2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷理科

2017年辽宁省大连市高考数学)理科(一模试卷．年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）2017一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.，则=（z=1+2i ）1．（5分）已知复数4i3B．5+4i﹣C．﹣3 D．A．52，＜0}2x﹣．（5分）已知集合 A，则∩B=（）A={x|x3﹣2A．{x|1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}33”的（ |b|”是“a）＞b（3．5分）设a，b均为实数，则“a＞．必要不充分条件B．充分不必要条件 A C．充要条件 D．既不充分也不必要条件为抛物线上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|54．（分）若点P）的最小值为（．DC A．2 B．．5．（5分）已知数列{a}满足a﹣a=2，a=﹣5，则|a|+|a|+…+|a|=（）62n+11nn1A．9 B．15 C．18 D．30）满足不等式y分）在平面内的动点（x，z=2x+y，则的最大6．（5）值是（A．6 B．4 C．2 D．07．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）第2页（共22页）．CD．A．4 B ．8．（5分）将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（）7D．C．6 A．4 B．59．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）．．B ． CAD．分）若方程．（5在上有两个不相等的实数解x，101） =（ x，则x+x212． CA．． BD．分）已知向量5，11．（），（m＞0，n＞，0） 2] ，则的取值范围是（若m+n∈[1，．． AC． BD．x2﹣m（m＞0），当x上的函数f（）=ex+mx+x=1时，R．12（5分）已知定义在21不等式f（x）+f（0）＞f（x）+f（1）恒成立，则实数x的取值范围是（）112∞）+1，．． C． D（ B0．A（﹣∞，）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）第223页（共页）个人，每人一张，且甲乙分得5（5分）现将5张连号的电影票分给甲乙等13．．的电影票连号，则共有种不同的分法（用数字作答）x?sinx在点（0，f（0x）=e））处的切线方程是．14．（5分）函数f（15．（5分）我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200．之间，那么这个数的焦点F且与一条渐近线垂直的直（5分）过双曲线16．． A，B两点，若，则双曲线的离心率为线与两条渐近线相交于三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知点sinx），O为坐标原点，函数．分）．（1217，Q（cosx，的值；xx）的最小值及此时1（）求函数f（（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．18．（12分）某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：），10080）[80，90）[90[60女性用分值区[50，60），70）[70，间户1020504080频数男性用[50，60）[60，分值区70）[70，80）[80，90）[90，100）间户3045607590频数（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望．第4页（共22页），ABCD为正方形，PA⊥底面P﹣ABCD中，底面ABCD分）如图，在四棱锥19．（12中点．E为棱PDAD=AP，；ABEPD⊥平面（1）求证：中点，的值，使二面角P﹣FM为AB（2）若F，试确定λ．的余弦值为﹣B上异于顶：是长轴长为的椭圆Q20．（12分）已知点P的中点，且为线段PA为坐标原点，A为椭圆的右顶点，点M点的一个动点，O．与OM的斜率之积恒为直线PA的方程；）求椭圆Q（1的CDD两点，线段CF 且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于，（2）设过左焦点1横坐标的取值范围是点G垂直平分线与x轴交于点G，求|CD|的最小，值．2x．）＞0（x+2）（x2=f．21（12分）已知函数（x）（x﹣）e+a的取值范围；a+0，∞）的单调递增函数，求实数x1（）若f（）是（）最小值x）有最小值，并求函数xf（（时，求证：函数（2）当f 225第页（共页）的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方1．