泛函分析第七章答案
泛函分析复习及练习思考题 (ch7)
（2 ）
则内积(2)适合定义中的条件，这样 R n 就也成为一个内积空间. 对同一个线性空间可以引入不同的内积, 使得它作成内积空间.
7
例 3 令 l 2 是一切平方和收敛的实（复）数列
x
(x1 , x 2 , , x n ,), ∑ | x n |2 < +∞
n =1
∞
所成的集合,定义
( x, y ) = ∑ x n η n
x0 称为 x 在 M 中的正交投影。
13
练习思考题 1 分别指出下列赋范线性空间 X 中的通常 意义下的范数为
C [a, b] ：
； ； ； ； ； 。
lp ：
l¥ ：
Lp [a, b] ：
L¥ [a, b] ：
序列空间 S ： 并指出这些空间 （1）是否是完备的线性赋范空间？ （2）是否是可分的线性赋范空间？
2
一 线性赋范空间和巴拿赫空间 1．线性赋范空间和巴拿赫空间 定义 1.2 设 X 是实(或复)的线性空间，
2
若对每个 x ∈ X ，有一个确定的实数，记之 为 x ，与之对应，并且满足：
10
20
x ≥ 0 ，并且 x = 0 ⇔ x = 0 ;
α x =| α ||| x || ，其中 α 为任意实(或
10
若 M 中每个元素的范数都是 1，对所有 x, y ∈ M 有
0, ( x, y ) = 1, x≠ y x= y
（1） 则称 M 为标准正交系。 （2） 设 X 为一内积空间， {en } 是 X 的标准 0, i ∈ N , 正交系 , 若对 ∀x ∈ X ，由 ( x, e= i) 得出 x = 0 , 称 {en } 是 X 的完全标准正交 系. （3） 设 X 为一内积空间， {en } 是 X 的标准 正交系,若对 ∀x ∈ X ，称
实变函数与泛函分析基础第三版答案
第七章习题解答1、设(,)X d 为一度量空间，令00(,){|,(,)}U x x x X d x x εε=∈< 00(,){|,(,)}S x x x X d x x εε=∈≤，问0(,)U x ε的闭包是否等于0(,)S x ε。
解答：在一般度量空间中不成立00(,)(,)U x S x εε=，例如：取1R 的度量子空间[0,1][2,3]X =，则X 中的开球(1,1){;(1,)1}U x X d x =∈<的的闭包是[0,1]，而(1,1){;(1,)1}[0,1]{2}S x X d x =∈≤=2、设[,]C a b ∞是区间[,]a b 上无限次可微函数全体，定义()()()()01|()()|(,)max 21|()()|r r r r r r a t bf tg t d f g f t g t ∞=≤≤-=+-∑，证明：[,]C a b ∞按(,)d f g 构成度量空间。
证明：（1）显然(,)0d f g ≥且(,)0d f g =⇔()()()()1|()()|,max021|()()|r r r r r a t bf tg t r f t g t ≤≤-∀=+-⇒,[,]r t a b ∀∀∈有()()|()()|0r r f t g t -=，特别当0,[,]r t a b =∀∈时有|()()|0f t g t -=⇒[,]t a b ∀∈有 ()()f t g t =。
（2）由函数()1t f t t=+在[0,)+∞上单调增加，从而对,,[,]f g h C a b ∞∀∈有 ()()()()0()()()()()()()()0()()01|()()|(,)max 21|()()|1|()()()()|=max21|()()()()|1|()()| max2r r r r r r a t br r r r r r r r r a t b r r r r a t b r f t g t d f g f t g t f t h t h t g t f t h t h t g t f t h t ∞=≤≤∞≤≤=∞≤≤=-=+--+-+-+--+≤∑∑∑()()()()()()()()()()()()0()()()()0|()()|1|()()||()()|1|()()|=max21|()()||()()|1|()()|max21|()()|r r r r r r r r r r r r r a t b r r r r r r a t b r h t g t f t h t h t g t f t h t f t h t h t g t h t g t f t h t ∞≤≤=∞≤≤=-+-+--+-+--++-+∑∑()()()()()()()()()()00|()()|1|()()|1|()()|max max 21|()()|21|()()| (,)(,)r r r r r r r r r r r r a t b a t b r r h t g t f t h t h t g t f t h t h t g t d f h d h g ∞∞≤≤≤≤==---≤++-+-=+∑∑即三角不等式成立(,)(,)(,)d f g d f h d h g ≤+。
泛函分析第七章 习题解答
第七章 习题解答1．设（X ，d ）为一度量空间，令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？解 不一定。
例如离散空间（X ，d ）。
)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。
因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。
2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。
证明 （1）若),(g f d =0，则)()(1)()(max)()()()(t g t ft g t f r r r r bt a -+-≤≤=0，即f=g（2）)()(1)()(max 21),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞=∑=d （f ，g ）+d （g ，h ）因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。
3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =⋂∞=1。
证明 令n n n o n nB x d Bo o .2,1},1),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使n x x d 1),(10<。
设,0),(110>-=x x d n δ则易验证n o x U ⊂),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ⊃⋂∞=1。
若n n o x ∞=⋂∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1),(1<，因此)(∞−→−−→−n x x n 。
因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =⋂∞=1。
4. 设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明),(1),(),(___y x d y x d y x d +=是X 上的距离。
《泛函分析》习题解答(不完全版)
( x1 , y) ( x1 , x2 ) ( x2 , y) , ( x2 , y ) (x2 , x1 ) (x1 , y ).
对两端关于 y A 取下确界, 可以得到 . inf ( x1 , y) ( x1 , x2 ) inf ( x2 , y) , inf (x2 , y ) (x2 , x1 ) inf (x1 ,y )
1 1
f ( x) L1 ([a, b]) , 需要证明: 对于任意的 0 , 存在 g ( x) C[a, b] , 使得
( f , g)
[ a ,b ]
| f ( x ) g ( x) | dx .
