反比例函数的应用六种题型

反比例函数实际应用的六种题型

题型一：在面积中的应用 一：面积不变性（k 的几何意义）

如图，设点P （a ，b ）是反比例函数y=

x

k

上任意一点，作PA ⊥x 轴于A 点，PB ⊥y 轴于B 点，则矩形PBOA 的面积是k （三角形PAO

和三角形PBO 的面积都是

k 2

1

；面积是正数，所以k 要加绝对值） S 矩形PBOA =k ； S 三角形PAO =S 三角形PBO =k 21

注意： （1）面积与P 的位置无关，即(0)k

y k x

=≠的面积不变性

（2）当k 符号不确定的情况下须分类讨论

S △ABC =︱K ︱； S ABCD =2︱K ︱

二、曲直结合（一次函数与反比例函数）

典型例题

例1 如图,点P 是反比例函数x

y 2

=图象上的一点,PD ⊥x 轴于D.则△POD 的面积为 .

例2 如图，已知，A,B 是双曲线)0(>=k x

k y 上的两点，

（1）若A(2,3)，求K 的值；

（2）在(1)的条件下，若点B 的横坐标为3，连接OA,OB,AB ，求△OAB 的面积。 （3）若A,B 两点的横坐标分别为a,2a ，线段AB 的延长线交X 轴于点C ，若6=∆AOC S ，求K 的值

变式1 在双曲线)0(>=x x

k y 上任一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴y 轴围成矩形面积

为12，求函数解析式__________。

变式2 如图，在反比例函数2

y x

=

(0x >)的图象上，有点1P ，2P ，3P ，4P 它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，求123S S S ++．

S 3

S 2

S 1

1 2 3 4

y=

2x

P 4

P 3

P 2x

y

O P 1

变式3 如图，点P，Q是反比例函数y= 图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点

B，连接PB、QM，△ABP的面积记为S1，△QMN的面积

记为S2，则S1________S2．（填“＞”或“＜”或“=”）

变式4 已知A B C D E

，，，，是反比例函数

16

y

x

=()0

x>图象

上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形，则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）

变式5 如图正方形OABC的面积为4，点O为坐标原点，点B在函数

k

y

x

=(0,0)

k x

<<

的图象上，点P(m，n)是函数

k

y

x

=(0,0)

k x

<<的图象上异于B的任意一点，过

点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．

(1)设矩形OEPF的面积为S l，判断S l与点P的位置是否有关(不必说理由)．

(2)从矩形OEPF的面积中减去其与正方形OABC重合的面积，剩余面积记为S2，写出S2与m的函数关系，并标明m的取值范围．（8分）

总结：一个性质：反比例函数的面积不变性

A

B C

O

y

x

y=

16

x

E

D

C

B

A

y

x O

两种思想：分类讨论和数形结合

题型二：在工程与速度中的应用

一、工程问题

工作总量＝工作效率×工作时间；

合做的效率＝各单独做的效率的和。

当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”

各部分工作量之和=总工作量=1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系。

二、行程问题

路程=速度×时间。

典型例题

例3 码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物,把轮船装载完毕恰好用了8天时间.

(1)这批货物的总量是多少吨？

（2）轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度v(单位:吨/天)与卸货时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系?

（3）若工人以每天40吨的速度卸货，需要几天卸完？

(4)由于遇到紧急情况,船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕,那么平均每天至少要

卸多少吨货物?

（5）若工人每天卸货在40—48吨之间，那么卸货时间范围是多少？

变式6 一辆汽车往返于甲,乙两地之间,如果汽车以50千米/小时的平均速度从甲地出发,则经过6小时可以到达乙地.

(1)甲乙两地相距多少千米?

(2)如果汽车把速度提高到v千米/小时,那么从甲地到乙地所用时间t(小时)将怎样变

化?

(3)写出t与v之间的函数关系.

(4)因某种原因,这辆汽车需在5小时内从甲地到达乙地,则此时的汽车的平均速度至

少应是多少?

(5)汽车按每小时60千米的速度行驶2小时时，司机接到通知必须在之后2小时之

内到达目的地。之后每小时至少加速多少，才能准时到达？

题型三：反比例函数在电学中的运用

在物理学中，有很多量之间的变化是反比例函数的关系，因此，我们可以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，这也称为跨学科应用。

例4 在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R＝5欧姆时，电流I＝2安培．

(1)求I与R之间的函数关系式；

(2)当电流I＝0.5时，求电阻R的值．

点评：反比例函数与现实生活联系非常紧密，特别是为讨论物理中的一些量之间的关系打下了良好的基础。用数学模型的解释物理量之间的关系浅显易懂，同时不仅要注意跨学科间的