三角变换与解三角形(随堂教学)

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三角恒等变换与解三角形

π 0， 2
上的最大
值，求A，b和△ABC的面积．
数学
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第二讲
三角恒等变换与解三角形
结束
[解]
3 1＋cos 2x (1)f(x)＝(m＋n)· m＝cos x＋ 3sin xcos x＋＝ 2 2
2
π 3 3 1 3 ＋ sin 2x＋＝ cos 2x＋ sin 2x＋2＝sin2x＋6 ＋2. 2 2 2 2
1．三角求值“三大类型” “给角求值”“给值求值”“给值求角”．
2．三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45° 等；
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第二讲
三角恒等变换与解三角形
结束
(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α) ＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；
＝－
10 . 10
5 4 2 5 (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2× ×－＝－， 5 5 5
cos 2α＝1－2sin
2
α＝1－2×
5 2 3 ＝， 5 5
5π 5π 所以cos 6 －2α＝cos cos 6 ＝－
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第二讲
三角恒等变换与解三角形
结束
[典例]
(2014· 四川高考)如图，从气球A上测得正前方的
河流的两岸B，C的俯角分别为67° ，30° ，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67° ≈0.92，cos 67° ≈0.39，sin 37° ≈0.60，cos 37° ≈0.80， 3≈1.73)

三角恒等变换与解三角形

三角恒等变换与解三角形三角恒等变换（Trigonometric Identities）是数学中重要的基本概念之一，它们在解三角形等相关问题中发挥着重要的作用。

在本文中，我们将探讨三角恒等变换的基本概念以及如何利用它们解决三角形的问题。

1. 引言三角恒等变换是指在三角函数之间的相等关系。

通过运用这些恒等变换，我们可以简化和变换三角函数的表达式，从而更容易解决与三角函数相关的问题。

2. 基本的三角恒等变换2.1 正弦函数的平方和余弦函数的平方等于1对于任意角θ，有sin^2θ + cos^2θ = 1。

这个恒等变换被称为三角函数的基本恒等变换，它表明正弦函数的平方与余弦函数的平方之和等于1。

2.2 余弦函数与正弦函数的互补关系对于任意角θ，有sin(π/2 - θ) = cosθ 和cos(π/2 - θ) = sinθ。

这表明余弦函数与正弦函数在π/2之间具有互补关系。

2.3 正切函数与余切函数的互补关系对于任意角θ，有tan(π/2 - θ) = cotθ 和cot(π/2 - θ) = tanθ。

这表明正切函数与余切函数在π/2之间具有互补关系。

3. 利用三角恒等变换解三角形利用三角恒等变换，我们可以简化和变换三角函数的表达式，从而解决与三角形相关的问题。

以下是一些常用的例子：3.1 例子1：已知一个角的正弦值，求解这个角的余弦值和正切值。

假设已知角θ的正弦值为sinθ = 3/5。

根据正弦函数的平方和余弦函数的平方等于1，我们可以得到cos^2θ = 1 - (sinθ)^2 = 1 - (3/5)^2 = 16/25。

因此，cosθ = ±4/5，取决于角θ的实际情况。

同样地，根据正切函数的定义，我们可以得到tanθ = sinθ/cosθ = (3/5)/ (±4/5) = 3/4。

3.2 例子2：已知一个角的余弦值，求解这个角的正弦值和余切值。

假设已知角θ的余弦值为cosθ = 4/5。

三角变换与解三角形PPT

sin(x ) cos cos(x ) sin 4 4 4 4 7 2 2 2 2 4 . 10 2 10 2 5

(2)因为x ( , ), 2 4 4 2 3 所以cos x 1 sin x 1 ( ) . 5 5 24 7 2 sin 2 x 2 sin x cos x , cos 2 x 2 cos x 1 . 25 25
2
3
所以sin(2 x ) sin 2 x cos cos 2 x sin 3 3 3 24 7 3 . 50

题型二
三角函数与解三角形
【例2】(2009·四川)在△ABC中,A,B为锐角,角A,
3 10 . B,C所对应的边分别为a,b,c,且cos2A= , sinB= 10 5
B. 4 2 3 D. 6 2
由a=c= 6 2 可知,∠C=75°, 1 所以∠B=30°,sin B= . 2 由正弦定理得 b a sin B 2 6 1 2 . sin A 2 6 2 4
3.(2009·全国Ⅱ)已知△ABC中,tan A=
cos A等于 A. 12 解析
3

2.(2009·广东)已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分
别为a,b,c,若a=c= 6 2且∠A=75°,则b等于 ( A )
A.2 C.4 2 3 解析因sin A=sin 75°=sin(30°+45°) =sin 30°cos 45°+sin 45°cos 30°=
6 2 , 4
1.(2009·江西)若函数 f ( x) (1 3 tan x) cos x ,0 x 则f(x)的最大值为 A.1 C. 3 1 解析 B.2 D. 3 2

三角变换及解三角形45张

角差公式
利用角度差公式将一个角转换为两个角的差，如$alpha = beta - gamma$，则有$sin(alpha) = sin(beta)cos(gamma) - cos(beta)sin(gamma)$。
倍角公式
将一个角转换为它的两倍，如$alpha = 2beta$，则有 $sin(alpha) = 2sin(beta)cos(beta)$。
正弦函数性质
正弦函数在其定义域内是奇函数，即 $f(-x)=-f(x)$，且在每个周期内，其值域为$[-1,1]$。
余弦函数的图像和性质
余弦函数图像
余弦函数图像也是一个周期函数，其基本周期为$2pi$，图像呈现波形。
VS
余弦函数性质
余弦函数在其定义域内是偶函数，即$f(x)=f(x)$，且在每个周期内，其值域为$[1,1]$。
正割与余割的转换
利用三角函数的互割关系，将正
割转换为余割或将余割转换为正
割，如$sec(alpha)
=
csc(frac{pi}{2} - alpha)$。
函数值的变换
半角公式
利用半角公式可以将角度减半，从而求出相应的三角函数值，如 $sin(frac{alpha}{2}) = pmsqrt{frac{1 - cos(alpha)}{2}}$。
正切函数的是一个奇函数，其基本周期为 $pi$，图像呈现锯齿波形。
正切函数性质
正切函数在其定义域内是奇函数，即$f(x)=-f(x)$，且在每个周期内，其值域为$(infty, +infty)$。
04
CATALOGUE
解三角形
正弦定理
总结词
正弦定理是解三角形的重要工具，它建立了三角形各角正弦值与对应边长之间的关系。