事实上, 首先根据积分的绝对连续性, 存在 0 , 使得当 E [a, b] , 只要 mE , 就有
x n , 0 x 1, f n ( x ) : 1, 1 x 2.
则 { f n ( x )} C ([0,2]) 在本题所定义的距离的意义下是 Cauchy 列, 因为
( f n , f m ) | f n ( x) f m ( x) | dx
因此, 根据 Lebesgue 有界收敛定理, 可以得到
( f n , g ) | f n ( x ) g ( x ) | dx
0
1
| x n 0 | dx x n dx
0 0
1
1
1 0. n 1
但 g ( x) C ([0,2]) . (2) C ([a, b]) 的完备化空间是 L ([a, b]) . 因为 (i) 在距离 的意义下, C ([a, b]) 是 L ([a, b]) 的稠密子集. 事实上, 任意取定一个
《实变函数论与泛函分析(曹广福)》1到5章课后习题答案
第一章习题参考解答3.等式(A -B) ⋃C =A - (B -C) 成立的的充要条件是什么？解： 若(A -B) ⋃C =A - (B -C)，则 C ⊂ (A -B) ⋃C =A - (B -C) ⊂A .即， C ⊂A .反过来, 假设C ⊂A , 因为B -C ⊂B . 所以,A -B ⊂A - (B -C) . 故,( A -B) ⋃C ⊂A - (B -C) .最后证， A - (B -C) ⊂ (A -B) ⋃C事实上，∀x ∈A - (B -C) , 则x ∈A 且x ∉B -C 。
若x ∈C，则x ∈(A -B) ⋃C ；若x ∉C，则 x ∉B ，故 x ∈A -B ⊂ (A -B) ⋃C. 从而, A - (B -C) ⊂ (A -B) ⋃C.C ⊂ (A -B) ⋃C =A - (B -C) ⊂A -∅=A . 即 C ⊂A .反过来，若C ⊂A ，则因为B -C ⊂B 所以A -B ⊂A - (B -C) 又因为C ⊂A ，所以C ⊂A - (B -C) 故 (A -B) ⋃C ⊂A - (B -C)另一方面，∀x ∈A - (B -C) ⇒x ∈A 且x ∉B -C ，如果x ∈C则x ∈(A -B) C ；如果x ∉C, 因为x ∉B -C ，所以x ∉B 故x ∈A -B . 则x ∈(A -B) ⋃C . 从而A - (B -C) ⊂ (A -B) ⋃C于是， (A -B) ⋃C =A - (B -C)⎧1,x ∈A4.对于集合A，定义A 的特征函数为χA (x) =⎨，假设A1 , A2 , , A n 是⎩0, x ∉A一集列，证明：（i）χliminf A(x) = lim inf χA (x)n n n n（ii）χ(x) = lim sup χA (x)limsup An n n n证明：（i）∀x∈lim inf A n =⋃(⋂A n )，∃n0 ∈N，∀m ≥n0 时，x ∈A m .n n∈N m≥n所以 χA (x) = 1，所以 inf χA(x) = 1故lim inf χA (x) = supinf χA(x) = 1 m m≥nm n n b∈N m≥n m= i i1 1 ，使 m n n m nn n =1 1 1∀x ∉ lim inf A n ⇒ ∀n ∈ N ，有 x ∉ ⋂ A n ⇒ ∃k n ≥ nnm ≥n有 x ∉ A k ⇒ χ A = 0 ⇒ inf χ A (x ) = 0 ，故 s u p n f i χ A (x ) = 0，即 limn f iχ A (x ) =0 ，mk nm ≥n mb ∈N m ≥nmn n从而 χliminf A (x ) = lim inf χ A(x )nnnni -1 5. 设{A n } 为集列， B 1 = A 1 ， B i = A i - ⋃ A j (i > 1) 证明j 1（i ） {B n } 互相正交n n（ii ） ∀n ∈ N , A i = B ii =1i =1n -1 证明：（i ）∀n , m ∈ N , n ≠ m ；不妨设n>m ，因为 B n = A n - A i ⊂ A n - A m ，又因 i =1为 B ⊂ A ，所以 B ⊂ A - A ⊂ A - B ， 故 B B = ∅ ，从而 {B }∞相互正交.n nnn（ii ）因为 ∀i (1 ≤ i ≤ n )，有 B i ⊂ A i ，所以⋃ B i ⊂ ⋃ A i ，现在来证： ⋃ A i ⊂ ⋃ B i当n=1 时， A 1 = B 1 ； i =1i =1i =1i =1nn当 n ≥ 1时，有： A i = B ii =1i =1n +1 n n +1 n n n 则 A i = ( A i ) A n +1 = ( A i ) ( A n +1 - A i ) = ( B i ) (B n +1 - B i )i =1i =1i =1i =1i =1i =1n事实上， ∀x ∈ ⋃ A ，则∃i (1 ≤ i ≤ n ) 使得 x ∈ A ，令i = min i | x ∈ A 且1 ≤ i ≤ ni =1i 0 -1 n i 0 -1 n n则 x ∈ A i 0 - A i = B i 0 ⊂ B i ，其中，当 i 0 = 1 时， A i = ∅ ，从而， A i = B ii =1i =1i =1i =1i =16. 设 f (x ) 是定义于E 上的实函数，a 为常数，证明：∞（i ） E {x | f (x ) > a }= { f (x ) ≥ a + }n =1 n(ii) ∞E {x | f (x ) ≥ a }= { f (x ) > a - }n =1 n证明：（i ） ∀x ∈ E {x | f (x ) > a } ⇒ x ∈ E 且 f (x ) > a⇒ ∃n ∈ N ,使得f (x ) ≥ a + 1 > a 且x ∈ E ⇒ x ∈ E {x | f (x ) ≥ a + 1}⇒ x ∈ n ∞ E {x | f (x ) ≥ a + }⇒ E {x | f (x ) > a } ⊂ n∞E {x | f (x ) ≥ a + } n =1 n n =1 n反过来，∀x ∈ ∞E {x {x | f (x ) ≥ a + 1},∃n ∈ N x ∈ E {x | f (x ) ≥ a + 1} n =1 n nm n m m= n 0 1 1即 f (x ) ≥ a + 1 n∞> a 且x ∈ E 1故 x ∈ E {x | f (x ) > a }所 以 ⋃ E {x | f (x ) ≥ a + n =1 } ⊂ E {x | f (x ) > a } 故nE {x | f (x ) > a } ∞ E {x | f (x ) ≥ a + 1}n =1 n7. 