运筹学运输问题、整数规划、目标规划和动态规划

整数规划案例一

案例二

案例三

动态规划

案例四:某开发区养老保险定量分析模型

养老保险属于社会保障系统的重要内容，社会保障系统作为一个国家社会制度的重要组成部分，其内容、形式和其中所使用的各种计算方法不仅关系到国民的自身利益，而且对一个国家的政治和社会经济的发展具有重要的作用。社会保障系统中所包含的定量分析和计算是多种多样的，主要包括三个方面：第一，对社会保障基金提取量的测算；第二，对职工享受社会保障待遇的标准测算；第三，对社会保障基金各阶段收付额的预测。

基本养老保险金的提取比例一般是一年或若干年调整一次，从数学模型的角度看两者并无实质性区别，这里定义一年为一个阶段。考虑到养老保险制度是一个长期制度，具体年限并不确定，因而阶段数可以根据实际问题的研究目标制定。如：要确定10年内各年的提取比例，则阶段数就定为10；也可以将老龄化程度最高、养老保险金支付额最大的年份作为决策过程的终止年。不失一般性，将整个决策过程定义为n个阶段。

状态变量x k定义为阶段k开始时的储备基金，M是最大储备金额。

为阶段k基本养老保险金按工资总额提取的比例，这一比例也决策变量u

k

应在一定范围之内。按照国际标准，提取比例达到20%时即为社会预警线，29%即达到社会承受的极限，因此我们设定R为提取的最大比例，若s

为阶段k的

k

工资总额，则有：

d k -x

k

≤s

k

•u

k

≤min{s

k

•R,d

k

+d

k+1

+…+d

n

+A-x

k

}

其中s

k

•R就是基本养老保险金所能提取的最大金额。

已知阶段k开始时的储备基金是x k，阶段k的基本养老保险金收入额为s k•

u k ，支付额是d

k

。假定储备基金的年增值率为i

k

，考虑资金的时间价值，则阶

段末即阶段k+1的初始储备基金为：

x k+1=（1+i

k

）x

k

+s

k

•u

k

-d

k

，即状态转移方程。

可以看出，k+1阶段的储备基金x

k+1完全由k阶段的储备基金x

k

和基本养老

保险金的提取比例u

k

所决定，与前面的状态和决策无关，即满足无后效性。

设单位资金的管理费用为L，则阶段k的管理费用为：L•s

k •u

k

；设储备基金

的机会损失率为j

k

，，则阶段k时储备基金的机会损失额为：

j k •x

k+1

=j

k

[（1+i

k

）x

k

+s

k

•u

k

-d

k

]，于是可写出阶段效益的表达式：

r k (x

k

,u

k

)=L•s

k

•u

k

+j

k

[（1+i

k

）x

k

+s

k

•u

k

-d

k

]

目标函数为各阶段效益之和，即

在此基础上，即可写出动态规划基本方程：

根据这一模型得到的阶段k的提取比例u k对于全过程而言是最优的。

值得注意的是s

k 、d

k

、j

k

都是利用预测技术得出的今后若干年的预测值，它

们本身的准确程度会受到就业率、工资增长率，人口死亡率、退休率、生活费指数，各种投资利率等的影响，必须进一步进行理论分析以提高预测的准确程度。

根据开发区职工年龄结构上的特点是以中青年为主和职工平均年龄30岁的抽样统计结果，开发区在25年后养老保险金的支付将达到一次高潮。因而在计算过程中选择整个计划期为25年，共分为5个阶段，每个阶段代表5年。

根据开发区各年龄段人数（见表4-1），期望寿命按70岁计算，推算出今后25年中各阶段的退休人数；结合开发区未来25年发展规模及经济增长速度，预测出各阶段新增职工人数和新增职工退休人数，在此基础上计算出开发区25年中各阶段退休职工人数，见表4-2。

表4-1 开发区职工按年龄段分布人数

表4-2 开发区25年中各阶段退休职工人数

各阶段每个职工平均养老保险金支付额的计算以年平均工资4800元为基数，分90%，80%，70%三个档次计算。各期职工年平均工资分别按年平均工资增长率5%、10%来计算。

由于开发区内大多数企业属于电子及化工行业，查这两类企业平均投资利润率为14%，按银行三年整存整取利率10.8%计算，年机会损失率为3.2%，基金

管理费按缴纳量的5%提取。选取支付额占工资90%，年平均工资增长率5%的

计算结果为代表，见表4-3。

表4-3 支付额占工资90%，年平均工资增长率5%的计算结果

动态规划模型从开发区整体出发，以退休人员养老保险金的支付额来确定应从在职职工中按工资总额提出养老保险金的比例，并在保证各阶段最大提取比例限制条件基础上，使得整个计划期内总的费用或损失最小。实际应用中，还结合其它模型的计算进行对比和综合调整，进一步进行了可行性分析和提出相应的政策建议。