22第四章三角函数、解三角形简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式

(2)设 α 为锐角，若 cosα＋π6＝54，则 sin2α＋π3的值为
12 A.25
√24
B.25
C.－2245
解析因为 α 为锐角，且 cosα＋π6＝54，
D.－1225
所以 sinα＋π6＝ 1－cos2α＋π6＝35，
所以 sin2α＋π3＝sin 2α＋π6 ＝2sinα＋6πcosα＋π6＝2×53×54＝2245，故选 B.
tan α＋tan β
tan(α＋β)＝ 1－tan
αtan
(T(α＋β)) β
2.二倍角公式
sin 2α＝ 2sin αcos α ； cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－＝1
2tan α tan 2α＝ 1－tan2α .
1－2sin2α ；
【概念方法微思考】 1.诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？提示诱导公式可以看成和差公式中 β＝k·π2(k∈Z)时的特殊情形. 2.怎样研究形如f(x)＝asin x＋bcos x函数的性质？提示先根据辅助角公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2·sin(x＋φ)，将 f(x)化成 f(x)
解析
cos2α2
＝ 121＋cos α ＝ 1＋cos α ＝4sin α.
1234567
2
PART TWO
题型分类深度剖析
第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式
自主演练
题型一和差公式的直接应用
1.(2018·石家庄质检)若 sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则 sin 2α 的值为
A.－
2 10
B.
2 10
√C.－7102
D.7102

三角恒等变换与解三角形

三角恒等变换与解三角形三角恒等变换是解决三角形相关问题中常用的工具。

通过利用三角函数之间的关系，可以在一些情况下简化问题的求解，或者将复杂的三角形相关问题转化为更简单的形式。

本文将介绍一些常见的三角恒等变换，并结合实例说明其在解三角形问题中的应用。

1. 正弦定理正弦定理是三角形中常用的定理之一，用于求解三角形的边或角。

假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，正弦定理的数学表达式为：```a/sinA = b/sinB = c/sinC```其中，等式两边都表示边与对应角的正弦值的比例关系。

举例：已知三角形的两边a、b和它们夹角C，求第三边c。

根据正弦定理可得```c/sinC = a/sinA = b/sinB```通过这个等式可以解出c的值，进而求得整个三角形的相关信息。

2. 余弦定理余弦定理也是解决三角形问题时常用的定理之一，可以用于求解三角形的边或角。

假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，余弦定理的数学表达式为：```c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC```其中，等式右侧表示边长和夹角的余弦值的比例关系。

举例：已知三角形的两边a、b和它们的夹角C，求第三边c。

根据余弦定理可得```c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC```通过解这个方程可以求得c的值。

3. 正切定理正切定理是利用正切函数关系来解决三角形问题的定理，可以用于求解三角形的边或角。

假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b，对应的内角为A、B，正切定理的数学表达式为：```tanA = (b*sinA)/(a - b*cosA)```其中，等式右侧表示两个边长度和夹角的正切值的比例关系。

举例：已知三角形的一边a和它的内角A，求另一边b。

根据正切定理可得```tanA = (b*sinA)/(a - b*cosA)```通过这个等式可以解出b的值。

第三讲三角函数恒等变换与解三角形

第三讲三角函数恒等变换与解三角形1、三角函数恒等变形的基本策略。

（1）注意隐含条件的应用：1＝cos 2x ＋sin 2x 。

（2）角的配凑。

α＝（α＋β）－β，β＝2βα+－2βα-等。

（3）升幂与降幂。

主要用2倍角的余弦。

（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。

（5）引入辅助角。

asin θ＋bcos θ＝22b a +sin (θ＋ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ＝ab 确定。

2、解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

3、三角函数公式。

1．两角和与差的三角函数 2．二倍角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； αααcos sin 22sin =；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±= 。

22tan tan 21tan ααα=-。

4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

三角函数-三角恒等变换及其解三角形知识点总结理科

三角函数三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象x 限的角。

若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k或与角终边在同一条直线上的角的集合：；与角终边关于轴对称的角的集合：；x 与角终边关于轴对称的角的集合：；y 与角终边关于轴对称的角的集合：；x y②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合：；终边在一、三象限的平分线上角的集合：；终边在二、四象限的平分线上角的集合：；终边在四个象限的平分线上角的集合：；（3）区间角的表示：①象限角：第一象限角：；第三象限角：；第一、三象限角：；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“间的角”=；oo90~0“第一象限的角”= ；“锐角”= ；“小于的角”= ；o90（5）由的终边所在的象限，通过来判断所在的象限，通过2来判断所在的象限3（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角的弧度数的绝对值，其中为以角作为圆心角时所对圆rl ||l 弧的长，为圆的半径。

注意钟表指针所转过的角是负角。

r （7）弧长公式：；半径公式：；xyOxyO扇形面积公式：；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取x 一个异于原点的点，点到原点的距离记为，则；),(y x P P r sincos；；tan 如：角的终边上一点，则。

注意r>0)3,(a a sin2cos （2）在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线；x yOa x y Oa xy Oa yOa比较，，，的大小关系：。

)2,0(xx sin x tan x （3）特殊角的三角函数值：643223sin costan三、同角三角函数的关系与诱导公式：（1）同角三角函数的关系作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

高考数学专题06三角恒等变换与解三角形教学案文(new)