设{ f n (x )} 是E 上的实函数列，具有极限 f (x ) ，证明对任意常数 a 都有：E {x | f (x ) ≤ a } = ∞lim inf E {x | f(x ) ≤ a + 1} = ∞lim inf E {x | f (x ) < a + 1} k =1 n n k k =1 n n k证明： ∀x ∈ E {x | f (x ) ≤ a },∀k ∈ N ，即 f (x ) ≤ a ≤ a + 1，且 x ∈ Ek因为 lim f n →∞(x ) = f (x )，∃n ∈ N ，使∀m ≥ n ，有 f n(x ) ≤ a + 1 ，故 kx ∈ E {x | f m (x ) ≤ a + 1}(∀m ≥ n ) k 所以x ∈ E {x | f m m ≥n (x ) ≤ a + 1} kx ∈ E {x | f (x ) ≤ a + 1}= lim inf E {x | f (x ) ≤ a + 1}，由 k 的任意性：n ∈N m ≥n m k n mk∞ ∞ x ∈ lim inf E {x | f n (x ) ≤ a + }，反过来，对于∀x ∈ lim inf E {x | f n (x ) ≤ a + }，k =1 n k k =1 n k ∀k ∈ N ，有 x ∈ lim inf E {x | f (x ) ≤ a + 1} =E {x | f (x ) ≤ a + 1} ， 即n m k n ∈N m ≥n m k∃n ∈ N ，∀m ≥ n 时，有： f (x ) ≤ a + 1 且 x ∈ E ，所以， lim f (x ) ≤ f (x ) ≤ a + 1且 m k m mkx ∈ E . 又令k → ∞ ，故 f (x ) ≤ a 且x ∈ E 从而 x ∈ E {x | f (x ) ≤ a }∞ 1故 E {x | f (x ) ≤ a }= lim inf E {x | f n (x ) ≤ a + }k =1 n k8.设{ f n (x )} 是区间（a ，b ）上的单调递增的序列，即f 1 (x ) ≤ f 2 (x ) ≤ ≤ f n (x ) ≤∞若 f n (x ) 有极限函数 f (x ) ，证明： ∀a ∈ R ， E { f (x ) > a } = ⋃ E { f n (x ) > a }n 1证明： ∀x ∈ E { f (x ) > a }，即： x ∈ E 且 f (x ) > a ，因为lim f (x ) = n →∞f (x )所以∃n 0 ∈ N ,∀n ≥ n 0 ，恒有： f n (x ) > a 且x ∈ E ，从而， x ∈ E { f n(x ) > a }∞⊂ E { f n (x ) > a }n =1nn n k1 2 3 n n∞反过来， ∀x ∈ E { f n (x ) > a },∃n 0 ∈ N ，使 x ∈ E { f n (x ) > a }，故∀n ≥n 0 ，因此，n =1lim f (x ) = n →∞f (x ) ≥ f (x ) > a 且 x ∈ E ,即， x ∈ E { f (x ) > a }，∞从而， E { f (x ) > a } = E { f n (x ) > a }n =110．证明： R 3 中坐标为有理数的点是不可数的。
泛函分析习题
第七章 度量空间和赋范线性空间复习题：1。
设(,)X d 为一度量空间，令0000(,){|,(,)},(,){|,(,)},U x x x X d x x S x x x X d x x εεεε=∈<=∈≤问0(,)U x ε的闭包是否等于0(,)S x ε?2.设[,]C a b ∞是区间[,]a b 上无限次可微函数的全体，定义()()()()01|()()|(,)max.21|()()|r r r r r a t b r f t g t d f g f t g t ∞≤≤=-=+-∑ 证明[,]C a b ∞按(,)d f g 成度量空间.3。
设B 是度量空间X 中闭集,证明必有一列开集12,,,,n O O O 包含B ,而且1.n n O B ∞==4.设(,)d x y 为空间X 上的距离，证明(,)(,)1(,)d x y d x y d x y =+也是X 上的距离.5。
证明点列{}n f 按题2中距离收敛于[,]f C a b ∞∈的充要条件为n f 的各阶导数在[,]a b 上一致收敛于f的各阶导数.6.设[,]B a b ⊂,证明度量空间[,]C a b 中的集 {|t , (t)=0}fB f ∈当时为[,]C a b 中的闭集，而集 {||()|}(0)A ft B f t a a =∈<>当时,为开集的充要条件是B 为闭集。
7。
设E 及F 是度量空间中两个集，如果(,)0d E F >，证明必有不相交开集O 及G 分别包含E 及F 。
8.设[,]B a b 表示[,]a b 上实有界函数全体，对[,]B a b 中任意两元素,[,]f g B a b ∈，规定距离为(,)sup |()()|.a t bd f g f t g t ≤≤=-证明[,]B a b 不是可分区间.9.设X 是可分距离空间，f 为X 的一个开覆盖，即f 是一族开集，使得对每个x X∈，有f 中开集O ，使x O ∈，证明必可从f 中选出可数个集组成X 的一个覆盖. 10。
泛函分析课后习题答案
___ ___ ___
1 n
d ( x, y ) 1 d ( x, y )
t 在 [o, ) 上是单增函数， 1 t
___ d ( x, y ) d ( x, z ) d ( y , z ) d ( x, y ) 1 d ( x, y ) 1 d ( x, z ) d ( y , z )
1 n
x1 B ，使 d ( x0 , x1 )
1 1 。设 d ( x0 , x1 ) 0, 则易验证 U ( x0 , ) on ，这就 n n
证明了 on 是 开集 显然 n on B 。若 x on 则对每一个 n，有 xn B 使 d ( x , x1 ) ，因 1 n 1 此 xn x(n ) 。因 B 是闭集，必有 x B ，所以 on B 。证毕 n 1 4 设 d（x，y）为空间 X 上的距离，证明 d ( x, y ) 是 X 上的距离 证明 （1）若 d ( x, y ) 0 则 d ( x, y ) 0 ，必有 x=y （2）因 d ( x, y ) d ( x, z ) d ( y, z ) 而 于是 d ( x, y ) =
___
因此 f o (t ) A 由于 A 是开集，必有 0 ，当 f C[a，b]且 d ( f , f 0 ) 时， f A 定义，n=1，2。 。 。 。 。则 d ( f n , f 0 ) | t n t0 | 0(n ) 因此当 | t n t0 | 时， f n A 。 但是 f n (t n ) a | t t0 | | t n t0 | a ，此与 f n A 的必要条件：对 任意
t B ，有 f n (t ) a 矛盾
泛函分析习题及参考答案
En
∫x
n
− x dt +
