三角函数概念与规律
三角函数的基本性质有哪些
三角函数的基本性质有哪些三角函数是数学中重要的概念，它们在解决几何问题和物理问题中起着重要作用。
本文将介绍三角函数的基本性质，包括定义、周期性质、奇偶性质、幅角关系、和差化积等。
一、三角函数的定义三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。
其中，正弦函数的定义为：在直角三角形中，对于一个锐角α，正弦函数sinα等于对边与斜边的比值。
余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数的定义与此类似。
二、周期性质三角函数具有周期性质，即它们的函数值在一定的间隔内重复出现。
以正弦函数为例，它的周期为2π，即sin(x + 2π) = sinx。
其他三角函数的周期性质与正弦函数相似。
三、奇偶性质三角函数具有奇偶性质，即函数关于原点对称。
其中，正弦函数和余切函数为奇函数，即sin(-x) = -sinx，cot(-x) = -cotx；余弦函数、正切函数、正割函数和余割函数为偶函数，即cos(-x) = cosx，tan(-x) = tanx，sec(-x) = secx，csc(-x) = cscx。
四、幅角关系幅角关系是指不同象限中同一角度的三角函数值的正负关系。
在单位圆中，角θ所在的象限决定了三角函数值的正负。
例如，正弦函数在第一象限为正，第二象限为正，第三象限为负，第四象限为负。
五、和差化积三角函数的和差化积是指将两个三角函数的和、差表示为一个三角函数的乘积。
常见的和差化积公式有：正弦函数的和差化积公式、余弦函数的和差化积公式、正切函数的和差化积公式等。
这些公式在化简复杂的三角函数式子时非常有用。
总结：三角函数的基本性质包括定义、周期性质、奇偶性质、幅角关系和和差化积等。
通过掌握这些性质，我们能够灵活运用三角函数解决各种几何和物理问题。
在解题的过程中，需要熟练运用三角函数的定义和相关公式，灵活选择适合的方法，才能得到准确的结果。
三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结
三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结知识点精讲一、基本概念角的概念包括正角、负角和零角。
其中正角是逆时针旋转而成的角，负角是顺时针旋转而成的角，零角是射线没旋转而成的角。
角α的弧度范围为(−∞,+∞)。
角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，α就叫做第几象限角，终边在坐标轴上的角不是象限角，称之坐标角（或象限界角、轴线角等）。
弧度制度是半径为r的圆心角α所对弧长为l，则α=l/r（弧度或rad）。
与角α（弧度）终边相同的角的集合为β=α+2kπ，k∈Z，其意义在于α的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变。
弧度或rad可省略。
两制互化时，只需记忆π=180，1=π/180两个换算单位即可。
6）弧长公式：l=αr(α∈(0,2π])，扇形面积公式：S=1/2lr=αr2/2.底高=lr，如图4-1所示。
注：关于扇形面积公式的记忆,可以采用类似三角形面积公式的方法，把扇形的弧长类比成三角形的底，半径类比成三角形的高，则有S=l*r/2.二、任意角的三角函数1.定义已知角α终边上的任一点P(x,y)（非原点O），则P到原点O的距离r=OP=sqrt(x^2+y^2)。
sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。
此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广。
类比，对∠y，邻∠x，斜∠r，如图4-2所示。
2.单位圆中的三角函数线以α为第二象限角为例。
角α的终边交单位圆于P，PM垂直x轴于M，α的终边或其反向延长线交单位圆切线AT于T，如图4-3所示，由于取α为第二象限角，sinα=MP>0，cosα=OM<0，tanα=AT<0.3.三角函数象限符号与单调性在单位圆中r=sqrt(x^2+y^2)=1，则sinα=y，cosα=x，tanα=y/x。
在第一、二象限，三角函数值为正；在第三、四象限，sinα为负，cosα和tanα为正。
初中数学：三角函数
初中数学：三角函数三角函数是数学中经典的概念之一，是数学分析、数学物理、工程等领域的基础工具。
本篇文章将从初中三角函数的定义、性质、常见角度及其应用等方面进行介绍。
一、三角函数的定义1. 正弦函数正弦函数Sine，简写为sin，是一个经典的周期函数，它的周期是2π。
在数学上，正弦函数可以用一个圆上的角的对边长度与斜边长度之比来定义。
设一个半径为r的圆上有一个角α，则该角的正弦值为：sinα = 对边/ 斜边2. 余弦函数余弦函数Cosine，简写为cos，同样是一个经典的周期函数，它的周期也是2π。
在数学上，余弦函数可以用一个圆上的角的邻边长度与斜边长度之比来定义。
设一个半径为r的圆上有一个角α，则该角的余弦值为：cosα = 邻边/ 斜边3. 正切函数正切函数Tangent，简写为tan，用一个直角三角形的对边长度与邻边长度之比来描述。
设一个直角三角形中的一个角为α，则该角的正切值为：tanα = 对边/ 邻边4. 余切函数余切函数Cotangent，简写为cot，是正切函数的倒数，它用邻边长度与对边长度之比来描述。
设一个直角三角形中的一个角为α，则该角的余切值为：cotα = 邻边/ 对边二、三角函数的性质1. 正弦函数和余弦函数的特点正弦函数与余弦函数具有如下特点：（1）周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，周期均为2π。
（2）奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
（3）取值范围：正弦函数的取值范围是[-1,1]，余弦函数的取值范围也是[-1,1]。
2. 正切函数和余切函数的特点正切函数与余切函数具有如下特点：（1）周期性：正切函数和余切函数都是周期函数，周期均为π。
（2）奇偶性：正切函数是奇函数，余切函数也是奇函数。
（3）取值范围：正切函数的取值范围是R（实数集），余切函数的取值范围也是R，但余切函数的定义域不包括π的整数倍。
三、常见角度的三角函数值1. 30°、45°、60°三角函数值（1）30°角正弦函数：sin30° = 1/2余弦函数：cos30° = √3/2正切函数：tan30° = 1/√3余切函数：cot30° = √3（2）45°角正弦函数：sin45° = √2/2余弦函数：cos45° = √2/2正切函数：tan45° = 1余切函数：cot45° = 1（3）60°角正弦函数：sin60° = √3/2余弦函数：cos60° = 1/2正切函数：tan60° = √3余切函数：cot60° = 1/√32. 常用角度的三角函数值（1）0°和180°角正弦函数：sin0° = 0，sin180° = 0余弦函数：cos0° = 1，cos180° = -1正切函数：tan0° = 0，tan180° = 0余切函数：cot0° = 无穷大，cot180° = 无穷大（2）90°和270°角正弦函数：sin90° = 1，sin270° = -1余弦函数：cos90° = 0，cos270° = 0正切函数：tan90° = 无穷大，tan270° = 无穷大余切函数：cot90° = 0，cot270° = 0四、三角函数的应用1. 三角函数在直角三角形中的应用在直角三角形中，三角函数可以用来计算三角形的各个边与角。
三角函数的基本概念
三角函数的基本概念三角函数是数学中一组重要的函数，它们在几何学、物理学和工程学等领域广泛应用。
本文将介绍三角函数的基本概念，包括正弦函数、余弦函数和正切函数，并探讨它们与三角形的关系。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的函数之一。
它的定义如下：在单位圆上，以原点为中心，取一点P(x, y)，其中P与单位圆的交点处的弧长与半径的比值定义为点P的正弦值。
记为sinθ。
正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
