湖南省 高中数学竞赛
湖南省高中数学竞赛委员会
湖南省高中数学竞赛委员会湖南省高中数学竞赛已成为一项为激发数学热情，激励数学精神，提高数学水平的精彩活动。
本次竞赛旨在通过不断的挑战和提高，为湖南省的青少年培养创新能力，助推新时代数学发展。
湖南省高中数学竞赛委员会简介湖南省高中数学竞赛委员会（以下简称湖南省竞赛委）于1998年6月成立，是由湖南省教育厅直属的一个竞赛管理机构。
目前下设九个组织：组织指导委员会、正副主任、九个专业委员会（理论数学、应用数学、计算机数学、生物数学、物理数学、农学数学、化学数学、统计数学、数学建模），每个专业委员会有三个副主任，每个处室下设各类办公室，市、县级数学竞赛委员会和九个专业竞赛委员会。
一、主要职能1、负责湖南省高中数学竞赛的组织实施与管理；2、负责组建竞赛组织机构，贯彻贯彻湖南省教育厅相关规定；3、负责编制竞赛试卷、工作手册和竞赛规则等；4、负责主办省级各种教师数学科学研讨会和学术讲座；5、负责开展数学竞赛理论研究、教学示范、教学咨询、成果展示等活动；6、负责解答各种数学竞赛常见问题；7、对参赛选手组织实施视察、考核、赛后复盘和表彰等；8、负责参照全国高中数学竞赛的标准编制本省竞赛的分数线，作出比赛结果，宣告竞赛结果；9、负责本省参加全国高中数学竞赛的组织安排和管理。
二、竞赛的组织与实施1、竞赛的各项规定：按照湖南省教育厅标准，竞赛测试共分为四卷，每一卷有九个部分，分别为基础数学、应用数学、数学建模、物理数学、化学数学、生物数学、计算机数学、统计数学和数学史；2、竞赛题型：每一卷分别由选择题与填空题相结合，根据高中数学所强调的数学概念及其应用综合运用；3、竞赛主题：竞赛主题以“湖南省高中数学竞赛研究”为主题；4、竞赛日期：湖南省高中数学竞赛定期定于每年9月进行，全省学校各班级根据规定准备、参加竞赛，试卷和评分资料在中湖南省教育信息网络上发布；5、竞赛程序：湖南省高中数学竞赛程序按照试卷素材选拔准备、参赛考试、成绩评定、名单公示等确定，其中参赛评定采取综合评定的方法；6、竞赛质量监控：湖南省高中数学竞赛组委会还专门设置了一个数学竞赛质量监控中心，严格监督各级竞赛组织机构，确保竞赛程序的规范性和有效性；7、竞赛结果：根据参加竞赛学生的成绩，由湖南省竞赛组委会综合评定，最终确定各学校的竞赛结果，出示优胜者与参赛学生的名单及感谢信。
湖南省高中数学竞赛试题及答案
2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．每小题所提供的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}0123,,,S A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3.i j =则满足关系()20x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B ．提示：因为()20,x x A A ⊕⊕=，设kx x A ⊕=，所以20,2,k A A a k ⊕==即2x x A ⊕=，故1x A =或3.x A =答案：A ．2.一个骰子由1-6六个数字组成，根据如图所示的三种状态显示的数字，可推得“？”的数字是 （ ）A ．6B ．3C ．1D ．2 3.设函数()2c o s ,fx x x =-{}n a 是公差为8π的等差数列，()()12f a f a +++()n f a 5,π=则()2315f a a a -=⎡⎤⎣⎦ （ ）A ．0B ．116π C ．18π D ．21316π答案：D ．提示：因为{}n a 是公差为8π的等差数列，且 ()()12f a f a +++()5f a()()()1122552cos 2cos 2cos 5,a a a a a a π=-+-++-=即()()1251252cos cos cos 5a a a a a a π+++-+++=，所以33333310cos cos cos cos cos 5.4884a a a a a a πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即33102cos2cos1cos 5.48a a πππ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭记()102cos2cos1cos 548g x x x πππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，则 ()102cos 2cos 1sin 048g x x ππ⎛⎫'=+++> ⎪⎝⎭，即()g x 在R 为增函数，有唯一零点2x π=，所以3.2a π=所以()2223151320.2242416f a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯---+=⎡⎤ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4.设,m n 为非零实数，i 为虚数单位，z C ∈，则方程z ni z mi n ++-=与方程z ni z mi m+--=-在同一复平面内的图形（其中12,F F 是焦点）是（ ）答案：B ． 提示：z n i z m i n ++-=表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的椭圆且0.n >z ni z mi m +--=-表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的双曲线的一支．由n z ni z mi m n =++-≥+，知0.m <故双曲线z ni z mi m +--=-的一支靠近点2F ．5.给定平面向量()1,1，那么，平面向量11,22⎛+ ⎝⎭是将向量()1,1经过 变换得到的，答案是 （ ）A ．顺时针旋转60所得B ．顺时针旋转120所得C ．逆时针旋转60所得D ．逆时针旋转120所得 答案：C ．提示：设两向量所成的角为θ，则()1,11cos ,2θ⋅==又0,180θ⎡⎤∈⎣⎦，所以60θ=．又110,022<>，所以C 正确． 6.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛场数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B ．提示：设这3名选手之间比赛的场数是r ，共n 名选手参赛，依题意有23650n Cr -+-=，即()()3444.2n n r --=+因为03r ≤≤，所以分4种情况讨论：①当0r =时，有()()3488n n --=，即27760n n --=，但它没有正整数解，故0r ≠；②当1r =时，有()()3490n n --=，解得13n =，故1r =符合题意；③当2r =时，有()()3492n n --=，即27800,n n --=但它没有正整数解，故2r ≠； ④当3r =时，有()()3494n n --=，即27820n n --=，但它没有正整数解，故 3.r ≠二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，满分48分，解题时只需将正确答案直接填在横线上．）7.规定：对于x R ∈，当且仅当()*1n n n n N ≤<+∈时，[]x n =．则不等式[][]2436450x x -+≤的解集是 ．答案：28.x ≤≤。
高中数学竞赛湖南省A卷试题与答案
2009年湖南省高中数学竞赛A 卷试题一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1、设z 是复数，()a z 表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =（ C ）A. 8B. 6C. 4D. 2 【解析】()a i =1=ni ，则最小正整数n 为4，选C.2、函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( C) (A) ()f x 是偶函数是偶函数 (B) ()f x 是奇函数是奇函数 (C) (3)f x +是奇函数是奇函数 (D) (3)f x +是偶函数是偶函数()()()()()()()()()()()()()()()()()()()111211122244,33113f x f x f x f t f t f x f x f x f t f t f t f t f x f x T f x x f x f x f x +Þ-+=-+Þ-=--Þ--=--Þ-=--Þ-=--Þ=-Þ=\+Û-+=--=--=-+为奇函数为奇函数为奇函数f3、在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos2xp 的值介于0到21之间的概率为( A ). A.31 B.p2 C.21 D.32 【解析】:在区间[1,1]-上随机取一个数x ,即[1,1]x Î-时,要使cos 2x p 的值介于0到21之间,需使223x p p p -££-或322x p p p ££∴213x -££-或213x ££，区间长度为32，由几何概型知cos 22x p 的值介于0到221之间的概率为31232=.故选A.4、()()()()22223291550A 72B 73C 144D 146f x R R f x x f x x x x f ®++-+=-设为，且对任意实数有，则的值为（）()()()()()()()()()222222120150325422012320132505422012120112015025422019151223201320154220125091522222150146x x x x x x x x x x f f f f f -++==Þ-+=---+==Þ+=-æö-+-+\+-=-´ç÷èøæö---+=-´ç÷ç÷èø´-Þ=分析： 5、{}()()11200911,2,4036080403607840360824036099n n n n a a n A B C D ++=已知数列满足满足a a =0=0，，a =a +1+2,则a =21200911111,4036080n n n a a a n ++=++Þ=-Þ分析：两边加得a =6、()AB AC AB AC 1AB AC BC 0ABC 2AB AC AB AC A B C D æöç÷··D ç÷èø已知非零向量与满足＋＝且＝，则为三边均不相等的三角形， 直角三角形， 等腰非等边三角形， 等边三角形。
2021年湖南省高中数学竞赛B卷试题与答案[1]
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2021年湖南省高中数学竞赛B卷试题与答案[1]2021年湖南省高中数学竞赛b卷试题与答案一、多项选择题（本主题共有8个子题，每个子题得7分，共56分。
在每个子题给出的四个选项中，只有有一项是符合题目要求的。
）1、已知集M？？xx？3n，n？ZQxx？3n？1，n？ZPxx？3n？1，n？Z还有一个？m、 b？q、c？p、 d？A.Bc、然后呢？？ad?m，bd?p，cd?q，d以上都不对。
2、有一个长方体的箱子，它的十二条棱长之和是140，并且从箱子的一角到最远的一角的距离是21，那么这个箱子的总表面积是（）a776、b784、c798、d800.3、一个三角形的三边恰为m2?m?1,2m?1,m2?1,则这个三角形的最大角为?a?2.3.5.b、公元33462224年。
如果实数x，y满足？十、2?+? Y5?= 那么9岁？十、1?+? Y1.的最大值是？a2、b4、c8、d64.5、你会喜欢我吗？F十、在cosx的图像向右移动一个单位后，围绕x轴进行对称变换，4得到函数y？cos2x的图像，然后是f？十、会吗？？asinx、bcosx、c2sinx、d2cosx。
6.程序框图如图所示。
程序运行后的k输出值为（）A3、B4、C5、D6。
7.开始k＝0?已知f?x?=a-23是r上奇函数，则方程fx=的根为2x?15315a2，b,c，d。
523?s＝0否s＜100？是已知向量ob＝?2,0?，向量oc＝?2,2?，向量ca＝2cos?,2sin?，则向量oa与向量ob的夹角的范围是??8、S=S+SS输出KK=K+1 5.A.0B？4.412?? 5.5.CD122?? 1212?1结束二。
填空（这个大问题有6个小问题，每个小问题7分，总共42分。
请在横线上填写正确答案。
）9.设定顺序？一的通称是an=2n-7？NN然后呢？a2a15？___;。
10、已知方程x?ax?1有一个负根而没有正根，则实数a的取值范围是＿＿＿。
年湖南省高中数学竞赛试卷A及答案
年湖南省高中数学竞赛试卷A及答案考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分150分。
2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。
3、解题书写不要超出装订线。
4、不能使用计算器。
一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．记[x]为不大于x的最大整数，设有集合，，则 ( ) A．(－2，2) B．[－2，2] C． D．2．若，则 = ( )A．－1 B． 1 C． D．3．四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上，若四条边长的平方和为t，则t的取值区间是 ( )A．[1，2] B．[2，4] C．[1，3] D．[3，6]4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱AB上一点，过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面ABC1D1均成角，则这样的直线条数是 ( )A． 1 B． 2C． 3 D． 45．等腰直角三角形 ABC中，斜边BC= ，一个椭圆以C为其焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过A，B两点，则该椭圆的标准方程是（焦点在x轴上） ( )A． B．C． D．（注：原卷中答案A、D是一样的，这里做了改动）6．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为 ( )A．1372 B． 2024 C． 3136 D．4495二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分，请将正确答案填在横线上。