t为参数）程为（（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；1的极角为PC上点的参数方程为（α为参数），若曲线（2）C，曲线12距离的最大值．到直线l上的动点，求PQ的中点M为曲线QC2[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．；2a+b=2（1）求证：（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t 的最大值．第6页（共22页）年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）2017参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个.选项中，只有一项是符合题目要求的），则=（1．（5分）已知复数z=1+2i4i3﹣．﹣3 D．A．5 B．5+4iC2．，∴=|z|【解答】解：∵z=1+2i=．故选：A2） B=（，，则A∩2．（5分）已知集合A={x|x0}﹣2x﹣3＜3}＜{x|﹣1＜x3} A．{x|1＜x＜B．3}1＜x＜x．{x|﹣1＜＜0或＜＜C．{x|﹣1x＜0或0＜x3} D2，x＜3}﹣2x3＜0}={x|﹣1【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣，＞1}或={x|x＜0x．3}或01＜x＜∩∴AB={x|﹣1＜x＜．D故选：33）”的（”是“ab均为实数，则“a＞|b| ＞b ，（3．5分）设a．必要不充分条件 BA．充分不必要条件．既不充分也不必要条件DC．充要条件33”，是充分条件，＞ba【解答】解：由＞|b|”能推出“a，不是必要条件，2，反之，不成立，比如a=1b=﹣．故选：A页（共第722页）为抛物线上的动点，F为抛物线PC的焦点，则|PF|分）若点4．（5）的最小值为（． D． CA．2B．为抛物线解：点上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|P【解答】．的最小值为：．D故选：5．（5分）已知数列{a}满足a﹣a=2，a=﹣5，则|a|+|a|+…+|a|=（）61n+1n21n A．9 B．15 C．18 D．30【解答】解：∵a﹣a=2，a=﹣5，∴数列{a}是公差为2的等差数列．n1nn+1．7=2n﹣（5+2n﹣1）∴a=﹣n2．﹣==n6nS数列{a}的前n项和nn．，解得≥0令a=2n﹣7n．a时，|a|=﹣≤∴n3nn．|=a时，|an≥4nn22﹣6×3）=18．6﹣×6﹣2（3=6=S+aa﹣|=|+|a则|+|a…+|a﹣aa﹣+a+a﹣2S31234651626．故选：C）满足不等式yx，6的最大．（5分）在平面内的动点（，则z=2x+y）值是（A．6 B．4 C．2 D．0解：根据不等式，画出可行域，【解答】第8页（共22页）y=0，由，可得x=3．最大值为60）时，z过点2x+y=0，∴当直线z=2x+yA （3，平移直线．A故选：） 5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ 7．（． CD．4 A．B ．解：由题意三视图可知，几何体是直四棱锥，【解答】，的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2底面边长为2．所以四棱锥的体积．故选D次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于n5分）将一枚硬币连续抛掷（8．），则n的最小值为（7D．．BA．4 ．5 C6﹣1解：由题意，【解答】，≥n，∴≥4 229第页（共页），4∴n的最小值为．故选A9．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）． CAD． B．．【解答】解：由程序框图知，程序运行的功能是2用二分法求函数f（x）=x﹣2在区间[1，2]上的零点，且精确到0.3；模拟如下；）×＜101，）?f（）m==（﹣=时，f（b|=≥d；b=，|a﹣）×（﹣1）?f（）=m=（0）＞，=时，f1（﹣；d﹣b|=＜a=，|am=．程序运行终止，输出．B故选：分）若方程（510，在上有两个不相等的实数解x．1x，则x+x=（）221页（共10第22页）．D． B ． CA．2x+，]【解答】解：∵x∈[0∈[，∴，]，上有两个不相等的实数解x，x方程，在21，∴=，=则x+x21．故选：C分）已知向量5，11．（（m＞0，n＞0，），，则2]∈[1，若m+n的取值范围是（）．．CA．． BD解：根据题意，向量【解答】，，，）﹣3nm=（3m+n，，=则=，=，则令t=t而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：2，t≤＜=又由t，；故＜2≤．B故选：第11页（共22页）2x时，=1），当x+mx+x﹣m（m＞0（12．