专题06 三角恒等变换与解三角形【2018年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)两角和（差）的正弦、余弦及正切是C级要求,二倍角的正弦、余弦及正切是B级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用．(2)正弦定理、余弦定理及其应用，要求是B级，能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理解决实际问题．试题类型一般是填空题，同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题。

【重点、难点剖析】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1)sin(α±β）＝sin αcos β±cos αsin β.（2）cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β）＝错误!。

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.（3)tan 2α＝错误!.3．正弦定理错误!＝错误!＝错误!＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2R sin A，b＝2R sin B,c＝2R sin C.sin A＝错误!,sin B＝错误!,sin C＝错误!.a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.4．余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.推论：cos A＝错误!,cos B＝错误!,cos C＝a2＋b2－c22ab.5．三角形面积公式S△ABC＝错误!bc sin A＝错误!ac sin B＝错误!ab sin C。

6．三角恒等变换的基本思路(1)“化异为同"，“切化弦"，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．如1＝cos2θ＋sin2θ＝tan 45°等．“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．(2）角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝（α＋β)＋(α－β),错误!＝错误!－错误!等．7．解三角形的四种类型及求解方法（1）已知两角及一边，利用正弦定理求解．（2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．(3）已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．(4)已知三边，利用余弦定理求解．8．利用解三角形的知识解决实际问题的思路把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中,通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案．注意要检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,从而得出正确结果.【题型示例】题型1、三角变换及应用【例1】【2017山东，文7】函数3sin2cos2y x x=+最小正周期为A。

三角恒等变换与解三角形教学设计

《三角恒等变换与解三角形》教学设计一、学情分析：（1）这是一节高三的一轮复习课，复习《三角恒等变换与解三角形》之前，已经提前预习了和、差、二倍角公式，正、余弦定理，部分同学具备分析问题的能力；（2）本班是理科班，数学基础良好，学生思维较活跃，能够运用所学知识解决实际问题；（3）根据学生特点制定了由浅入深地来复习三角恒等变换与解三角形这一课时的教学计划，同时通过实例提高学生的学习兴趣。

二、教学内容分析：《三角恒等变换与解三角形》既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性。

为培养学生的应用意识，提高学生分析问题解决问题的能力，教学中应结合具体问题，教给学生解题的基本方法、步骤。

三、教学目标：1、课标要求：能够运用三角恒等变换与正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

2、（1）熟练掌握和差、二倍角公式，根据问题的条件灵活进行公式变形；会选择恰当的公式，根据问题的条件进行公式变形；加强对换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。

运用正弦定理、余弦定理提高学生分析问题、解决问题的能力。

（2）通过三角变换，加强学生对换元、逆向思维等思想方法的认识。

通过解三角形在实际中的一些应用，开放多种思路，引导学生发现问题，培养学生分析问题、解决问题的能力；四、教学的重点和难点：重点：在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。

难点：从中找到解决问题的关键。

五、教学策略选择与设计：重视提出问题、解决问题策略的指导。

学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱，学生不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，因此在教学中引导学生发现问题、提出问题是非常必要的。

针对这一节课的内容，以及学生特点，我制定了由浅入深的教学计划：首先，将所授内容分为三大类——正余弦定理的应用，解三角形与实际应用问题；其次，在每一类型中，有代表性地各选取一道例题，遵循由浅入深的原则进行顺序上的安排。

三角函数三角变换及解三角形

其中a2 a1 a4 a3 a2008 a2007 1004d 31004. b2 b1 b4 b3 b2008 b2007
b2 b4 b2008 b1 b3 b2007
6 1
1
1004
4
1 1
121
1
1004
4
函数,且函数y f x图象的两相邻对称轴间的距离为 .
2
1求f ;
8
2将函数y f x的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上
6
各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变化,得到函数y gx 的图象, 求g x 的单调递减区间.
解: 1 f x 3 sinx cosx
2
3 2
sinx
三角函数、三角变换及解三角形
一、三角函数的概念及基本关系式
例如图在平面直角坐标系xoy中,以ox轴为始边作两个锐角, ,它们
的终边分别与单位圆交于A, B两点,已知A, B的横坐标分别为 2 , 2 5 . 10 5
1求 tan 的值;
2求 2的值.
解 : 1由已知条件及三角函数的定义知: cos 2 , cos 2 5 ,
1设方程f x1 0在0, 内有两个零点x1, x2,求x1 x2的值; 2若把函数y f x的图象向左平移mm 0个单位使所得函数的
图象关于点0,2对称, 求m的最小值.
2设y f x图象向左平移m个单位,得到函数gx的图象,
则gx 2 cos 2x 2m 2,
4
y gx的图象关于0,2对称,2m k , k Z,
C.
3 1002,41
1 4
1002
D.
3
1004,41
1 4
1004

三角恒等变换与解三角形

失分警示]1．同角关系应用错误：利用同角三角函数的平方关系开方时，忽略判断角所在的象限或判断出错，导致三角函数符号错误．2．诱导公式的应用错误：利用诱导公式时，三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错．3．忽视解的多种情况如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π，求C ，再由正弦定理或余弦定理求边c ，但解可能有多种情况．4．忽略角的范围应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时，要注意角的范围． 5．忽视解的实际意义求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合．考点三角恒等变换典例示法题型1 求角典例1 中山模拟]已知cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0＜β＜π4＜α＜π2，则α＋β＝________.解答此类问题的关键是结合已知条件，求出相应角的三角函数值，然后根据角的范围确定角的具体取值.题型2 求值典例2 安徽合肥质检]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin2α的值；(2)求tanα－1tanα的值．化简常用的方法技巧(1)化简常用方法：①直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用；②切化弦、异名化同名、异角化同角等．(2)化简常用技巧：①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；②注意利用角与角之间的隐含关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，θ＝(θ－φ)＋φ等；③注意利用“1”的恒等变形，如tan45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等．考点正、余弦定理典例示法题型1应用正、余弦定理求边、角典例3淄博模拟]已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且a cos C ＋3a sin C－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步：求结果．题型2 判断三角形的形状典例4 设△ABC 的内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．题型3 求有关三角形的面积典例5 2014·浙江高考]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．考点正、余弦定理的实际应用典例示法典例6如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1260 m，经测量，cos A＝1213，cos C＝35.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？．1．解三角形应用题的常见情况及方法(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．2．解三角形应用题的一般步骤针对训练2015·湖北高考]如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝_______________________________________________ _________________________m.全国卷高考真题调研]1．全国卷Ⅱ]若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725 B.15 C ．－15 D ．－7253．2015·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．4．浙江高考]已知2cos 2x ＋sin2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________.5．2015·广东高考]设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.6．2014·山东高考]设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC面积的最大值．一、选择题1．合肥质检]sin18°sin78°－cos162°cos78°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.32 D.122．广西质检]已知π2<α<π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)等于( ) A.23 B.64 C.223 D.326。

