0是真命题"的（）A.充分而;融B.蠣而不充牛 解析：选B.充分性：若w 为假命题，则Q 为真命题，由于不知道q 的真假性，所戏不出 玲q 是真命题.必 要性：py 是真命题，则p, q 均为真命题，贝为假命题.所以、〃为假命题”是"学0是真命题”的必要而 不充分条件，故选B.4.已知正方形S8CQ 的中心为。
且其边长为1,贝U （汤-瑟I ）•（戸1 +屍）=（）A 崩 B,:C. 2D. 1 解析：选D.（汤-宓）•（晚+屍）=勿死＞=仆审xcos45° = 1.5 .如图，在底面边长为1,高为2的正四棱柱ABCD-Ay & G △療侧棱丄底面川位初中，点『是正方形4&G 。
内一点，则三棱钳俯视图的面积之和的最小值为（）C,充分蠣融 D.艮环充融2,已知験z=10 3 + i-2i （M 中j 是疊单位）, 则 I2 = ( 面4如?是正方形,P-BCD 的正视图与解析：选A.由题易知，其正视图面税为1x1x2 = 1.当顶点『在底面N8Q?上的投影在内部或其边上时，2俯视图的面积最小，最小值为父8co=klx1=1,所以三棱锥P-BCD的正视图与俯视图的面积之和的最小值为1 2 21 32 22x- y- 2>0,6.点Rx,少为格式组3x+*-%0,所表示的平面区域内的动点，则m=x-y的最小值为（）x+2y-1>0A. -1B. 1C. 4D. 02%-y- 2>0,解析：选D如图所示，施式组3x+*-8M0,x+2y-1>0所表示的平面区域为图中阴影部分所示.由图可知，当直线y=x- m经过点8时，/77取得最小值.由2x-y- 2 = 0, p=2,可得故彻2, 2）,将点探2, 2）代入目标函数m=x- y,得m=0.故选D.3x+*-8 = 0 y=2,3A.—2B. 17,执行如图所示的程序框图，若最终输出的结果为0,则开始输入的x的犀3 值为（）15 C.—16解析：选B./= 1, x=2x-<\, /=2; x=2(2x-1)-1=4x-3, /=3; x=2(4x-3) -1 =8x-7, /=4,退出循环.此时8x-7 = 0,g^,^B.8.我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明.如图是赵爽的弦图.弦图是一个以勾股形（即直角三角形）之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及Tyh正方形，分别涂成朱（红）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2x勾X股+（股-勾）2 = 4x朱实+黄实=弦实=弦2,化简得：勾2+股2 =弦2.设勾股形中勾股比为1淑,若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（A. 866D. 134所以弦为2弓小正方形的边长为海a-a,所以题图中大正方形的面积为何小曲形的面积为®朋所以小lEgg形的面积比为専二遷,所羽在黄色图形（小正方形）内的图钉数大约为[2 ] 1 0005 34."+3丄•.最小正周期「=四=n,.心=2,由-匹+2如血+丄丄2如（虹潟,3 2 3 25n n12, 129,已知函数= sin cux+则函数個的一个单调递塔区间为（B. 500C. 300解析：选A./W = 2si解析：选D.设勾为a,贝|」股为。
2019高考数学(理科)二轮专题小题提速练(四)(带答案解析)
小题提速练㈣一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)设集合A = {x|y=々M + 3x-4)}, B = {y|y = 21-X2},贝iJAAB = (1.B.A.C.(0, 2][2, 4)B. (1, 2]D. (-4, 0)树：B::K = {xlx2 + 3x - 4> 0} = (x|x> 1 sgx< -4}, B = {y|0<y<2}, .-AnB = (1, 2],螭負2,已知复数z满足z（1-/旅=1+心为虚数单位），贝！］&|为（A-2树:选8.解*:因为或z满足"胪=1+匕所以z=〔 " 2 = '= 所以％=业蠣（1 - 7）2 - 2 / 2 2 2 解法二：因为复数Z满足Z（1 -,2=1+/；所以|z| = (1-/)23.下列函数中，既是偶函数，又在区间（0, +的上单调递减的函数是（A. y = - x3B. y = /〃x|C. y= cos xD. y = 2-M解析：选々显然函数y = 2-x是偶函数，当x>0时，函数y = B在区间（0, +8）上是减函数.故选4.命题Wx>0, ——>0"的否定是(x-1A. 3x<0, ------ <0x-1B. 3x>0, 0<x<1D. Vx<0, 0<x<1树：选气島＞。
，*。
或3,.=＞。
的査依。
油，命题的査依*＞。
，。
女顼，蠣B.5.某単位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则分别应抽取老年人中年人青年人的人数是（）A. 7, 11, 18B. 6, 12, 18C. 6, 13, 17D. 7, 14, 21解析：选。
2019高考数学二轮复习“12+4”小题提速练二理
“12＋4”小题提速练(二)一、选择题1．(2018·成都一模)设集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x 2＋x －2>0}，则A ∩B ＝( ) A ．(2,3) B ．(1,3)C ．(－∞，－2)∪(1,3)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选B 由x 2＋x －2>0，得x <－2或x >1，即B ＝(－∞，－2)∪(1，＋∞)，所以A ∩B ＝(1,3)，故选B.2．(2018·洛阳模拟)若m ＋i ＝(1＋2i)·n i(m ，n ∈R ，i 是虚数单位)，则n －m 等于( ) A ．3 B ．2 C ．0D ．－1解析：选A 由m ＋i ＝(1＋2i)·n i ＝－2n ＋n i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ，1＝n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝1，故n－m ＝1－(－2)＝3，故选A.3．(2018·洛阳尖子生统考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－2或 2解析：选B 因为等比数列{a n }中a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.4．(2018·广州模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 9的展开式中x 3的系数为( )A ．－212B ．－92C.92D.212解析：选A 二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x9－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，展开式中x 3的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 39＝－18×9×8×73×2×1＝－212，选A.5．(2018·潍坊模拟)已知角α的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴正半轴，终边在第二象限，A (x ，y )是其终边上一点，向量m ＝(3,4)，若m ⊥OA ―→，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7B ．－17C ．－7D.17解析：选D 由m ⊥OA ―→，得3x ＋4y ＝0，即y ＝－34x ，所以tan α＝－34，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝17，选D.6．(2018·成都二模)执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )A ．13B ．14C ．15D ．17解析：选C 程序在运行过程中a 的值变化如下：a ＝1；a ＝2×1＋1＝3，不满足a >10；a ＝2×3＋1＝7，不满足a >10；a ＝2×7＋1＝15，满足a >10.于是输出的a ＝15，故选C.7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝0，则ω取最小值时，φ的值为( )A.π6 B ．π3C.2π3D.5π6解析：选 D 由7π12－π3＝π4≥14×2πω，解得ω≥2，故ω的最小值为2，此时sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，又0<φ<π，所以φ＝5π6.8．(2018·武昌模拟)已知点P 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，PF ⊥x 轴(其中F 为双曲线的右焦点)，点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为( )A.233B． 