三角函数概念与规律

三角函数概念与规律

一．任意角

(1)角的分类：

①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：

终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制：

①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．

②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l r ，l

是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．

③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值l

r 与所取的r 的大小无关，仅与

角的大小有关．

④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．

⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝1

2

|α|r 2.

二．任意角的三角函数

(1)任意角的三角函数定义：

设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y

x ，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或

坐标的比值为函数值的函数．

(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：sin 上为正、cos 右为正、tan 一三为正． (3)三角函数定义的理解

三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y

x ，但

p （x,y ）是终边上任意一点，它到原点的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y

x .

(4)．三角函数线

设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.

三角函数线

有向线段MP 为正弦

线

有向线段OM 为余弦

线

有向线段AT 为正切

线

(5)特殊角的三角函数值： sin 0

0= 0 cos 00= 1 tan 00= 0

sin30

0=

2

1

cos30

0=2

3

tan30

0=3

3

sin 045=2

2

cos 0

45=2

2

tan 0

45=1

sin60

0=2

3

cos60

0=

2

1 tan60

0=3

sin90

0=1 cos90

0=0 tan900无意义

三.同角三角函数的基本关系：

（1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系：α

α

cos sin =tan α 四.诱导公式：

记忆口诀：2

k π

αα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：

奇变偶不变，符号看象限。

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．

如55sin sin ,cos cos 6666ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-=+-=-+ ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

口诀：函数名称不变，符号看象限．

()5sin cos 2π

αα⎛⎫-=

⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

． 如：sin cos 63ππαα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， cos sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

()6sin cos 2π

αα⎛⎫+=

⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫

+=- ⎪⎝⎭

． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

五正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质

1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中， 五个关键点是：(0,0) (

2π,1) (π,0) (23π

,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中， 五个关键点是：(0,1) (

2π,0) (π,-1) (2

3π,0) (2π,1)

sin y x = cos y x = tan y x =

图象

定义域 R R

,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭

值域

[]1,1- []1,1-

R

函

数 性

质