三角恒等变换与解三角形

课堂上领着学生推导一遍，大约有５Ｏ％的学生能够
的差别、三角函数名称差别、次数差别、结构差别人
手，化不同为相同。同时三角函数的自变量是角，角就成为分析变换的第一个要点。
理解，最有效的办法就是让学生从最基础的公式推导
中学数学教学参考
２０１５ｔ￣ｇ第１ —２期ｌ上旬）
ｚｈｏｎｇｓｈｆｌｅａｎ．ＣＯｌｌｌ
三角恒等变换与解三角形
夏繁军（北京市海淀区教师进修学校附属实验学校）
教学难点：公式的灵活应用。
（２）写出如何以公式ＣＯＳ（ａ一）为基础推导两角
和与差的正弦公式、余弦公式、正切公式？
（３）如何推导二倍角的正弦公式、余弦公式、正切
公式？
ｓｉｎ２ａ一＝＝＝；ｔａｎ２ａ一：ＣＯＳ２ａ＝。
中学数学教学参考
（８）ｃｏ一专一 —— ；
（９）ＣＯＳ２０。Ｃ０８４０。ＣＯＳ６０。ＣＯＳ８０。一
— —
（２）已知Ａ、Ｂ都是锐角，求证：（１＋ｔａｎＡ）（１＋ｔａｎＢ）一２是Ａ＋Ｂ一的充要条件。
１ “ 三角恒等变换 ” 复习定位
三角恒等变换与代数变换一样都是只变其形不

高三一轮复习-三角函数、三角恒等变换、解三角形讲义(带答案)