3C.255D. 5解析：选A 由题意知F(c,0)，由PF⊥x轴，不妨设点P在第一象限，则P⎝⎛⎭⎪⎫c，b2a，双曲线渐近线的方程为bx±ay＝0，由题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪b·c－a·b2aa2＋b2⎪⎪⎪⎪⎪⎪b·c＋a·b2aa2＋b2＝13，解得c＝2b，又c2＝a2＋b2，所以a＝3b，所以双曲线的离心率e＝ca＝2b3b＝233，故选A.9．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”题目的意思是：“有一粮仓的三视图如图所示(单位：尺)，问能储存多少粟米？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有(取整数)( )A．410斛B．420斛C．430斛D．441斛解析：选D 粮仓的形状为一个如图所示的直四棱柱，其体积为V＝9＋82×7×12＝714(立方尺)，又7141.62≈441，所以可以储存粟米约为441斛．10．(2018·浙江六校联考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上任一点，且PF1―→·PF2―→的最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34c2，－12c2，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A．(1，2] B．[2，2]C．(1，2) D．[2，＋∞)解析：选B 设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b 2＝1，即m 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1―→＝(－c －m ，－n )，PF 2―→＝(c －m ，－n )，则PF 1―→·PF 2―→＝m 2－c 2＋n 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2－c 2＋n 2＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2＋a 2－c 2≥a 2－c 2(当n ＝0时取等号)，则PF 1―→·PF 2―→的最小值为a 2－c 2， 由题意可得－34c 2≤a 2－c 2≤－12c 2，即14c 2≤a 2≤12c 2，即12c ≤a ≤22c ， 即2≤e ≤2，故选B.11．(2018·武汉调研)已知不等式3x 2－y 2>0所表示的平面区域内一点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的垂线段分别为PA ，PB ，若△PAB 的面积为3316，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(3,0)C ．(0,2)D ．(0,3)解析：选A 不等式3x 2－y 2>0⇒(3x －y )(3x ＋y )>0⇒⎩⎨⎧3x －y >0，3x ＋y >0或⎩⎨⎧3x －y <0，3x ＋y <0，其表示的平面区域如图中阴影部分所示．点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的距离分别为|PA |＝|3x －y |3＋1＝|3x －y |2，|PB |＝|3x ＋y |3＋1＝|3x ＋y |2，∵∠AOB ＝120°，∴∠APB ＝60°，∴S △PAB ＝12×|PA |×|PB |sin 60°＝34×3x 2－y 24，又S △PAB ＝3316，∴34×3x 2－y 24＝3316， ∴3x 2－y 2＝3，即x 2－y 23＝1，∴P 点轨迹是双曲线，其焦点为(±2,0)，故选A.12．(2018·陕师大附中模拟)已知点A (1，－1)，B (4,0)，C (2,2)，平面区域D 由所有满足AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→(λ∈[1，a ]，μ∈[1，b ])的点P (x ，y )组成．若区域D 的面积为8，则a ＋b 的最小值为( )A.32 B ．2 C ．4D ．8解析：选C 如图所示，延长AB 到点N ，延长AC 到点M ，使得AN ＝aAB ，AM ＝bAC ，作NG ∥AM ，MG ∥AN ，CH ∥AN 且交NG 于点H ，BF∥AM 且交MG 于点F ，BF 交CH 于点E ，则四边形ABEC ，ANGM ，EHGF 均为平行四边形．由题意知，点P (x ，y )组成的区域D 为图中的阴影部分(包括边界)．因为AB ―→＝(3,1)，AC ―→＝(1,3)，所以cos ∠CAB ＝AC ―→·AB ―→|AC ―→||AB ―→|＝610×10＝35，所以sin ∠CAB ＝45.由|AB ―→|＝10，|AC ―→|＝10，可得EH ＝BN ＝AN －AB ＝10(a －1)，EF ＝CM ＝AM －AC ＝10(b －1)．又区域D 的面积为8，所以10(a －1)×10(b －1)×45＝8，即(a －1)(b －1)＝1.由题知a >1，b >1，所以a ＋b ＝(a －1)＋(b －1)＋2≥2a －1b －1＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时不等式取等号．故a ＋b 的最小值为4.故选C.二、填空题13．(2018·长郡中学模拟)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，14，且a ·b ＝1，则|b |＝________. 解析：依题意得a ·b ＝3m 4＋m4＝m ＝1，|b |＝m 2＋116＝174. 答案：17414．(2018·福州模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3(a cos C －c cos A )＝b ，B ＝60°，则A 的大小为________．解析：由正弦定理及3(a cos C －c cos A )＝b ，得3(sin A cos C －sin C cos A )＝sinB ，所以3sin(A －C )＝sin B ，由B ＝60°，得sin B ＝32，所以sin(A －C )＝12.又A －C ＝120°－2C ∈(－120°，120°)，所以A －C ＝30°，又A ＋C ＝120°，所以A ＝75°.答案：75°15．(2018·德阳模拟)已知椭圆：x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．解析：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b2a＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3.答案： 316．在数列{a n }中，首项不为零，且a n ＝3a n －1(n ∈N *，n ≥2，S n 为数列{a n }的前n 项和．令T n ＝10S n －S 2n a n ＋1，n ∈N *，则T n 的最大值为________．解析：依题意得a n ＝a 1×(3)n －1，又a 1≠0，所以数列{a n }是以3为公比的等比数列，所以S n ＝a 1×[1－3n]1－3，S 2n ＝a 1×[1－32n]1－3，T n ＝10S n －S 2na n ＋1＝3＋1[10×3n－32n－9]2×3n＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－3n－93n.因为10－(3)n－93n ≤10－23n×93n＝4，T n ＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－3n－93n≤ 3＋12×4＝2(3＋1)，当且仅当(3)n＝93n，即n ＝2时取等号，因此T n 的最大值是2(3＋1)．答案：2(3＋1)。
2019年高考数学理科二轮复习练习小题提速练412选择+4填空80分练
2．已知复数 z＝3＋ 4i ，则 z 的虚部为 (
)
【导学号： 07804211】
9 A．－ 5i
9 B．5i
9 C．－ 5
9 D．5
15i
15i 3－ 4i
15
12 9
D [ z＝
＝
＝ (4 ＋ 3i) ＝ ＋ i ，故选 D.]
3＋ 4i
3＋ 4i
3－4i
25
55
3．设 D是△ ABC所在平面内一点， A→B＝1
A．－ 1 1
C. 2
B．1 D．2
1
11
C [ n＝ ， i ＝ 1 进入循环， n＝ 1－ 2＝－ 1， i ＝ 2； n＝ 1－ ( － 1) ＝ 2， i ＝3； n＝ 1－ ＝ ，i
2
22
f
π 6 ＝ 2sin
2×
π 6
－π3
＝ 0，所以③正确；
π
π
π
π
5π
π
由 2kπ － ≤２x－ ≤２kπ ＋ ，k∈ Z，得 kπ－ ≤ x≤kπ ＋ ，k∈ Z，取 k＝0，得－
2
3
2
12
12
12
5π
π 5π
≤x≤ 12 ，即 y＝ f ( x) 在 － 12， 12 上单所示，则该几何体的体积为 ( )
【导学号： 07804212】
17π A. 6
图 10 17π B． 3
C．5π
13π D． 6
A [ 由三视图可知，该几何体是半个圆锥，一个圆柱，一个半球的组合体，
1
2 17
其体积为 6π＋ 2π ＋ 3π ＝ 6 π .
