2019届四省八校双教研联盟高考高三联考试题数学文科试题(解析版)

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四省八校双教研联盟高考联考试卷
文 科 数 学
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给的四个选项中， 只 有一项符合）
1、集合21A x
x
⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
， B {
}
220x x x =+-，则U A C B =（ ）
A 、(0, 2)
B 、(0, 1]
C 、(0, 1)
D 、[0, 2]
2、已知（2 + i ）y = x + yi ，x , y ∈ R ，则x
i y
+=（ ） A
B
C 、2 D
3、在公差不为 0 的等差数列{a n }中满足 4a 3 + a 11 - 3a 5 = 10 ，则1
5
a 4 = （ ） A 、 - 1 B 、0 C 、1 D 、2
4、如图（1）为某省 2016 年快递业务量统计表，图（2）某省 2016 年快递业务收入 统计表，对统计图下列理解错误的是（ ）
A 、2016 年 1~4 月业务量最高 3 月最低 2 月，差值接近 2000 万件
B 、2016 年 1~4 月业务量同比增长率均超过 50％，在 3 月最高，和春节蛰伏后网购迎 来喷涨有关
C 、从两图中看，增量与增长速度并不完全一致，但业务量与业务的收入变化高度一 致
D 、从 1~4 月来看，业务量与业务收入量有波动，但整体保持高速增长 5、某班 10 个学生身高如图。

则学生平均身高 x （单位：cm ）（ ） A 、162 B 、162.5 C 、163 D 、163.5
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6、m ，n 是两不同直线，α是平面， n ⊥ α，则 m //α是 m ⊥n 的（ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充分必要条件
D 、既不充分有不必要条件 7、某几何体三视图如右则该几何体体积为（ ） A 、
13 B 、23 C 、1 D 、4
3
8、如图为程序框图，则输出结果为（ ）
A 、105
B 、315
C 、35
D 、5
9、设 x ，y 满足240
20330
x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩，则
z =21y x +的范围（ ）
A 、19[,]27
B 、118
[,]27
C 、16[1,]5 D. 8[1,]5
10、已知在 Rt △ABC 中，A =
2
π
，AB =3，AC =4，P 为 BC 上
任意一点(含 B ，C )，以 P 为圆心，1 为半径作圆，Q 为圆上 任意一点，设AQ x =AB yAC +，则 x +y 的最大值为 （ ） A 、
1312
B 、1512
C 、17
12
D 、
19
12
11、已知F 1 ，F 2 是 双 曲 线 E 的 左 右 焦 点 ， 点 P 在 E 上 ， ∠ F 1 PF 2 =
3
π
且
2121()0F F F P F P +⋅=则 E 的离心率 e=（
）
A
1 B
1
C
D
12、 f ( x ) =(21)1
x e a x x
---有唯一零点，则 m =（ ） A 、1(,)2e -+∞ B 、211(,]24e e -- C 、211(,)24e e -- D 、21
(,)4
e --∞
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、若a =(1，- 1) ，a - 2b =
(k -1, 2k + 2) 且a ⊥ b ，则 k =
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14、若 f (x )=2 s in (wx +ϕ)- 3, (w ＞0) 对 ∀x ∈ R 都有()()63
f x f x π
π
+
=-成立，则
()4
f π
=
15、f (x ) =sin 2(13tan )12sin 2()24
x
x x π+--的最小正周期为 16、三棱锥 P -ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且 AB = 1，BC =2 ，V P - ABC = 2 ，
则 其外接球体积
V 球=
三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17~21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．）
17、（ 12 分 ） △ ABC 中 角 A 、 B 、 C 所 对 应 的 边 记 为 a 、 b 、 c ，
M =(cos B , 2a - b ) , N =(cos C ，c ) 且 M // N ，
(1) 求角 C 大小；
(2) 若 c =1，当△ABC
面积取得最大值时求△ABC 内切圆半径
18、（12 分）18、（12 分）如图，平面 PAD ⊥平面 ABCD ，∠ABC =∠BCD = 90°
PA = PD =AD=AB =2CD =2，H 为 PB 中点， (1) 求证：CH // 平面 PAD ； (2) 求点 C 到平面 PAB 距离.
19、（12 分）越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症， 经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表
其中
(1) 作出散点图；
(2) 根据上表数据用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y = b ˆx + a ˆ (精确到 0.01)；
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(3) 根据经验观测值为正常值的 0.85~1.06 为正常，若 1.06~1.12 为轻度焦虑，1.12~1.20 为中度焦虑，1.20 及以上为重度焦虑。