个性化辅导授课教案【重点知识梳理】1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β． cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β． tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α．cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α． tan 2α＝2tan α1－tan 2α． 3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2．(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b . 【高频考点突破】考点一三角函数式的化简与给角求值【例1】 (1)已知α∈(0，π)，化简：（1＋sin α＋cos α）·（cos α2－sin α2）2＋2cos α＝________．(2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°＝______．【答案】(1)cos α (2) 6 【规律方法】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．(2)对于给角求值问题，一般给定的角是非特殊角，这时要善于将非特殊角转化为特殊角．另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．【变式探究】 (1)4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．22－1(2)化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝________．【解析】(1)原式＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4cos 40°sin 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin （120°－40°）－sin 40°cos 40°＝3cos 40°＋sin 40°－sin 40°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝3，故选C.法三 (从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12cos 2α·cos 2β＝14＋14＝12.【答案】(1)C (2)12考点二三角函数的给值求值、给值求角【例2】 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋12×17＝13>0，又α∈(0，π)．∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.【规律方法】(1)解题中注意变角，如本题中α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β；(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．【变式探究】已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，(1)求tan 2α的值； (2)求β.【解析】(1)∵cos α＝17，0<α<π2，∴sin α＝437，∴tan α＝43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－48＝－8347. (2)∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，∴sin(α－β)＝3314，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.考点三三角变换的简单应用【例3】 (2014·广东卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ.【规律方法】解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等．【变式探究】已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．【解析】(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z .【随堂练习】考点一已知三角函数值求值例1、已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan2A 的值；(2)求22cos 3sin 122sin()4AA A π--+ 的值．【解析】 (1)∵OM →·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15.∴sin A ＋cos A ＝－15，①两边平方并整理得：2sin A cos A ＝－2425，∵－2425<0，∴A ∈(π2，π)，∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝75.②联立①②得：sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－34，∴tan2A ＝2tan A 1－tan 2A＝－321－916＝－247. (2)∵tan A ＝－34，∴22cos 3sin 122sin()4AA A π--+＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A 1＋tan A＝3134314⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝13. 【方法技巧】对于条件求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”即使“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，应注意公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用．【变式探究】已知α∈(π2，π)，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cos β的值．考点二已知三角函数值求角例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B两点的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．【方法技巧】(1)已知某些相关条件，求角的解题步骤：①求出该角的范围；②结合该角的范围求出该角的三角函数值．(2)根据角的函数值求角时，选取的函数在这个范围内应是单调的．【变式探究】已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值； (2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求φ的值．三、三角函数的图像与性质【考情解读】1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性．【重点知识梳理】1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域RR{x |x ∈R ，且x ≠⎭⎬⎫k π＋π2，k ∈Z值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间 ⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2[2k π－π，2k π]⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2递减区间 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]无对称中心 (k π，0)⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0⎝⎛⎭⎫k π2，0对称轴方程x ＝k π＋π2x ＝k π无【高频考点突破】考点一三角函数的定义域、值域【例1】 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为____________．(2)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3【答案】(1){x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z } (2)A【规律方法】(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．【变式探究】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________． (2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．【解析】(1)法一要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .【答案】(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z (2)⎣⎡⎦⎤－12－2，1 考点二三角函数的奇偶性、周期性、对称性【例2】 (1)已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3 C.π2 D.3π4(2)函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数【答案】(1)A (2)A 【规律方法】(1)求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可．(2)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos( ωx ＋φ)的形式，则最小正周期为T ＝2π|ω|；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝A sin ωx 或y ＝A cos ωx ＋b 的形式．【变式探究】 (1)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 (2)若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π3【答案】(1)A (2)C 考点三三角函数的单调性【例3】 (1)已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈[0，π]，则f (x )的单调递增区间为________． (2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0，2]【答案】(1)⎣⎡⎦⎤0，π4 (2)A 【规律方法】(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷．【变式探究】 (1)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.23B.32C ．2D ．3 (2)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调减区间为______．【答案】(1)B (2)⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )四、函数)sin(ϕ+=wx A y 的图像【考情解读】1. 了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．【重点知识梳理】1．“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x 轴相交的三个点，作图时的一般步骤为： (1)定点：如下表所示.X－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx ＋φ 0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y ＝A sin(ωx ＋φ)在R 上的图象．2．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．【高频考点突破】考点一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．【解析】(1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(3)法一把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象；再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．法二将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．【规律方法】作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图法，用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．【变式探究】设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．【解析】(1)∵T ＝2πω＝π，ω＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝32，∴sin φ＝－32，又－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.(2)由(1)得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表： 2x －π3－π30 π2 π 32π 53π x 0 π6 512π 23π 1112π π f (x )121－112图象如图．考点二利用三角函数图象求其解析式【例2】 (1)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝( )A ．－23B ．－12 C.23 D.12(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．【解析】(1)由三角函数图象得T 2＝11π12－7π12＝π3，即T ＝2π3，所以ω＝2πT＝3.又x ＝7π12是函数单调增区间中的一个零点，所以3×7π12＋φ＝3π2＋2k π，解得φ＝－π4＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，得A ＝223，所以f (x )＝223cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，所以f (0)＝223·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝23.【答案】(1)C (2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 【规律方法】已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝2πT即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．【训练2】 (1)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( )A ．－32 B ．－62C. 3 D ．－ 3 (2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为______．(2)由三角函数图象可得A ＝2，34T ＝11π12－π6＝34π，所以周期T ＝π＝2πω，解得ω＝2.又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝2，0＜φ＜π，解得φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1.【答案】(1)D (2)1考点三函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质应用【例3】 (2014·山东卷)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 【规律方法】解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y ＝f (x )化为y ＝a sin x ＋b cos x 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．【变式探究】已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2)求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值及对应的x 的值．五、解三角形（正弦定理和余弦定理）【考情解读】1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；【重点知识梳理】1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2Ra2＝b2＋c22bc cos__A；b2＝c2＋a22ca cos__B；c2＝a2＋b2－2ab cos__C常见变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin__B，c＝2R sin_C；(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ac；(4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .【高频考点突破】考点一利用正、余弦定理解三角形例1、(1)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A.1010 B.105C.31010D.55(2)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．【解析】(1)由余弦定理可得AC 2＝9＋2－2×3×2×22＝5，所以AC ＝ 5.再由正弦定理得AC sin B ＝BCsin A ，所以sin A ＝BC ·sin BAC ＝3×225＝31010.【答案】 (1)C (2) 3【提分秘籍】利用正、余弦定理解三角形的关键是合理地选择正弦或余弦定理进行边角互化，解题过程中注意隐含条件的挖掘以确定解的个数．【变式探究】在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2a sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝c . (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，求sin B sin C 的取值范围．考点二三角形形状的判断例2、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【解析】依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ，从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1，∴A ＝π2，故选B.【答案】B 【提分秘籍】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．注意：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．【变式探究】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ·sin C ＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．考点三三角形的面积问题例3、在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1. (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．【解析】(1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20.又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝25＋16－20＝21，故a ＝ 21.又由正弦定理得sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57.【方法技巧】三角形的面积求法最常用的是利用公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A 去求．计算时注意整体运算及正、余弦定理的应用．【变式探究】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．考点四解三角形例4、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35. (1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．【解析】(1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，2分即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35.4分则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.6分【提分秘籍】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题、多以解答题形式出现．【随堂练习】考点三正、余弦定理的应用例3、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值； (2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .【解析】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin Asin B，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B.即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A . 因此sin Csin A＝2.【方法技巧】(1)利用正弦定理，实施角的正弦化为边时只能是用a 替换sin A ，用b 替换sin B ，用c 替换sin C . sin A ，sin B ，sin C 的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分；(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用．像本例中B ＋C ＝60°；(3)在求角的大小一定要有两个条件才能完成：①角的范围；②角的某一三角函数值．在由三角函数值来判断角的大小时，一定要注意角的范围及三角函数的单调性．【变式探究】在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．【解析】(1)由3a ＝2c sin A ，根据正弦定理，sin C ＝c sin A a ＝32，又0<C <π2，则C ＝π3. (2)由已知条件⎩⎨⎧ 12ab sin C ＝332a 2＋b 2－c 22ab ＝cos C ，即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝6a 2＋b 2－7＝ab ， (a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝3ab ＋7＝25，∴a ＋b ＝5.。

三角恒等变换与解三角形

三角恒等变换与解三角形三角恒等变换是解三角形中常用的方法之一。

通过利用三角函数之间的关系，可以简化复杂的三角形问题，从而解决解题难题。

本文将介绍常见的三角恒等变换，并结合实例来说明其在解三角形问题中的应用。

一、三角恒等变换的定义三角恒等变换指的是一些等式或关系式，通过其变换可以得到与原三角函数等价的另一种表达式。

这些变换可以方便我们在求解三角形问题时进行化简和变形。

下面将介绍几种常见的三角恒等变换：1. 余弦定理余弦定理是三角形中常用的恒等变换之一，可以用来求解三角形的边长或角度。

余弦定理表达式如下：\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\]其中，$a$、$b$、$c$表示三角形的边长，$C$表示夹角$c$的对应角。