选 A.] 8．执行如图 11 所示的程序框图，输出的结果为 ( )
2019届(浙江)高考数学(理科)二轮专题训练：“12+4”提速专练卷(一)(含答案)
“12＋4”提速专练卷(一)一、选择题1．(2018·西城模拟)已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|0<x<c，其中c>0}．若A∪B＝B，则c的取值范围是( )A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,2] D．[2，＋∞)解析：选D 由已知条件可得A＝(0,2)，∵A∪B＝(0,2)∪(0，c)＝(0，c)，∴c≥2.2．若复数z＝2－i，则z＋10z＝( )A．2－i B．2＋i C．4＋2i D．6＋3i解析：选D ∵z＝2－i，∴z＋10z＝(2＋i)＋102－i＝(2＋i)＋＋－＋＝6＋3i.3．在“神十”航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有( )A．24种 B．48种C．96种 D．144种解析：选C 当A出现在第一步时，再排A，B，C以外的三个程序，有A33种，A与A，B，C以外的三个程序生成4个可以排列程序B、C的空档，此时共有A33A14A22种排法；当A出现在最后一步时的排法与此相同，故共有2A33A14A22＝96种编排方法．4．设向量a＝(2，x－1)，b＝(x＋1,4)，则“x＝3”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 当a∥b时，有2×4＝(x－1)(x＋1)，解得x＝±3，所以x＝3⇒a∥b，但a∥b⇒/ x＝3，故“x＝3”是“a∥b”的充分不必要条件．5．已知数列{a n}是等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{a n}的前n项和为S n，则使S n达到最大的n是( )A．18 B．19C．20 D．21解析：选C a1＋a3＋a5＝105⇒a3＝35，a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，则{a n}的公差d＝33－35＝－2，a1＝a3－2d＝39，S n＝－n2＋40n，因此当S n取得最大值时n＝20.6．在如图所示的程序框图中，输入A＝192，B＝22，则输出的结果是( )A ．0B ．2C ．4D ．6解析：选B 输入后依次得到：C ＝16，A ＝22，B ＝16；C ＝6，A ＝16，B ＝6；C ＝4，A ＝6，B ＝4；C ＝2，A ＝4，B ＝2；C ＝0，A ＝2，B ＝0.故输出的结果为2.7．一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．3 cm 3B.92 cm 3C ．9 cm 3D.272cm 3解析：选B 由几何体的三视图可得该几何体是底面为底边长为3，高为3的等腰三角形，高为3的三棱锥，其体积V ＝13×12×3×3×3＝92cm 3.8．函数y ＝f(x)的图像向右平移π6个单位后与函数y ＝sin 2x 的图像重合，则y ＝f(x)的解析式是( ) A ．f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 B ．f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 C ．f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 解析：选 B 将y ＝sin 2x 的图像向左平移π6个单位即得y ＝f(x)的图像，即f(x)＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.9．经过抛物线y ＝14x 2的焦点和双曲线x 217－y28＝1的右焦点的直线方程为( )A ．x ＋48y －3＝0B ．x ＋80y －5＝0C ．x ＋3y －3＝0D ．x ＋5y －5＝0解析：选D 易知抛物线的焦点坐标，双曲线的右焦点坐标分别为(0,1)，(5,0)，则过这两点的直线方程为y －0＝0－15－0(x －5)，即x ＋5y －5＝0.10．(2018·杭州模拟)已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式可能是( )A ．f(x)＝x 2－2ln|x| B ．f(x)＝x 2－ln|x| C ．f(x)＝|x|－2ln|x|D ．f(x)＝|x|－ln|x|解析：选B 由函数图像可得，函数f(x)为偶函数，且x>0时，函数f(x)的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点的横坐标小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，22，2,1，由此可得仅函数f(x)＝x 2－ln|x|符合条件．11．函数f(x)＝x 3－bx 2＋1有且仅有两个不同零点，则b 的值为( ) A.342 B.322C.3322D ．不能确定解析：选C f′(x)＝3x 2－2bx ＝x(3x －2b)，令f′(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝2b3.当曲线f(x)与x 轴相切时，f(x)有且只有两个不同零点，因为f(0)＝1≠0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 3＝0，解得b ＝3322.12．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．πa 2B.73πa 2C.113πa 2D ．5πa 2解析：选B 设三棱柱上底面所在圆的半径为r ，球的半径为R ，由已知r ＝23·32a ＝33a.又∵R 2＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝13a 2＋14a 2＝712a 2，∴S 球＝4πR 2＝4π·712a 2＝73πa 2. 二、填空题13．(x －2)5的展开式中x 2的系数是________(用数字作答)．解析：由已知得T r ＋1＝C r 5x 5－r 2×(－2)r ，令5－r 2＝2，解得r ＝1，则x 2的系数是－10.答案：－1014．已知圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0，则圆心C 的坐标为________；若直线y ＝kx 与圆C 相切，且切点在第四象限，则k ＝________.解析：圆的方程可化为(x －3)2＋y 2＝1，故圆心坐标为(3,0)；由|3k|1＋k2＝1，解得k ＝±24.根据切点在第四象限，可得k ＝－24. 答案：(3,0) －2415．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β.其中正确的解析：①正确，∵l ⊥α，α∥β，∴l ⊥β，又m ⊂β，∴l ⊥m; ②错误，l ，m 可以垂直，也可异面；③正确，∵l ⊥α，l ∥m ，∴m ⊥α，又m ⊂β，∴α⊥β；④错误，α与β可能相交．答案：①③16．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x＋y≤9，6≤x－y≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为________．解析：根据⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x＋y≤9，6≤x－y≤9得可行域如图中阴影部分所示，根据z ＝x ＋2y 得y ＝－x 2＋z2，平移直线y ＝－x2，在M 点处z 取得最小值．根据⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝9，2x ＋y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－5，此时z ＝4＋2×(－5)＝－6.答案：－6。
2019高考数学二轮复习“12+4”小题提速练二理
“12＋4”小题提速练(二)一、选择题1．(2018·成都一模)设集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x 2＋x －2>0}，则A ∩B ＝( ) A ．(2,3) B ．(1,3)C ．(－∞，－2)∪(1,3)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选B 由x 2＋x －2>0，得x <－2或x >1，即B ＝(－∞，－2)∪(1，＋∞)，所以A ∩B ＝(1,3)，故选B.2．(2018·洛阳模拟)若m ＋i ＝(1＋2i)·n i(m ，n ∈R ，i 是虚数单位)，则n －m 等于( ) A ．3 B ．2 C ．0D ．－1解析：选A 由m ＋i ＝(1＋2i)·n i ＝－2n ＋n i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ，1＝n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝1，故n－m ＝1－(－2)＝3，故选A.3．(2018·洛阳尖子生统考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－2或 2解析：选B 因为等比数列{a n }中a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.4．(2018·广州模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 9的展开式中x 3的系数为( )A ．－212B ．－92C.92D.212解析：选A 二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x9－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，展开式中x 3的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 39＝－18×9×8×73×2×1＝－212，选A.5．(2018·潍坊模拟)已知角α的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴正半轴，终边在第二象限，A (x ，y )是其终边上一点，向量m ＝(3,4)，若m ⊥OA ―→，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7B ．－17C ．－7D.17解析：选D 由m ⊥OA ―→，得3x ＋4y ＝0，即y ＝－34x ，所以tan α＝－34，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝17，选D.6．