精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)

初中数学竞赛专题讲解最短路径问题

【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：

①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．

②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．

③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．

④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．

【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．

【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．

【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．

【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．

【十二个基本问题】

B

C

D

图

(2)

一、基础过关

1.如图所示，是一个圆柱体，底面周长为10,高为6,一只蚂蚁要从外壁的A处到内壁的B处吃一食物,求蚂蚁所走的最短程 .

2.如右图是一个长方体木块，已知3,4,2

AB BC CD

===，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

3.正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且2

DM=，N是AC上的一动点，DN MN

+的最小值为。

4.在菱形ABCD中，2

AB=，0

60

BAD

∠=，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE PB

+的最小值为

5.如图，在ABC

∆中，2

AC BC

==，0

90

ACB

∠=，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC ED

+

6.AB是⊙O的直径，

2

AB=，OC是⊙O的半径，OC AB

⊥，点D在AC上，D为AC的三等分点，点P是半径OC上的一个动点，则AP PD

+的最小值为

7.如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD＝18cm，则△PMN 的周长为

B

A

C 8.如图，∠AOB ＝30

°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是 ．

9.如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ．

二、例题讲解

例1：已知：直线112y x =

+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线21

2

y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形且以P 为直角顶点时，求点P 的坐标． （3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标．

例2：如图，抛物线2

y ax bx c =++的顶点P 的坐标为1⎛ ⎝⎭

，，交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点A

（1）求抛物线的表达式．

（2）把△ABC 绕AB 的中点E 旋转180°，得到四边形ADBC ．

判断四边形ADBC 的形状，并说明理由．

（3）试问在线段AC 上是否存在一点F ，使得△FBD 的周长最小，

若存在，请写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

例3：如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边OB 的中点． （1）点D 的坐标为 ；

（2）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标．

例4：如图，在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，

n),D(m,0),当四边形ABCD 周长最短时,求m n

。

例5：有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？

练习1：桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B 处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。

练习2：如图，在一个长为2

米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD 平行且＞AD ，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A 处，到达C 处需要走的最短路程是 米．（精确到0.01米）

练习3：如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？

1A

B A 1B 1D C

D 1C 12

4

三、课后提升

1．如图所示，正方形ABCD 的面积为

12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点

P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）

A

．B ． C ．3 D

2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2

B ．32

C ．32

D ．4

3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）

A ．120°

B ．130°

C ．110°

D ．140°

4．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x

OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______．

A D

E P

B

C B

N