它是一个周期函数，周期为2π。
在三角形中，正弦函数可以描述角度与其对边长度之间的关系。
二、余弦函数余弦函数是三角函数中另一个重要的函数。
它的定义如下：在单位圆上，以原点为中心，取一点P(x, y)，其中P与单位圆的交点处的弧长与半径的比值定义为点P的余弦值。
记为cosθ。
余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
它也是一个周期函数，周期为2π。
在三角形中，余弦函数可以描述角度与其邻边长度之间的关系。
三、正切函数正切函数是三角函数中另一个基本函数。
它的定义如下：在单位圆上，以原点为中心，取一点P(x, y)，其中P与单位圆的交点处的弧长与半径的比值定义为点P的正切值。
记为tanθ。
正切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。
它是一个周期函数，周期为π。
在三角形中，正切函数可以描述角度与其对边与邻边之间的关系。
四、三角函数的关系正弦函数、余弦函数和正切函数之间存在一些重要的关系：1. 正弦函数与余弦函数之间存在互补关系：sin(π/2 - θ) = cosθ，cos(π/2 - θ) = sinθ。
这意味着它们的函数图像关于y轴对称。
2. 正切函数可以通过正弦函数和余弦函数表示：tanθ = sinθ/cosθ。
3. 三角函数之间还存在其他重要的关系，如勾股定理中的正弦定理和余弦定理等。
五、应用领域三角函数广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。
以下是一些具体应用的例子：1. 几何学中，三角函数可以帮助我们计算三角形的边长、角度和面积等问题。
三角函数最全知识点总结
三角函数最全知识点总结三角函数是高中数学中的重要内容，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
下面将对这些三角函数的定义、性质以及常用的解题方法进行总结。
一、正弦函数（sin）：1. 定义：在单位圆上，任选一点P与x轴正方向的夹角为θ，P点的纵坐标y即为θ的正弦值，记作sinθ。
正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
2. 周期性：sin(θ+2π)=sinθ，sin(θ+π)=-sinθ。
其中π为圆周率。
3. 奇偶性：sin(-θ)=-sinθ，即正弦函数关于原点对称。
4. 正负性：当θ为锐角时，sinθ>0；当θ为钝角时，sinθ<0。
5. 值域变化：当θ从0增加到π/2时，sinθ从0增加到1，然后再从1减小到0。
二、余弦函数（cos）：1. 定义：在单位圆上，任选一点P与x轴正方向的夹角为θ，P点的横坐标x即为θ的余弦值，记作cosθ。
余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
2. 周期性：cos(θ+2π)=cosθ，cos(θ+π)=-cosθ。
3. 奇偶性：cos(-θ)=cosθ，即余弦函数关于y轴对称。
4. 正负性：当θ为锐角时，cosθ>0；当θ为钝角时，cosθ<0。
5. 值域变化：当θ从0增加到π/2时，cosθ从1减小到0。
三、正切函数（tan）：1. 定义：正切值tanθ等于θ的正弦值除以θ的余弦值，即tanθ=sinθ/cosθ。
正切函数的定义域为实数集，值域为实数集。
2. 周期性：tan(θ+π)=tanθ。
3. 奇偶性：tan(-θ)=-tanθ，即正切函数关于原点对称。
4. 正负性：当θ为锐角时，tanθ>0；当θ为钝角时，tanθ<0。
四、反三角函数：1. 反正弦函数：定义域为[-1,1]，值域为[-π/2，π/2]。
记作arcsin x或sin⁻¹x。
2. 反余弦函数：定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。
三角函数的概念解析
5.2.1 三角函数的概念知识点1 任意角的三角函数1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：sin y α=，cos x α=，tan (0)yx xα=≠． 2．推广：设点(,)P x y 是角α终边上任意一点且不与原点重合，r OP =，则：sin y r α=，cos x r α=，tan (0)yx xα=≠． 注：三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，我们只需计算点到原点的距离22r OP x y ==+，那么22sin x y α=+22cos x y α=+tan (0)yx xα=≠知识点2 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．意为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．考点一 三角函数的定义及应用解题方略：(1)求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解． (2)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=. 注：利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ．(3)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． ①注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(,)(0)a b a ≠，则对应角的正弦值22sin a b α=+，余弦值22cos a b α=+tan baα=. 注：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况(点所在象限不同)进行分析．(4)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.(一)利用定义求角的三角函数值【例1-1】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(2,1)-，则sin α的值为( )A ．5B 5C ．25D 25【答案】B【解析】已知点()2,1P -，则()22215r OP ==-+5sin =5y r α=.变式1-1-1：若角α的终边经过点2(5,)1P -，则sin α=_______，cos α=______，tan α=________．【答案】1213-；513；125- 【解析】因为5,12x y ==-，所以225(12)13r =+-，则12512sin ,cos tan 13135y x y r r x ααα==-====-，．变式1-1-2：已知角α的终边过点()43-，，则2sin cos αα+=( ) A ．1 B ．25-C ．25D ．1-【答案】B【解析】因为角α的终边过点()43-，， 所以()()222234sin ,cos 554343αα=-==+-+-，所以3422sin cos 2555αα⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭，变式1-1-3：(多选)已知函数()()log 2401a f x x a a =-+>≠且的图象经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则11tan sin θθ+的值可能是( ) A ．2 B ．3 C 171+ D 171+【答案】AC【解析】由题意，可知(3,4)A 或(1,4)A ，当点是(3,4)A 时，由三角函数的定义有2244tan ,sin 3534θθ==+，所以11352tan sin 44θθ+=+=； 当点是(1,4)A 时，由三角函数的定义有224tan 4,sin 11714θθ==+11117171tan sin 4θθ+∴+==变式1-1-4：(多选)若角α的终边上有一点(4,)P a -，且3sin cos αα⋅=，则a 的值为( ) A ．3 B 3 C ．43-D ．