(2018·成都二模)执行如图所示的程序框图，输出的结果是()A ．13B ．14C ．15D ．17解析：选C 程序在运行过程中a 的值变化如下：a ＝1；a ＝2×1＋1＝3，不满足a >10；a ＝2×3＋1＝7，不满足a >10；a ＝2×7＋1＝15，满足a >10.于是输出的a ＝15，故选C.7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝0，则ω取最小值时，φ的值为( )A.π6 B ．π3C.2π3D.5π6解析：选 D 由7π12－π3＝π4≥14×2πω，解得ω≥2，故ω的最小值为2，此时sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，又0<φ<π，所以φ＝5π6.8．(2018·武昌模拟)已知点P 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，PF ⊥x 轴(其中F 为双曲线的右焦点)，点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为( )A.233 B ． 3C.255D. 5解析：选A 由题意知F (c,0)，由PF ⊥x 轴，不妨设点P 在第一象限，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，双曲线渐近线的方程为bx ±ay ＝0，由题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c －a ·b 2a a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c ＋a ·b 2a a 2＋b 2＝13，解得c ＝2b ，又c 2＝a 2＋b 2，所以a＝3b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝2b 3b＝233，故选A.9．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”题目的意思是：“有一粮仓的三视图如图所示(单位：尺)，问能储存多少粟米？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有(取整数)( )A ．410斛B ．420斛C ．430斛D ．441斛解析：选D 粮仓的形状为一个如图所示的直四棱柱，其体积为V ＝9＋82×7×12＝714(立方尺)，又7141.62≈441，所以可以储存粟米约为441斛．10．(2018·浙江六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上任一点，且PF 1―→·PF 2―→的最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34c 2，－12c 2，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，2]B ．[2，2]C ．(1，2)D ．[2，＋∞)解析：选B 设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b 2＝1，即m 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1―→＝(－c －m ，－n )，PF 2―→＝(c －m ，－n )，则PF 1―→·PF 2―→＝m 2－c 2＋n 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2－c 2＋n 2＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2＋a 2－c 2≥a 2－c 2(当n ＝0时取等号)，则PF 1―→·PF 2―→的最小值为a 2－c 2， 由题意可得－34c 2≤a 2－c 2≤－12c 2，即14c 2≤a 2≤12c 2，即12c ≤a ≤22c ， 即2≤e ≤2，故选B.11．(2018·武汉调研)已知不等式3x 2－y 2>0所表示的平面区域内一点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的垂线段分别为PA ，PB ，若△PAB 的面积为3316，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(3,0)C ．(0,2)D ．(0,3)解析：选A 不等式3x 2－y 2>0⇒(3x －y )(3x ＋y )>0⇒⎩⎨⎧3x －y >0，3x ＋y >0或⎩⎨⎧3x －y <0，3x ＋y <0，其表示的平面区域如图中阴影部分所示．点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的距离分别为|PA |＝|3x －y |3＋1＝|3x －y |2，|PB |＝|3x ＋y |3＋1＝|3x ＋y |2，∵∠AOB ＝120°，∴∠APB ＝60°，∴S △PAB ＝12×|PA |×|PB |sin 60°＝34×3x 2－y 24，又S △PAB ＝3316，∴34×3x 2－y 24＝3316， ∴3x 2－y 2＝3，即x 2－y 23＝1，∴P 点轨迹是双曲线，其焦点为(±2,0)，故选A.12．(2018·陕师大附中模拟)已知点A (1，－1)，B (4,0)，C (2,2)，平面区域D 由所有满足AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→(λ∈[1，a ]，μ∈[1，b ])的点P (x ，y )组成．若区域D 的面积为8，则a ＋b 的最小值为( )A.32 B ．2 C ．4D ．8解析：选C 如图所示，延长AB 到点N ，延长AC 到点M ，使得AN ＝aAB ，AM ＝bAC ，作NG ∥AM ，MG ∥AN ，CH ∥AN 且交NG 于点H ，BF∥AM 且交MG 于点F ，BF 交CH 于点E ，则四边形ABEC ，ANGM ，EHGF 均为平行四边形．由题意知，点P (x ，y )组成的区域D 为图中的阴影部分(包括边界)．因为AB ―→＝(3,1)，AC ―→＝(1,3)，所以cos ∠CAB ＝AC ―→·AB ―→|AC ―→||AB ―→|＝610×10＝35，所以sin ∠CAB ＝45.由|AB ―→|＝10，|AC ―→|＝10，可得EH ＝BN ＝AN －AB ＝10(a －1)，EF ＝CM ＝AM －AC ＝10(b －1)．又区域D 的面积为8，所以10(a －1)×10(b －1)×45＝8，即(a －1)(b －1)＝1.由题知a >1，b >1，所以a ＋b ＝(a －1)＋(b －1)＋2≥2a －b －＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时不等式取等号．故a ＋b 的最小值为4.故选C.二、填空题13．(2018·长郡中学模拟)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，14，且a ·b ＝1，则|b |＝________. 解析：依题意得a ·b ＝3m 4＋m4＝m ＝1，|b |＝m 2＋116＝174. 答案：17414．(2018·福州模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3(a cos C －c cos A )＝b ，B ＝60°，则A 的大小为________．解析：由正弦定理及3(a cos C －c cos A )＝b ，得3(sin A cos C －sin C cos A )＝sinB ，所以3sin(A －C )＝sin B ，由B ＝60°，得sin B ＝32，所以sin(A －C )＝12.又A －C ＝120°－2C ∈(－120°，120°)，所以A －C ＝30°，又A ＋C ＝120°，所以A ＝75°.答案：75°15．(2018·德阳模拟)已知椭圆：x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．解析：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b2a＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3.答案： 316．在数列{a n }中，首项不为零，且a n ＝3a n －1(n ∈N *，n ≥2，S n 为数列{a n }的前n 项和．令T n ＝10S n －S 2n a n ＋1，n ∈N *，则T n 的最大值为________．解析：依题意得a n ＝a 1×(3)n －1，又a 1≠0，所以数列{a n }是以3为公比的等比数列，所以S n ＝a 1×[1－3n]1－3，S 2n ＝a 1×[1－32n]1－3，T n ＝10S n －S 2na n ＋1＝3＋3n－32n－9]3n＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－3n－93n.因为10－(3)n－93n ≤10－23n×93n＝4，T n ＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－3n－93n≤ 3＋12×4＝2(3＋1)，当且仅当(3)n＝93n，即n ＝2时取等号，因此T n 的最大值是2(3＋1)．答案：2(3＋1)。
2019高考数学二轮复习“12+4”小题提速练二理