）7．等差数列的前m项和为90，前2 m项和为360，则前4m项和为_____.8．已知，，且，则的值为______ ___.9．100只椅子排成一圈，有n个人坐在椅子上，使得再有一个人坐入时，总与原来的n个人中的一个坐在相邻的椅子上，则n的最小值为__________.10．在 ABC中，AB= ，AC= ，BC= ，有一个点D使得AD平分BC并且是直角，比值能写成的形式，这里m、n是互质的正整数，则m－n=______ __.11．设ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则上底面ABCD的内切圆上的点P与过顶点A，B，C1，D1的圆上的点Q之间的最小距离是___________.12．一项“过关游戏”的规则规定：在第n关要抛一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关。
2023-2024学年湖南省长沙市高二下学期数学竞赛模拟试题
2023-2024学年湖南省长沙市高二下学期数学竞赛模拟试题一、单选题（每小题5分，共40分）1.设实数0a >，则“22a >”是“1log 02a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】由22a >，可得1a >，由1log 02a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，可得1a >或102a <<，再利用充分条件、必要条件的定义即得.【详解】由22a >，可得所以1a >；由1log 02a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，可得1log log 12a a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，∴1112a a >⎧⎪⎨+>⎪⎩或01112a a <<⎧⎪⎨+<⎪⎩，∴1a >或102a <<；因此“22a >”是“1log 02a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭”的充分不必要条件.故选：A.2.若函数()22f x x a x =++，x R ∈在区间[)3+∞，和[]21--，上均为增函数，则实数a 的取值范围是（）A.11,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B.[]6,4--C.3,⎡--⎣D.[]4,3--【正确答案】B【分析】易知()f x 为R 上的偶函数，因此只需考虑函数()f x 在()0+∞，上的单调性即可，结合题设条件分析可得函数的对称轴须满足[]232a-∈，，进而求得a 的取值范围.【详解】由题意知函数()f x 为偶函数，对称轴为2ax =-，所以()f x 在[)3+∞，上为增函数，在[]12，上为减函数，故须满足[]232a-∈，，解之得[]6,4a ∈--.故选：B .本题主要考查二次函数的图象和性质，考查逻辑思维能力和转化思想，属于常考题.3.4sin 40tan 40- （）A.B.C.2+D.1【正确答案】A【分析】先通过切角化弦后再通分，再利用二倍角公式，同角三角函数关系及诱导公式即可求出结果.【详解】方法一：sin 404sin 40cos 40sin 402sin80sin 404sin 40tan 404sin 40=cos 40cos 40cos 40---=-=()sin80sin80sin 40sin802cos60sin 20sin80sin 204sin 40tan 40==cos 40cos 40cos 40+-++∴-=()()sin 5030sin 5030sin80sin 20504sin 40tan 40==cos 40cos 40cos 40++-+∴-==方法二：sin 404sin 40cos 40sin 402sin80sin 404sin 40tan 404sin 40=cos 40cos 40cos 40---=-=()133cos10sin10cos10sin102cos10sin 301022224sin 40tan 40===cos 40cos 40cos 40⎫-⎪--+⎝⎭∴-1sin102404sin 40tan 40==cos 40cos 40⎫-⎪⎝⎭∴-=故选：A4.如果函数f (x )＝(2)1,1,1xa x x a x -+<⎧⎨≥⎩，满足对任意x 1≠x 2，都有1212()()f x f x x x -->0成立，那么实数a 的取值范围是（）A.(0，2)B.(1，2)C.(1，＋∞)D.3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】D【分析】根据函数f (x )是R 上的增函数，由()201211a a a a ->⎧⎪>⎨⎪-⨯+≤⎩求解.【详解】因为函数满足对任意x 1≠x 2，都有1212()()f x f x x x -->0成立，所以函数f (x )是R 上的增函数，所以()201211a a a a ->⎧⎪>⎨⎪-⨯+≤⎩，解得322a ≤<，故选：D5.已知某函数的图象如图所示，则下列解析式与此图象最为符合的是（）A.()2ln x f x x= B.()2ln x f x x =C.()211f x x =- D.()2||1x f x x =-【正确答案】B【分析】根据函数的定义域和奇偶性进行判断即可.【详解】首先由函数的图象可知：函数是偶函数，定义域为(,1)(1,0)(0,1)(1,)-∞-⋃-⋃⋃+∞.A ：因为()()2ln xf x f x x--==--，所以函数不是偶函数，不符合题意；B ：因为01ln 0x x x ≠⎧⇒≠±⎨≠⎩且0x ≠，所以定义域符合图象；因为()()2ln xf x f x x-==-，所以函数是偶函数；C ：2101x x -≠⇒≠±，所以函数的定义域不符合图象；D ：2101x x -≠⇒≠±，所以函数的定义域不符合图象，最后可以确定只有B 符合题意，故选：B6.已知关于x 的方程12a x x =+有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是A.(),0-¥ B.()0,1 C.()1,+¥ D.()0,+¥【正确答案】C【分析】【详解】由题意，问题可转化为12y x =+与||y a x =的图象有3个交点，显然0a >，只需保证0x <时，12y x =+与||y a x =的图象有2个交点即可，即12ax x -=+在(,0)-∞有2个根，也即是2210(0)ax ax a ++=>在(,0)-∞有2根，所以02010aa a⎧⎪∆>⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎪⎩，解得1a >7.已知函数(),0ln ,0x xe x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若()()g x f x ax =-有四个不同的零点，则a 的取值范围为（）A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[)1,e D.[),e +∞【正确答案】A【分析】讨论0x ≤、0x >，应用导数研究单调性，要使()0g x =有四个不同的解，即当两个区间均存在两个零点时，求a 的范围即可.【详解】由题意知：()()g x f x ax =-有四个不同的零点，∴,0()ln ,0x xe ax x g x x ax x ⎧-≤=⎨->⎩，则()0g x =有四个不同的解，当0x ≤时，()()0x g x x e a =-=，其零点情况如下：1）当0a ≤或1a =时，有0x =；2）当01a <<或1a >时，0x =或ln x a =；当0x >时，1()g x ax'=-，则有如下情况：1）当0a ≤时()0g x '>，即()g x 单调递增，不可能出现两个零点，不合题意；2）当0a >时，在10x a <<上()0g x '>，()g x 单调递增，在1x a>上()0g x '<，()g x 单调递减，而0x +→有()g x →-∞，x →+∞有()g x →+∞，所以只需1()ln 10g a a =-->，得1a e<时，()g x 必有两个零点.∴综上，有10a e<<时，()g x 在0x ≤、0x >上各有两个零点，即共有四个不同的零点.故选：A.关键点点睛：应用分类讨论，利用导数研究函数的单调性，求在满足零点个数的情况下参数范围.8.已知0.02e a -=，b =0.01，c =ln1.01，则（）A.c >a >bB.b >a >cC.a >b >cD.b >c >a【正确答案】C【分析】根据指数函数的性质判断,a b ，构造函数()e 1x f x x =--，由导数确定单调性得(0.01)(0)f f >，再由对数性质得,b c 大小，从而得结论．．【详解】由指数函数的性质得：10.022ee0.01-->=>>，设()e 1x f x x =--，则e ()10x f x '=->在0x >时恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，()f x 是连续函数，因此()f x 在[0,)+∞上是增函数，所以(0.01)(0)f f >，即0.01e 10.010-->，即0.01e 1.01>，所以0.01ln1.01>，所以a b c >>．故选：C ．二、多选题（每小题5分，共20分）9.若01a <<，1b c >>，则（）A.1ab c ⎛⎫> ⎪⎝⎭B.c a cb a b->-C.11a a c b --< D.log log c b a a<【正确答案】AD【分析】运用不等式的性质，对四个选项逐一分析【详解】对于A ，1b c >> ，1b c ∴>，01a << ，则1ab c ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，若c a cb a b->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故B 错误；对于C ，01a << ，10a ∴-<，1b c >> ，则11a a c b -->，故C 错误；对于D ，1b c >> ，log log c b a a ∴<，故D 正确.故选：AD.本题主要考查不等式的性质，熟记不等式的性质即可，属于基础题．10.下列式子等于cos 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭的是（）A.5cos 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭B.2sin 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭C.3cos sin 2x x+ D.22cos 1122x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭【正确答案】CD【分析】根据诱导公式，即可判断A ，B 不正确；根据三角恒等变换，即可判断C 正确；根据余弦的二倍角公式，即可判断D 正确，由此即可得到答案.【详解】5cos cos cos cos 6666x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+≠- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 不正确；2sin sin cos cos 36266x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--≠- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 不正确；sin 1cos sin cos 2226x x x x x π+⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，故C 正确；22cos 1cos cos 12266x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：CD.11.定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且当(0,1]x ∈时，()1f x x =-，则（）A.()f x 是周期函数B.()f x 在（－1，1)上单调递减C.()f x 的图象关于直线3x =对称D.