p
Fn
∫x
n
− x dt 。此时，
p
1 1 ⎡ ⎤ p p p p p p x x dt ( x dt ) ( x dt ) − ≤ + ⎢ ⎥ ， ∫ x n − x dt < (b − a ) ⋅ ε 。 n n ∫ ∫ ∫ ⎢ En ⎥ Fn En En ⎣ ⎦
泛函分析习题及参考答案
一、在 R 中定义如下三种距离： x = ( x1 , x2 ), y = ( y1 , y2 ) ∈ R ，
2
2
d1 ( x, y ) = ( x1 − y1 ) 2 + ( x2 − y2 ) 2 ， d 2 ( x, y ) = max{ x1 − y1 , x2 − y2 } ，
i =1
= ∑ ξi( n ) − ξi +
p i =1
K
i = K +1∑∞ξi( n ) − ξi
p
≤∑ξ
i =1
K
(n) i
− ξi
p
∞ p 1 ⎛ ∞ p 1 ⎞ + ⎜ ( ∑ ξi( n ) ) p + ( ∑ ξi ) p ⎟ < 2ε p 。 i = K +1 ⎝ i = K +1 ⎠
1
取 δ = min(δ 1 , δ 2 ) ，则 e ⊂ E ， me < δ 时，
∫
e
x n (t ) dt ) p < ε ，对每个自然数 n 成立。
p
即 {x n (t )} 在 [a, b] 上具有等度绝对连续的积分。 充分性证明，对任何 ε > 0 ，令 E n (ε ) = E ( x n − x ≥ ε ) ，则 mE n (ε ) → 0 。由此可知， 对任何 δ > 0 ，存在 N > 0 ，使得 n > N 时， mE n (ε ) < δ 。 令 Fn (ε ) = E ( x n − x < ε ) ，则 ρ ( x n , x ) =
北大出版社 泛函分析 习题答案
4.3 紧算子的谱理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.4 Hilbert-Schmidt 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
由习题 1.4.7, 存在 x0 ∈ X , 使 x0 ≤ 2 [x0] 0 ≤ 2M y0 .
若 y0 = 0, 由习题 1.4.7, 存在 xn ∈ [xn], xn ≤ 2 [xn] 0 ≤ 2M yn → 0.
在
若 y0 [zn] ∈
= 0, 由 yn X /N (A), 使
→ y0, 则存在 k, 当 n A˜[zn] = yn − y0. 由习题
4 紧算子与 Fredholm 算子
8
4.1 紧算子的定义和基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2 Riesz-Fredholm 理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
泛函分析部分课后习题答案
T : R n E ，对于 1 , 2 n R n ， 。
下证 T 为同构映射。 显 然 T 为 单 射 ， 容 易 证 T 也 为 满 射 。 事 实 上 ， 对 于 x E ， 令
n
ci x, ei R, i 1, 2, n ，必有 T c1 , c2 cn ci ei x 。
f x 为
n
Cauchy 列 ， 则 f n x , f n1 x 0 n ， 由
f ni x f ni1 x f n , f n 1 0 n 知 f ni x 也为 Cauchy 列。由 Cauchy
由于时间和能力有限，只完成了部分习题，仅供参考，有错误的请指出，大家共同进步！——陈建军
习题 1 1、解： C a,b 按 是非完备的。
n1
令函数列 Pn x
i 0
b
xi ，显然 Pn C a,b ，且有 2i
b
Pn , Pn1 Pn1 Pn dx
T x1 , x2 , xn 0, x1 , x2 , xn 1 , S x1 , x2 , xn 0, x2 , xn 。易证 T，S 为线性算
子。取点 1,0, 0 R n ，显然有 TS 1, 0, 0 T 0,0, 0 0, 0, 0 ，
n k 1
fi x f ek ，显然 f X 且 fi i 1 为 X 的基。令 T : X X ，使得
f f e1 , f e2 , f en ，易证 T 为双射。命题得证。
泛函分析答案(完整版)
1.}{ .1的极限是唯一的中的收敛列证明距离空间n x X *.** 0*)**,( )( 0*)*,(*),(*)**,(0)( *** x x x x n x x x x x x n x x x x n n n n ==∞→→+≤≤∞→→→，即所以，则，设ρρρρ第七章距离空间、赋范线性空间2.* }{* }{ .2x x X x x X n n 的任一子列收敛于收敛于中的序列试证距离空间⇔∈.* 0*),( 0*),(}{}{)( *x x x x x x x x n x x kkk n n n n n n →→→∞→→，所以，故的任一子列，依条件，是，设ρρ.*}{.*}{*),( }{}{*),(0*}{*}{000x x x x x x x x x x N n N x x x x n n n n n n n n k k k收敛于此与假设矛盾，故不收敛于显然使的一个子列，于是可选取，使，都存在，使对任意的自然数则必存在，不收敛于，如果的任一子列收敛于反之，设ερερε≥≥>>3),(),(|),(),(| )ii (),(|),(),(| )i ( .3w z y x w y z x y x z y z x X w z y x ρρρρρρρ+≤−≤−：中的任意四个点，证明是距离空间、、、设),(|),(),(|)2()1()2( ),(),(),( ),(),(),()1( ),(),(),( ),(),(),( )i (y x z y z x y x z x z y z x x y z y y x z y z x z y y x z x ρρρρρρρρρρρρρρρ≤−≤−+≤≤−+≤即得：、结合得再由得由),(),(|),(),(|)4()3()4( ),(),(),(),( ),(),(),(),()3( ),(),(),(),( ),(),(),(),(),(),( )ii (w z y x w y z x w z y x z x w y w z z x x y w y w z y x w y z x z w w y y x z y y x z x ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ+≤−+≤−++≤+≤−++≤+≤即得：、结合得再由得由4距离吗？是定义在实数集合上的2)(),( .4y x y x −=ρ.,24120),(),(),(),(.)(),(2上式就不成立时，，，比如取满足、、不能对所有的因为的距离不是定义在实数集合上>===+≤⋅⋅−=z y x y z z x y x z y x y x y x ρρρρρ.),( }{}{ .5收敛中的基本列，证明是距离空间、设n n n n n y x X y x ρα=.Cauchy }{),(),( |),(),(|||),( 0),( ),( 0),(数列，故收敛是即知再由依条件：n m n m n m m n n m n m n m n y y x x y x y x m n y y m n x x αρρρρααρρ+≤−=−∞→→∞→→5的闭包是闭集。