“12＋4”小题提速练(二)一、选择题1．(2018·成都一模)设集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x 2＋x －2>0}，则A ∩B ＝( ) A ．(2,3) B ．(1,3)C ．(－∞，－2)∪(1,3)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选B 由x 2＋x －2>0，得x <－2或x >1，即B ＝(－∞，－2)∪(1，＋∞)，所以A ∩B ＝(1,3)，故选B.2．(2018·洛阳模拟)若m ＋i ＝(1＋2i)·n i(m ，n ∈R ，i 是虚数单位)，则n －m 等于( ) A ．3 B ．2 C ．0D ．－1解析：选A 由m ＋i ＝(1＋2i)·n i ＝－2n ＋n i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ，1＝n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝1，故n－m ＝1－(－2)＝3，故选A.3．(2018·洛阳尖子生统考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－2或 2解析：选B 因为等比数列{a n }中a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.4．(2018·广州模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 9的展开式中x 3的系数为( )A ．－212B ．－92C.92D.212解析：选A 二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x9－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，展开式中x 3的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 39＝－18×9×8×73×2×1＝－212，选A.5．(2018·潍坊模拟)已知角α的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴正半轴，终边在第二象限，A (x ，y )是其终边上一点，向量m ＝(3,4)，若m ⊥OA ―→，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7B ．－17C ．－7D.17解析：选D 由m ⊥OA ―→，得3x ＋4y ＝0，即y ＝－34x ，所以tan α＝－34，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝17，选D.6．(2018·成都二模)执行如图所示的程序框图，输出的结果是()A ．13B ．14C ．15D ．17解析：选C 程序在运行过程中a 的值变化如下：a ＝1；a ＝2×1＋1＝3，不满足a >10；a ＝2×3＋1＝7，不满足a >10；a ＝2×7＋1＝15，满足a >10.于是输出的a ＝15，故选C.7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝0，则ω取最小值时，φ的值为( )A.π6 B ．π3C.2π3D.5π6解析：选 D 由7π12－π3＝π4≥14×2πω，解得ω≥2，故ω的最小值为2，此时sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，又0<φ<π，所以φ＝5π6.8．(2018·武昌模拟)已知点P 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，PF ⊥x 轴(其中F 为双曲线的右焦点)，点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为( )A.233 B ． 3C.255D. 5解析：选A 由题意知F (c,0)，由PF ⊥x 轴，不妨设点P 在第一象限，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，双曲线渐近线的方程为bx ±ay ＝0，由题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c －a ·b 2a a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c ＋a ·b 2a a 2＋b 2＝13，解得c ＝2b ，又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝3b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝2b 3b＝233，故选A.9．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”题目的意思是：“有一粮仓的三视图如图所示(单位：尺)，问能储存多少粟米？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有(取整数)( )A ．410斛B ．420斛C ．430斛D ．441斛解析：选D 粮仓的形状为一个如图所示的直四棱柱，其体积为V ＝9＋82×7×12＝714(立方尺)，又7141.62≈441，所以可以储存粟米约为441斛．10．(2018·浙江六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上任一点，且PF 1―→·PF 2―→的最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34c 2，－12c 2，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，2]B ．[2，2]C ．(1，2)D ．[2，＋∞)解析：选B 设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b 2＝1，即m 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1―→＝(－c －m ，－n )，PF 2―→＝(c －m ，－n )，则PF 1―→·PF 2―→＝m 2－c 2＋n 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2－c 2＋n 2＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2＋a 2－c 2≥a 2－c 2(当n ＝0时取等号)，则PF 1―→·PF 2―→的最小值为a 2－c 2， 由题意可得－34c 2≤a 2－c 2≤－12c 2，即14c 2≤a 2≤12c 2，即12c ≤a ≤22c ， 即2≤e ≤2，故选B.11．(2018·武汉调研)已知不等式3x 2－y 2>0所表示的平面区域内一点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的垂线段分别为PA ，PB ，若△PAB 的面积为3316，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(3,0)C ．(0,2)D ．(0,3)解析：选A 不等式3x 2－y 2>0⇒(3x －y )(3x ＋y )>0⇒⎩⎨⎧3x －y >0，3x ＋y >0或⎩⎨⎧3x －y <0，3x ＋y <0，其表示的平面区域如图中阴影部分所示．点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的距离分别为|PA |＝|3x －y |3＋1＝|3x －y |2，|PB |＝|3x ＋y |3＋1＝|3x ＋y |2，∵∠AOB ＝120°，∴∠APB ＝60°，∴S △PAB ＝12×|PA |×|PB |sin 60°＝34×3x 2－y 24，又S △PAB ＝3316，∴34×3x 2－y 24＝3316， ∴3x 2－y 2＝3，即x 2－y 23＝1，∴P 点轨迹是双曲线，其焦点为(±2,0)，故选A.12．(2018·陕师大附中模拟)已知点A (1，－1)，B (4,0)，C (2,2)，平面区域D 由所有满足AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→(λ∈[1，a ]，μ∈[1，b ])的点P (x ，y )组成．若区域D 的面积为8，则a ＋b 的最小值为( )A.32 B ．2 C ．4D ．8解析：选C 如图所示，延长AB 到点N ，延长AC 到点M ，使得AN ＝aAB ，AM ＝bAC ，作NG ∥AM ，MG ∥AN ，CH ∥AN 且交NG 于点H ，BF∥AM 且交MG 于点F ，BF 交CH 于点E ，则四边形ABEC ，ANGM ，EHGF 均为平行四边形．由题意知，点P (x ，y )组成的区域D 为图中的阴影部分(包括边界)．因为AB ―→＝(3,1)，AC ―→＝(1,3)，所以cos ∠CAB ＝AC ―→·AB ―→|AC ―→||AB ―→|＝610×10＝35，所以sin ∠CAB ＝45.由|AB ―→|＝10，|AC ―→|＝10，可得EH ＝BN ＝AN －AB ＝10(a －1)，EF ＝CM ＝AM －AC ＝10(b －1)．又区域D 的面积为8，所以10(a －1)×10(b －1)×45＝8，即(a －1)(b －1)＝1.由题知a >1，b >1，所以a ＋b ＝(a －1)＋(b －1)＋2≥2a －b －＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时不等式取等号．故a ＋b 的最小值为4.故选C.二、填空题13．(2018·长郡中学模拟)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，14，且a ·b ＝1，则|b |＝________. 解析：依题意得a ·b ＝3m 4＋m4＝m ＝1，|b |＝m 2＋116＝174. 答案：17414．(2018·福州模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3(a cos C －c cos A )＝b ，B ＝60°，则A 的大小为________．解析：由正弦定理及3(a cos C －c cos A )＝b ，得3(sin A cos C －sin C cos A )＝sinB ，所以3sin(A －C )＝sin B ，由B ＝60°，得sin B ＝32，所以sin(A －C )＝12.又A －C ＝120°－2C ∈(－120°，120°)，所以A －C ＝30°，又A ＋C ＝120°，所以A ＝75°.答案：75°15．(2018·德阳模拟)已知椭圆：x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．解析：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b2a＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3.答案： 316．在数列{a n }中，首项不为零，且a n ＝3a n －1(n ∈N *，n ≥2，S n 为数列{a n }的前n 项和．令T n ＝10S n －S 2n a n ＋1，n ∈N *，则T n 的最大值为________．解析：依题意得a n ＝a 1×(3)n －1，又a 1≠0，所以数列{a n }是以3为公比的等比数列，所以S n ＝a 1×[1－3n]1－3，S 2n ＝a 1×[1－32n]1－3，T n ＝10S n －S 2na n ＋1＝3＋3n－32n－9]3n＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－3n－93n.因为10－(3)n－93n ≤10－23n×93n＝4，T n ＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－3n－93n≤ 3＋12×4＝2(3＋1)，当且仅当(3)n＝93n，即n ＝2时取等号，因此T n 的最大值是2(3＋1)．答案：2(3＋1)。
2019高考数学二轮复习“12+4”小题提速练一理(含答案)
一、选择题
1．设全集 U＝ R，集合 M＝{ y| y＝ lg( x2＋10)} ， N＝ { x|0< x<2} ，则 N∩（?UM) ＝ (