()f x 的图象关于点（2，0)对称【正确答案】ACD【分析】对于A ，利用周期的定义判断，对于B ，根据题意求出()f x 在[1,0)x ∈-的解析式，然后判断，对于C ，利用函数的周期和奇函数的性质可得(3)(3)f x f x +=-，从而可求得其对称轴，对于D ，利用函数的周期和奇函数的性质可得()(4)0f x f x +-=，从而可求得其对称中心【详解】对于A ，因为定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，所以(22)(2)f x f x ++=-+，(0)0f =，所以(4)[()]()f x f x f x +=--=，所以()f x 是周期为4的周期函数，所以A 正确，对于B ，当[1,0)x ∈-时，(0,1]x -∈，则()1()1f x x x -=--=+，因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()1f x x -=+，所以()1f x x =--，所以当[1,0)x ∈-时，()1f x x =--为减函数，且当0x →时，()1f x →-，当(0,1]x ∈时，()1f x x =-为减函数，且当0x →时，()1f x →，所以()f x 在（－1，1)上不是单调递减，所以B 错误，对于C ，因为()f x 是周期为4的周期函数，所以(6)(2)()()f x f x f x f x +=+=-=-，所以(36)[(3)]f x f x -+=--，即(3)(3)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于直线3x =对称，所以C 正确，对于D ，因为(4)()()f x f x f x +==--，所以(4)()0f x f x ++-=，所以(44)[(4)]0f x f x -++--=，所以()(4)0f x f x +-=，所以()f x 的图象关于点4,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，即()f x 的图象关于点（2，0)对称，所以D 正确，故ACD12.已知函数()21e xx x f x +-=，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 存在两个不同的零点B.函数()f x 既存在极大值又存在极小值C.当e 0k -<≤时，方程()f x k =有且只有两个实根D.若[),x t ∈+∞时，()2max 5ef x =，则t 的最小值为2【正确答案】ABC【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．【详解】对于A ，由()0f x =，得210x x +-=，∴12x -=，故A 正确；对于B ，()()()2122e e x xx x x x f x +---'=-=-，当()(),12,x ∈-∞-+∞ 时，()0f x '<，当()1,2x ∈-时，()0f x ¢>，∴()f x 在(),1-∞-，()2,+∞上单调递减，在()1,2-上单调递增，∴()1f -是函数的极小值，()2f 是函数的极大值，故B 正确；对于C ，当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是(1)e f -=-，再根据单调性可知，当e 0k -<≤时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；对于D ：由图象可知，t 的最大值是2，所以D 不正确．故选：ABC.本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是(2,)+∞是函数的单调递减区间，但当x →+∞时，0y →，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知集合{|13}A x x =<<，{|21}B x m x m =<<-，若A B =∅ ，则实数m 的取值范围是________.【正确答案】[)0,∞+【分析】根据A B ⋂=∅可讨论B 是否为空集：B =∅时，21m m -；B ≠∅时，212311m mm m <-⎧⎨-⎩或 ，解出m 的范围即可．【详解】解：A B =∅ ；∴①B =∅时，21m m - ；∴13m ；②B ≠∅时，132311m m m ⎧<⎪⎨⎪-⎩或 ；解得103m <；综上得，实数m 的取值范围是[)0,∞+．故[)0,∞+．考查描述法、区间表示集合的定义，交集的定义及运算，空集的定义，属于基础题．14.已知π02α-<<，1sin cos 5αα+=，则221cos sin αα-的值为________．【正确答案】257【分析】将1sin cos 5αα+=的两边同时平方可得242sin cos 25αα=-，结合角α的范围即可求得7cos sin 5αα-=，即可计算出22125cos sin 7αα=-.【详解】由题意1sin cos 5αα+=，两边同时平方可得112sin cos 25αα+=，即242sin cos 25αα=-，所以()249cos sin 12sin cos 25αααα-=-=，又因为π02α-<<，所以sin 0α<，cos 0α>，所以7cos sin 5αα-=，可得()()221125cos sin cos sin cos sin 7αααααα==-+-．故25715.已知函数()12y f x =+-为奇函数，()211x g x x -=-，且()f x 与()g x 图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()66,x y ，则126126x xx y y y ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=______．【正确答案】18【分析】由题意得函数f （x ）与g （x ）的图像都关于点()1,2对称，结合函数的对称性进行求解即可．【详解】 函数()12y f x =+-为奇函数，∴函数()y f x =关于点()1,2对称，()211211x g x x x -==+-- ，∴函数()y g x =关于点()1,2对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称， ()f x 与()g x 图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()66,x y ,两两关于点()1,2对称，126126x x x y y y ∴++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+323418=⨯+⨯=.故答案为18本题考查了函数对称性的应用，结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键，属于中档题.16.函数2ln y x x =-上的点到直线2y x =-的最短距离是________．【分析】由题意知：平行于2y x =-且与2ln y x x =-相切的直线上的切点，即为要找的点，进而应用点线距离公式求最短距离即可.【详解】要使2()ln f x x x =-上的点到直线2y x =-的最短，则该点切线平行于2y x =-，由1()2f x x x =-'且0x >，令1()21f x x x '=-=，∴2210x x --=，解得12x =-（舍）或1x =，∴切点为(1,1)=.四、解答题（共6小题，共70分）17.已知x >0，y >0，且2x +8y -xy =0，求：（1）xy 的最小值；（2）x +y 的最小值..【正确答案】（1）64（2）18【分析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得结果；（2）将28x y xy +=变形为分式型281y x+=，利用“1”的代换和基本不等式可得结果.【小问1详解】∵0x >，0y >，280x y xy +-=，∴28xy x y =+≥=，当且仅当28x y =时取等号，8≥∴64xy ≥，当且仅当416x y ==时取等号，故xy 的最小值为64.【小问2详解】∵28x y xy +=，则281y x+=，又∵0x >，0y >，∴2828()(101018x y x y x y y x y x +=++=++≥+=，当且仅当212x y ==时取等号，故x y +的最小值为18.18.已知函数()()π4sin sin 103f x x x ωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．（1）求ω及()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 图象的对称中心．【正确答案】（1）ω=1，增区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z （2）ππ,0122k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ．【分析】（1）利用三角恒等变换得到π()2sin(2)6f x x ω=-，利用函数的最小正周期为π得到ω，然后再利用正弦函数的基准增区间即可求解；（2）令π2π6x k -=，k ∈Z ，解之即可求解.【小问1详解】()214sin sin cos 12sin cos 122f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭π1cos 2212cos 22sin 26x x x x x ωωωωω⎛⎫=-+-=-=- ⎪⎝⎭．∵最小正周期为π，∴2ππ2ω=，∴1ω=，∴()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，令πππ2π22π262k x k -+≤-≤+，k ∈Z ，解得ππππ63k x k -+≤≤+，k ∈Z ，∴()f x 的单调递增区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ．【小问2详解】令π2π6x k -=，k ∈Z ，解得ππ122k x =+，k ∈Z ，∴()f x 图象的对称中心为ππ,0122k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ．19.已知定义域为R 函数()()1x x f x a k a -=--⋅（0a >且1a ≠）是奇函数．（1）求实数k 的值；（2）若()10f <，判断函数()f x 的单调性，若()()220f m f m -+>，求实数m 的取值范围．【正确答案】（1）2（2）在R 上单调递减，()2,1-【分析】（1）根据题意，利用()00f =，求得2k =，结合函数奇偶性的定义，即可求解；（2）由()10f <，求得01a <<，得到()x x f x a a -=-在R 上单调递减，把不等式转化为()()22f m f m ->-，结合单调性，列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：由函数()()1x x f x a k a -=--⋅的定义域为R 的奇函数，可得()()()0001110f a k a k =--=--=，解得2k =，经验证：当2k =时，()x x f x a a -=-，可得()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-，则()f x 为奇函数，符合题意，所以2k =．【小问2详解】解：由（1）知，()x x f x a a -=-（0a >且1a ≠），因为()10f <，即10a a-<，又因为0a >，且1a ≠，所以01a <<，而x y a =在R 上单调递减，x y a -=-在R 上单调递减，故由单调性的性质可判断()x x f x a a -=-在R 上单调递减，不等式()()220f m f m -+>可化为()()22f m f m ->-，可得22m m -<-，即220m m +-<，解得21m -<<，所以实数m 的取值范围是()2,1-．20.已知22sin 2sin 12αα=-.（1）求sin cos cos 2ααα+的值；（2）已知()0,απ∈，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2tan 6tan 1ββ-=，求2αβ+的值.【正确答案】（1）15；（2）74π.【分析】（1）先求出1tan 2α=-，再化简22tan 1tan sin cos cos 2tan 1αααααα+-+=+即得解；（2）先求出1tan 23β=-，再求出tan(2)1αβ+=-，求出52,23παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即得解.【详解】（1）由已知得2sin cos αα=-，所以1tan 2α=-222222sin cos cos sin tan 1tan 1sin cos cos 2sin cos tan 15αααααααααααα+-+-+===++（2）由2tan 6tan 1ββ-=，可得22tan 1tan 21tan 3βββ==--，则11tan tan 223tan(2)1111tan tan 2123αβαβαβ--++===---⨯.因为0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,βπ∈，又1tan 233β=->-，则52,6πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为()0,απ∈，13tan 23α=->-，则5,6παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则52,23παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以724παβ+=.易错点睛：本题容易得出两个答案，724παβ+=或34π.之所以得出两个答案，是没有分析缩小,αβ的范围，从而得到52,23παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭.对于求角的大小的问题，一般先求出角的某三角函数值，再求出角的范围，再得到角的大小.21.设()()3211cos sin 32g x x ax x a x x =-+--，R a ∈，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【正确答案】答案见解析【分析】求出()g x '，因式分解得()()()sin g x x a x x '=--，先说明()sin h x x x =-的单调性，再分类讨论0a >，0a =及a<0时，()g x 的增减性和极值情况即可．