离散数学图论PPT课件
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相关文本内容
2
图论
抽象的图
• 一个图G是一个三元组〈V(G), E(G), φG〉，其中V(G)是一个非空的结点集合， E(G)是边集合， φG是从边集合到结点集 合的函数。
• 如果把φG总是看成是结点之间的一种关 联，并在E(G)中清楚地描述这种关联， 那么一个图G通常简记为一个二元组序偶 形式G=〈V，E〉，其中V是一个非空结 点集合，E是连接结点的边的集合。
13
图论
图的同构
• 设G=〈V，E〉和G‘=〈V’，E‘〉都是图， 且两个图的结点和边分别存在一一对应 关系，且保持相应的关联，则称两个图 同构。
• 两个图同构说明一个图的两种画法。
14
图论
路与回路
•
设 e1,Ge=2,〈…V, e，n∈EE〉, 是其图中，ei=v0<,
v1,…, vi-1, vi
图论
内容提要
• 起源于一些数学游戏：迷宫问题、博奕 问题、马的行走路线等
• 在计算机科学等领域有广泛的应用 • 直观、简洁等特点 • 基本内容：图的基本概念、路径与回路、
Euler图、Hamilton图、平面图、树等。
1
整体概述
概述一
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相关文本内容
概述二
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相关文本内容
概述三
点击此处输入
• 如点割集中仅有一个结点则称此结点为 割点。
21
图论
割点的判定
• 设无向图G=〈V，E〉是连通图，结点v 是G的割点的充要条件是存在结点u和w， 使得u和w的每一条路都经过结点v.
22
图论
点连通度
• 若G是不完全图，定义点连通度k(G)为结 点数最少的点割集的结点数，即从G中最 少删除k(G)个结点后，图G即成为不连通。
同；
16
图论
路的性质
• 在一个具有n个结点的图中，如果从结点 vj到结点vk存在一条路，则从结点vj到结 点vk一定存在一条不多于n-1条边的路， 即存在一条边数小于n的通路。
• 此结论对于有向图和无向图都适用吗？
17
图论
无向图的连通性
• 在无向图G中，结点u和v之间如果存在一 条路，则称这两个结点是连通的。
• 在无向图G=〈V，E〉中，结点度数的总 和是边数的两倍。
• 在无向图G=〈V，E〉中，度数为奇数的 结点必定是偶数个。
10
图论
补图
• 给定一个图G=〈V，E〉，构造另一个图， 它的结点集合与G相同，而边的集合则为 相同完全图中边集合与E的差集，称该图 为原图G相对于完全图的补图，记作~G。
11
• 一个无向图G是连通的当且仅当w(G)=1。
19
图论
思考
• 结点的连通性是结点集V上的一个等价关 系！
• 连通性所划分的等价类是什么？
20
图论
点割集
• 设无向图G〈V，E〉为连通图，若有点 集V1是V的真子集，使得图G在删除了V1 中所有结点后，所得的子图是不连通的， 而在删除了V1的任意真子集后，所得的 子图仍然是连通的，则称V1是G的一个点 割集；
图论
子图
• 设G=〈V，E〉是一个图，如果有另一个 图G‘=〈V’，E‘〉，使得V’是V的子集， E‘是E的子集，则称G‘是G的子图。
• 如果G的子图G‘包含G的所有结点，则称 该子图为G的生成子图。
12
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图论
差图
• 设G‘=〈V’，E‘〉是G=〈V，E〉的子图， 若给定另外一个子图G“=〈V”，E“〉使得 E“ =E- E‘ ，且V”中仅包含E“的边所关联 的结点，则称G“是图G与子图G‘的差图， 或称子图G‘相对于图G的补图，记作 G“ =G- G‘ 。显然，同时有G‘ =G- G“ 。
• 如果G中任意两个结点之间都连通，那么 称图G为连通图。
18
图论
无向图的连通分支
• 如果无向图G不连通，而G1是G的子图， 且G1是连通的，则称G1是G的一个连通 子图。