43【答案】CD【解析】由三角函数的定义可知，()22sin 4a α=-+()22cos 4a α=-+又3sin cos αα⋅=，则()22434a a -=-+43a =-433(二)由三角函数值求终边上的点或参数【例1-2】已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()02,y -，若π3α=，则0y 的值为( )． A ．3- B ．23C ．3D 23【答案】A【解析】因为角α终边经过点()02,y -，且3πα=，所以0πtan332y =-023y =-变式1-2-1：已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =( )A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】由题意31tan 2m m θ-==，解得2m =．变式1-2-2：已知()2,P y -是角θ终边上一点，且22sin θ=y 的值是( ) A ．22B 22C ．434D 434【答案】D【解析】因为()2,P y -是角θ终边上一点，22sin 05θ=>，故点()2,P y -位于第二象限 所以0y >，2222sin (2)y θ==-+21732y =，因为0y >，所以434y =变式1-2-3：已知角θ的终边经过点()21,2a a +-，且3cos 5θ=，则实数的a 值是( )A ．2-B ．211C ．2-或211D ．1【答案】B2235(21)(2)a a =++-且210a +>，即12a >-，①2244195525a a a ++=+，则2112040a a +-=，解得2a =-或211a =，综上，211a =.变式1-2-4：已知角α的终边上有一点(3P m ，且2cos 4mα=，则实数m 取值为______．【答案】0或5【解析】因为角α的终边上有一点(3P m ， 所以22cos 43mm α==+，解得0m =或5±(三)由单位圆求三角函数值【例1-3】已知角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，则sin α的值为( )A. 3 B ．12-C 3D ．12【答案】C【解析】因为角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，所以根据三角函数的定义可知，3sin y α==．变式1-3-1：角α的终边与单位圆的交点A 3sin α=________，若点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，则转过的角度为________． 132π 【解析】α的终边与单位圆的交点A 3可得：3cos α=sin 0α>，则有：22313sin 1cos 14αα⎛⎫=--=⎪⎝⎭点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，可得：2AOB π∠=变式1-3-2：已知角α的终边与单位圆交于点36(P ，则sin cos αα⋅=( ) A 3 B ．2C ．3D 2【答案】B【解析】α的终边与单位圆交于点36(P ,故36||1,r OP x y ====， 故636333sin cos 11y x r r αα==== 所以632sin cos 3αα⋅=（=-，(四)已知角α的终边在直线上求三角函数值【例1-4】已知角α的终边落在射线2(0)y x x =≥上，求sin α，cos α的值．【解析】设射线2(0)y x x =≥上任一点00(,)P x y ，则002y x =，220005OP r x y x ∴==+=，00025sin 55y r x α∴===，0005cos 55x r x α===.变式1-4-1：已知α的终边落在直线2y x =上，求sin α，cos α的值255255【解析】①若α的终边在第一象限内，设点(,2)(0)P a a a >是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=>25sin 55y r a α∴===，5cos 55x r a α===①若α的终边在第三象限内，设点(,2)(0)P a a a <是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=-<25sin 5y r a α∴===-，5cos 5x r a α===-变式1-4-2：α是第二象限角，其终边上一点(5P x ，且2cos x α=，则sin α的值为( ) A 10 B 6 C 2 D ．10 【答案】A【解析】由题意可知0x <，22cos 5x x α=+，解得3x =-510sin 35α==+考点二 三角函数值符号的判定解题方略：三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解．(一)已知角或角的范围确定三角函数式的符号【例2-1】坐标平面内点P 的坐标为()sin5,cos5，则点P 位于第( )象限.A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】B 【解析】32π2π5<<，sin50,cos50∴<>，则点P 位于第二象限，变式2-1-1：若α为第四象限角，则( )A ．cos 2α＞0B ．cos 2α＜0C ．sin 2α＞0D ．sin 2α＜0 【答案】D【解析】法一：因为α为第四象限角，22,2k k k Z ππαπ∴-<<∈，424,k k k Z ππαπ∴-<<∈所以2α的终边在第三象限、第四象限或y 轴的负半轴上，所以sin 20α<.法二：因为α为第四象限角，sin 0α∴<，cos 0α>，sin 22sin cos 0ααα∴=<.变式2-1-2：下列各选项中正确的是( )A ．sin300>0︒B ．cos(305)0-︒<C ．22tan 03π⎛⎫-> ⎪⎝⎭D ．sin100<【答案】D【解析】30036060︒=︒-︒，则300︒是第四象限角，故sin3000︒<；30536055-︒=-︒+︒，则305-︒是第一象限角，故cos(305)0-︒>；222833πππ-=-+，则223π-是第二象限角，故22tan 03π⎛⎫-< ⎪⎝⎭； 73102ππ<<，则10是第三象限角，故sin100<，故选D.变式2-1-3：下列各式：①()sin 100-︒； ①()cos 220-︒； ①()tan 10-； ①cos π. 其中符号为负的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】100-︒，故()sin 1000-︒<；220-︒在第二象限，故()cos 2200-︒<；710,32ππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭在第二象限，故()tan 100-<，cos 10π=-<.(二)由三角函数式的符号确定角的范围或象限【例2-2】已知sin tan 0θθ⋅<，则角θ位于第________象限．【答案】二或三【解析】当θ为第一象限角时，sin 0θ>，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅>； 当θ为第二象限角时，sin 0θ>，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第三象限角时，sin 0θ<，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第四象限角时，sin 0θ<，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅> 综上，若sin tan 0θθ⋅<，则θ位于第二或第三象限变式2-2-1：已知sin 0θ<且tan 0θ<，则θ是( )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角【答案】D【解析】sin 0θ<，则θ是第三、四象限的角，tan 0θ<，则θ是第二、四象限的角 ①θ是第四象限的角变式2-2-2：若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】sin cos 0αα⋅<，α是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<； 当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意； 综上所述：α是第二象限角.