)
A． (0,1)
B． (0,1]
C． (1,2)
D． ?
解析：选 A 由 M＝ { y| y＝lg( x2＋ 10)} 得 M＝ { y| y≥1} ，所以 ?UM＝ ( －∞， 1) ，故 N∩（?UM) ＝ (0,1) ，故
满足条件②；
1
11
x
2＋ 2 － 1
x
x
2 ＋1
－ x 2－x＋1 － x 2x＋ 1
因为当
x≠０时，f 4( x) ＝ x
x＋ 2 －1 2
＝x·
x－ ＝ 2· 2x－ 1，所以 f 4( －x) ＝ 2 ·2－x－1＝ 2 · 1
2x－ 1
x
x 2 ＋1 ＝ 2· 2x－ 1＝ f 4( x) ，所以当 x≠０时， f 4( x) 是偶函数，所以当 x1<0<x2，且 | x1| ＝ | x2| 时，有 f 4( x1) ＝ f 4 ( x2) ，
xf ′（x)>0 ；③当 x1<0<x2，且 | x1| ＝ | x2| 时，都有 f ( x1)< f ( x2) ，则称 f ( x) 为“偏对称函数”．现给出四个函
数：f
1(
x)
＝－
x 3＋
3x2 2
；f
2(
x)
＝
ex－
x－1；f
3(
x)
＝
－ x＋ 2x， x>0；
， x≤0，
11
f 4( x) ＝
2019届高考数学二轮复习客观题提速练一理(含答案)
客观题提速练一(时间:45分钟满分:80分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2018·江西八校联考)集合M={3,2a},N={a,b},若M∩N={2},则M∪N等于( )(A){0,1,2} (B){1,2,3}(C){0,1,3} (D){0,2,3}2.(2018·云南昆明一中月考)复数(i是虚数单位)的虚部为( )(A)i (B)1 (C)-i (D)-13.在区间[1,4]上随机取一个数x,则事件“log4x≥”发生的概率为( )(A)(B)(C)(D)4.(2018·云南昆明一中月考)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点A为C上一点,以F为圆心,FA 为半径的圆交l于B,D两点,若∠BFD=120°,△ABD的面积为2,则p等于( )(A)1 (B)(C)(D)25.(2018·江西南昌三模)“>1”是“关于x的方程sin x=m有解”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件6.(2018·衡阳八中一模)已知数列{a n}的通项公式为a n=n+5,从{a n}中依次取出第3,9,27,…,3n项,按原来的顺序排成一个新的数列,则此数列的前n项和为( )(A)(B)3n+5(C) (D)7.(2018·四川南充二模)已知tan α=2,则的值为( )(A)-3 (B)3 (C)(D)-8. (2018·云南昆明一中月考)已知函数f(x)=ax3-x2+b在x=1处取得极值,令函数g(x)=,程序框图如图所示,若输出的结果K>,则判断框内可填入的条件为( )(A)n<2 018?(B)n≤2 018?(C)n≤2 019?(D)n<2 019?9.(2018·四川攀枝花二模)由曲线y=,直线y=x-2及y轴所围成图形的面积为( )(A)(B)4 (C)(D)610.若某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )(A)6 (B)2 (C)1 (D)311.(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,且f(x+1)是偶函数,不等式f(m+2)≥f(x-1)对任意的x∈[-1,0]恒成立,则实数m的取值范围是( )(A)[-3,1](B)[-4,2](C)(-∞,-3]∪[1,+∞)(D)(-∞,-4]∪[2,+∞)12.(2018·河北衡水中学二调)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数f(x)=称为狄利克雷函数,则关于函数f(x)有以下四个命题:①f(f(x))=1;②函数f(x)是偶函数;③任意一个非零有理数T,f(x+T)=f(x)对任意x∈R恒成立;④存在三个点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),使得△ABC为等边三角形.其中真命题的个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2018·云南曲靖一中质量监测)已知a=（,-）,|b|=2,且a⊥(a-2b),则a与b夹角的余弦值为.14.若x,y满足约束条件则x-y的取值范围是.15.(2018·福建漳州四校联考)已知数列{a n}是公差不为零的等差数列,若a1,a k,a2k,(k∈N*,k≥2)是公比为q 的等比数列,则kq的最小值为.16.(2018·云南昆明一中月考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+2b2=3c2,a=6sin A,则c的最大值为.1.B由M∩N={2}得2a=2,b=2,则集合M={3,2},N={1,2},则M∪N={1,2,3},故选B.2.B 由题意,====i,故选B.3.B 由log4x≥,得x≥2,所以在区间[1,4]上随机取一个数x,事件“log4x≥”发生的概率为P==.故选B.4.A 因为∠BFD=120°,所以圆的半径|FA|=|FB|=2p,|BD|=2p,由抛物线定义,知点A到准线l的距离d=|FA|=2p,所以|BD|·d=2p·p=2,所以p=1,选A.5.A 由>1得>0,得0<m<1,由方程sin x=m有解可得-1≤m≤1,故可得“>1”是“关于x的方程sin x=m有解”的充分不必要条件,故选A.6.D设构成的新数列为{b n},则b n==3n+5,则{b n}的前n项和为b1+b2+…+b n=3+ 32+…+3n+5n=+5n=,故选D.7.A 因为tan α=2,所以===-3.故选A.8.B 由题意,f′(x)=3ax2-x,而f′(1)=3a-1=0,解得a=,故g(x)===-.由程序框图可知,当n=2时,K=,n=3时,K=,n=4时,K=,n=5时,K=,…n=2 018时,K=,欲输出K>,须n≤2 018.9.C由得交点坐标为(4,2),则所围成的图形面积为(-x+2)dx= （-x2+2x）︱=×-×16+8=,故选C.10.C 由三视图可知,该几何体是个三棱锥,高h=3,底面积S=×1×2=1,所以V=×1×3=1.故选C.11.A f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),所以f(x)的图象关于x=1对称,又f(x)在[1,+∞)单调递减,且x∈[-1,0],由f(m+2)≥f(x-1)得|(m+2)-1|≤|(x-1)-1|,所以|m+1|≤2,解得-3≤m≤1.12.A 若x是有理数,则f(f(x))=f(1)=1,若x是无理数,则f(f(x))=f(0)=1,则①正确;因为x与-x同为有理数或无理数,所以f(x)=f(-x),所以f(x)为偶函数,②正确;因为x与x+T同为有理数或无理数,所以f(x)=f(x+T),③正确;存在点A（,0）,B（-,0）,C(0,1),使得△ABC为等边三角形,④正确.综上所述,真命题的个数为4,故选A.13.解析:因为a=（,-）,|b|=2,且a⊥(a-2b),所以a·(a-2b)=a2-2a·b=0,且|a|=1.所以a·b=,所以cos<a,b>===.答案:14.解析: 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,三个交点坐标分别为A(0,1.5),B(0,3),C(1,1),代入x-y分别得到的值为-1.5,-3,0,所以x-y的范围是[-3,0].答案:[-3,0]15.解析:设{a n}的公差为d(d≠0),因为a1,a k,a2k是公比为q的等比数列,所以q=====,则kq==(k-1)++2≥2+2=4,当且仅当k-1=(k ≥2),即k=2时,取等号,故kq的最小值是4.答案:416.解析:由a2+2b2=3c2,由余弦定理及基本不等式可得,cos C===+≥2=,所以sin C=≤,当且仅当a∶b∶c=∶∶时等号成立,所以sin C的最大值是,又因为a=6 sin A,所以==6,所以c=6sin C≤2.所以c的最大值为2.答案:2。
2019高考数学(理科)小题提速练(一)Word版含解析
小题提速练(一)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |x |≤2}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．[2，5] B ．(2，5] C ．[－1，2]D ．[－1，2)解析：选B.由题得A ＝[－1，5]，B ＝[－2，2]，则∁R B ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝(2，5]，故选B.2．如果复数m 2＋i1＋m i 是纯虚数，那么实数m 等于( )A ．－1B ．0C ．0或1D ．0或－1通解：选D.m 2＋i1＋m i ＝（m 2＋i ）（1－m i ）（1＋m i ）（1－m i ）＝m 2＋m ＋（1－m 3）i 1＋m 2，因为此复数为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，1－m 3≠0，解得m ＝－1或0，故选D.优解：设m 2＋i1＋m i＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则有b i(1＋m i)＝m 2＋i ，即－mb ＋b i ＝m 2＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－mb ＝m 2，b ＝1，解得m ＝－1或0，故选D. 3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值是( )A ．3B ．4C ．6D ．8通解：选C.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点A (6，0)时，z 取得最大值，即z max ＝6，故选C.优解：目标函数z ＝x ＋y 的最值在可行域的三个顶点处取得，易知三条直线的交点分别为(3，0)，(6，0)，(2，2)．当x ＝3，y ＝0时，z ＝3；当x ＝6，y ＝0时，z ＝6；当x ＝2，y ＝2时，z ＝4.所以z max ＝6，故选C.4．已知某批零件的长度误差ξ(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(附：正态分布N (μ，σ2)中，P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.954 5)( )A ．0.045 6B ．0.135 9C ．0.271 8D ．0.317 4解析：选B.