【详解】因为()()3211cos sin 32g x x ax x a x x =-+--，所以()()()()()()2cos sin cos sin sin g x x ax x x a x x x x a x a x x a x x '=-+---=---=--，令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在R 上单调递增，因为()00h =，所以，当0x >时，()0h x >；当0x <时，()0h x <．（1）当a<0时，()()()sin g x x a x x '=--，当(),x a ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增；当(),0x a ∈时，0x a ->，()0g x '<，()g x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增．所以，当x a =时，()g x 取到极大值，极大值是()31sin 6g a a a =--，当0x =时，()g x 取到极小值，极小值是()0g a =-．（2）当0a =时，()()sin g x x x x '=-，当(),x ∈-∞+∞时，()0g x '≥，()g x 单调递增；所以()g x 在(),-∞+∞上单调递增，()g x 无极大值也无极小值．（3）当0a >时，()()()sin g x x a x x '=--，当(),0x ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增；当()0,x a ∈时，0x a -<，()0g x '<，()g x 单调递减．当(),x a ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增．所以，当0x =时，()g x 取到极大值，极大值是()0g a =-；当x a =时，()g x 取到极小值，极小值是()31sin 6g a a a =--．综上，当a<0时，()g x 在(),a -∞和()0,∞+上单调递增，在(),0a 上单调递减，极大值是()31sin 6g a a a =--，极小值是()0g a =-；当0a =时，()g x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，()g x 在(),0∞-和(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，极大值是()0g a =-，极小值是()31sin 6g a a a =--．22.已知函数()ln 3()f x a x ax a R =--∈．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()y f x =的图象在点()2,(2)f 处的切线的倾斜角为45°，对于任意的[]1,2t ∈，函数32()()2m g x x x f x '⎡⎤=+⋅+⎢⎥⎣⎦在区间(),3t 上总不是单调函数，求m 的取值范围．【正确答案】(1)见解析(2)37 ,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭【详解】【试题分析】(1)求出函数的定义域,对函数求导后,对a 分类讨论函数的单调区间.(2)倾斜角为45 ,斜率为1,根据斜率为1可求得a 的值.化简()g x 的表达式,求出()g x 的导数,将函数在区间上不是单调函数的问题,转化为函数导数在区间上有变号零点问题来求解.【试题解析】(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝.当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝.∴g (x )＝x 3＋x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴当g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0对任意t ∈[1,2]恒成立，由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0，即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9；由g ′(3)＞0，即m ＞－373.所以－373＜m ＜－9.即实数m的取值范围是37,93⎛⎫--⎪⎝⎭.本小题主要考查函数导数与单调区间,考查不是单调函数的转化方法,考查了分类讨论的思想方法,和化归与转化的数学思想方法.求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,。
22人入选！长沙四大名校垄断！2020湖南省数竞省队名单出炉！
22人入选！长沙四大名校垄断！2020湖南省数竞省队名单出
炉！
虽然官网上还没有公布名单，但是本届高中数学联赛湖南的省队名单已经流传出来了。
本次是数学竞赛湖南省队名单中，雅礼10人，长郡6人，附中3人，一中3人。
排在前三的，是高一的3个牛娃！
今年的高中数学联赛降温比较明显，从网络流传的信息来看，长沙市全市仅557人参加本次联赛，预估整个湖南省可能仅1000人左右参赛。
2019年湖南省约有2000人参加高中联赛，2018年约有1900人，更早期参赛人数会更多。
竞赛遇冷的情况是可以预料到的，毕竟自主招生取消之后，动辄降分好几十分，甚至是降至一本线的大幅度福利已经成为历史。
现在的形势下，竞赛获奖的意义和优惠如何呢？
国家集训队：保送清华、北大，专业任选。
金牌：有机会与清北签约。
银牌、铜牌：有机会与清北、上交、复旦、南大、浙大等名校签约，需要持续关注更多高校特招政策。
省队：参加清北金秋营、交大致远营、中科大生科营等高校组织的竞赛营，若能在营期测试中脱颖而出，也能被推荐到高校招生部门，获取签约机会。
省一：报考交大、浙大、中科大等高校强基计划及综合评级很有优势，另外强省省一且综合成绩优秀还有机会参加高校组织的各类学科营。
省二、省三：可参与综合评价、高校专项等。
2022年湖南省高中数学竞赛试卷(含详解)
2022年湖南省高中数学竞赛试题说明:1、评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题严格按标准给分,不设中间档次分.2、如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准适当档次给分.一、填空题(本大题共10小题, 每小题7分,满分70分).1.已知函数32()1()f x x ax x a R =+++∈在区间21(,)33--内为减函数,在区间1(,)3-+∞内为增函数,则a = 2 .【解析】因由题可知,2()321f x x ax '=++,且13x =-是函数()f x 的极值点,即1()03f '-=得2a =.2.设A B 、是两个集合,称(,)A B 为一个“对子”.当A B ≠时,将(,)A B 与(,)B A 视为不同的“对子”.满足条件{1,2,3,4}A B =的不同的对子(,)A B 的个数为 81 .【解析】分类讨论:①当A =Φ时,则{1,2,3,4}B =只有一种情形;②当A 为单元集时(有14C 种),如取{1}A =时,则{2,3,4},B =或{1,2,3,4}B =两种,其个数相当于是{1}的子集个数2,故由分步办事乘法原理知,此时有1428N C =⨯=种;③当A 为双元集时(有24C 种),如取{1,2}A =时,则B 除含有元素3,4外,可含或不含{1,2}A =中元素.其情况相当于是{1,2}的子集个数224=,故由分步办事乘法原理知,此时有24424N C =⨯=种;④同理,当A 为三元集时有334232C ⨯=种),当{1,2,3,4}A =时有444216N C =⨯=种;综上可知,由分类办事加法原理得共有,1824321681N =++++=种. 如图1是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 ( B )3.设函数2()()f x x x m m R +=++∈,若()0f t <,则你对函数()y f x =在区间(,1)t t +中零点存在情况的判断是 1 . 【解析】由于()0f t <,且抛物线开口向上,可知其与x 轴有两个交点12,x x ,且12x t x <<,而又由于211x x -=,可知21t x t <<+,显然(1)0f t +>,且图象在(,1)t t +上单调递增,故只有一个零点.4.已知椭圆22:12x C y +=的两个焦点分别为12,,F F 点00(,)P x y 满足2200012x y <+≤,则12||||PF PF +的取值范围是.【解析】由题知点00(,)P x y 在椭圆内部(含边界),故有122||||2c PF PF a ≤+≤,即求.5.已知复数1z 满足1(2)(1)1(z i i i -+=-为虚数单位),复数2z 的虚部为2,则12z z ⋅为实数的条件是2z =42i + .【解析】 由1(2)(1)1z i i -+=-得12z i =-,又设22()z a i a R =+∈,所以12(22)(4),z z a a i =++-又12z z ⋅为实数,所以得4a =,即242z i =+.6.已知数列{}n a 满足递推关系式1221(),n n n a a n N ++=+-∈且{}2n na +λ为等差数列,则λ的取值是1λ=-.【解析】由已知得,112(1)2n n n a a +-=-+,两边同除以12n +得,11111222n n n n a a ++--=+,显然数列1{}2n n a -是公差为12的等差数列.或者由1111221212222n n n n n n n n n n n a a a a +++++λ+λ+-+λ+λ--λ-=-=为常数,所以1λ=-,即求. 7. 过函数()cos f x x x x =+的图象上一点的切线的斜率为k ,则k 的取值范围是 [-1,3]【解析】由()1sin 12sin()[1,3]3f x x x x π'=-=-+∈-8.已知平面内三点A B C 、、满足||3,||4,||5AB BC CA ===,则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值为-25 .【解析】由条件知AB BC ⊥,所以2()25AB BC BC CA CA AB CA AB BCCA ⋅+⋅+⋅=⋅+=-=-. 9.边长为4的正方形ABCD 沿BD 折成060的二面角,则BC 中点与A的距离为【解析】取BD 中点O ,容易证明ACO ∆是边长为,所以AC =.设BC 中点为M ,在ACB ∆中AM ==10.规定一又筷子由同色的2支组成.现有黑、白、黄筷子各8只,不用眼睛看,任意地取出筷子来,使得至少有两双筷子不同色,则至少要取出 11 只筷子才能做得到. 【解析】因为11只筷子中必有2支筷子同色,不妨设它是黄色的一双筷子,则黑色或白色的筷子至少有3只,其中必有一双同色,即同为黑色或白色,故11只筷子足以保证成功.但少于11只不行,如只取10只筷子,就可能出现8只黄色，黑色和白色各1只的情形,不合要求.二、解答题(大本题共4个小题,满分80分) 11. (本小题满分20分)如果将抛物线的焦点所在的区域称为抛物线的内部,试问:在允许将抛物线平移或旋转的条件下,平面内2022条抛物线的内部能否盖住整个平面?请作判断,并证明你的结论. 【解析】不能.证明如下:因为每条抛物线有一条对称轴,所以2022条抛物线至多有2022条对称轴.……8分.在平面上任作一条不平行于每一条对称轴的直线,l 则直线l 和至多2022条对称轴相交至多得2022个交点.……12分这至多2022个交点将直线l 截割若干段,其中2条为射线,其它的为线段,位于抛线线内部的至多只有2022条线段.……16分所以,抛物线不能盖住平面上的直线l ,当然不能盖住整个平面.……20分. 12. (本小题满分20分)设22221111,12(1)1k a k k k k =+++++++-求证:20102011222011(,)a a ∈.【证明】:易知k a 的表达式共有21k +项,分别考察其前k 项的和与后1k +项的和.……4分因为2222211111,1211k k k k k k k k k ++++>=+++-++ 又当2k ≥时,2222211111,121k k k k k k k k ++++<=+++-所以, 22221111111121k k k k k k k<++++<++++- ①……8分同理可证2222111111112(1)1k k k k k k k k<++++<++++++- ②……12分 由①+②,可得221k a k k<<+由此得11112k k k a a ++<<……16分 取2010k =,得201020111201112a a <<,即20102011222011a a <<所以,20102011222011(,)a a ∈……20分.13.(本小题满分20分)(Ⅰ)设实数0t >,求证:2(1)ln(1)2t t++>.(Ⅱ)从编号为1到100的100张卡片中,每次随机地抽取1张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20个号码互不相同的概率为p ,求证:21p e<.【证明】:(Ⅰ)构造函数2()ln(1),2xf x x x =+-+……2分则22()(1)(2)x f x x x '=++,当0x >时,()0f x '>,所以()f x 在(0,)+∞上为增函数……6分所以()(0)f t f >,即2ln(1)02t t t +->+,变形即得2(1)ln(1)2t t++>……10分 (Ⅱ)由条件知20100999881100p ⨯⨯⨯⨯=……14分又222998190,988290,918990,⨯<⨯<⨯<所以199()10p <.