泛函分析第七章习题解答
第七章 习题解答1．设（X ，d ）为一度量空间，令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？解 不一定。
例如离散空间（X ，d ）。
)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。
因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。
2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义)()(1)()(max 21),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞=∑证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。
证明 （1）若),(g f d =0，则)()(1)()(max)()()()(t g t ft g t f r r r r bt a -+-≤≤=0，即f=g（2）)()(1)()(max 21),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞=∑ )()(1)()()()(1)()(max 21)()()()()()()()(0t g t h t g t h t g t f t g t f r r r r r r r r b t a r r -+-+-+-≤≤≤∞=∑ )()(1)()(max 21)()(1)()(max 21)()()()(0)()()()(0t g t h t g t h t g t f t g t f r r r r b t a r r r r r r b t a r r -+-+-+-≤≤≤∞=≤≤∞=∑∑=d （f ，g ）+d （g ，h ）因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。
3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集 n o o o 21,包含B ，而且B o n n =⋂∞=1。
实变函数与泛函分析基础第三版第七章答案
习题解答1、设(,)X d 为一度量空间，令00(,){|,(,)}U x x x X d x x εε=∈< 00(,){|,(,)}S x x x X d x x εε=∈≤，问0(,)U x ε的闭包是否等于0(,)S x ε。
解答：在一般度量空间中不成立00(,)(,)U x S x εε=，例如：取1R 的度量子空间[0,1][2,3]X =，则X 中的开球(1,1){;(1,)1}U x X d x =∈<的的闭包是[0,1]，而(1,1){;(1,)1}[0,1]{2}S x X d x =∈≤=2、设[,]C a b ∞是区间[,]a b 上无限次可微函数全体，定义()()()()01|()()|(,)max 21|()()|r r r r r r a t bf tg t d f g f t g t ∞=≤≤-=+-∑，证明：[,]C a b ∞按(,)d f g 构成度量空间。
证明：（1）显然(,)0d f g ≥且(,)0d f g =⇔()()()()1|()()|,max021|()()|r r r r r a t bf tg t r f t g t ≤≤-∀=+-⇒,[,]r t a b ∀∀∈有()()|()()|0r r f t g t -=，特别当0,[,]r t a b =∀∈时有|()()|0f t g t -=⇒[,]t a b ∀∈有 ()()f t g t =。
（2）由函数()1t f t t=+在[0,)+∞上单调增加，从而对,,[,]f g h C a b ∞∀∈有 ()()()()0()()()()()()()()0()()01|()()|(,)max 21|()()|1|()()()()|=max21|()()()()|1|()()| max2r r r r r r a t br r r r r r r r r a t b r r r r a t b r f t g t d f g f t g t f t h t h t g t f t h t h t g t f t h t ∞=≤≤∞≤≤=∞≤≤=-=+--+-+-+--+≤∑∑∑()()()()()()()()()()()()0()()()()0|()()|1|()()||()()|1|()()|=max21|()()||()()|1|()()|max21|()()|r r r r r r r r r r r r r a t b r r r r r r a t b r h t g t f t h t h t g t f t h t f t h t h t g t h t g t f t h t ∞≤≤=∞≤≤=-+-+--+-+--++-+∑∑()()()()()()()()()()00|()()|1|()()|1|()()|max max 21|()()|21|()()| (,)(,)r r r r r r r r r r r r a t b a t b r r h t g t f t h t h t g t f t h t h t g t d f h d h g ∞∞≤≤≤≤==---≤++-+-=+∑∑即三角不等式成立(,)(,)(,)d f g d f h d h g ≤+。
泛函分析智慧树知到答案2024年长安大学
泛函分析长安大学智慧树知到答案2024年第一章测试1.距离函数满足的三个基本条件是正定性，对称性和三角不等式。
（）A:对 B:错答案:A2.距离空间的完备性是指基本列都不是收敛列。
（）A:错 B:对答案:A3.压缩映射原理是设X是一个完备的度量空间，T是映X到自身的压缩映射，则T在X上存在唯一的不动点。
（）A:对 B:错答案:A4.距离空间的可分是指不存在可数稠密子集。
（）A:对 B:错答案:B5.紧集上的连续函数具有什么性质。
（）A:有界 B:达到上、下确界 C:将开集映成开集D:一致连续答案:ABD第二章测试1.设某线性空间中有一组线性无关的向量，则从中任意抽取一部分向量够的向量组一定是线性无关的。
