湖南省 高中数学竞赛

湖南省2002年高中数学竞赛

试题及解答

2002.9.7 9：00-11;00

说明：1.评阅试卷时请依本评分标准.选择题只设6分及0分两档,填空题只设6分及0分两档.其他各题评阅请严格依照本评分规定的评分档次给分,不要增加其他中间档次.

2.如果考生的解答方式与本解答案不同,只要思路合理,步骤正确,在证券时参照本评分标准划分的评分档次,给予相应的分数.

一 选择题(本题共6个小题,每小题6分,满分36分.)

1．定义在实数集R 上的函数y=f （-x ）的反函数是)(1x f

y -=-，则

（A ）y=f （-x ）是奇函数

（B ）y=f （-x ）是偶函数

（C ）y=f （-x ）既是奇函数，也是偶函数

（D ）y=f （-x ）既不是奇函数，也不是偶函数

2．二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象如图所示。记

N=|a+b+c|+|2a-b|

M=|a-b+c|+|2a+b|，

则（ ）

（A ） M ＞N （B ）M=N

（C ） M ＜N （D ）M ，N 的大小关系不能确定

3．在正方体的一个面所在的平面内，任意画一条直线，则与它异面的正方体的棱的条数是（ ）

（A ） 4或5或6或7

（B ） 4或6或7或8

（C ） 6或7 或8

（D ） 4或5 或6

4．ABC 中，若（sinA+sinB ）（cosA+cosB ）=2sinC ，则（ ）

（A ） △ABC 是等腰三角形但不一定是直角三角形

（B ） △ABC 是直角三角形但不一定是等腰三角形

（C ） △ABC 既不是等腰三角形也不是直角三角形

（D ） △ABC 既是等腰三角形也是直角三角形

5．△ABC 中，∠C=90O ，若sinA ，sinB 是一元二次方程02=++q px x 的两个根，则下列关系中正确的是（ ）

6．已知A （-7，0），B （7，0），C （2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一焦点的轨迹为（）。

（A ）双曲线 （B ）椭圆 （C ）椭圆的一部分 （D ）双曲线的一部分

二、填空题（本题共6个小题，每小题6分，满分36分。）

7．满足条件{1，2，3}⊆X ⊆|1，2，3，4，5，6|的集合X 的个数为————————。

8．函数a a x x a x f -+-=||)(2

2是奇函数的充要条件是————————————

9．在如图所示的六块地上，种上甲或乙两种蔬菜（可只咱其中一种，也可两种都种），要求相邻两块土地上不都种甲种蔬菜，则共有种蔬菜的方案数为—————。

10．定义在R 上的函数y=f （x ），它具有下述性质：

（Ⅰ）对任何x ∈r ，都有f （x 3）=f 3（x ），

（Ⅱ）对任何x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f （x 1）≠f （x 2）

则f （0）+f （1）+f （-1）的值为————。

11．已知复数z 满足,3)1arg(,3π

=-=--⋅z z z z z 且则z=——————

三、解答题（本题共6个小题，满分78分。）

13．（本题满分12分），如图，在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 中，E 、F 分别是棱AB 与BC 的中点。

（Ⅰ）求二面角B-FB 1-E 的大小；

（Ⅱ）求点D 到平面B 1EF 的距离；

（Ⅲ）在棱DD 1上能否找一点M ，使BM ⊥平面EFB 1？若能，试确定点M 的位置；若不能，请说明理由。

14．（本题满13分），设关于x 的一元二次方程2x 2-tx-2=0的两个根为α、β（α＜β）

（ Ⅰ ）若x 1、x 2为区间[α，β]上的两个不同的点，求证：4x 1x 2-t （x 1+x 2）-4＜0。‘

（Ⅱ）设],[)(,1

4)(2βα在区间x f x t x x f +-=上的最大值和最小值分别为)(,)(,min max min max t g f f t g f f 求和-=的最小值。

15．（本题满分13分），已知a 1=1，a 2=3，a n+2=（n+3）a n+1-（n+2）a n ，若当m ≥n ，a m 的值都能被9整除，求n 的最小值。

16．（本题满分13分），一台计算机装置的示意图如图，其中J 1，J 2表示数据入口，C 是计算结果的出口，计算过程是由J 1、J 2分别输入自然数m 和n ，经过计算后得自然数K 由C 输出，若此种装置满足以下三个性质：

①J 1，J 2分别输入1，则输出结果1；

②若J 1输入任何固定自然数不变，J 2输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2；

③若J 2输入1，J 1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，试问：

（Ⅰ）若J 1输入1，J 2输入自然数n ，则输出结果为多少？

（Ⅱ）若J 2输入1，J 1输入自然数m ，则输出结果为多少？

（Ⅲ）若J 1输入自然2002，J 2输入自然数9，则输出结果为多少？

17．（本题满分13分），以A 为圆心，以24cos 2π

θπ

θππ（）为半径的圆外有一点B ，已知|AB|=2θsin ，

设过点B 且与圆外切于点T 的圆的圆心为M 。

（Ⅰ）当θ取某个值时，说明点M 的轨迹P 是什么曲线；

（Ⅱ）点M 是轨迹P 上的动点，点N 是圆A 上的动点，把|MN|的最小值记为f （θ）（不要求证明），求f （θ）的取值范围。

（Ⅲ）若将题设条件中的θ的范围改为（40π

θππ），点B 的位置改为圆A 内，

其它条件不变，点M 的轨迹记为P ，试提出一个和（Ⅱ）具有相同结构的有意义

的问题（不要求解答） 18．（本题满分14分），设长方体的长、宽、高分别为a 、

b 、

c ，其体对角线长为l ，试证： 444444444512))()((c b a c l b l a l ≥---