5分）已知定义在R上的函数f（x）=e21）x的取值范围是（ f（x）+f（1）恒成立，则实数）不等式f（x+f（0）＞121∞），+C ．D．（A．（﹣∞，0） B1．）恒成立，+f（10）＞f（x）x【解答】解：∵不等式f（）+f（21）恒成立，（0）＞f（1）﹣f∴不等式f（x）﹣f（x21，=1又∵x+x21）恒成立，1）﹣f （1﹣）﹣xf（1﹣x）＞f（1∴不等式f（11，﹣x）（x）﹣f（1=f设g（x）2x，0）=e（x）+mx﹣m（m＞f∵x1﹣x，1）（=eg∴（x）﹣e+m2x﹣x1x﹣上单调递增，g （x）=ex+e）在R+2m＞0，∴则g′（）恒成立，（1x∴不等式g（）＞g1，x ＞1∴1．D故选：分，将答案填在答题纸上）20二、填空题（每题5分，满分个人，每人一张，且甲乙分得分）现将5张连号的电影票分给甲乙等5（13．5．种不同的分法（用数字作答）的电影票连号，则共有 48人，有3种情况，其余解：甲乙分得的电影票连号，有【解答】4×=62=8种情况，页）22页（共12第种不同的分法．6=488×∴共有．48故答案为x． y=x （0）f．（5分）函数（x）=e）处的切线方程是?sinx在点（0，f14xx sinx+cosx）=e，（2（分）【解答】解：∵f（x）=e?sinx，f′（x），=0（0）0）=1，ff′（∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为，）﹣0y﹣0=1×（x即y=x（4分）．．y=x故答案为：15．（5分）我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200． 128 之间，那么这个数【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；；1第二个数能同时被3和7整除，但除以5余，即21；第三个数能同时被5和7013余，即7整除，但除以然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×．2=233最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23．或105k+23（k为正整数）．由于物数量在100至200之间，故当k=1时，105+23=128128故答案为：的焦点F且与一条渐近线垂直的直16．（5分）过双曲线．两点，若B，则双曲线的离心率为，线与两条渐近线相交于A页）22页（共13第，±的渐近线方程为y=【解答】x解：双曲线，c）（xy=x垂直的直线为y=﹣，设焦点F（c0），与﹣；（）由可得A，，﹣）（，由可得B（）=2再由0），，可得0﹣（﹣﹣2222，a=3（c化为a）=3b﹣22，即为3c=4a．e=则=．故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知点sinx（cosx，），O为坐标原点，（函数．12分）17．Q，的值；x（x）的最小值及此时（1）求函数f（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．）∵1【解答】解：，（，∴时，f（x）取得最小值2．∴当，Af2（）∵（）=4，∴，，∴BC=3又∵2，．bc）b+c9=∴（﹣第14页（共22页），∴取等号，b=c∴，当且仅当∴三角形周长最大值为．名200500名该手机使用者（．（12分）某手机厂商推出一次智能手机，现对18名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：300女性，）100）80[80，90）[90，）女性用分值区[50，60[60，70）[70，间户1040502080频数），100，90）[90[80分值区[6060），70）[70，80）[50男性用，间户3045频数756090（不并比较女性用户和男性用户评分的方差大小）完成下列频率分布直方图，（1；计算具体值，给出结论即可）名名用户，在这20（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取2090名用户评分小于求3名用户，从评分不低于用户中，80分的用户中任意取3分的人数的分布列和期望．（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：【解答】解：2215第页（共页）由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．人，分有6（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80人，364，从人人任取其中评分小于90分的人数为，，3，则记评分小于90分的人数为XX取值为1，2，，．的分布列为所以X123XP或．，ABCDPA⊥底面ABCD分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为正方形，．19（12中点．