（）A:对 B:错答案:A2.有穷维线性空间上定义的任何两个范数是不等价的。
（）A:错 B:对答案:A3.当空间X是严格凸的赋范线性空间，则任意指定元素在给定有穷维子空间上的最佳逼近元存在唯一。
（）A:错 B:对答案:B4.若赋范线性空间任意有界集是列紧的，则该空间是有穷维的。
（）A:对 B:错答案:A5.Schauder不动点定理：设C是赋范线性空间X中的一个闭凸子集，T是映C到自身的连续映射且T的值域列紧，则T在C上必有一个不动点。
（）A:错 B:对答案:B第三章测试1.为了在赋范线性空间上引入内积，当且仅当范数满足四边形等式。
（）A:对 B:错答案:B2.内积空间X上的两个元素x与y称为是正交的是指x与y的内积为1。
（）A:错 B:对答案:A3.Zorn引理：设X是一个半序集，如果它的每一个全序子集都有一个上界，那么X有一个极大元。
（）A:对 B:错答案:A4.为了Hilbert空间X是可分的，当且仅当存在至多可数的正交规范基。
（）A:错 B:对答案:B5.如果C是Hilbert空间X中的闭凸子集，那么在C上存在唯一元素取到最大模。
（）A:错 B:对答案:A第四章测试1.若线性算子在其定义域的某一点连续则它在定义域上处处连续。
泛函分析答案
泛函分析答案(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--泛函分析答案：1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。
子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。
3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。
4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。
5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件：（1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x)（3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }Td 2(x,y)=(21||ni i i x y =-∑)1/2d 1(x,y)=1||ni i i x y =-∑d p (x,y) = (1||np i i i x y =-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i nx y ≤≤-6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)?0(n?∞)，这时记作0lim nn xx -->∞=，或简单地记作x n ?x 07、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数（3）||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。
电子科技大学泛函分析(江泽坚)课后题集答案解析
P46:第一章习题：1.验证(),()d m 满足距离定义。
解：设{}i x ξ=，{}i y η=属于X ，α是数，()1,sup .j j j d x y ξη≥=-(1)对j ∀，有0j j ξη-≥，所以1sup j j j ξη≥-，(),0d x y ≥，且1sup 00j j j j j j j ξηξηξη≥-=⇔-=⇔=，即(),0d x y =当且仅当.x y =(2) ()()11,sup sup ,j j j j j j d x y d y x ξηηξ≥≥=-=-=；(3)设{}i z ζ=()()1111,sup sup ()()sup sup ,(,)j j j j j j j j j j j j j j d x z d x y d y z ξζηξξζηξξζ≥≥≥≥=-≤-+-≤-+-=+综上(1)，(2)，(3)，(),d 满足距离定义。
3.试证明：在空间()s 中的收敛等价于坐标收敛。
证：设{}()(),1,2,n n jx s n ξ=∈=，{}()(0)0jx s ξ=∈，()⇒若0n x x →，则必有()(0)lim ,1,2,n j j n j ξξ→∞==，否则，j N +∃∈，00ε>，与正整数列的子序列{}1k k n ∞=，使()(0)0,1,2,k n j j k ξξε-≥=，因为()1tf t t=+是单调递增， 所以()()(0)0()(0)11,,1,2,2211k k k n j j n j j n j j d x x k ξξεεξξ-≥⋅≥⋅=++-，这与()0,0k n d x x →矛盾， 故()s 中的收敛可推出坐标收敛。
()⇐若()(0)lim ,1,2,n j j n j ξξ→∞==，则对j ∀，0ε∀>，0N N +∃∈，0n N ∀>，()(0)2n j jεξξ-<，()()(0)0()(0)1111,,1,2,2211n j j n j j n j j j j d x x k ξξεεξξ∞∞==-=⋅<⋅=++-∑∑，由ε的任意性得()0,0.n d x x → 故命题得证。
实变函数与泛函分析基础第七章(1-3)
则 ρ(x, y) 是 B(A) 上的度量，事实上， ρ(x, y)显然满足1 ，以下证明也满足2 . 对另一连续函数 z∈B(A), 由
0 0
x(t ) y(t ) x(t ) z(t ) y(t ) z(t )
sup x( t ) z( t ) sup y( t ) z( t )
其次注意到在递增11nnnggg?所以于是11nnngxgxg?????????????????????????11nnngmxgmxg??????????????????????????0lim
现代分析学
实变函数论与泛函分析基础
第七章 度量空间和赋范线性空间
§1 度量空间的进一步例子
§2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间
都是 R 中的元素，由Cauchy不等式
n n 2 2 x y x y k k k k k 1 k 1 k 1 n 2
n
再令右端 n→∞，即得
xk yk k 1
n
2
2 2 x y k k k 1 k 1
2 2 2 2 xk 2 x . y y k k k k 1 k 1 k 1 k 1
1 2
2 2 xk yk k 1 k 1
再令左端的 n→∞，即得
2 2 x y x y k k k k k 1 k 1 k 1 n 2
由此可得
2 2 x y x 2 x y y k k k kk k 2 k 1 k 1 k 1 k 1
《泛函分析》课后习题答案(张恭庆)
2 a
n
fn
2 b
ba
.