变式2-2-3：若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】C【解析】由sin tan 0αα<可知sin α,tan α异号，从而α是第二或第三象限角．由cos 0tan αα<可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角． 综上可知，α是第三象限角．变式2-2-4：已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】因为点P 在第四象限，所以有tan 0cos 0αα>⎧⎨<⎩，由此可判断角α的终边在第三象限．变式2-2-5：若cos α与tan α同号，那么α在( )A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第三、四象限D ．第二、四象限 【答案】B【解析】因为cos α与tan α同号，则cos α与tan α的乘积为正，即正弦值为正，所以α在第一、二象限.变式2-2-6：在ABC 中，A 为钝角，则点()cos ,tan P A B 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】在ABC 中，A 为钝角，则B 为锐角，则cos 0,tan 0A B <>，则点()cos ,tan P A B 在第二象限变式2-2-7：已知角α的终边经过点(39,2)a a -+，且cos 0α≤，sin 0α>，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 【答案】A【解析】①cos 0α≤，sin 0α>，①角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ①39020a a -≤⎧⎨+>⎩ ①23a -<≤ .。
三角函数基础知识点
三角函数基础知识点三角函数是数学中的一个重要分支，它研究了三角形的角和边之间的关系。
它在解决几何问题、物理问题、工程问题等方面有着广泛的应用。
本文将介绍三角函数的基础知识点，包括三角函数的定义、性质、基本关系、常用公式等。
一、三角函数的定义在直角三角形中，我们可以定义三个基本的三角函数：正弦函数sin、余弦函数cos和正切函数tan。
这些函数将一个角映射为一个比值，该比值与三角形的边的长度有关。
1. 正弦函数sin:正弦函数是一个周期函数，定义为一个角的对边与斜边的比值，即sinA = a/c。
2. 余弦函数cos:余弦函数也是一个周期函数，定义为一个角的邻边与斜边的比值，即cosA = b/c。
3. 正切函数tan:正切函数也是一个周期函数，定义为一个角的对边与邻边的比值，即tanA = a/b。
二、三角函数的性质1. 周期性：三角函数是周期函数，周期为360度或2π弧度。
即sin(x + 360n) = sin(x)、cos(x + 360n) = cos(x)、tan(x + 180n) = tan(x)。
2.奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。
3.交替性：正弦函数和余弦函数在一些点上交替变换，即sin(x + π) = -sin(x)、cos(x + π) = -cos(x)。
正切函数在一些点上没有定义，即tan(x + π) = tan(x)。
三、三角函数的基本关系1.三角函数之间的关系：sin²A + cos²A = 1，这是三角恒等式之一，可以利用勾股定理推导出来。
2.三角函数的互换关系：sin(x) = cos(90° - x)cos(x) = sin(90° - x)tan(x) = 1/tan(90° - x)3.三角函数的倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan²(x))四、常用三角函数公式1.加法公式：sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) 2.减法公式：sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y) cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y) 3.和差与倍角公式：sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y) cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y) sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan²(x))以上是三角函数基础知识的介绍，了解这些知识点对于理解三角函数的性质和应用是非常重要的。
三角函数深入理解三角函数的性质和关系
三角函数深入理解三角函数的性质和关系三角函数是数学中的基础概念，也是应用广泛的数学工具。
它们在几何、物理、工程等领域都起着重要的作用。
本文将深入探讨三角函数的性质和关系，以便更好地理解和应用它们。
1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数是三角函数中最为常见和基础的函数之一。
它的定义如下：函数y = sin(x)，其中x为角度（单位可以是弧度或度），y为对应的正弦值。
正弦函数的图像在数学坐标系中呈现周期性，振幅为1，且在每个周期内都有无数个最大值和最小值。
正弦函数具有以下性质和关系：- 周期性：sin(x + 2π) = sin(x)，其中2π为一个周期。
- 对称性：sin(π - x) = sin(x)，说明正弦函数具有轴对称性。
- 奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，说明正弦函数是奇函数。
- 平移性：sin(x + π/2) = cos(x)，说明正弦函数和余弦函数之间存在平移关系。
2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数是与正弦函数密切相关的三角函数。
它的定义如下：函数y = cos(x)，其中x为角度（单位可以是弧度或度），y为对应的余弦值。
余弦函数的图像也呈现周期性，振幅为1，且在每个周期内都有无数个最大值和最小值。
余弦函数具有以下性质和关系：- 周期性：cos(x + 2π) = cos(x)，其中2π为一个周期。
- 对称性：cos(π - x) = -cos(x)，说明余弦函数具有轴对称性。
- 奇偶性：cos(-x) = cos(x)，说明余弦函数是偶函数。
- 平移性：cos(x + π/2) = -sin(x)，说明余弦函数和正弦函数之间存在平移关系。
3. 正切函数（Tangent Function）正切函数是正弦函数和余弦函数的商，定义如下：函数y = tan(x)，其中x为角度（单位可以是弧度或度），y为对应的正切值。
正切函数的图像也呈现周期性，但在每个周期内并不一定有无数个最大值和最小值。
完整版)三角函数知识点总结
千里之行，始于足下。
完整版)三角函数知识点总结三角函数是高中数学中的重要部分，它与几何图形的性质、三角形的边角关系、周期函数等有着密切的联系。
以下是三角函数的一些重要的知识点总结：一、三角函数的定义：1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一个锐角的角度，正弦函数的值等于对边长度与斜边长度的比值。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一个锐角的角度，余弦函数的值等于邻边长度与斜边长度的比值。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个锐角的角度，正切函数的值等于对边长度与邻边长度的比值。
二、三角函数的重要性质：1. 三角函数的周期性：sin、cos、tan函数的周期都是2π。
2. 三角函数的奇偶性：（1）正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。