2. 正弦定理正弦定理也是解三角形问题中常用的恒等变换。

正弦定理表达式如下：\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]其中，$a$、$b$、$c$表示三角形的边长，$A$、$B$、$C$表示三角形的对应角度。

3. 余角恒等变换余角恒等变换可以将三角函数中的一个角的正弦、余弦、正切、余切等函数转化为另一个角的相应三角函数表达式。

例如，$sin(\pi -\theta) = sin\theta$、$cos(\pi - \theta) = -cos\theta$等。

二、三角恒等变换在解三角形中的应用三角恒等变换在解三角形问题中是十分有用的。

通过对已知条件进行恒等变换，可以从中发现一些隐藏的关系，从而简化问题。

例如，已知三角形的两边和一夹角，可以使用余弦定理求解第三边的长度。

而当已知三角形的两边和三个角度之一时，可以使用正弦定理求解三角形的三个角度。

通过利用三角恒等变换，可以将复杂的计算问题转化为简单的代数计算，进而解决三角形问题。

下面通过一个具体的例子来说明三角恒等变换在解三角形中的应用。

高三二轮复习(理数) 第二讲三角恒等变换与解三角形(课件)

3．(2016· 高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 21 4 5 若 cos A＝，cos C＝，a＝1，则 b＝________. 13 5 13
解析：先求出 sin A，sin C 的值，进而求出 sin B 的值，再利用正弦定理求 b 的值． 4 5 因为 A，C 为△ABC 的内角，且 cos A＝，cos C＝， 5 13 3 12 所以 sin A＝，sin C＝， 5 13 3 5 4 所以 sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝ × ＋ 5 13 5 × 12 63 ＝ . 13 65 asin B sin B 63 5 21 ＝＝ × ＝ . sin A sin A 65 3 13
π 3 π 2． (2016· 高考全国卷Ⅰ)已知 θ 是第四象限角，且 sinθ＋4 ＝，则 tanθ－4 5 4 － 3 ＝________.
π π π 解析：将 θ－转化为θ＋4 － . 4 2 π 3 π π 由题意知 sinθ＋4 ＝， θ 是第四象限角，所以 cosθ＋4 >0，所以 cosθ＋4 5
Hale Waihona Puke 专题二三角函数、平面向量第二讲三角恒等变换与解三角形
三角变换及解三角形是高考考查的热点，然而单独考查三角变换的题目较少，题目往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角变换进行化简，综合性比较强，但难度不大.
年份卷别
考查角度及命题位置
Ⅰ卷三角变换与正弦定理解三角形·T17 2017 Ⅱ卷三角变换与余弦定理解三角形·T17 Ⅲ卷利用余弦定理解三角形及面积问题·T17 Ⅱ卷三角恒等变换求值问题·T9 2016 Ⅲ卷三角恒等变换求值问题·T5 解三角形(正、余弦定理)·T8 三角恒等变换·T2 解三角形·T16