1.4.6 设 X 1, X 2 是两个线性赋范空间，定义
X
X1 X2
x1, x2 | x1
X1, x2
X2 称
为 X1 与 X2 的 Decard笛卡尔空间. 规定线性运算如下：
x1, x2
y1, y2
x1
y1, x2
y2
5
,
K, x1, y1
X1, x2, y2
X 2 ，并赋以范数
n 1
x1
,
1
x
n 2
x2 2
2
n N.
1.4.7 设 X 是 B 空间,求证： X 是 B 空间，必须且仅须
对
6
xn
X,
xn
n1
mp
xn
n1 mp
收敛.
xn
xn
证
由
m
m
显然.
设 xn 是基本列, 由1.2.2 只要 xn 存在一
串收敛子列.
事实上, 对 k 是基本列,
, 取k
1 2k
,
因为
xn
所以 N k, 使得
但因为 F 2 紧, 存在它们的子序列 ynkj 收敛,设
y nk j
x2
F 2 , 即有
d
xnkj , ynkj
d
1
j
nkj
d
x1, x2 .
1.3.5 设 M 是 C a, b 中的有界集,求证集合
x
M
Fx
f t dt | f M
a
是列紧集.
证: 设 E
Fx
x f t dt | f
(完整版)实变函数与泛函分析基础第三版第七章答案
习题解答1、设为一度量空间，令 ，(,)X d 00(,){|,(,)}U x x x X d x x εε=∈<00(,){|,(,)}S x x x X d x x εε=∈≤问的闭包是否等于。
0(,)U x ε0(,)S x ε解答：在一般度量空间中不成立，例如：取的度量子空间，则中00(,)(,)U x S x εε=1R [0,1][2,3]X = X 的开球的的闭包是，而(1,1){;(1,)1}U x X d x =∈<[0,1](1,1){;(1,)1}[0,1]{2}S x X d x =∈≤= 2、设是区间上无限次可微函数全体，定义，证[,]C a b ∞[,]a b ()()()()01|()()|(,)max21|()()|r r r r r r a t bf tg t d f g f t g t ∞=≤≤-=+-∑明：按构成度量空间。
[,]C a b ∞(,)d f g 证明：（1）显然且有(,)0d f g ≥(,)0d f g =⇔()()()()1|()()|,max 021|()()|r r r r r a t bf tg t r f t g t ≤≤-∀=+-⇒,[,]r t a b ∀∀∈，特别当时有有。
()()|()()|0r r f t g t -=0,[,]r t a b =∀∈|()()|0f t g t -=⇒[,]t a b ∀∈ ()()f t g t =（2）由函数在上单调增加，从而对有()1t f t t=+[0,)+∞,,[,]f g h C a b ∞∀∈()()()()0()()()()()()()()0()()01|()()|(,)max 21|()()|1|()()()()|=max21|()()()()|1|()()| max2r r r r r r a t br r r r r r r r r a t b r r r r a t b r f t g t d f g f t g t f t h t h t g t f t h t h t g t f t h t ∞=≤≤∞≤≤=∞≤≤=-=+--+-+-+--+≤∑∑∑()()()()()()()()()()()()0()()()()0|()()|1|()()||()()|1|()()|=max21|()()||()()|1|()()|max21|()()|r r r r r r r r r r r r r a t b r r r r r r a t b r h t g t f t h t h t g t f t h t f t h t h t g t h t g t f t h t ∞≤≤=∞≤≤=-+-+--+-+--++-+∑∑()()()()()()()()()()00|()()|1|()()|1|()()|max max 21|()()|21|()()| (,)(,)r r r r r r r r r r r r a t b a t b r r h t g t f t h t h t g t f t h t h t g t d f h d h g ∞∞≤≤≤≤==---≤++-+-=+∑∑即三角不等式成立。
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设 E 是 n 维 线 性 空 间 ， 及 是 E 上 的 两 个 范 数 ， 设
1
2
{e1 , , en } 是 E 的 一 个 基 ， 取M1 0，M2 0， 使 对 任 意
n
n
n
x
iei 都有
| i
|
M1
x
,
1
|i | M2 x 2
i 1
i 1
i 1
记
m1
max
1 i n
ei
再由 ( y, w) ( y, x) ( x, z) (z, w) 得 ( y, w) ( x, z) ( x, y) (z, w) (4)
结合(3)、(4)即得：| ( x, z) ( y, w) | ( x, y) (z, w) 3
4. ( x, y) ( x y)2是定义在实数集合上的距离吗？
10
14. 试证按C[a, b]中的范数，C m[a, b] (m 1) 是 C[a, b] 的 非 闭 子 空 间. C m[a, b] 显 然 是C[a, b]的 线 性 子 空 间 ， 因 为 任一 连 续 函 数 x(t) 都 可 以 多 项 式 序 列 一 致逼 近 ， 故 多 项 式 的 全 体P 在 C[a, b]中 稠 密 （ 即P C[a, b]） ， 显 然 ，P C m[a, b]， 故 C m[a, b]＝C[a, b]， 即C m[a, b] 是 C[a, b]的 非 闭 子 空 间.
即 当n
N
时 ，xn
x
，
N
故
xn
xN
.
8
10. 设 X 是 距 离 空 间 ，A、B 是 X 中 闭 集 ， 且A、B 不 相 交 ， 试 证 必 有 定 义 在 全 空 间X 上 的 连 续 泛 函f ( x)， 满 足 ：
0 f ( x) 1 (x X ) 且 x A f ( x) 0， x B f ( x) 1.
n1
M
且 A 至 多 可 数 ， 显 然A 在 M 中 稠 密 ， 故M 是 可 分 的.
16
22. 试证C m[0,1] (m 1) 按 C[0,1]的距离的完备化空间是 C[0,1]. 我 们 已 经 知 道C[0,1] 是 完 备 的 距 离 空 间 ， 且每 一 连 续 函 数 都 可 以 用 多 项 式 序 列 一致 逼 近 ， 所 以 ， 多 项 式的 全 体P 在 C[0,1]中 稠 密 ， 即P C[0,1]， 但 P C m[0,1]， 故 P C m[0,1] C[0,1]， 从 而 C m[0,1] 的 完 备 化 空 间 是 C[0,1].