• 如果连通子图G1是最大的连通子图，即 增加任意一个G中的结点到G1，将使得 G1成为不连通，那么称G1是G的一个连 通分支。 G的连通分支的个数记为w(G)。
vn >,
∈V， 交替序
列v0e1v1e2…envn称为从v0连接到vn的路。
• v0是此路的起点，vn是此路的终点。
• 路中边的数目是此路的长度。
• 当起点与终点相等时，此路称为回路。
• 注意：对于简单图的情形，可以仅用结 点序列或边序列来表示路或回路。
15
图论
特殊的路与回路
迹：路中所有的边均不相同； 通路：路中所有的结点均不相同； 圈：回路中除起点与终点外的结点均不相
6
图论
邻接边
• 关联于同一结点的两条不同的边则称为 邻接边。
• 关联于同一结点的两条相同的边则称为 自回路或环。环既可以是有向的，也可以 是无向的。
7
图论
有向图的度
• 设〈vi, vj〉是有向图G=〈V，E〉中的任 意一条有向边， vi是该边的起始结点， vj是终止结点。
• 在有向图G=〈V，E〉中，以一结点为起 始结点的边的个数称为该结点的出度； 以一结点为终止结点的边的个数称为该 结点的入度。
• 注意： • 若G不连通，则k(G)=0； • 若G存在割点，则k(G)=1； • 规定完全图Kp的k(Kp)=p-1 （为什么？）。
• 一结点的出度和入度之和称为该结点的 度数，记作deg(v)。
8
图论
有向图度数的性质
• 在任何有向图中，所有结点的入度之和 等于所有结点的出度之和，并等于图中 边的个数。
• 孤立结点的入度和出度均为0 • 有向环的对应结点的入度和出度均增加1
9
图论
无向图的度
• 在无向图G=〈V，E〉中，与结点相关联 的边的个数称为该结点的度数，记作 deg(v)。
3
图论
图的抽象性及方向性
• 图的结点与连接都是一种抽象的表示，其位置 与长度没有意义。
• 如果边是两个结点之间的有序偶，则称该边是 有向边，记为〈vi, vj〉。包含有向边的图为有 向图。
• 如果边是两个结点之间的无序偶，则称该边为 无向边，记为（ vi, vj ）。包含无向边的图为无 向图。
• 注意：既有有向边又有无向边的图称为混合图。
4
图论
邻接点与特殊的图
• 在一个图中，若两个结点由一条边关联， 则称这两结点是邻接点。
• 不与其它任何结点相关联的结点称为孤 立结点。
• 仅由孤立结点组成的图称为零图。 • 仅由一个结点组成的图称为平凡图。 • 任意两个结点都相邻的图称为完全图。
5
图论
思考
• 有n个结点的无向完全图Kn有多少条边？ • 有向图的情形呢？
2
图论
抽象的图
• 一个图G是一个三元组〈V(G), E(G), φG〉，其中V(G)是一个非空的结点集合， E(G)是边集合， φG是从边集合到结点集 合的函数。
• 如果把φG总是看成是结点之间的一种关 联，并在E(G)中清楚地描述这种关联， 那么一个图G通常简记为一个二元组序偶 形式G=〈V，E〉，其中V是一个非空结 点集合，E是连接结点的边的集合。
13
图论
图的同构
• 设G=〈V，E〉和G‘=〈V’，E‘〉都是图， 且两个图的结点和边分别存在一一对应 关系，且保持相应的关联，则称两个图 同构。
• 两个图同构说明一个图的两种画法。
14
图论
路与回路
•
设 e1,Ge=2,〈…V, e，n∈EE〉, 是其图中，ei=v0<,
v1,…, vi-1, vi
图论
内容提要
• 起源于一些数学游戏：迷宫问题、博奕 问题、马的行走路线等
• 在计算机科学等领域有广泛的应用 • 直观、简洁等特点 • 基本内容：图的基本概念、路径与回路、
Euler图、Hamilton图、平面图、树等。
1
整体概述
概述一
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相关文本内容
概述二
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• 如点割集中仅有一个结点则称此结点为 割点。
21
图论
割点的判定
• 设无向图G=〈V，E〉是连通图，结点v 是G的割点的充要条件是存在结点u和w， 使得u和w的每一条路都经过结点v.