………16分在(1)的结论中令19t =,得19210101912(),99n e >>即19291()10e <.所以,21p e<……20分.14.(本小题满分20分)如图所示,已知由ACB ∆的顶点A 引出的两条射线AX AY 、分别交BC 于点X Y 、.求证:22AB CY CX AC BX BY ⋅⋅=⋅⋅成立的充要条件是BAX CAY ∠=∠. 【证明】:(Ⅰ)先证充分性若BAX CAY ∠=∠,如图所示,,BAX CAY ∠=∠=α又作ABC ∆的高AD ,垂足为D ,则sin sin ABX ACY S AB AX BX ADS AC AY CY AD∆∆⋅⋅α⋅==⋅⋅α⋅……2分 由此得AB AX BXAC AY CY⋅=⋅ ①……6分 同理AB AY BY AC AX CX⋅=⋅ ②……8分 由①×②得22AB BY BXAC CX CY⋅=⋅,变形整理,即得22AB CY CX AC BX BY ⋅⋅=⋅⋅……10分 (Ⅱ)再证必要性作ABC ∆的高AD ,垂足为D ,不妨设,,BAX CAY XAY ∠=α∠=β∠=θ,则 sin sin ABX ACY S AB AX BX AD S AC AY CY AD ∆∆⋅⋅α⋅==⋅⋅β⋅,所以sin sin AB AX BXAC AY CY⋅⋅α=⋅⋅β ③……12分同理,sin()sin()AB AY BYAC AX CX⋅⋅α+=⋅⋅β+θθ ④……14分 由③×④得22sin sin()sin sin()AB BY BX AC CX CY α⋅α+⋅=⋅β⋅β+⋅θθ,由题设得22AB BY BXAC CX CY⋅=⋅ 所以得sin sin()sin sin()α⋅α+=β⋅β+θθ……16分即sin (sin cos cos sin )sin (sin cos cos sin )α⋅α+α=β⋅β+βθθθθ所以,22(sin sin )cos (sin cos sin cos )sin 0α-β+αα-ββ=θθ1(sin sin )(sin sin )cos (sin 2sin 2)sin 02α+βα-β+α-β=θθ12sin cos 2cos sin cos 2cos()sin()sin 022222α+βα-βα+βα-β⋅⋅⋅⋅+⋅α+β⋅α-β⋅=θθ即sin()sin()cos cos()sin()sin 0α+β⋅α-β⋅+α+β⋅α-β⋅=θθsin()[sin()cos cos()sin ]sin()sin()0α-βα+β+α+β=α-βα+β+=θθθ因为α+β+∠θ=BAX 是ACB ∆的一个内角,所以上式中只能是sin()0α-β= 则,α=β,即BAX CAY ∠=∠……20分.。
2021年湖南省高中数学竞赛试卷A Word版含答案
2021年湖南省高中数学竞赛（A 卷）（2021-06-27）一、选择题（每个5分，共6题）1.将选手的9个得分去掉1个最高分，去年1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则7个剩余分数的方差为A. 1169B. 367C. 36672.半径为R 的球的内部装有4个有相同半径r 的小球，则小球半径r 可能的最大值是 A. 323+B.636R +C.13+525+3.已知数列{a n }和{b n }对任意*n N ∈，都有n n a b >，当n →+∞时，数列{a n }和{b n }的极限分别是A 和B ，则A. A B >B. A B ≥C. A B ≠D. A 和B 的大小关系不确定4.对全部满足15n m ≤≥≤的m,n,极坐标方程11cos nm C ρ=-θ表示的不同双曲线条数为A. 6B. 9C. 12D. 155.使关于x 36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是 A. 63 B.3 C. 63 D.66.设22{|,,}M x y x y Z =αα=-∈，则对任意的整数n ，形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的数中，不是M 中的元素的数为 A. 4n B. 4n+1 C. 4n+2 D. 4n+3二、填空题（每个8分，共6题）7.已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍，则该三角形的周长为： 8.对任一实数序列123(,,,...)A =ααα，定义△A 为序列213243(,,,...)α-αα-αα-α，它的第n 项是1n n +α-α，假定序列△（△A ）的全部项都是1，且19920α=α=，则1α的值为：9.满足使1[]223n I =+为纯虚数的最小正整数n=10.将1，2，3，...，9这9个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为： 11.记集合1234234{0,1,2,3,4,5,6},{|,1,2,3,4}7777i a a a a T M a T i ==+++∈=，将M 中的元素按从大到小挨次排列，则第2021年数是：12.设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θ+-θ=≤θ≤π，对于下列四个命题：①M 中全部直线均经过一个定点②存在定点P 不在M 中的任一条直线上③对于任意整数(3)n n ≥存在正n 边形，其全部边均在M 中的直线上 ④M 中的直线所能围成的三角形面积都相等其中真命题的代号是： （写出全部真命题的代号）三、解答题（共4题，满分72分）13.（本小题满分16分）如图所示，AB 为Rt △ABC 的斜边，I 为其内心，若△IAB 的外接圆的半径为R ，Rt △ABC 的内切圆半径为r ，求证：(22)R r ≥+.14.（本小题满分16分）如图，A ，B 为椭圆22221x y a b +=（a>b>0)和双曲线22221x y a b-=的公共顶点，P 、Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A 、B 的动点，且满足()(,||1)AP BP AQ BQ R +=λ+λ∈λ>求证：（Ⅰ）三点O 、P 、Q 在同始终线上；（Ⅱ）若直线AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别是k 1、k 2、k 3、k 4，则k 1+k 2+k 3+k 4是定值。
湖南省高中数学竞赛试题
2010年湖南省高中数学竞赛试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()18f =，则()()20102009f f -=（）.A ．6B ．7C ．8D ．92．对于非零向量,a b 有两个命题有两个命题. . 命题甲：a b ⊥；命题乙：函数()()()f x xa b xb a =+⋅-为一次函数为一次函数. . 则甲是乙的（）条件）条件. .A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要3．如图，若Ω是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台4．如图，在半径为1r =的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设n S 为前n 个圆的面积之和个圆的面积之和. . . 取正数取正数9933π4ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭. . 若若4πn S ξ-<，则n 的取值为（）.A ．大于100的所有自然数的所有自然数B ．大于100的有限个自然数的有限个自然数C ．不大于100的所有自然数的所有自然数D ．不大于100的有限个自然数的有限个自然数 5．设直线2x =与双曲线22:14xy Γ-=的渐近线交于点1E 、2E ，记11OE e =，22OE e =，任取双曲线Γ上的点P . . 若若()12OP ae be a b =+∈R 、，则（，则（ ））. A ．2201a b <+< B ．22102a b <+< C ．221a b +≥ D ．2212a b +≥6．一厂家有一批长40cm 40cm、宽、宽30cm 的矩形红布的矩形红布. . . 现该厂家要将每块矩形红布剪一次后现该厂家要将每块矩形红布剪一次后拼成一面三角形旗子拼成一面三角形旗子. . . 则红布可以拼成三角形旗子的种数是（则红布可以拼成三角形旗子的种数是（则红布可以拼成三角形旗子的种数是（ ））. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题7．设定义在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数6cos y x =的图象与5tan y x =的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为1P ，直线1PP 与函数sin y x =的图象交于点2P ，则线段12PP 的长为________.8．在等比数列{}n a 中，11a =，20104a =，函数()()()()122010f x x x a x a x a =--⋅⋅⋅-.则函数()y f x =在点()0,0处的切线方程为______.9．如果执行图所示的程序，输入正整数n 、()m n m ≥，那么，输出的p 等于______.10．已知y =f f((x x))为区间[0,10,1]]上的连续函数，且恒有0≤f f((x x))≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分∫f (x )10d x . . 先产生两组（每组先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数x 1,x 2,⋅⋅⋅,x N 和y 1,y 2,⋅⋅⋅,y N ，由此得到N 个点(x i ,y i )(i =1,2,⋅⋅⋅,N )；再数出其中满足y i ≤f f((x i )()(i i =1,2,⋅⋅⋅,N N))的点数N 1. . 那么，由随机模拟方法可得积分那么，由随机模拟方法可得积分∫f f((x x))d x 10的近似值为______.11．设n a 是()()32,3,nxn -=⋅⋅⋅的二项展开式中x 的系数的系数.. . 则则1823nn n a ==∑______. 12．若三个非零的实数()()()x y z y z x z y x ---，，成等比数列，则其公比是______.13．设函数()2π4sin sin cos 242x f x x x ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭．若()2f x m -<成立的充分条件是π2π63x ≤≤，则实数m 的取值范围是______．14．空间有五个点，任意四点不共面．空间有五个点，任意四点不共面. . . 若连了若干条线段而图中不存在四面体，则图中若连了若干条线段而图中不存在四面体，则图中三角形个数的最大值为______.三、解答题15．已知当[]1,e x ∈时，不等式()21ln 12a x x a x ≤-++恒成立恒成立. . . 试求实数试求实数a 的取值范围范围. .16．如图，1O 、2O 在O 内滚动且始终保持与O 内切，切点分别为P 、Q ，MN是1O 和2O 的外公切线的外公切线. . . 已知已知1O 、2O 、O 的半径分别为1r 、2r 、R . . 求证：求证：22MNPQ为定值为定值. .17．设椭圆22122:1x y C a b +=，22222:1x yC m n +=，过原点O 引射线分别与椭圆1C 、2C 交于点A 、B ，P 为线段AB 上一点上一点. .（1）求证：OA 、OP 、OB 成等比数列的充要条件点P 的轨迹方程为222232222:1xy x y C a b m n ⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（2）试利用合情推理，将（1）的结论类比到双曲线得出相应的正确结论（不要求证明）. 18．设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是整数1，2，…，n 的一个排列，且满足的一个排列，且满足 （1）11a =；（2）()121,2,,1i i a a i n +-≤=⋅⋅⋅-.记上述排列的个数为()f n . . 试求试求()2010f 被3除的余数除的余数. .参考答案1．C 【解析】 【详解】由()f x 是R 上周期为5的奇函数，则()()()()()()2010200901018f f f f f f -=--=+=. 故答案为:C 2．B 【解析】【解析】 【详解】注意到222()()f x a bx b a x a b =⋅+--⋅，a b ⊥⇔0a b ⋅=. 而0a b ⋅=时，()f x 可能是常数函数，不一定为一次函数可能是常数函数，不一定为一次函数. .而f(x)f(x)是一次函数，必有是一次函数，必有0a b ⋅=. 所以甲是乙的必要不充分条件所以甲是乙的必要不充分条件. . 故答案为B 3．D 【解析】若FG 不平行于EH ，则FG 与EH 相交，交点必然在B 1C 1上，与EH ∥B 1C 1矛盾，所以FG ∥EH ；由EH ⊥平面A 1ABB 1，得到EH ⊥EF ，可以得到四边形EFGH 为矩形，将Ω从正面看过去，就知道是一个五棱柱，C 正确；D 没能正确理解棱台的定义与题中的图形．没能正确理解棱台的定义与题中的图形． 4．A 【解析】 【详解】记第n 个圆的半径为n r . 易知，132n n r r -=，圆面积134n n a a -=，211ππa r ==.