因 为 A、B 是 不 相 交 的 闭 集 ， 故 对任 一 且 x X，
( x, A)、( x, B) 中 至 少 有 一 个 不 等 于0， 作 函 数
f (x)
( x, A)
( x, A) ( x, B)
f ( x) 显 然 满 足 ：0 f ( x) 1 x X
且 x A f ( x) 0， x B f ( x) 1.
取 xi E0
(i 1,2 ) 使 xi x d， 则xi 是 E0 中 有 界 序 列 ，
因 E0 是 有 限维 的 ， 故xi 中 有 收敛 子 列xij ，
n
xi j x* E0 . 设 x* i ' xi， 则 i 1
x (1' x1 n' xn )
x x*
lim j
11
17. 试证任一赋范线性空间中的单位球是凸集.
设 x B(0,1)，y B(0,1)， (0,1)，则 x (1 ) y x (1 ) y 1 所以 x (1 ) y B(0,1)，即B(0,1) 是凸集，
类似地B(0,1) 也是凸集.
12
18.试证有限维空间上所有范数都是等价的.
故 x A' A，即 A' A, 所 以 A 是 闭 集.
5
7. 设X是 距 离 空 间 ，A X， 0， 试 证 ： G { x X | ( x, A) }是 开 集 ， F { x X | ( x, A) }是 闭 集 。
(i) 设
x0
G，则 0
( x0 , A)
再由 ( y, z) ( y, x) ( x, z)得 ( y, z) ( x, z) ( x, y) (2)
结合(1)、(2)即得：| ( x, z) ( y, z) | ( x, y)
(ii) 由 ( x, z) ( x, y) ( y, z) ( x, y) ( y, w) (w, z)得 ( x, z) ( y, w) ( x, y) (z, w) (3)
， 令
，
0
则
当
y
B(
x0
,
2
)时 ， (
y,
A)
(
y,
x0
)
(
x0
,
A)
1 (
2
0)0
.
所
以B(
x0
,
2
)
G，
故
G
是
开
集.
(ii) 设x0 F '， 则 存 在xn F，xn x0，
对 每 个n， 取xn'
A， 满 足 (
xn ,
xn ' )
1，则 n
( x0 ,
A)
( x0 ,
xn )
( xn ,
2. 试证距离空间 X 中的序列{ xn } 收敛于 x* X { xn } 的任一子列收敛于 x *.
设xn x * (n )，{ xnk }是{ xn }的 任 一 子 列 ， 依 条 件 ，
( xn , x*) 0， 故 ( xnk , x*) 0， 所 以xnk x * .
iii) 设x，y，z X， 则 ( x, y) ( x, z) (z, y)
~( x, y) ( x, y) 1
1
1
1
1 (x, y)
1 (x, y)
1 (x, z) (z, y)
(x, z)
(z, y)
1 (x, z) (z, y) 1 (x, z) (z, y)
( x, z) (z, y) ~( x, z) ~(z, y) 1 (x, z) 1 (z, y)
x E，证明存在n 个实数 1', , n'，使得
x (1' x1
n' xn )
inf 1 , ,n
x (1 x1
n xn )
记 E0 L{ x1, , xn }， 则 E0 是 E 的 n 维 子 空 间 ， 令
inf
1 , ,n
x (1 x1
n xn )
(x, E0) d,
x
xi j
d.
14
20. 设 X 是距离空间，试证：A X 是稀疏集（即 A 没有 内点）的充分必要条件是 X \ A X .
必要性，设x X，因A没有内点，故 0，B( x, ) ( X \ A) ，所以x X \ A，即因x X是任意的，所以X \ A X .
充分性，设X \ A X，则x X，xn X \ A，xn x，
4
6. 试证距离空间X 中的任一集合 A的闭包是闭集。
设 x A'， 则 对 任 意 0， 存 在 x A , x x 且
( x,
x
)
2
，
因
为
x
A,
如果
x
A， 则 必 x
A'，
于 是 有 x'
A， 使
x'
x
且
( x',
x
)
min( 2
, (x,
x
)),
所 以 x' x 且 ( x, x' ) ， 因 0 是 任 意 的 ，
所 以~(,)也 定 义 了X上 的 距 离.
7
9. 试证任一离散空间必是完备的.
设
X
是离散空
间 ，( x,
y)
0 1
当x y 当x y
{ xn } 是 X 中 任 一 基 本 列 ， 则 存 在N， 使 当n, m N 时
( xn , xm ) 1， 从 而 当n, m N 时 ，( xn , xm )＝0.
1
m2
max
1 i n
ei
，则
2
n
n
x 1
iei m1 | i | m1M 2 x 2
(1)
i 1
1
i 1
n
n
x 2
iei m2 | i | m2M1 x 1
( 2)
i 1
2
i 1
由 （1） 、 （2） 可 知 与 等 价.
1
2
13
19. 设 E 是实线性空间{，x1, , xn } 是 E 中线性无关元，
17
25. m 次连续函数的全体在范数
m
x max | x(i)(t ) | i0 atb
下所成的赋范线性空间C m[a, b] 是 Banach 空间，且C m[a, b]中元 素列依范数收敛等价于此函数列及其各阶导数（ m）一致收敛.
n ( xn , yn ) 收敛.
依 条 件 ： ( xn , xm ) 0 (n, m )
( yn , ym ) 0 (n, m )
再 由| n m || ( xn , yn ) ( xm , ym ) |
( xn , xm ) ( yn , ym )
即 知{ n }是Cauchy数 列 ， 故 收 敛.
所以 0，B( x, ) ( X \ A)＝，即x不是A的内点，
所 以A没 有 内 点 ，A是 稀 疏 集.