22
图论
点连通度
• 若G是不完全图，定义点连通度k(G)为结 点数最少的点割集的结点数，即从G中最 少删除k(G)个结点后，图G即成为不连通。
同；
16
图论
路的性质
• 在一个具有n个结点的图中，如果从结点 vj到结点vk存在一条路，则从结点vj到结 点vk一定存在一条不多于n-1条边的路， 即存在一条边数小于n的通路。
• 此结论对于有向图和无向图都适用吗？
17
图论
无向图的连通性
• 在无向图G中，结点u和v之间如果存在一 条路，则称这两个结点是连通的。
• 在无向图G=〈V，E〉中，结点度数的总 和是边数的两倍。
• 在无向图G=〈V，E〉中，度数为奇数的 结点必定是偶数个。
10
图论
补图
• 给定一个图G=〈V，E〉，构造另一个图， 它的结点集合与G相同，而边的集合则为 相同完全图中边集合与E的差集，称该图 为原图G相对于完全图的补图，记作~G。
11
• 一个无向图G是连通的当且仅当w(G)=1。
19
图论
思考
• 结点的连通性是结点集V上的一个等价关 系！
• 连通性所划分的等价类是什么？
20
图论
点割集
• 设无向图G〈V，E〉为连通图，若有点 集V1是V的真子集，使得图G在删除了V1 中所有结点后，所得的子图是不连通的， 而在删除了V1的任意真子集后，所得的 子图仍然是连通的，则称V1是G的一个点 割集；
图论
子图
• 设G=〈V，E〉是一个图，如果有另一个 图G‘=〈V’，E‘〉，使得V’是V的子集， E‘是E的子集，则称G‘是G的子图。
• 如果G的子图G‘包含G的所有结点，则称 该子图为G的生成子图。
12
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图论
差图
• 设G‘=〈V’，E‘〉是G=〈V，E〉的子图， 若给定另外一个子图G“=〈V”，E“〉使得 E“ =E- E‘ ，且V”中仅包含E“的边所关联 的结点，则称G“是图G与子图G‘的差图， 或称子图G‘相对于图G的补图，记作 G“ =G- G‘ 。显然，同时有G‘ =G- G“ 。
• 如果G中任意两个结点之间都连通，那么 称图G为连通图。
18
图论
无向图的连通分支
• 如果无向图G不连通，而G1是G的子图， 且G1是连通的，则称G1是G的一个连通 子图。
• 如果连通子图G1是最大的连通子图，即 增加任意一个G中的结点到G1，将使得 G1成为不连通，那么称G1是G的一个连 通分支。 G的连通分支的个数记为w(G)。
vn >,
∈V， 交替序
列v0e1v1e2…envn称为从v0连接到vn的路。
• v0是此路的起点，vn是此路的终点。
• 路中边的数目是此路的长度。
• 当起点与终点相等时，此路称为回路。
• 注意：对于简单图的情形，可以仅用结 点序列或边序列来表示路或回路。
15
图论
特殊的路与回路
迹：路中所有的边均不相同； 通路：路中所有的结点均不相同； 圈：回路中除起点与终点外的结点均不相
6
图论
邻接边
• 关联于同一结点的两条不同的边则称为 邻接边。
• 关联于同一结点的两条相同的边则称为 自回路或环。环既可以是有向的，也可以 是无向的。
7
图论
有向图的度
• 设〈vi, vj〉是有向图G=〈V，E〉中的任 意一条有向边， vi是该边的起始结点， vj是终止结点。
• 在有向图G=〈V，E〉中，以一结点为起 始结点的边的个数称为该结点的出度； 以一结点为终止结点的边的个数称为该 结点的入度。
• 注意： • 若G不连通，则k(G)=0； • 若G存在割点，则k(G)=1； • 规定完全图Kp的k(Kp)=p-1 （为什么？）。
• 一结点的出度和入度之和称为该结点的 度数，记作deg(v)。
8
图论
有向图度数的性质
• 在任何有向图中，所有结点的入度之和 等于所有结点的出度之和，并等于图中 边的个数。
• 孤立结点的入度和出度均为0 • 有向环的对应结点的入度和出度均增加1
9
图论
无向图的度
• 在无向图G=〈V，E〉中，与结点相关联 的边的个数称为该结点的度数，记作 deg(v)。
3
图论
图的抽象性及方向性
• 图的结点与连接都是一种抽象的表示，其位置 与长度没有意义。
• 如果边是两个结点之间的有序偶，则称该边是 有向边，记为〈vi, vj〉。包含有向边的图为有 向图。
• 如果边是两个结点之间的无序偶，则称该边为 无向边，记为（ vi, vj ）。包含无向边的图为无 向图。
• 注意：既有有向边又有无向边的图称为混合图。
4
图论
邻接点与特殊的图
• 在一个图中，若两个结点由一条边关联， 则称这两结点是邻接点。
• 不与其它任何结点相关联的结点称为孤 立结点。
• 仅由孤立结点组成的图称为零图。 • 仅由一个结点组成的图称为平凡图。 • 任意两个结点都相邻的图称为完全图。
5
图论
思考
• 有n个结点的无向完全图Kn有多少条边？ • 有向图的情形呢？