则213134π4π13414nn n S r ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=⋅=-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 由99334π4π3π44nn S ⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1003310044nn ⎛⎫⎛⎫⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为:A 5．D 【解析】【解析】 【详解】【详解】易求得()12,1E ，()22,1E -.则()1222,OP ae be a b a b =+=+-.由点P 在双曲线上得()()222214a b a b +--=，化简得41ab =.故22122a b ab +≥=.故答案为D 6．D 【解析】 【详解】【详解】如图所示，共有四种不同的拼法如图所示，共有四种不同的拼法. .故答案为：D 7．23. 【分析】【分析】画出函数6cos y x =，5tan y x =，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图象，如图所示上的图象，如图所示. .观察图象可知，线段12PP 的长即为满足6cos 5tan x x =时对应的sin x 的值，再求出sin x 的值即得解值即得解. . 【详解】画出函数6cos y x =，5tan y x =，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图象，如图所示上的图象，如图所示. .观察图象可知，线段12PP 的长即为满足6cos 5tan x x =时对应的sin x 的值，的值，所以sin 6cos 5tan =5cos xx x x=⋅，所以26cos 5sin x x = 因为22sin cos 1x x +=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0sin 1x ∴<<，则26sin 5sin 60x x +-=，所以2sin 3x =，故线段12PP的长为23. 故答案为：23.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．20102y x =【解析】 【详解】【详解】令()()()()122010g x x a x a x a =--⋅⋅⋅-.则()()f x xg x =.因为()()()f x g x xg x ='+'， 所以，()()()20102010212201012010002f g a a a a a ==⋅⋅⋅=='.故在点()0,0处的切线方程为20102y x =.故答案为：20102y x =9．m nA 【解析】 【详解】 由图可知由图可知()()12mn P n m n m n A =-+-+⋅⋅⋅=.故答案为：mn A10．N 1N【解析】因为0≤f(x)≤1且由积分的定义知：∫f(x)10dx 是由直线x ＝0，x ＝1及曲线y ＝f(x)与x 轴所围成的面积，又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形面积为1，且满足y i ≤f(x i )的有N 1个点，即在函数f(x)的图象上及图象下方有N 1个点，所以用几何概型的概率公式得：f(x)在x ＝0到x ＝1上与x轴围成的面积为N 1N ×1＝N 1N ，即∫f(x)10dx ＝N 1N .考点：定积分的定义、几何概型. 11．17 【解析】 【详解】因为223Cn nn a -=，所以，()()23218311nn a n n n n =⨯=--. 从而，()1818223118171nn n n a n ====-∑∑.故答案为：1712．152±【解析】【解析】 【详解】注意到()()()x y z y z x z y x -+-=-,所以，所以，()()()()()()()()1y z x z y x y z x z y x xy z x y z x y z y z x ----+==⋅---- 即21q q += (q 为公比）为公比）. .解得152q ±=. 13．()1,4【解析】 【详解】【详解】()()2π1cos 24sin cos22sin 1sin 12sin 12sin 2x f x x x x x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⋅+=++-=+． 当π2π63x ≤≤时，()2f x m -<恒成立，即()()22f x m f x -<<+恒成立．恒成立．故有()()()()maxmin22f x m f x -<<+．易知()max 3f x=，()min 2f x =．故14m <<．14．4 【解析】【解析】【详解】首先构造下左图首先构造下左图..已知其符合条件且恰有四个三角形已知其符合条件且恰有四个三角形. . 下面假设存在某种情况使三角形的个数不少于五个下面假设存在某种情况使三角形的个数不少于五个. .若仅有两条线段未连，则这两条线段必无公共端点（如下左图），否则存在四面体，否则存在四面体. . . 但仅有但仅有四个三角形，矛盾四个三角形，矛盾. .若至少有三条线段未连，当有某条线段作为三个三角形的边时，如上右图，仅有三个三角形；当每条线段至多作为两个三角形的边时，则至多有()25C 3243⎡⎤-⨯⎢⎥=⎢⎥⎣⎦个三角形个三角形.. 故答案为：故答案为：4 4 15．(())()2e 2ee 2e 1a g -≥=-【解析】【解析】 【详解】不等式可化为()2ln 2xa x x x -≥-.因为[]1,e x ∈，所以，ln 0x x ->.于是，不等式化为22ln xx a x x-≥-.设()[]()221,eln x x g x x x x -=∈-. . 注意到注意到()()()211ln 20ln xx x g x x x⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=>-'， 其中，()1,e x ∈，且()g x 在1x =和e x =处连续，所以，()g x 在[]1,e x ∈上为增函数上为增函数. .故()()2e 2e e 2e 1a g -≥=-.16．见解析．见解析 【解析】【解析】【详解】设12O OO θ∠=，易知，1O 、2O 分别在线段OP 、OQ 上，且1O M MN ⊥，2O N MN ⊥. 则()2221212MN O O r r =--. ① 在12O OO 中，由余弦定理得中，由余弦定理得 ()()()()2221212122cos O O R r R r R r R r θ=-+----()()()()2121221cos r r R r R r θ=-+---. 将上式代入式①得将上式代入式①得()()()21221cos MN R r R r θ=---.又()2221cos PQ R θ=-， 故()()21222R r R r MN PQ R--=为定值为定值. . 17．（1）见解析；（2）见解析）见解析【解析】【详解】【详解】（1）设射线OA 的参数方程为()02π,0x tcos t y tsin θθθ=⎧≤≤>⎨=⎩. 设()11cos ,sin A t t θθ，()22cos ,sin B t t θθ，()33cos ,sin P t t θθ. 将点A 的坐标代入1C 的方程，整理得2222211cos sin t a b θθ=+. 再将3sin y t θ=，3cos x t θ=，代入上式化简得2222221311x y t t a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 同理，2222222311x y t t m n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故OA 、OP 、OB 成等比数列成等比数列2123224123111t t t t t t ⇔=⇔⋅= 222222221x y x y a b m n⎛⎫⎛⎫⇔++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）设双曲线1C 、2C 的方程分别为()222210,0x y a b a b -=>>和()222210,0x ym n m n -=>>. 过原点O 引射线分别与曲线1C 、2C 交于点A 、B ，P 为线段AB 上一点，则OA 、OP 、OB 成等比数列的充要条件是点P 的轨迹方程为222232222:1x y x y C a b m n ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.18．见解析．见解析【解析】【解析】【详解】可验证()11f =，()21f =，()32f =. 设4n ≥. . 则则22a =或3.对于22a =，排列数是()1f n -. . 这是因为通过删除第一项，这是因为通过删除第一项，这是因为通过删除第一项，且以后所有项都减且以后所有项都减1，可以建立一一对应的数列立一一对应的数列. .对于23a =，若有32a =，则44a =，这样排列数为()3f n -；若32a ≠，则2一定排在4的后面，由此得出所有奇数顺序排列的后面是所有偶数的倒序排列的后面，由此得出所有奇数顺序排列的后面是所有偶数的倒序排列. . 因此，()()()131f n f n f n =-+-+. 设()r n 是()f n 除以3的余数的余数. . 则(())(())121r r ==，(())32r =. 当4n ≥时，()()()()131mod3r n r n r n ⎡⎤≡-+-+⎣⎦. 由此得(){}r n 构成周期为8的数列：的数列：11，1，2，1，0，0，2，0，….，…. 因(())20102mod8≡，所以，(())20101r =，即(())2010f 被3除的余数为1.。
湖南省高中数学竞赛试题及答案
湖南省高中数学竞赛试题及答案高中数学竞赛试题含答案2022年湖南省高中数学竞赛试题及答案一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x) g(x) x2 9x 12，则f(x) g(x) ( )A．x 9x 12 2.有四个函数：① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=sinx cosx ④ y 其中在(0,A．①3.方程x2 x 1 x x22B．x 9x 122C．x 9x 12 D．x 9x 1222sinxcosx2)上为单调增函数的是( )B．②1C．①和③ D．②和④(x2 1) x的解集为A(其中π为无理数，π=3.141 ，x为实数)，则A中所有元素的平方和等于( ) A．0B．12C．22D．44.已知点P(x,y)满足(x 4cos ) (y 4sin ) 4( R)，则点P(x,y)所在区域的面积为A．36πB．32πC．20πD．16π ( )5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为( ) A．9B．12D．186.已知数列{an}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于( ) A．807.已知曲线C：y A．( 1,2)B．40C．24D．-48x2 2x与直线l:x y m 0有两个交点，则m的取值范围是( ) B．( 2,2 1)C．[0,2 1)D．(0,2 1)8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则值为( ) A．Smax的Smin2B．6 2C．2 3263高中数学竞赛试题含答案9.设x 0.820.5,y sin1,z log3A．xyzB．yzx7，则x、y、z的大小关系为( )C．zxyD．zyx10.如果一元二次方程x2 2(a 3)x b2 9 0中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( ) A．1 18B．1 9C．1 6D．13 18二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）x2y21上异于长轴端点的任意一点，F1、F2分别是其左、右焦点，O为中心，则11.设P是椭圆169|PF1| |PF2| |OP|2 ___________.12.已知△ABC中，, ，试用、的向量运算式子表示△ABC的面积，即S△ABC= ____________________.13.从3名男生和n名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为n=__________.14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为____________个.三、解答题（本大题共5个小题，15-17题每小题12分，18题、19题每小题16分，共68分）15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x)) x，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A {x|f(x) x}34，则35B {x|f[f(x)] x}.(1). 求证：A B2(2).若f(x) ax 1(a R,x R)，且A B ，求实数a的取值范围.16.某制衣车间有A、B、C、D共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？高中数学竞赛试题含答案17.设数列{an}满足条件：a1 1,a2 2，且an 2 an 1 an(n 1,2,3, ) 求证：对于任何正整数n，都有an 1 11an18.在周长为定值的△ABC中，已知|AB|=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为(1).建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程.(2).