三角恒等变换与解三角形 Word版含解析

3.3三角恒等变换与解三角形命题角度1利用正弦定理和余弦定理解三角形高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·17)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;DC=2,求BC.解(1)在△ABD中,由正弦定理得.由题设知,,所以sin∠ADB=.由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=.(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2=25.所以BC=5.2.(2017全国Ⅰ·17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.(1)求sin B sin C;6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.解(1)由题设得ac sin B=,即c sin B=.由正弦定理得sin C sin B=.故sin B sin C=.(2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-,即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=.由题设得bc sin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.故△ABC的周长为3+.3.(2017全国Ⅱ·17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;a+c=6,△ABC的面积为2,求b.解(1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=.(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=ac sin B=ac.又S△ABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2×=4.所以b=2.4.(2017全国Ⅲ·17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.解(1)由已知可得tan A=-,所以A=.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4c cos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得∠CAD=,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2,所以△ABD的面积为.5.(2016全国Ⅰ·17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(a cos B+b cos A)=c.(1)求C;(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.解(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin A cos B+sin B cos A)=sin C,即2cos C sin(A+B)=sin C.故2sin C cos C=sin C.可得cos C=,所以C=.(2)由已知,ab sin C=.又C=,所以ab=6.由已知及余弦定理得,a2+b2-2ab cos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.所以△ABC的周长为5+.新题演练提能·刷高分1.(2018山东淄博一模)在△ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,已知2=a2-(b+c)2.(1)求角A的大小;a=6,b=2,求△ABC的面积.解(1)由已知2=a2-(b+c)2,得2bc cos A=a2-(b+c)2,由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,得4bc cos A=-2bc,所以cos A=-.又0<A<π,故A=.(2)由(1)知cos A=-,sin A=,由正弦定理,得sin B=,所以B=π(舍去).从而C=,所以△ABC的面积为S=ab sin C=×6×2=3.2.(2018河南郑州第二次质量预测)△ABC内接于半径为R的圆,a,b,c分别是A,B,C的对边,且2R(sin2B-sin2A)=(b-c)sin C,c=3.(1)求A;AD是BC边上的中线,AD=,求△ABC的面积.解(1)由正弦定理,得2R(sin2B-sin2A)=(b-c)sin C,可化为b sin B-a sin A=b sin C-c sin C,即b2-a2=bc-c2,cos A=,A=60°.(2)以AB,AC为邻边作▱ABEC,在△ABE中,∠ABE=120°,AE=.在△ABE中,由余弦定理得AE2=AB2+BE2-2AB·BE cos 120°.即19=9+AC2-2×3×AC×-,解得AC=2.故S△ABC=bc sin A=.3.(2018山东济南一模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b cos A-a cos B=2c.(1)证明:tan B=-3tan A;(2)若b2+c2=a2+bc,且△ABC的面积为,求a.(1)证明根据正弦定理,由已知得sin B cos A-cos B sin A=2sin C=2sin(A+B),展开得sin B cos A-cos B sin A=2(sin B cos A+cos B sin A),整理得sin B cos A=-3cos B sin A,所以tan B=-3tan A.(2)解由已知得b2+c2-a2=bc,∴cos A=,由0<A<π,得A=,tan A=,∴tan B=-,由0<B<π,得B=,∴C=,∴a=c,由S=ac sin a2=,得a=2.4.(2018河北唐山二模)如图,在平面四边形ABCD中,AB=2,AC=2,∠ADC=∠CAB=90°,设∠DAC=θ.(1)若θ=60°,求BD的长度;(2)若∠ADB=30°,求tan θ.解(1)由题意可知,AD=1.在△ABD中,∠DAB=150°,AB=2,AD=1,由余弦定理可知,BD2=(2)2+12-2×2×1×-=19,BD=.(2)由题意可知,AD=2cos θ,∠ABD=60°-θ,在△ABD中,由正弦定理可知,,∴=4,∴tan θ=.5.(2018新疆乌鲁木齐第二次质监)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=2B. (1)求证:a2=b(b+c);的面积为a2,求B的大小.(1)证明由A=2B,可得sin A=sin 2B=2sin B cos B,又由正、余弦定理得a=2b·,有(c-b)(a2-b2-bc)=0.当b≠c时,a2-b2-bc=0,即a2=b2+bc=b(b+c).当b=c时,B=C.又A=2B,∴A=90°,B=C=45°.∴a=b,∴a2-b2-bc=(b)2-b2-b·b=0,∴a2=b2+bc.综上,当A=2B时,a2=b2+bc.(2)解∵S△ABC=ac sin B=a2,∴c sin B=a,∴sin C sin B=sin A.又A=2B,∴sin C sin B=sin B cos B.∵sin B≠0,∴sin C=cos B.又B,C∈(0,π),∴C=±B.当B+C=时,B=;当C-B=时,B=;∴B=或B=.6.(2018广东深圳第二次调研)在△ABC中,记内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知B为锐角,且a cos B+b sin B=c.(1)求角C.(2)若B=,延长线段AB至D,使得CD=,且△ACD的面积为,求线段BD的长度.解(1)由正弦定理可知sin A cos B+sin2B=sin C.∵sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B,∴sin2B=cos A sin B.∴B∈0,,sin B>0,∴sin B=cos A,即cos-B=cos A.∴A∈(0,π),-B∈0,,∴-B=A,即A+B=.∴C=.(2)设BD=x,CB=a.∵∠ABC=,∠ACB=,∴AC=a,AB=2a,AD=2a+x.∴S△ACD=AC·AD·sin A=a×(2a+x)×,即a(2a+x)=3.①在△BCD中,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BC·BD cos∠DBC,即x2+a2+ax=3.②联立①②可解得x=a=1.即BD=1.命题角度2解三角形中的最值与范围问题高考真题体验·对方向(2013全国Ⅱ·17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=b cos C+c sin B.(1)求B;b=2,求△ABC面积的最大值.解(1)由已知及正弦定理得sin A=sin B cos C+sin C sin B.①又A=π-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C.②由①,②和C∈(0,π)得sin B=cos B,又B∈(0,π),所以B=.(2)△ABC的面积S=ac sin B=ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2ac cos.又a2+c2≥2ac,故ac≤,当且仅当a=c时,等号成立.因此△ABC面积的最大值为+1.新题演练提能·刷高分1.(2018四川资阳4月模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(sin A-sin B)=c(sin C-sin B).(1)求A.(2)若a=4,求b2+c2的取值范围.解(1)根据正弦定理,得(a+b)(a-b)=c(c-b),即a2-b2=c2-bc,则,即cos A=.由于0<A<π,所以A=.(2)根据余弦定理,a2=b2+c2-2bc cos ,所以b2+c2=16+bc≤16+,则有b2+c2≤32.