（2）余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
（3）正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
3. 三角函数的界值：（1）正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间，即-1≤sin(x)≤1。
（2）余弦函数的取值范围也在[-1, 1]之间，即-1≤cos(x)≤1。
（3）正切函数的取值范围为全体实数。
三、三角函数的基本关系与恒等式：1. 余弦与正弦的基本关系：cos(x)=sin(x+π/2)。
2. 正切与正弦、余弦的关系：tan(x)=sin(x)/cos(x)。
3. 三角函数的和差公式：第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
（1）sin(x±y)=sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y)。
（2）cos(x±y)=cos(x)cos(y)∓sin(x)sin(y)。
4. 三角函数的倍角公式：（1）sin(2x)=2sin(x)cos(x)。
（2）cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)。
（3）tan(2x)=(2tan(x))/(1-tan^2(x))。
5. 三角函数的半角公式：（1）sin(x/2)=√[(1-cos(x))/2]。
三角函数的周期性与变化知识点总结
三角函数的周期性与变化知识点总结三角函数是数学中非常重要的一部分，其周期性和变化规律在解决各种数学问题和实际应用中都具有重要意义。
本文将对三角函数的周期性与变化的相关知识点进行详细总结。
一、三角函数的基本概念在深入探讨周期性和变化之前，我们先来回顾一下三角函数的基本定义。
正弦函数（sin）：对于一个角θ，其正弦值等于该角的对边与斜边的比值。
余弦函数（cos）：余弦值等于该角的邻边与斜边的比值。
正切函数（tan）：正切值是该角的对边与邻边的比值。
二、三角函数的周期性周期性是三角函数的一个显著特征。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π。
这意味着，对于任意实数 x，sin(x ＋2π) ＝ sin(x)，cos(x ＋2π) ＝ cos(x)。
正切函数的周期是π，即 tan(x ＋π) ＝ tan(x)。
这种周期性在函数图像上表现得非常明显。
以正弦函数为例，它的图像在 x 轴上每隔2π 就会重复出现相同的波形。
三、三角函数的图像变化1、振幅正弦函数和余弦函数的一般形式可以写成 y ＝ A sin(Bx ＋ C) ＋ D 和 y ＝ A cos(Bx ＋ C) ＋ D，其中 A 称为振幅。
振幅决定了函数图像的波动幅度。
A 的绝对值越大，图像的起伏就越大；A 的绝对值越小，图像的起伏就越小。
2、相位在上述表达式中，Bx ＋ C 称为相位。
相位的变化会导致函数图像在 x 轴上的左右平移。
3、周期变化对于 y ＝ A sin(Bx ＋ C) ＋ D 和 y ＝ A cos(Bx ＋ C) ＋ D，周期 T ＝2π/｜B|。
当 B 的值增大时，周期变小，函数图像在 x 轴上的压缩；B 的值减小时，周期变大，函数图像在 x 轴上的拉伸。
4、垂直平移表达式中的 D 表示垂直平移。
当 D 为正数时，函数图像向上平移 D 个单位；当 D 为负数时，函数图像向下平移｜D| 个单位。
四、三角函数周期性与变化的应用1、物理学中的简谐运动例如弹簧振子的运动，其位移可以用正弦或余弦函数来描述，周期性和变化规律帮助我们分析振子的运动状态。
三角函数的基本概念和性质
三角函数的基本概念和性质三角函数是数学中重要的概念之一，被广泛应用于几何、物理、工程等领域。
本文将介绍三角函数的基本概念和性质，并探讨其在实际问题中的应用。
一、基本概念三角函数是指在单位圆上，以圆心为原点，边长为1的圆为准，则任意一个圆周上的点P(x,y)，其对应的三角函数值可以表示为sinθ、cosθ和tanθ，其中θ为弧度。
常用的三角函数还包括其倒数：cscθ、secθ和cotθ。
1. 正弦函数（sinθ）：在单位圆上，以点P(x,y)的纵坐标y作为sinθ的值。
2. 余弦函数（cosθ）：在单位圆上，以点P(x,y)的横坐标x作为cosθ的值。
3. 正切函数（tanθ）：在单位圆上，以点P(x,y)的纵坐标y除以横坐标x得到tanθ的值。
4. 余切函数（cotθ）：tanθ倒数的值，即1/tanθ。
5. 正割函数（secθ）：cosθ的倒数的值，即1/cosθ。
6. 余割函数（cscθ）：sinθ的倒数的值，即1/sinθ。
二、基本性质三角函数具有一些重要的性质，这些性质的理解和应用对于解决问题至关重要。
1. 基本关系：- cosθ = sin(90° - θ)- tanθ = sinθ/cosθ- cotθ = 1/tanθ- secθ = 1/cosθ- cscθ = 1/sinθ2. 周期性：- sinθ和cosθ的周期为360°（或2π弧度），即在一个周期内，函数值重复出现。
- tanθ、cotθ、secθ和cscθ的周期为180°（或π弧度）。
3. 正负关系：- sinθ、cscθ的值域在-1至1之间。
- cosθ、secθ的值域在-1至1之间。
- tanθ、cotθ在整个定义域上均无定义，只有在特定区间上有正负之分。
4. 对称性：- sin(-θ) = -sinθ- cos(-θ) = cosθ- tan(-θ) = -tanθ三、应用示例三角函数在几何、物理、工程等领域具有广泛的应用，下面举例说明：1. 几何中的应用：- 利用三角函数可以计算任意角形的各个角的大小、边长和面积。
三角函数的概念与基本性质
三角函数的概念与基本性质三角函数是高中数学中重要的概念之一，它与三角形的关系密切，是解决三角形相关问题的基础。
本文将介绍三角函数的概念与基本性质，帮助读者更好地理解和应用三角函数。
一、三角函数的概念三角函数是指以角度为自变量，以某一边的长度比例为函数值的函数。
常见的三角函数有正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
以一个直角三角形为例，假设其中一个锐角为θ。
那么，正弦函数sinθ的定义为：sinθ = 对边/斜边，余弦函数cosθ的定义为：cosθ = 邻边/斜边，正切函数tanθ的定义为：tanθ = 对边/邻边。
这些定义是根据三角形中的几何关系推导而来的。
二、三角函数的基本性质1. 周期性：正弦函数、余弦函数、正切函数都具有周期性。
以正弦函数为例，sin(θ+2π) = sinθ，即正弦函数在每个周期内的取值是相同的。
这一性质在解决三角函数相关问题时非常重要。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cosθ。
这意味着正弦函数关于原点对称，而余弦函数关于y轴对称。
3. 互余关系：正弦函数和余弦函数具有互余关系，即sinθ = cos(π/2 - θ)，cosθ = sin(π/2 - θ)。
这一性质可以通过三角函数的定义和几何关系进行推导。
4. 三角函数的范围：正弦函数和余弦函数的取值范围在[-1, 1]之间，而正切函数的取值范围为全体实数。
5. 三角函数的图像：正弦函数和余弦函数的图像是连续的曲线，呈现周期性变化。
正切函数的图像则是一条连续的曲线，但在某些点上有无穷大的间断点。
三、三角函数的应用三角函数在实际问题中有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景。
1. 三角函数在三角形相关问题中的应用：通过三角函数的定义和性质，可以解决三角形的边长、角度等相关问题。
例如，已知一个三角形的一边和一个角度，可以利用正弦函数或余弦函数求解其他边长或角度。
三角函数总结大全
三角函数总结大全三角函数是数学中的重要概念，是描述三角形边长和角度之间的关系的函数。
三角函数的研究和应用广泛，涵盖了数学、物理、工程等多个领域。
在学习和应用三角函数的过程中，我们需要掌握基本的三角函数定义、性质、公式以及它们在常见角度上的取值等知识。
下面我们将对三角函数进行全面总结。