过点A作直线与(1)中的曲线交于M、N两点，求|BM| |BN|的最小值的集合.7. 2519.已知三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，P是底面△ABC内的任一点，OP与三侧面所成的角分别为α、β、 .求证：23arcsin3参考答案一、选择题：ADCBC CCCBA 二、填空题：三、解答题：15.证明(1).若A=φ，则A B 显然成立；若A≠φ，设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,从而A B. 解(2)：A中元素是方程f(x)=x 即ax 1 x的实根.2由A≠φ，知a=0 或a 0 1即a4 1 4a 0342222B中元素是方程a(ax 1) 1 x 即ax 2ax x a 1 0的实根由A B，知上方程左边含有一个因式ax x 1，即方程可化为2高中数学竞赛试题含答案(ax2 x 1)(a2x2 ax a 1) 0因此，要A=B，即要方程ax ax a 1 0 ① 要么没有实根，要么实根是方程ax x 1 0 ② 的根. 若①没有实根，则2 a2 4a2(1 a) 0，由此解得a222223 4若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有ax ax a，代入①有2ax+1=0.11131 0,由此解得a . ,再代入②得2a4a2a413故a的取值范围是[ ,]44897616.解：A、B、C、D四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：,,,，且__-__6897 ① __-__由此解得x只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多. 由①知D组做上衣效率最高，C组做裤子效率最高，于是，设A组做x天上衣，其余(7-x)天做裤子；B组做y天上衣，其余(7-y)天做裤子;D组做7天上衣，C组做7天裤子.则四个组7天共生产上衣6×7+8x+9y (件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条) 依题意，有42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即y 9 令μ= 42+8x+9y=42+8x+9(96x. 76x2)=123+x 77max因为0≤x≤7,所以，当x=7时，此时y=3, μ取得最大值，即μ=125.因此，安排A、D组都做7天上衣，C组做7天裤子，B组做3天上衣，4天裤子，这样做的套数最多，为125套.17.证明：令a0 1,则有ak 1 ak ak 1，且1naka于是n k 1k 1ak 1k 1ak 1nakak 1(k 1,2, ) ak 1ak 1由算术-几何平均值不等式，可得1 aa1a2aaan+0 1 n 1 a2a3an 1a2a3an 1注意到a0 a1 1，可知高中数学竞赛试题含答案11n 11nan 1，即n 1 11an18.解：(1) 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设|CA|+|CB|=2a(a3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距2c=|AB|=6.|CA|2 |CB|2 62(|CA| |CB|)2 2|CA||CB| 362a2 18因为cosC 12|CA||CB|2|CA||CB||CA||CB|又|CA| |CB| (2a__-__) a2，所以cosC 1 2，由题意得1 2 ,a 25. 225aa此时，|PA|=|PB|，P点坐标为P(0，±4).x2y21(y 0) 所以C点的轨迹方程为2516(2) 不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2).当直线MN的倾斜角不为90时，设其方程为1k__k2)x kx ( 1) 0 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得(__-__150k2225k2 400,x1x2 显然有△≥0，所以x1 x2 2216 25k16 25k而由椭圆第二定义可得339|BM| |BN| (5 x1)(5 x2) 25 3(x1 x2) x1x25525144450k81k __k __ 25 25 25__ 25k216 25k216 25k2k225222k2__-____-__取最小值，显然. 只要考虑的最小值，即考虑1 1616k2 k22525k2当k=0时，|| ||取最小值16.当直线MN的倾斜角为90时，x1=x2=-3,得|BM| || (342) 16 5x2y21(y 0)，故k 0，这样的M、N不存在，即|| ||的最小值的集合为空但2516集.高中数学竞赛试题含答案19.证明：由题意可得sin2 sin2 sin2 1，且α、β、(0, 所以sin 1 sin sin2222)1(cos2 cos2 ) cos( )cos( ) 2222因为cos( ) cos( )，所以sin cos( ) sin[当当2( )]2时，时，2.22( )，同样有2故2另一方面，不妨设，则sin3,sin33令sin 1 则sin23,sin 1 1 ()2 sin2 ，331 sin2 sin2 1 1sin2 cos( )cos( ) cos( 1 1)cos( 1 1)因为1 1 ，所以cos( 1 1) cos( ) 所以cos( ) cos( 1 1) 所以1 1如果运用调整法，只要α、β、不全相等，总可通过调整，使1 1 1增大. 所以，当α=β= =arcsin。
湖南省炎德英才杯2024_2025学年高二数学下学期基础学科知识竞赛试题
湖南省炎德英才杯2024-2025学年高二数学下学期基础学科学问竞赛试题时量：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知命题p ：∀x>0，ln(x ＋1)>0，则命题p 的否定是 A.∀x>0，ln(x ＋1)≤0 B.∀x ≤0，ln(x ＋1)>>0 C.∃x 0>0，ln(x 0＋1)>0 D.∃x 0>0，ln(x 0＋1)≤02.已知集合A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{t ∈Z|t ＝2x ＋1，x ∈A}，则A ∩B ＝ A.{－1，0，1} B{－1，0} C{0，1} D.{0}3.已知正项等比数列{a n }的公比为q ，若a 2a 6＝4a 52，则公比q ＝ A.12B.22C.2D.24.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，c ＝λa ＋µb ，若a ⊥c ，则下列结论正确的是Aλ－μ＝0 B.λ＋μ＝0 C.2λ－μ＝0 D.2＋μ＝0 5.(2x 2＋1x)5的绽开式中，x 4的系数是 A160 B.80 C.50 D.10 6.已知cos(α－4π)sin(34π－α)＝33，α∈(3,24ππ)，则sin2α＝A.2313- B.2313- C.313- D.313+ 7.唐朝闻名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2).当这种酒杯内壁表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R 的取值范围为A.(0，＋∞) 8.巳知实数a ，b 满意ab>0，则2a aa b a b-++的最大值为A.2B.2C.3－D.3＋二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
湖南省望城五中高二数学竞赛试题
湖南省望城五中高二数学竞赛试题_年湖南省望城五中高二数学竞赛试题姓名记分一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知A={__+1≥0},B={yy2－2_gt;0},全集I=R,则A∩CI B为( )A.{__≥或_≤－}B.{__≥－1或_≤}C.{_－1≤_≤}D.{_－≤_≤－1}2.不等式log(_－1)_gt;－1的解集为( )A.{___gt;4}B.{___lt;4}C.{_1_lt;__lt;4}D.{_1_lt;__lt;}3.在以下关于向量的命题中,不正确的是( )A.若向量=(_,y),向量=(－y,_)(_.y≠0),则⊥B.四边形ABCD是菱形的充要条件是=,且=C.点G是△ABC的重心,则++=D.△ABC中,和的夹角等于180°－A4.已知等比数列{}的前n项和,则…等于( )A．B．C．D．5.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,公比q≠1,那么( )A.a32+a72_gt;a42+a62B.a32+a72_lt;a42+a62C.a32+a72=a42+a62D.大小不确定6.圆截直线_-y-5＝0所得弦长等于( )A． B．C．1D．57.函数y=f(_+1)与y=f(1－_)的图象关于( )A.y轴对称B.原点对称C.直线_=1对称D.关于y轴对称且关于直线_=1对称8.某校有6间不同的电脑室,每天晚上至少开放2间,欲求不同安排方案的种数,现有四位同学分别给出下列四个结果:①;②;③;④．其中正确的结论是( )A．仅有①B．仅有②C．②和③D．仅有③9.将函数y＝2_的图像按向量平移后得到函数y＝2_＋6的图像,给出以下四个命题:①的坐标可以是(-3.0);②的坐标可以是(0,6);③的坐标可以是(-3,0)或(0,6);④的坐标可以有无数种情况,其中真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．410.函数f(_)=,如果方程f(_)=a有且只有一个实根,那么a满足( )A.a_lt;0B.0≤a_lt;1C.a=1D.a_gt;1二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)11.北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望学校,每所小学至少得到2台,不同送法的种数共有__________种.12.已知f(_)=log3_,当0_lt;a_lt;2时,有f(a)_gt;f(2),则a的取值范围是__________.13.已知无穷等比数列首项为2,公比为负数,各项和为S,则S的取值范围为__________.14.设有四个条件:①平面γ与平面α.β所成的锐二面角相等;②直线a∥b,a⊥平面α,b⊥平面β;③a.b是异面直线,aα,bβ,且a∥β,b∥α;④平面α内距离为d的两条直线在平面β内的射影仍为两条距离为d的平行线.其中能推出α∥β的条件有__________.(填写所有正确条件的代号)三.解答题(本大题共5小题,共50分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤)15.(本小题满分10分)△ABC中,a.b.c分别是∠A.∠B.∠C的对边.已知tanA+tanB+=tanA·tanB·,(1)求∠C的大小;(2)若c=,△ABC的面积S△ABC=,求a+b的值.16.(本小题满分10分)已知,都是非零向量,且+3与7－5垂直,－4与7－2垂直,求与的夹角.17.(本小题满分10分)已知曲线C:_2－y2=1及直线L:y=k_－1.(1)若L与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若L与C交于A.B两点,O是坐标原点,且△OAB的面积为,求实数k的值.18.(本小题满分10分)如图,已知三棱锥P—ABC中,PA⊥平面ABC,PA=3, AC=4,PB=PC=BC.(1)求三棱锥P—ABC的体积V;(2)作出点A到平面PBC的垂线段AE,并求AE的长;(3)求二面角A—PC—B的大小.19.(本小题满分15分)函数f(_)=loga(_－3a)(a_gt;0且a≠1),当点P(_,y)是函数y=f(_)图象上的点时,Q(_－2a,－y)是函数y=g(_)图象上的点.(1)写出函数y=g(_)的解析式;(2)当_∈［a+2,a+3］时,恒有f(_)－g(_)≤1,试确定a的取值范围.参考答案一.选择题:1.解析:由已知得A={__≥－1},B={yy＞或y＜－,CIB={y－≤y≤},则A∩CIB={_－1≤_≤},选C. 答案:C2.解析:由已知得得1＜_＜4,选C. 答案:C3.解析:若点G是△ABC的重心,则有++=,而C的结论是++=,显然是不成立的,选C. 答案:C4.:D5.解析:取特殊数列验证:根据题意取数列1,2,4,8,16,32,64(q＞1),易证a32+a72_gt;a42+a62;取数列64,32,16,8,4,2,1(0＜q＜1＝,易证a32+a72_gt;a42+a62,故选A.答案:A6.A7.解析:根据对称关系验证D正确,选D. 答案:D8..C9.答案:D10.解析:由图知a=1时,图象只有一个交点,故选C. 答案:C二.填空题:11.解析:分为三种情况:①每所学校得3台电脑;②有两所学校各得2台电脑,一所学校得5台电脑;③有一所学校得2台电脑,一所学校得3台电脑,一所学校得4台电脑.答案:1012.解析:由f(a)＞f(2),得log3a＞log32. log3a＞log32或log3a＜－log32=log, 得a＞2或0＜a＜,又0＜a＜2,∴0＜a＜.答案:0＜a＜13.解析:由已知S=,得q=.又－1＜q＜0得－1＜＜0.解之得1＜S＜2.答案:1＜S＜214.解析:答案:②③三.解答题:15.解:(1)tanC=－tan(A+B) =－=－=.∵0°＜C＜180°,∴C=60°.(2)由c=及余弦定理,得a2+b2－2abcos60°=()2.又由S△ABC=absin60°=,整理得∴(a+b)2=,即a+b=16.解:∵a+3b与7a－5b垂直,a－4b与7a－2b垂直,∴(a+3b)·(7a－5b)=0,(a－4b)·(7a－2b)=0.