又b2+c2=16+bc>16,所以b2+c2的取值范围是(16,32].2.(2018山东烟台一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,(b-c)(sin B+sin C)=a(sin A-sinC).(1)求B的值;(2)若b=3,求a+c的最大值.解(1)在△ABC中,由正弦定理得,(b-c)(b+c)=a(a-c),即b2=a2+c2-ac,由余弦定理,得cos B=.∵B∈(0,π),∴B=.(2)由(1)知,9=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac.于是=ac≤2,解得a+c≤6,当且仅当a=c=3时,取等号.所以a+c的最大值为6.3.(2018辽宁大连一模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,且2b cos B=a cos C+c cos A.(1)求B的大小;ABC面积的最大值.解(1)由2b cos B=a cos C+c cos A,可得2sin B cos B=sin A cos C+sin C cos A=sin B,∵sin B≠0, ∴cos B=,∴B=.(2)方法一:由b=2,B=,根据余弦定理可得ac=a2+c2-4,由基本不等式可得ac=a2+c2-4≥2ac-4,所以ac≤4,当且仅当a=c时,等号成立.从而S△ABC=ac sin B≤×4×,故△ABC面积的最大值为.方法二:因为,所以a=sin A,c=sin C,S=ac sin B=sin A·sin C·sin B=sin A sin-A=cos2A-π+,当2A-π=0,即A=时,S max=,故△ABC面积的最大值为.4.(2018贵州凯里模拟)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,m=(2cos C,a cos B+b cosA),n=(c,-1),且m⊥n.(1)求角C;(2)若c=3,求△ABC周长的最大值.解(1)∵m⊥n,∴2c cos C-(a cos B+b cos A)=0.由正弦定理得2sin C cos C-(sin A cos B+cos A sin B)=0.即2sin C cos C-sin(A+B)=0.∴2sin C cos C-sin C=0.在△ABC中,0<C<π,∴sin C≠0.∴cos C=.∵C∈(0,π),∴C=.(2)由余弦定理可得:c2=a2+b2-2ab cos C=(a+b)2-2ab(1+cos C)=9.即(a+b)2-3ab=9,∴ab=[(a+b)2-9]≤2.∴(a+b)2≤36.∴a+b≤6,当且仅当a=b=3时取等号,∴△ABC周长的最大值为6+3=9.5.(2018山西太原二模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a tan A=(c cos B+b cosC).(1)求角A;(2)若点D满足=2,且BD=3,求2b+c的取值范围.解(1)∵a tan A=(c cos B+b cos C),∴sin A·tan A=(sin C·cos B+sin B·cos C),∴sin A·tan A=sin(B+C)=sin A.∵0<A<π,∴sin A≠0,∴tan A=,∴A=60°.(2)在△ABD中,根据余弦定理得AD2+AB2-BD2=2AD·AB cos A,即(2b)2+c2-9=2bc,∴(2b+c)2-9=6bc,又2bc≤2,∴=2bc≤2.∴(2b+c)2≤36,∴2b+c≤6.又2b+c>3,∴3<2b+c≤6.6.(2018东北三省三校二模)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若(a-c)(sin A+sin C)=b(sin A-sin B).(1)求角C;ABC的外接圆半径为2,求△ABC周长的最大值.解(1)由正弦定理得(a-c)(a+c)=b(a-b),∴a2-c2=ab-b2,∴,即cos C=.∵0<C<π,则C=.(2)设△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理2R==4,∴a=4sin A,b=4sin B,c=4sin C=2,∴周长l=a+b+c=4sin A+4sin B+2=4sin A+4sin-A+2=4sin A+4×cos A+4×sin A+2=6sin A+2cos A+2=4sin A++2,∵A∈0,,∴A+∈.∴当A+即A=时,l max=4+2=6.∴当A=B=时,△ABC周长的最大值为6.命题角度3应用正弦定理和余弦定理解决实际问题高考真题体验·对方向(2009全国·17)为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量.A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.解方案一:①需要测量的数据有:A点到M,N点的俯角α1,β1;B点到M,N点的俯角α2,β2;A,B 的距离d(如图所示).②第一步:计算AM,由正弦定理得AM=;第二步:计算AN,由正弦定理得AN=;第三步:计算MN,由余弦定理得MN=.方案二:①需要测量的数据有:A点到M,N点的俯角α1,β1;B点到M,N点的俯角α2,β2;A,B间的距离d(如图所示).②第一步:计算BM,由正弦定理得BM=;第二步:计算BN,由正弦定理得BN=;第三步:计算MN,由余弦定理得MN=.新题演练提能·刷高分1.(2018江西新余模拟)如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B 点和D点的仰角均为60°,AC=0.1 km.(1)试探究图中B,D间的距离与另外哪两点间距离会相等?(2)求B,D间的距离.解(1)在△ABC中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°,∴CD=AC=0.1.又∠BCD=180°-60°-60°=60°,∴CB是△CAD底边AD的中垂线,∴BD=BA.(2)在△ABC中,由正弦定理,得,即AB=,∴BD=(km).答:B,D间的距离是km.2.(2018福建宁德质检)如图,岛A,C相距10海里.上午9点整有一客轮在岛C的北偏西40°且距岛C10海里的D处,沿直线方向匀速开往岛A,在岛A停留10分钟后前往B市.上午9:30测得客轮位于岛C的北偏西70°且距岛C10海里的E处,此时小张从岛C乘坐速度为v海里/时的小艇沿直线方向前往A岛换乘客轮去B市.(1)若v∈(0,30],问小张能否乘上这班客轮?(2)现测得cos∠BAC=-,sin∠ACB=.已知速度为v海里/时(v∈(0,30])的小艇每小时的总费用为v2+v+50元,若小张由岛C直接乘小艇去B市,则至少需要多少费用?解(1)如题图,根据题意得:CD=10,CE=10,AC=10,∠DCE=70°-40°=30°.在△CDE中,由余弦定理得,DE==10,所以客轮的航行速度v1=10×2=20(海里/时).因为CD=DE,所以∠DEC=∠DCE=30°,所以∠AEC=180°-30°=150°.在△ACE中,由余弦定理得,AC2=AE2+CE2-2AE·CE·cos∠AEC,整理得AE2+30AE-400=0,解得AE=10或AE=-40(不合题意,舍去负值).所以客轮从E处到岛A所用的时间t1=(小时),小张到岛A所用的时间至少为t2=(小时).由于t2>t1+,所以若小张9点半出发,则无法乘上这班客轮.(2)在△ABC中,cos∠BAC=-,sin∠ACB=,所以∠ACB为锐角,sin∠BAC=,cos∠ACB=.所以sin B=sin[180°-(∠BAC+∠ACB)]=sin(∠BAC+∠ACB)=sin∠BAC cos∠ACB+cos∠BAC sin∠ACB=.由正弦定理得,所以BC==15,所以小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为f(v)=v2+v+50)=15v+1+≥152+1=165(v∈(0,30]),当且仅当v=,即v=10时,f(v)min=165(元).所以若小张由岛C直接乘小艇去B市,其费用至少需165元.。

专题二第2讲三角恒等变换与解三角形

c，已知 bsin 2A＝asin B，且 c＝2b，则ab等于
A.3
1 B.3
3 C. 3
√D. 3
因为bsin 2A＝asin B，
所以2bsin Acos A＝asin B，
利用正弦定理可得2abcos A＝ab，所以 cos A＝12，又 c＝2b，所以 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝b2＋44bb22－a2＝12，解得ab＝ 3.
(2)(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A). ①证明：2a2＝b2＋c2；
方法一由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
可得sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B
abcos C＝ 2 ，2bccos A＝b2＋c2－a2，将上述三式代入(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.
方法二因为A＋B＋C＝π，所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B) ＝sin2Acos2B－cos2Asin2B ＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B ＝sin2A－sin2B，同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A. 又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
所以 cos α＝
415，tan
α＝csoins
αα＝
15 15 .
2sin α 方法二因为 tan 2α＝1－2tatnanα2α＝1－cocssoinαs22αα ＝c2ossi2nα－αcsoisnα2α＝21s－in 2αscions2αα，

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