一、基本概念1. 弧度：弧度是用来度量角度大小的单位。
一个弧度定义为半径长度等于弧长的角度，记作rad。
2.角度：角度是用来度量角度大小的单位。
一个角度定义为弧长等于半径长度的1/360，记作°。
3.角的三要素：角的三要素包括顶点、始边和终边。
顶点为角的端点，始边是从顶点开始的射线，终边是与始边相交形成的角。
4.正弦函数：正弦函数是一个周期函数，表示一个角的正弦值与其对应的三角形一条锐角边所在直线段的比值。
正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1,1]。
5.余弦函数：余弦函数是一个周期函数，表示一个角的余弦值与其对应的三角形一条锐角边所在直线段的比值。
余弦函数的定义域是实数集，值域是[-1,1]。
6.正切函数：正切函数是一个周期函数，表示一个角的正切值与其对应的三角形两条锐角边所在直线段的比值。
正切函数的定义域是实数集，值域是全体实数。
7.余切函数：余切函数是一个周期函数，表示一个角的余切值与其对应的三角形两条锐角边所在直线段的比值。
余切函数的定义域是实数集，值域是全体实数。
二、三角函数的关系1.基本关系：正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数之间存在一定的关系。
- 正弦函数和余弦函数的关系：sin(x) = cos(π/2 - x)，cos(x) = sin(π/2 - x)- 正切函数和余切函数的关系：tan(x) = 1/cot(x)，cot(x) =1/tan(x)2.诱导公式：通过利用三角函数的基本关系，可以得到一系列的诱导公式。
- 和差角公式：sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)，cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)- 二倍角公式：sin(2a) = 2sin(a)cos(a)，cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)- 三倍角公式：sin(3a) = 3sin(a) - 4sin^3(a)，cos(3a) =4cos^3(a) - 3cos(a)- 半角公式：sin(a/2) = ±√((1 - cos(a))/2)，cos(a/2) =±√((1 + cos(a))/2)三、常见角度上的三角函数值1.0度和180度的三角函数值：- sin(0°) = 0，sin(180°) = 0- cos(0°) = 1，cos(180°) = -1- tan(0°) = 0，tan(180°) = 02.30度和150度的三角函数值：- sin(30°) = 1/2，sin(150°) = 1/2- cos(30°) = √3/2，cos(150°) = -√3/2 - tan(30°) = √3/3，tan(150°) = -√3/34.60度和120度的三角函数值：- sin(60°) = √3/2，sin(120°) = √3/2- cos(60°) = 1/2，cos(120°) = -1/2- tan(60°) = √3，tan(120°) = -√35.90度的三角函数值：- sin(90°) = 1- cos(90°) = 0- tan(90°) = 无穷大四、三角函数的应用1.几何应用：三角函数在几何中的应用非常广泛，可以用来计算三角形的边长、角度、面积等。
三角函数的基本概念知识点总结
三角函数的基本概念知识点总结三角函数是数学中一个重要的分支，在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
要学好三角函数，首先要对其基本概念有清晰的理解。
一、角的概念角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边，端点叫做角的顶点。
角的度量通常有两种方式：角度制和弧度制。
角度制是把一个周角等分成 360 份，每一份叫做 1 度，记为 1°。
弧度制则是以长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示。
如果弧长为 l，半径为 r，圆心角的弧度数为α，那么α＝ l ／ r 。
在实际应用中，弧度制在很多数学计算中更加方便。
二、三角函数的定义在平面直角坐标系中，设点 P(x, y)是角α终边上任意一点，且点 P到原点的距离为 r（r ＝√（x²＋ y²) ），则有以下六个三角函数的定义：正弦函数：sinα ＝ y ／ r ；余弦函数：cosα ＝ x ／ r ；正切函数：tanα ＝ y ／ x （x ≠ 0 ）；余切函数：cotα ＝ x ／ y （y ≠ 0 ）；正割函数：secα ＝ r ／ x （x ≠ 0 ）；余割函数：cscα ＝ r ／ y （y ≠ 0 ）。
三角函数的值与角的终边位置有关，而与点P 在终边上的位置无关。
例如，对于特殊角 0°、30°、45°、60°、90°等，它们的三角函数值是固定的，需要牢记。
三、三角函数的符号根据角所在的象限，三角函数的符号有不同的情况。
在第一象限，所有三角函数值都是正的；在第二象限，正弦函数值是正的，其余为负；在第三象限，正切函数值是正的，其余为负；在第四象限，余弦函数值是正的，其余为负。
记忆口诀为：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”。
四、同角三角函数的基本关系1、平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 1 。
三角函数的概念与性质详解
三角函数的概念与性质详解三角函数是数学中的重要概念，与三角学密切相关。
它们可以用于解决各种与角度、三角形以及周期性现象相关的问题。
本文将详细介绍三角函数的概念及其性质，以帮助读者更好地理解和应用三角函数。
一、三角函数的定义与概念1. 正弦函数（sine function）正弦函数是最基本的三角函数之一，通常用sin表示。
在直角三角形中，正弦函数的定义为：一个锐角的对边与斜边的比值。
在数学中，正弦函数是一个周期函数，其周期为2π（或360°），其值域在[-1, 1]之间。
2. 余弦函数（cosine function）余弦函数是另一个重要的三角函数，通常用cos表示。
在直角三角形中，余弦函数的定义为：一个锐角的邻边与斜边的比值。
余弦函数也是一个周期函数，其周期为2π（或360°），其值域同样在[-1, 1]之间。
3. 正切函数（tangent function）正切函数是三角函数中的另一个常见函数，通常用tan表示。
在直角三角形中，正切函数的定义为：一个锐角的对边与邻边的比值。
正切函数是一个无穷函数，其值域为全体实数。
二、三角函数的重要性质1. 周期性如前所述，正弦函数和余弦函数的周期都是2π（或360°）。
这意味着正弦函数和余弦函数在经过一个完整的周期后，其值将重复。
2. 奇偶性正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
这意味着正弦函数在原点对称，而余弦函数在y轴上对称。
3. 关系公式三角函数之间存在一些重要的关系公式，如：①正切函数与正弦函数和余弦函数的关系：tan(x) = sin(x) / cos(x)②余切函数与正弦函数和余弦函数的关系：cot(x) = cos(x) / sin(x)③正弦函数和余弦函数的平方和关系：sin^2(x) + cos^2(x) = 1这些关系公式在计算中具有重要的作用。
三角函数的知识点有哪些
三角函数的知识点有哪些一、三角函数的基本概念。
1. 角的概念。
- 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
- 按旋转方向可分为正角（按逆时针方向旋转）、负角（按顺时针方向旋转）和零角（没有旋转）。
- 与角α终边相同的角的集合为{ββ = k·360^∘+α,k∈ Z}（角度制）或{ββ = 2kπ+α,k∈ Z}（弧度制）。
2. 弧度制。
- 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
- 弧度与角度的换算：180^∘=π弧度，所以1^∘=(π)/(180)弧度，1弧度=((180)/(π))^∘。
3. 任意角的三角函数定义。