因为P (－3＜ξ＜3)＝0.682 7，P (－6＜ξ＜6)＝0.954 5，所以P (3＜ξ＜6)＝12(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9，故选B.5．设a ＝⎝⎛⎭⎫1213，b ＝⎝⎛⎭⎫1312，c ＝ln 3π，则( ) A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c通解：选B.因为a ＝⎝⎛⎭⎫1213＞⎝⎛⎭⎫1212＞b ＝⎝⎛⎭⎫1312＞0，c ＝ln 3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B. 优解：因为a 3＝12＞b 3＝127＝39，所以a ＞b ＞0.又c ＝ln 3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B.6．下列函数中，在其定义域内是增函数而且是奇函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2|x | C ．y ＝2x －2－xD ．y ＝2x ＋2－x解析：选C.因为y ＝2x 为增函数，y ＝2－x 为减函数，所以y ＝2x －2－x 为增函数，又y ＝2x －2－x 为奇函数，所以选C.7．某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是( )A ．13πB ．16πC ．25πD ．27π解析：选C.由三视图知该几何体是一个底面为正方形的长方体，由正视图知该长方体的底面正方形的对角线长为4.所以底面边长为2 2，由俯视图知该长方体的高为3，设该几何体的外接球的半径为R ，则2R ＝（2 2）2＋（2 2）2＋32＝5，解得R ＝52，所以该几何体的外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×254＝25π，故选C.8．已知函数y ＝sin ()2x ＋φ在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称解析：选A.由题意可得π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，所以y ＝cos(2x ＋φ)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2k π＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，k ∈Z .当x ＝π6时，cos ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π6＝cos π2＝0，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，不关于直线x ＝π6对称，故A 正确，C 错误；当x ＝π3时，cos ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π6＝cos 56π＝－32，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象不关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，也不关于直线x ＝π3对称，故B 、D 错误．故选A.9．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A ．2－3 3πB ．4－6 3πC.13－32πD ．23解析：选B.设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24⎝⎛⎭⎫16πr 2－34r 2＝4πr 2－6 3r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′＝4－6 3π，故选B.10．给出四个函数，分别满足①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，③h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，④m (x ·y )＝m (x )·m (y )．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( )A ．①甲，②乙，③丙，④丁B ．①乙，②丙，③甲，④丁C ．①丙，②甲，③乙，④丁D ．①丁，②甲，③乙，④丙解析：选D.①f (x )＝x ，这个函数可使f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )成立，∵f (x ＋y )＝x ＋y ，x ＋y ＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，故①对应丁．②寻找一类函数g (x )，使得g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)具有这种性质，令g (x )＝a x ，g (y )＝a y ，则g (x ＋y )＝a x ＋y ＝a x ·a y ＝g (x )·g (y )，故②对应甲．③寻找一类函数h (x )，使得h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，对数函数具有这种性质，令h (x )＝log a x ，h (y )＝log a y ，则h (x ·y )＝log a (xy )＝log a x ＋log a y ＝h (x )＋h (y )，故③对应乙．④令m (x )＝x 2，这个函数可使m (xy )＝m (x )·m (y )成立，∵m (x )＝x 2，∴m (x ·y )＝(xy )2＝x 2y 2＝m (x )·m (y )，故④对应丙．故选D.11．已知抛物线y ＝14x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则：①若AB 的斜率为1，则|AB |＝4；②|AB |min ＝2；③y M ＝－1；④若AB 的斜率为1，则x M ＝1；⑤x A ·x B ＝－4.以上结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.由题意得，焦点F (0，1)，对于①，l AB 为y ＝x ＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝14x 2，消去x ，得y 2－6y ＋1＝0，得y A ＋y B ＝6，则|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝8，故①错误；对于②，|AB |min ＝2p ＝4，故②错误；因为y ′＝x 2，则l AM ∶y －y A ＝x A 2(x －x A )，即l AM ：y ＝12x A x －y A ，同理l BM ：y ＝12x B x －y B ，联立，得⎩⎨⎧y ＝12x A x －y A ，y ＝12x Bx －y B，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A＋x B2，x A·x B4.设l AB 为y ＝kx ＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y ＝14x 2，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，x A ＋x B ＝4k ，x A ·x B ＝－4，所以y M ＝－1，③和⑤均正确；对于④，AB 的斜率为1时，x M ＝2，故④错误，故选B.12．已知函数f (x )＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0＜x 0＜12B ．12＜x 0＜1C.22＜x 0＜ 2 D ．2＜x 0＜ 3解析：选D.由题意，得f ′(x )＝2x ，所以f ′(x 0)＝2x 0，f (x 0)＝x 20，所以切线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20.因为l 也与函数y ＝ln x (0＜x ＜1)的图象相切，设切点坐标为(x 1，lnx 1)，易知y ′＝1x ，则切线l 的方程为y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，即y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，又0＜x 1＜1，所以x 0＞1，所以1＋ln(2x 0)＝x 20，x 0∈(1，＋∞)．令g (x )＝x2。
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b 小题提速练(一)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|x|≤2}，则A∩(R B)＝()A．[2，5] C．[－1，2]B．(2，5] D．[－1，2)解析：选B.由题得A＝[－1，5]，B＝[－2，2]，则R B＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以A∩(R B)＝(2，5]，故选B.m2＋i2．如果复数是纯虚数，那么实数m等于()1＋m iA．－1 C．0或1B．0D．0或－1 m2＋i（m2＋i）（1－m i）通解：选D.＝1＋m i（1＋m i）（1－m i）＝m2＋i－mb＝m2，优解：设＝b i(∈R且b≠0)，则有b i(1＋m i)＝m2＋i，即－mb＋b i＝m2＋i，所以解1＋m i b＝1，得m＝－1或0，故选D.2x＋y－6≥0，3．设x，y满足约束条件x＋2y－6≤0，则目标函数z＝x＋y的最大值是(y≥0，)A．3 C．6B．4 D．8通解：选C.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x＋y＝0，平移该直线，当直线经过点A(6，0)时，z取得最大值，即zmax＝6，故选C.2 P π π优解：目标函数 z ＝x ＋y 的最值在可行域的三个顶点处取得，易知三条直线的交点分别为(3，0)，(6，0)，(2，2)．当 x ＝3 ，y ＝0 时，z ＝3 ；当 x ＝6 ，y ＝0 时，z ＝6 ；当 x ＝2 ，y ＝2 时，z ＝4.所以 z max ＝6 ，故选 C.4 ．已知某批零件的长度误差ξ(单位：毫米)服从正态分布 N (0，3 2)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(附：正态分布 N (μ，σ)中，P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2 σ＜ξ＜μ＋2 σ)＝0.954 5)( )A ．0.045 6C ．0.271 8B ．0.135 9D ．0.317 41解析：选 B.因为 P (－3 ＜ξ＜3)＝0.682 7， (－6 ＜ξ＜6)＝0.954 5，所以 P (3＜ξ＜6)＝ (0.954 5－0.682 7)2＝0.135 9，故选 B.5 ．