若为中度焦虑及以上，则要进行心理疏导。

若 一个学生在距高考第二周时观测值为 103，则该学生是否需要进行心理疏导？
20、（12 分）已知定点 R (1，0)，圆 S ： x 2+y 2
+2x -15=0 ，过 R 点的直线 L 1 交圆于
M ，N 两点,过 R 点作直线 L 2∥SN 交 SM 于 Q 点. (1) 求 Q 点的轨迹方程；
(2) 若 A ，B 为 Q 的轨迹与
x 轴的左右交点，P (x 0，y 0)（ y 0 ≠ 0 ）为该轨迹上任一动 点，设直线 AP ，BP 分别交直线 l ：x = 6 于点 M ，N ，判断以 MN 为直径的圆是否过 定点。

如圆过定点，则求出该定点;如不是，说明理由.
21、（12 分）已知函数 f (x )= (a-1)x +
a
x
+ ln x ( a >0) (1) 讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2) ()()g x f x m =-，当 a =2 时，()g x 在1[,]e e -上有两个零点，求m 范围。

选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 22、[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xoy 中，曲线 C 1 的参数方程为2324x t
y t =-+⎧⎨=-+⎩
（t 为参数）。

以坐标原点 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ=4 cos θ .
(1) 求 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程;
(2) 若 C 1，C 2 交于 A ，B 两点，P
点极坐标为3)4π-，求1PA 1PB
+的值.
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23、[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知()=f x 212x x --+, g (x )=1x a x a --++ (1) 解不等式 f (x )＞4;
(2) 若对 ∀x 1 ∈ R ， ∃x 2 ∈ R ，使得 f (x 2 ) = g (x 1 ).求实数 a 的范围.
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四省八校2019届高三第一次联考卷·数 学（文）
参考答案
一、选择题
1.
考点
几何基本运算。

由
12
>x
得
20<x<，由022>-+x x 得1x>或2-x<，所以{}12|≤≤x -x B=C R ，故选B 。

2.考点：复数的基本运算，复数的模，复数相等等概念的认识，由()y=x+yi
z+i 得⎩⎨⎧==y
y x y 2所以52=+=+i i y x 故选D 。

3.考点：等差数列性质及化归思想应用。

由10345113=a +a a -得
10323573=a a +a -得1034553=a a +a -得1053=+a a 得54=a ，故选C 。

4.考点：对图表数据的认识，选D 。

显然对业务收入量2月对1月减少。

4月对
3月减少整体不具备高速增加之说。

5.考点：考点，统计初步知识，解析：由平均数定义计算得163.5，故选D
6.考点：简易逻辑，对充分性、必要性的理解，显然选A ，当m ⊥n 时n 在平面
α可得平面α外。

7.考点：简单几何体和三视图。

根据三视图画出直观图为 (放在长方体中更直观) 三棱锥D -ABC 为所求几何体， 则3
2
2212131=⋅⋅⋅⋅=
D-ABC V ，故选B
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8. 考点：程序框图，n =2时， n =4，5114=+S=⨯，
n =6,35=5+65=S ⨯，
n =8,315=35+835=S ⨯,故选B
9.考点：简单线性规划。

做出可行域()101---=
+x y x y
指可行域内动点()y x ,与定点()0,1-
直线的斜率由⎩⎨⎧=--=-+033042y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==
565
7y x 计算得1=z ，
由⎩⎨⎧=--=-+02042y x y x 得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=
=
383
2y x 计算得516=z ，故选C
10.平面向量基本定理应用，向量坐标量应用等和线定理应用。

过圆上离BC 最远点作切线与BC 平行。

如图，过A 作AK ⊥BC 交MN 于K ，交BC 于Q ，则5
12
=
AQ 。

y x +∴的最大值为12175
121
512=+=AQ AK ，故选C 。

11.考点，圆锥曲线中的离心率问题，解析：由()
=⋅+F F F 12120，得
P F F F 221=
C 32=，所以
21
31
312322+=
-=-==
a c e ，故选D 。

12.考点，函数的基本性质
.
y
x
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解析：令，即
若时，，不合题意 当时，得 令，，则过定点
依据题意显然只有符合题意，()()()()⎩⎨
⎧≥<∴2211m h m h ，得⎩⎨⎧+≥+<∴14122a e a e ，故选B 。

二、填空题
13.解析：
又
14.解析：若对都有
成立，则
15.解析：因为
()()
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+⎪⎭⎫
⎝⎛---⋅=
+⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=
x x x x x x x x
x f cos sin 312
2cos 12
1cos sin 2tan 3142sin 212sin 2ππ()
⎪⎭⎫
⎝
⎛+=+=+⋅
=6sin 4sin 3cos 2cos sin 3cos cos 2 πx x x x x x x ，
π2=∴T 。

16.解析：解析：由PA ,PB ,PC 两两垂直得三棱锥P-ABC 的外接球即是由PA ,PB ,PC 为
邻近构成的长方体的外接球由得，则该长方体对角线为,。