- 设α是一个任意角，α终边上任意一点P(x,y)，r = √(x^2)+y^{2}。
- 正弦sinα=(y)/(r)，余弦cosα=(x)/(r)，正切tanα=(y)/(x)(x≠0)。
二、同角三角函数的基本关系。
1. 平方关系。
- sin^2α+cos^2α = 1。
2. 商数关系。
- tanα=(sinα)/(cosα)(cosα≠0)。
三、三角函数的诱导公式。
1. 公式一。
- sin(α + 2kπ)=sinα，cos(α + 2kπ)=cosα，tan(α+ 2kπ)=tanα，k∈ Z。
2. 公式二。
- sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα。
3. 公式三。
- sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα。
4. 公式四。
- sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π - α)=-tanα。
5. 公式五。
- sin((π)/(2)-α)=cosα，cos((π)/(2)-α)=sinα。
6. 公式六。
- sin((π)/(2)+α)=cosα，cos((π)/(2)+α)=-sinα。
四、三角函数的图象与性质。
1. 正弦函数y = sin x- 图象：正弦函数的图象是正弦曲线，它是通过“五点法”（(0,0)，((π)/(2),1)，(π,0)，((3π)/(2), - 1)，(2π,0)）画出的周期为2π的曲线。
三角函数的周期性与变化知识点总结
三角函数的周期性与变化知识点总结三角函数是数学中非常重要的一个概念，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等众多领域。
其中，周期性和变化是三角函数的两个关键特性。
一、三角函数的基本概念在探讨周期性和变化之前，我们先来了解一下三角函数的基本定义。
正弦函数（sin）：对于一个角θ，正弦函数的值等于这个角的对边与斜边的比值。
余弦函数（cos）：余弦函数的值等于这个角的邻边与斜边的比值。
正切函数（tan）：正切函数是正弦函数与余弦函数的比值，即tanθ ＝sinθ ／cosθ。
二、三角函数的周期性周期性是三角函数最为显著的特征之一。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π。
这意味着，对于任意实数 x，sin(x ＋2π) ＝ sin(x)，cos(x ＋2π) ＝ cos(x)。
以正弦函数为例，如果我们绘制其图像，会发现它呈现出波浪状，并且每隔2π 个单位长度，图像就会重复出现。
正切函数的周期则是π，即 tan(x ＋π) ＝ tan(x)。
那么，为什么三角函数会具有周期性呢？这是因为角度的旋转具有周期性。
当一个角增加或减少2π 时，其对应的三角函数值会重复出现。
周期性的应用非常广泛。
例如，在研究交流电的变化规律时，正弦函数的周期性就起到了关键作用；在物理学中，描述振动和波动现象时，周期性也是不可或缺的。
三、三角函数的变化1、值域和定义域正弦函数和余弦函数的定义域都是全体实数，值域都是－1, 1。
正切函数的定义域是x ≠ （π/2) ＋kπ（k 为整数），值域是全体实数。
2、单调性正弦函数在区间π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ（k 为整数）上单调递增，在区间π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ 上单调递减。
余弦函数在区间2kπ, π ＋2kπ 上单调递减，在区间π ＋2kπ, 2π ＋2kπ 上单调递增。
正切函数在区间（π/2 ＋kπ, π/2 ＋kπ) 上单调递增。
了解三角函数的单调性对于求解不等式、求函数的最值等问题非常有帮助。
高中数学三角函数知识点总结
高中数学三角函数知识点总结三角函数是研究角的变化规律的数学工具，它在高中数学中占有重要的地位。
三角函数主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
本文将对高中数学三角函数的知识点进行总结，包括定义、性质和应用等方面。
一、正弦函数1.定义正弦函数的定义是：在单位圆上，角θ的终边与x轴正半轴的交点的纵坐标，记作sinθ。
正弦函数的函数值在闭区间[-1,1]内取值。
2.基本性质（1）周期性：sin(θ+2π)=sinθ，其中π为圆周率。
函数的周期为2π。
（2）奇偶性：sin(-θ)=-sinθ，sin(π-θ)=sinθ。
函数是奇函数，图像关于原点对称。
（3）对称性：sin(θ+π/2)=cosθ，sin(π/2-θ)=cosθ。
正弦函数与余弦函数相互等价。
3.图像特点正弦函数的图像呈现周期性变化。
在0到2π的区间内，函数图像从0开始上升至1，然后下降至0，在π上通过最低点0，然后在(π,2π)区间内下降至-14.基本关系式（1）和差角公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ。
（2）倍角公式：sin2θ=2sinθcosθ。
（3）半角公式：sin(θ/2)=±√[(1-cosθ)/2]。
二、余弦函数1.定义余弦函数的定义是：在单位圆上，角θ的终边与x轴正半轴的交点的横坐标，记作cosθ。
余弦函数的函数值在闭区间[-1,1]内取值。
2.基本性质（1）周期性：cos(θ+2π)=cosθ，函数的周期为2π。
（2）奇偶性：cos(-θ)=cosθ，cos(π-θ)=-cosθ。
函数是偶函数，图像关于y轴对称。
（3）对称性：cos(θ+π/2)=-sinθ，cos(π/2-θ)=sinθ。
余弦函数与正弦函数相互等价。
3.图像特点余弦函数的图像也呈现周期性变化，并且与正弦函数的图像相位差为π/2、在0到2π的区间内，函数图像从1开始下降至0，然后上升至1，在π上通过最高点1，然后在(π,2π)区间内下降至-14.基本关系式（1）和差角公式：cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ。
三角函数知识点归纳
三角函数知识点归纳三角函数是数学中的一个重要分支，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
它主要研究与三角形及其内部角度大小和边长之间的关系。
下面将从基本概念、常用公式、特殊角等方面对三角函数的知识点进行归纳。
一、基本概念1.角度与弧度：角度是用度（°）来度量角的大小，一周为360°，一度等于1/360。
而弧度是用弧长与半径之比来度量角的大小。
1弧度等于180/π度。
2.三角比：三角比是三角形的特殊角的边的比值，分为正弦、余弦和正切三个比值。
其中，正弦指的是三角形的对边与斜边的比值，余弦指的是三角形的邻边与斜边的比值，正切指的是三角形的对边与邻边的比值。
二、常用公式1.三角函数的周期性：正弦、余弦的周期都为2π，而正切的周期为π。
2. 反三角函数：通过三角函数的值来求解对应的角，称为反三角函数。
反正弦函数、反余弦函数、反正切函数分别用asinx、acosx、atanx 表示。
3. 三角函数的复合：复合函数指的是将一个函数作为另一个函数的自变量。
例如，sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny。
三、特殊角1.0°、90°、180°、270°：正弦值分别为0、1、0、-1，余弦值分别为1、0、-1、0，正切值分别为0、无穷大、0、无穷大。