设 a ＝ 1 1 1 1 33，b ＝ 2，c ＝ln ，则( )2 3A ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ＜c1 1 1 1 1 13 通解：选 B.因为 a ＝ 3＞ 2＞b ＝ 2＞0 ，c ＝ln ＜ln 1＝0 ，所以 c ＜b ＜a ，故选 B.2 2 31优解：因为 a 3＝ ＞b 3＝21 3 3＝ ，所以 a ＞b ＞0.又 c ＝ln ＜ln 1＝0 ，所以 c ＜b ＜a ，故选 B. 27 9 π6 ．下列函数中，在其定义域内是增函数而且是奇函数的是()A ．y ＝2 xC ．y ＝2 x －2 －xB ．y ＝2 |x|D ．y ＝2 x ＋2 －x解析：选 C.因为 y ＝2 x 为增函数，y ＝2 －x 为减函数，所以 y ＝2 x －2 －x 为增函数，又 y ＝2 x －2 －x 为奇函数，所以选 C.R π× ＝25 π，故选 C. ()π象关于点 ，0 对称，不关于直线 x ＝ 对称，故 A 正确，C 错误；当 x ＝ 时，cos 2× ＋ ＝cos π＝－， π ππ π3 67 ．某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是()A ．13 πC ．25 π B ．16 πD ．27 π解析：选 C.由三视图知该几何体是一个底面为正方形的长方体，由正视图知该长方体的底面正方形的对角线长为 4.所以底面边长为 22 ，由俯视图知该长方体的高为3 ，设该几何体的外接球的半径为 R ，则 2 R ＝ （22 ）2＋（252 ）2＋3 2＝5 ，解得 R ＝ ，所以该几何体的外接球的表面积 S ＝4 π 2＝4 22548 ．已知函数 y ＝sin 2 x ＋φ 在 x ＝ 处取得最大值，则函数 y ＝cos(2x ＋φ)的图象()6πA ．关于点 ，0 对称6πB ．关于点 ，0 对称3πC ．关于直线 x ＝ 对称6πD ．关于直线 x ＝ 对称3ππ π解析：选 A.由题意可得 ＋ φ＝ ＋ 2 k π， k ∈Z ，即 φ＝ ＋ 2 k π， k ∈Z ，所以 y ＝ cos(2x ＋ φ)＝3 2 6π π π π cos 2 x ＋ ＋2 k π ＝cos 2 x ＋ ，k ∈Z .当 x ＝ 时，cos 2× ＋ ＝cos ＝0 ，所以函数 y ＝cos(2x ＋φ)的图6 6 6 6 6 2π π π 5 3 6 6 3 6 2A．2－3解析：选B.设圆的半径为r，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S＝24πr2－r2＝rπg y ymff gππ所以函数y＝cos(2x＋φ)的图象不关于点，0对称，也不关于直线x＝对称，故B、D错误．故选A.33π9．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为，若在圆内随机取3一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是()313C.－32ππ6B．4－2D．3π313644π2－6S63 3r2，圆的面积S′＝r2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为＝4－，故选B.S′π10．给出四个函数，分别满足①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，②g(x＋y)＝g(x)·(y)，③h(x·)＝h(x)＋h(y)，④m(x·)＝m(x)·(y)．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是()A．①甲，②乙，③丙，④丁B．①乙，②丙，③甲，④丁C．①丙，②甲，③乙，④丁D．①丁，②甲，③乙，④丙解析：选D.①f(x)＝x，这个函数可使f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立，∵(x＋y)＝x＋y，x＋y＝f(x)＋f(y)，∴(x＋y)＝f(x)＋f(y)，故①对应丁．②寻找一类函数g(x)，使得g(x＋y)＝g(x)·(y)，指数函数y＝a x(a＞0，数 h (x )，使得 h (x ·)＝h (x )＋h (y )，对数函数具有这种性质，令 h (x )＝log a x ，h (y )＝log a y ，则 h (x ·)＝log a (xy ) ＝log a x ＋log a y ＝h (x )＋h (y )，故③对应乙．④令 m (x )＝x 2，这个函数可使 m (xy )＝m (x )· (y )成立，∵m (x )＝ a y g m y 2 m x A ·B ＝－ 4.以上l 1 ＝0 ，得 y A ＋y B ＝6 ，则|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝8 ，故①错误；对于②，|AB |min ＝2 p ＝4 ，故②错误；因为 y ′＝，y ＝ x A x －y A ，x A 1 1则 l AM ∶y －y A ＝ (x －x A )，即 l AM ：y ＝ x A x －y A ，同理 l BM ：y ＝ x B x －y B ，联立，得 y ＝ x B x －y B ，x A ＋x B x A ·BM消去 y ，得 x 2－4 kx －4 ＝0 ，x A ＋x B ＝4 k ，x A · A ．0 ＜x 0＜B ． ＜x 0＜1a ≠1)具有这种性质，令 g (x )＝a x ，g (y )＝a y ，则 g (x ＋y )＝a x ＋y ＝a x · ＝g (x )·(y )，故②对应甲．③寻找一类函y ymx 2，∴ (x ·)＝(xy ) ＝x 2y 2＝m (x )· (y )，故④对应丙．故选 D.111 ．已知抛物线 y ＝ x 2，AB 为过焦点 F 的弦，过 A ，B 分别作抛4线交于点 M ，设 A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则：①若 AB 的＝4 ；②|AB |min ＝2 ；③y M ＝－1 ；④若 AB 的斜率为 1 ，则 x M ＝1 ；⑤结论正确的个数是()物线的切线，两切斜率为 1 ，则|AB |xA ．1C ．3B ．2D ．4y ＝x ＋1 ，解析：选 B.由题意得，焦点 F (0，1)，对于①， AB 为 y ＝x ＋1 ，联立，得1 y ＝ x 2，4消去 x ，得 y 2－6 y ＋x22 2 2 1122解得y ＝kx ＋1 ， x x2 4y ＝ x 2，4＝－4 ，所以 y M ＝－1 ，③和⑤均正确；对于④，AB 的斜率为 1 时，x M ＝2 ，故④错误，故选 B.12 ．已知函数 f (x )＝x 2 的图象在点(x 0，x 20)处的切线为 l ，若 l 也与函数 y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0 必满足()12122 ＜x 0＜ 解析：选 D.由题意，得 f ′x )＝2 x ，所以 f ′x 0)＝2 x 0，f (x 0)＝x 20，所以切线 l 的方程为 y ＝2 x 0(x －x 0)＋x 20＝2 x 0＝ ，x 1 x 1 x 10 x＝x 20，x 0∈(1，＋∞)．令 g (x )＝x 2－ln(2x )－1 ，x ∈(1，＋∞)，则 g ′x )＝2 x － ＝(a 2 b 2C.2D ． 2 ＜x 0＜ 3( (12 x 0x －x 2.因为 l 也与函数 y ＝ln x (0＜x ＜1)的图象相切，设切点坐标为(x 1，ln x 1)，易知 y ′＝，则切线 l 的方程11 1为 y －ln x 1＝ (x －x 1)，即 y ＝ x ＋ln x 1－1 ，则有 又 0 ＜x 1＜1 ，所以 x 0＞1 ，所以 1 ＋ln(2x 0)1 －ln x 1＝x 20 ，( 1 2 x 2－1 x x＞0 ，所以 g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又 g (1)＝－ln 2＜0 ，g ( 2)＝1 －ln22 ＜0 ，g ( 3)＝2 －ln 23 ＞0 ，所以存在 x 0∈( 2 ，3)，使得 g (x 0)＝0 ，故 2 ＜x 0＜ 3 ，选 D.二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．)13 ．设向量 a ，b 满足：|a |＝1 ，|b |＝2 ，a ⊥(a －b )，则 a 与 b 的夹角是________．1 解析：因为 a ⊥(a －b )，所以 a · －b ）＝0 ，故|a | －|a || |cos 〈a ，b 〉＝0 ，解得 cos 〈a ，b 〉＝ ，故 a2与 b 的夹角为 60 °.答案：60 °14 ．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n ，x 的值分别为 3 ，2 ，则输出 v 的值为________．i i iiy＝22＝2＋3cosθ＝3，解得cosθ＝.又|B F|＝xB＋1＝1－|BF|cosθ＋1＝2－|BF|，所以|BF|＝.解：该程序框图的执行过程如下：v＝1，＝2；v＝1×2＋2＝4，＝1；v＝4×2＋1＝9，＝0；v＝9×2＋0＝18，＝－1，此时输出v＝18.答案：1815．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝________．解析：解法一：由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1，0)，|AF|＝3，由抛物线的定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，所以点A的横坐标为2.如图，不妨设点A在第一象限，将x＝2代入y2＝4x，得y2＝8，所以点A的纵坐标为22，即A(2，22)，所以直线AF的方程为y＝22(x－1)．由y＝22（x－1），y2＝4x，解得1x＝，2y＝－2x＝2，113或，所以点B的横坐标为，所以|BF|＝－(－1)＝.222解法二：如图，不妨设点A在第一象限，设∠AFx＝θ，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则由抛物线的定义知xA＋11133323答案：216．在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC＝53，CD＝5，BD＝2A D，则AD的长为________．解析：如图，在△ABC中，BD＝2A D，设AD＝x(x＞0)，则BD＝2△x.在BCD中，因为CD⊥BC，CD＝5，BD＝2x，所以cos∠CDB＝CDBD2＝cos∠ADC＝AD2＋CD2－AC2x2＋52－（52×x×5＝－，解得x＝5，所以AD的长为5.2x5△x.在ACD中，AD＝x，CD＝5，AC＝53，则2×AD×CD ＝2×x×53）2.因为∠CDB＋∠ADC＝π，所以x2＋52－（53）25cos∠ADC＝－cos∠CDB，即答案：5。