1)(<x f 11
)12(<---x
x a e x 0<x 12+>ax e x 0>x 12+<ax e x x
e x h =)(12)(+=ax x m )(x m )1,0(1=x 41
212-≤
<-∴e a e 3221)2(--=---=-⋅k k k 222)2(2
2
==-=-⋅23=--∴k 5-=∴k )0(3)sin(2)(>-+=ωϕωx x f R x ∈)3
()6(x f x f -=+π
π15)4(--=或π
f AP AC AB V ABC
P ⋅⋅⋅=-2
1
313=AP 14214=
∴R ππ3
14
7)214(343=⋅=EF
V
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三、解答题.
17. 解析：解析（1）由//得()C b a B=c cos 2cos ⋅-⋅， 得C B C A B C cos sin cos sin 2cos sin ⋅-⋅=⋅， 得()3
21cos ,cos sin sin πC=
C= C A =B+C ∴∴⋅. （2）由余弦定理得：C ab b a c cos 2222-+=，得ab b a -+=2
21，∴1≤ab 。

当b a =时，C=
ab =S ABC sin 21∆4
3
43≤
ab 。

此时△ABC 为等边三角形，又()内21
r c b a =
S ABC ++∆，∴内2343r =，6
3内=r 。

18 解析：（1）取PA 中心点E ，连结HE ,DE 则EH //
21AB 又CD //2
1
AB ∴EH //CD ，∴CH //DF ，∴CH //平面PAD ；
(2)取AD 中点F ，连结PF ,FB ，则∠PFB =
2
π
，PF =3，AF =3。

∴PB =6 ∴2
10
=
∆PAB S ，又ABC C PAB C V V --=， 333121031⋅⋅=⋅⋅∴h ，510
3106=
=∴h 。

19. 解析：（1）
F
E
第 10 页 共 4 20. ；
（2）， 所求回归方程为；
（3）
20.解析:（1）SN RQ SN SM //,= ，QM RQ =∴，24>==+∴SM QR QS
点的轨迹方程为 。

（2）由题可知()()0 ,2 ,0 ,2B A -，设()00 ,y x P ，
200+=
∴x y k AP ，则直线AM l 的方程为：()22
00
++=
x x y y ， 令6=x ，则2800
+=
x y y ，⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=∴28 ,600x y M . 200-=
x y k BP ，则直线BP l 的方程为：()22
00
--=
x x y y ， 令6=x ，则2400
-=
x y y ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=∴24 ,600x y N . 所以中点坐标)4
)
23(2,
6(2
000--x x y ，此时圆方程83.85
.369175.26761452ˆ2
-=⋅-⋅-=b 4.104ˆ=a ∴4.10483.8+-=x y 42.144.190
103
>=Q ∴13
42
2=+
y x
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()22000220002]4
)6(2[]4)23(2[6--=---+-x x y x x y y x 。

令0=y 得：24)6(2=-x ，解得：626±=x ，故过定点），0626(±。

21.解析：（1）()()()[]()2
22211111 x x a x a = x a x x a =x x a =a x 'f -+--+-+-- ①当1=a 时()21 x
x =x 'f - ∴()x f 在()+∞,1单调递增，在()1 ,0单调递减。

②当1>a 时，1>x 或01
<--
<a a x ，()x f 在()1 ,0单调递减，在()+∞,1单调递增。

③当1<a 时， )i 210<<a 时，()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,1a a 单调递增()0>a ，在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 1,0及()+∞,1单调递减； )ii 21=
a 时 ()x f 在()+∞,0单调递减； )iii 121<<a 时 ()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 1,1上单调递增，在()1 ,0和⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞-,1a a 上单调递减。

（2）当2=a 时，()x f 在[]
1,1-e 上单调递减在[]e ,1上单调递增。

()()31min ==f x f ，()1211---e +=e e f ， ()12+e =e+
e f ， ()()e f e f ->1， ∴⎥⎦⎤
⎝
⎛∈123+e ,e+m 选做题：
选22.解析：
（1）1C 的普通方程为：0234=y+x -； 2C 的直角坐标方程x ：()4222=+y x -
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（2）1C 化为标准参数方程：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--t +y=t +x=542532， P 的直角坐标为()22--,，
将1C 标参代入2C 得0882=t+t -，8,82121=t t =+t t ⋅，
1112
121=⋅=⋅+t t +t t |PB||PA||PA|+|PB|=|PB||PA|
选23.解析：
（1）4212>--x+x 用零值点法可得：5
3-<x 或7>x ②因为()()1221,x =g x f R x R x ∴∈∈∀ 则()x g 的值域是()x f 值域的子集 又由()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤<----≤+--2
1 321
2 132 3212x ＞,x x ,x x ,x |=|x+ |x-=| x f 得值域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+∞-,25，() |a |x a|=|x x g 1++--，值域为[]|a |, |a |1212++- 所以2512,25
12≤+∴-≥+-a a ，4
31247,251225≤+≤-≤+≤-a a 。

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