2. 30°、45°、60°：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=1/√3；sin45°=cos45°=1/√2，tan45°=1；sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3四、三角函数的性质1.基本关系：正弦乘以正弦的和、余弦乘以余弦的和，余弦乘以正弦的和都等于两个角的余弦乘以对方的正弦加上两个角的余弦乘以对方的余弦；正弦的平方加上余弦的平方等于12. 奇偶性关系：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sinx；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cosx；正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tanx。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角函数概念与规律一．任意角(1)角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l r ，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.二．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：sin 上为正、cos 右为正、tan 一三为正． (3)三角函数定义的理解三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但p （x,y ）是终边上任意一点，它到原点的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx .(4)．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线(5)特殊角的三角函数值： sin 00= 0 cos 00= 1 tan 00= 0sin300=21cos300=23tan300=33sin 045=22cos 045=22tan 045=1sin600=23cos600=21 tan600=3sin900=1 cos900=0 tan900无意义三.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。
（2）商数关系：ααcos sin =tan α 四.诱导公式：记忆口诀：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。
()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．如55sin sin ,cos cos 6666ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 如：sin cos 63ππαα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， cos sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．五正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中， 五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中， 五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1)sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1- []1,1-R函数 性质3.周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一般称为周期） 正弦函数、余弦函数：ωπ=2T 。
正切函数：πω4、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的图像： （1）函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的有关概念： ①振幅：A ； ②周期：2πωT =； ③频率：12f ωπ==T ； ④相位：x ωϕ+； ⑤初相：ϕ．(2) 振幅变换①y=Asinx ，x ∈R(A>0且A ≠1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍得到的②它的值域[-A, A] 最大值是A, 最小值是-A③若A<0 可先作y=-Asinx 的图象 ，再以x 轴为对称轴翻折A 称为振幅，这一变换称为振幅变换(3) 周期变换①函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变） ②若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换(4) 相位变换一般地，函数y ＝sin(x ＋ϕ)，x ∈R (其中ϕ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时＝平行移动｜ϕ｜个单位长度而得到用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)y ＝sin(x ＋ϕ)与y ＝sin x 的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换5、小结平移法过程（步骤）6、函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+ 六、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：（1）()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； （2）()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； （3）()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； （4）()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； （5）()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；（6）()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．七、二倍角的正弦、余弦和正切公式：1、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-．2、()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A．3（1）升幂公式1+cos α=2cos 22α1-cos α=2sin22α1±sin α=(2cos2sin αα±)21=sin 2α+ cos 2αsin α=2cos2sin2αα（2）降幂公式sin 2α22cos 1α-=cos 2α22cos 1α+=sin 2α+ cos 2α=1 sin α·cos α=α2sin 21八．三角恒等变换三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍； ②2304560304515o ooooo=-=-=；问：=12sinπ；=12cosπ；③ββαα-+=)(；④)4(24αππαπ--=+； ⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： o o 45tan 90sin cot tan cos sin122===+=αααα（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。
常用降幂公式有： ； 。
降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
如：_______________tan 1tan 1=-+αα； ______________tan 1tan 1=+-αα；____________tan tan =+βα；___________tan tan 1=-βα； ____________tan tan =-βα；___________tan tan 1=+βα；=αtan 2 ；=-α2tan 1 ；=++o o o o 40tan 20tan 340tan 20tan ；=+ααcos sin = ；=+ααcos sin b a = ；（其中=ϕtan ；） =+αcos 1 ；=-αcos 1 ；（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。