即两式相减:a·b=b2,代入①得a2=b2.∴cosα==.∴α=60°,即a与b的夹角为60°.17.解:(1)曲线C与直线L有两个不同交点,则方程组有两个不同的解.代入整理得:(1－k2)_2+2k_－2=0. 此方程必有两个不等的实根_1,_2, ∴解得－＜k＜且k≠±1时,曲线C与直线L有两个不同的交点.(2)设交点A(_1,y1),B(_2,y2),直线L与y轴交于点D(0,－1),∴∵S△OAB=S△OAD+S△OBD=_1+_2=(_1+_2) (∵_1_2＜0=_1－_2=,∴(_1－_2)2=(2)2,即()2+=8.解得k=0或k=±.∵－＜k＜,∴k=0或k=±时,△OAB面积为.18.解:(1)∵PA⊥平面ABC,PB=PC,由射影定理得,AB=AC=4.∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AC.在Rt△PAC中,可求出PC=5,则PB=BC=5. 取BC中点D,连AD.在等腰△ABC中,求出底边上的高AD=.∴V=··5··3=.(2)连PD,则PD⊥BC,又AD⊥BC,∴BC⊥平面PAD.又BC平面PBC,∴平面PAD⊥平面PBC.作AE⊥PD于E,则AE⊥平面PBC,AE为点A到平面PBC的垂线段.在Rt △PAD中,由PA·AD=AE·PD,即3·=AE·,求出AE=.(3)作AF⊥PC于F,连EF,由三垂线逆定理,得EF⊥PC.∠AFE为二面角A—PC—B的平面角.在Rt△PAC中,由PA·AC=PC·AF,即3·4=5·AF,求出AF=,∴sinAFE==·=.即二面角A—PC—B为arcsin.19.解:(1)设P(_0,y0)是y=f(_)图象上的点,Q(_,y)是y=g(_)图象上的点,则∴∴－y=loga(_+2a－3a).∴y=loga(_＞a),即y=g(_)=loga(_＞a).(2)∵∴_＞3a.∵f(_)与g(_)在［a+2,a+3］上有意义,∴3a＜a+2.∴0＜a＜1.∵f(_)－g(_)≤1恒成立,∴loga(_－3a)(_－a)≤1恒成立.∴a≤(_－2a)2－a2≤.对_∈［a+2,a+3］时恒成立,令h(_)=(_－2a)2－a2,其对称轴_=2a,2a＜2,2＜a+2, ∴当_∈［a+2,a+3］时,h(_)min=h(a+2),h(_)ma_=h(a+3).∴0＜a≤.。
湖南新化一中2022年下学期高二数学（文）数学竞赛试题新人教版
湖南新化一中2022年下学期高二（文）数学竞赛试题一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知 32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则的值等于（ D ）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 2、已知等差数列中，315,a a 是方程2610x x --=的两根，则7891011a a a a a ++++ 等于（ C ）A ．B ．C D3．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（ D ）A ．23x y =或23x y -=B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y =D ．23x y -=或x y 92=4．两个正数、的等差中项是92，一个等比中项是，且,b a >则双曲线12222=-b y a x 的离心率为（ D ） A ．53B．4C ．54D．55．在公比为整数的等比数列中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前项之和为（ C ）A ．B ．C ．D ．82256、若△ABC 的对边分别为、、C 且，B ∠=045，ABC S ∆=2，则（A ）B.25CD7、以原点为圆心的圆全部在区域⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0943042063y x y x y x 内，则圆面积的最大值为（ B ）A ．π518 B ．π516 C ．π2581 D ．π25648已知点22y x=92=+=⋅|2|2,0,,b a b a b a b a 若22y px=22163x y -=()⎪⎭⎫ ⎛<<-=21021x x x y 14471017a a a ++=45612131477a a a a a a ++++++=13k a =02(1)1y y xy k x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤--⎩(),1-∞-nn a a 212+2n a 049)1(220822<+++++-m x m mx x x 2282002(1)940x x mx m x m -+>∴++++<恒成立,须恒成立m =240x +<0m ≠204(1)4(94)0m m m m <⎧⎨∆=+-+<⎩011,42m m m <⎧⎪⎨><-⎪⎩或12m ∴<-1:123x p --≤)0(012:22>≤-+-m m x x q {}1:12,2,10,|2,103x p x x A x x x -⌝-><->=<->或或{}22:210,1,1,|1,1q x x m x m x m B x x m x m ⌝-+-><->+=<->+或或129,9110m m m m -<-⎧⇒>∴>⎨+>⎩)34()1(...139511--++-+-=-n S n n 312215S S S -+(4),2,2121,(4)43,2n n nn n n S S n n n n n ⎧⨯-⎪-⎧⎪==⎨⎨--⎩⎪⨯-+-⎪⎩为偶数为偶数，，为奇数为奇数15223129,44,61,S S S ==-=15223176S S S +-=-1=•=•BC BA AC AB 6AB AC +=1=•=•BC BA AC AB 1=•AC AB 12222=-+•bca c bbc 2=c 6=+2=b 23124=-n n S a *∈=N n a b n n ,log 221}{n n a b 211=a,124=-n n S a,12411=---n n S a 1120244--=⇒=--n n n n n a a a a a )2(21≥=-n a a n n211=a 22-=n n a nb n 24-=nn T n 32+-=2224--=x n n n a b ,22422622101212---+-++-++=n n n nn U,2242262220122112---+-++-++=n n n n n U 12122422222212421---------=n n n n U 124-=n n n U 64)2(:22=+-y x F 13+=x y ,OM ON m OC +=⋅的值；21、解：（1）由题意：∵|PA|=|PB|且|PB||PF|=r=8，∴|PA||PF|=8>|AF| ∴P 点轨迹为以A 、F 为焦点的椭圆…………………………3分设方程为)0(12222>>=+b a by a x ，分点轨迹方程为6 (112)16.12,42,4,822222222=+∴=∴===-==∴y x P b c b a a a（2）设OC m ON OM y x C y x N y x M =+ ),(),(),(002211121212120000222121212(,)(,),,.31,1583440.116128323()2 (125)x x y yx x y y m x y x y m my x x x x y x x y y x x ++∴++=∴==⎧=+⎪+-=⎨+=⎪⎩∴+=+=++=由得分1251242551636411216,521538222200=⨯+⨯⨯∴=+=-=∴m m y x C m y m x 上，在椭圆 1515,1512±=∴=∴m m ………………………………15分。
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湖南省2002年高中数学竞赛
试题及解答
2002.9.7 9：00-11;00
说明：1.评阅试卷时请依本评分标准.选择题只设6分及0分两档,填空题只设6分及0分两档.其他各题评阅请严格依照本评分规定的评分档次给分,不要增加其他中间档次.
2.如果考生的解答方式与本解答案不同,只要思路合理,步骤正确,在证券时参照本评分标准划分的评分档次,给予相应的分数.
一 选择题(本题共6个小题,每小题6分,满分36分.)
1．定义在实数集R 上的函数y=f （-x ）的反函数是)(1x f
y -=-，则
（A ）y=f （-x ）是奇函数
（B ）y=f （-x ）是偶函数
（C ）y=f （-x ）既是奇函数，也是偶函数
（D ）y=f （-x ）既不是奇函数，也不是偶函数
2．二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象如图所示。
记
N=|a+b+c|+|2a-b|
M=|a-b+c|+|2a+b|，
则（ ）
（A ） M ＞N （B ）M=N
（C ） M ＜N （D ）M ，N 的大小关系不能确定
3．在正方体的一个面所在的平面内，任意画一条直线，则与它异面的正方体的棱的条数是（ ）
（A ） 4或5或6或7
（B ） 4或6或7或8
（C ） 6或7 或8
（D ） 4或5 或6
4．ABC 中，若（sinA+sinB ）（cosA+cosB ）=2sinC ，则（ ）
（A ） △ABC 是等腰三角形但不一定是直角三角形
（B ） △ABC 是直角三角形但不一定是等腰三角形
（C ） △ABC 既不是等腰三角形也不是直角三角形
（D ） △ABC 既是等腰三角形也是直角三角形
5．△ABC 中，∠C=90O ，若sinA ，sinB 是一元二次方程02=++q px x 的两个根，则下列关系中正确的是（ ）
6．已知A （-7，0），B （7，0），C （2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一焦点的轨迹为（）。
（A ）双曲线 （B ）椭圆 （C ）椭圆的一部分 （D ）双曲线的一部分
二、填空题（本题共6个小题，每小题6分，满分36分。
）
7．满足条件{1，2，3}⊆X ⊆|1，2，3，4，5，6|的集合X 的个数为————————。
8．函数a a x x a x f -+-=||)(2
2是奇函数的充要条件是————————————
9．在如图所示的六块地上，种上甲或乙两种蔬菜（可只咱其中一种，也可两种都种），要求相邻两块土地上不都种甲种蔬菜，则共有种蔬菜的方案数为—————。
10．定义在R 上的函数y=f （x ），它具有下述性质：
（Ⅰ）对任何x ∈r ，都有f （x 3）=f 3（x ），
（Ⅱ）对任何x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f （x 1）≠f （x 2）
则f （0）+f （1）+f （-1）的值为————。
11．已知复数z 满足,3)1arg(,3π
=-=--⋅z z z z z 且则z=——————
三、解答题（本题共6个小题，满分78分。
）
13．（本题满分12分），如图，在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 中，E 、F 分别是棱AB 与BC 的中点。
（Ⅰ）求二面角B-FB 1-E 的大小；
（Ⅱ）求点D 到平面B 1EF 的距离；
（Ⅲ）在棱DD 1上能否找一点M ，使BM ⊥平面EFB 1？若能，试确定点M 的位置；若不能，请说明理由。
14．（本题满13分），设关于x 的一元二次方程2x 2-tx-2=0的两个根为α、β（α＜β）
（ Ⅰ ）若x 1、x 2为区间[α，β]上的两个不同的点，求证：4x 1x 2-t （x 1+x 2）-4＜0。
‘
（Ⅱ）设],[)(,1
4)(2βα在区间x f x t x x f +-=上的最大值和最小值分别为)(,)(,min max min max t g f f t g f f 求和-=的最小值。
15．（本题满分13分），已知a 1=1，a 2=3，a n+2=（n+3）a n+1-（n+2）a n ，若当m ≥n ，a m 的值都能被9整除，求n 的最小值。
16．（本题满分13分），一台计算机装置的示意图如图，其中J 1，J 2表示数据入口，C 是计算结果的出口，计算过程是由J 1、J 2分别输入自然数m 和n ，经过计算后得自然数K 由C 输出，若此种装置满足以下三个性质：
①J 1，J 2分别输入1，则输出结果1；
②若J 1输入任何固定自然数不变，J 2输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2；
③若J 2输入1，J 1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，试问：
（Ⅰ）若J 1输入1，J 2输入自然数n ，则输出结果为多少？
（Ⅱ）若J 2输入1，J 1输入自然数m ，则输出结果为多少？
（Ⅲ）若J 1输入自然2002，J 2输入自然数9，则输出结果为多少？
17．（本题满分13分），以A 为圆心，以24cos 2π
θπ
θππ（）为半径的圆外有一点B ，已知|AB|=2θsin ，
设过点B 且与圆外切于点T 的圆的圆心为M 。
（Ⅰ）当θ取某个值时，说明点M 的轨迹P 是什么曲线；
（Ⅱ）点M 是轨迹P 上的动点，点N 是圆A 上的动点，把|MN|的最小值记为f （θ）（不要求证明），求f （θ）的取值范围。
（Ⅲ）若将题设条件中的θ的范围改为（40π
θππ），点B 的位置改为圆A 内，
其它条件不变，点M 的轨迹记为P ，试提出一个和（Ⅱ）具有相同结构的有意义
的问题（不要求解答） 18．（本题满分14分），设长方体的长、宽、高分别为a 、
b 、
c ，其体对角线长为l ，试证： 444444444512))()((c b a c l b l a l ≥---。