为棱PDEAD=AP，；ABE⊥平面1）求证：PD（中点，为AB2（）若FFM﹣Pλ，试确定的值，使二面角．﹣B的余弦值为 2216第页（共页），AB，∴PA⊥ABCD，AB?底面ABCD解：【解答】（I）证明：∵PA⊥底面，PADAD?平面，PA?平面PAD，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PDAE ⊥，E为PD中点，∴PAD，又PD?平面，∴AB⊥PD，AD=AP∴AB⊥平面PAD．⊥平面ABE平面ABE，∴PDAB=A，AE?平面ABE，AB?AE∩轴正方向，建立空间直角坐标，zx，II）以Ay为原点，以为（，﹣BDP，令|AB|=2系AF），，1，1，2，2，0）E（0C，（02），则A（00，0，B（，0，），P0，02），（（2λ，M0，），，，，1（，0﹣2λ）2λ，2的法向量，即，设平面PFM，，，设平面BFM的法向量，即解得， 2217第页（共页）．是长轴长为12分）已知点P：上异于顶20．（的椭圆Q的中点，且PA为椭圆的右顶点，点M为线段点的一个动点，O为坐标原点，A．OM的斜率之积恒为直线PA与的方程；1（）求椭圆Q的CDD两点，线段l 交椭圆于C，且不与坐标轴垂直的直线（2）设过左焦点F1横坐标的取值范围是点G求，|CD|的最小x轴交于点G，垂直平分线与值．的长轴长为Q1）∵椭圆，∴．【解答】解：（，，y）P设（x00的斜率之积恒为与OM，∴，∵直线PA，∴，∴b=1故椭圆的方程为．2222，代入）（k≠0x+1x+2k（2）设直线l方程为y=k1+2k有（（）x+4k），2=0﹣，），（xy中点）x），A（xy，B（，y，ABN设012102∴．∴的垂直平分线方程为∴CD， 2218第页（共页），得令y=0∴，∵，∴=．．，x2（x＞）0）2）e．+a（x+2f21．（12分）已知函数（x）=（x﹣（1）若f（x）是（0，+∞）的单调递增函数，求实数a的取值范围；）当时，求证：函数f（x）有最小值，并求函数（2f（x）最小值的取值范围．xx+2ax+4a，2）=ee+（x﹣【解答】解：（1）f'（x）∵函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，∴f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．xx，0，∴）e+2ax+4a≥∴e+（x﹣2，令，．，∴∴x+2a＞′=x?e0，）[f'（x）]（2∴y=f'（x）在（0，+∞）上单调递增又f'（0）=4a﹣1＜0，f'（1）=6a＞0，∴存在t∈（0，1）使f'（t）=0∴x∈（0，t）时，f'（x）＜0，x∈（t，+∞）时，f'（x）＞0，t时，）（f'且有t+2a）﹣t（?1x=t）（t+2当=e，=0．∴第19页（共22页）∞）上单调递减，+，∈（0由（1，）知在t，且∴t∈（0，1）．∴，，∴f（1）＜f（t）＜f（0），﹣e＜f（t）＜﹣1，∴f（x）的最小值的取值范围是（﹣e，﹣1）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方1．t为参数）程为（（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；1的极角为P曲线C，C上点的参数方程为（α为参数），若曲线（2）12距离的最大值．lM到直线为曲线QC上的动点，求PQ的中点22=4ρcosθ，ρ=4cosθ，即ρ1（）曲线C的极坐标方程为【解答】解：1．可得直角坐标方程：的参数方程为（tl为参数），直线．3=0可得普通方程：x+2y﹣消去参数t坐标为（2，2（2，）直），角，的距离M到l∴≤，第20页（共22页）．从而最大值为]：不等式选讲选修4-5[．的最小值为1）=|x+a|+|2x﹣b|，b＞0，函数f （x023．已知a＞；2a+b=2（1）求证：的最大值．恒成立，求实数t）若a+2b ≥tab（2，﹣﹣|+|x（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x|【解答】解：（1）法一：f，0﹣）||=a+且|x∵|x+a|+|xx﹣|≥|（x+a）﹣（≥﹣，x）的最小值为a+x=时取等号，即f（∴fx）≥（a+，当；，∴2a+b=2a+=1b|=﹣f（x），法二：∵﹣a=|x+a|+|2x＜，∴∞）上单调递增，，x）在+[f（xf）在（﹣∞，]上单调递减，（显然，（）=a+∴f（x）的最小值为f．=1，∴2a+b=2a+恒成立，∴a+2b≥t恒成立，tab（2）方法一：∵≥1+4+=++=））?（，）+（2a+b （=，取得最小值当时，a=b=；t的最大值为t∴≥，即实数恒成立，tab≥方法二：∵a+2b恒成立，≥∴t恒成立，t+≤=，≥+=+=页（共21第22页）；的最大值为≥t，即实数t∴恒成立，方法三：∵a+2b≥tab）恒成立，a （2﹣a∴a+2（2﹣）≥ta2恒成立，0a+42ta≥﹣（3+2t）∴2，≤﹣326）∴（3+2t0．的最大值为t≤，实数t≤∴ 2222第页（共页）。