高中数学一轮复习不等式选讲
高三理科数学一轮总复习第十八章 不等式选讲
第十八章不等式选讲高考导航考试要求重难点击命题展望1.理解绝对值的几何意义，并能用它证明绝对值三角不等式等较简单的不等式.①|a＋b|≤|a|＋|b|；②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.能用绝对值的几何意义解几类简单的绝对值型不等式，如|ax＋b|≤c或|ax＋b|≥c，以及|x－a|＋|x－b|≥c或|x－a|＋|x－b|≤c类型.3.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法.4.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用它证明一些简单不等式及其他问题.5.了解柯西不等式的几种不同形式：二维形式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2、向量形式|α|·|β|≥|α·β|、一般形式∑∑∑===∙nininiiiiibaba112122)(≥，理解它们的几何意义.掌握柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.6.了解排序不等式的推导及意义并能简单应用.7.会用数学归纳法证明贝努利不等式：.)1,0,1＞(＞1)1(的正整数为大于nxxnxx n≠-++本章重点：不等式的基本性质；基本不等式及其应用、绝对值型不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式、排序不等式及其应用.本章难点：三个正数的算术——几何平均不等式及其应用；绝对值不等式的解法；用反证法、放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式.本专题在数学必修5“不等式”的基础上，进一步学习一些重要的不等式，如绝对值不等式、柯西不等式、排序不等式以及它们的证明，同时了解证明不等式的一些基本方法，如比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等，会用绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式、排序不等式等解决一些简单问题.高考中，只考查上述知识和方法，不对恒等变形的难度和一些技巧作过高的要求.知识网络18.1 绝对值型不等式典例精析题型一 解绝对值不等式 【例1】设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)解不等式f (x )＞3；(2)若f (x )＞a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】(1)因为f (x )＝|x －1|＋|x －2|＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,11,＜,23x x x x x所以当x ＜1时，3－2x ＞3，解得x ＜0； 当1≤x ≤2时，f (x )＞3无解； 当x ＞2时，2x －3＞3，解得x ＞3.所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1.因为f (x )＞a 恒成立，所以a ＜1，即实数a 的取值范围是(－∞，1). 【变式训练1】设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a . (1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域； (2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围.【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3，所以－a ≤3，即a ≥－3. 题型二 解绝对值三角不等式【例2】已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|，若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对a ≠0，a 、b ∈R 恒成立，求实数x 的范围.【解析】由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x ).又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则有2≥f (x ).解不等式|x －1|＋|x －2|≤2得12≤x ≤52.【变式训练2】(2010深圳)若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .【解析】(－∞，0)∪{2}.题型三 利用绝对值不等式求参数范围 【例3】(2009辽宁)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3； (2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围. 【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|.由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3，①当x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3，即－2x ≥3，不等式组⎩⎨⎧-3≥)(1,≤x f x 的解集为(－∞，－32]；②当－1＜x ≤1时，不等式化为1－x ＋x ＋1≥3，不可能成立，不等式组⎩⎨⎧-3≥)(1,≤＜1x f x 的解集为∅；③当x ＞1时，不等式化为x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3，不等式组⎩⎨⎧3≥)(1,＞x f x 的解集为[32，＋∞).综上得f (x )≥3的解集为(－∞，－32]∪[32，＋∞).(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|不满足题设条件.若a ＜1，f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧+-++-1,≥1),(-2＜1,＜,1,≤,12x a x x a a a x a xf (x )的最小值为1－a .由题意有1－a ≥2，即a ≤－1.若a ＞1，f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧+-++-,≥1),(-2,＜＜1,11,≤,12a x a x a x a x a xf (x )的最小值为a －1，由题意有a －1≥2，故a ≥3.综上可知a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).【变式训练3】关于实数x 的不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2与x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0 (a ∈R )的解集分别为A ，B .求使A ⊆B 的a 的取值范围.【解析】由不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2⇒－12(a －1)2≤x －12(a ＋1)2≤12(a －1)2，解得2a ≤x ≤a 2＋1，于是A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}.由不等式x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0⇒(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0， ①当3a ＋1≥2，即a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}，因为A ⊆B ，所以必有⎩⎨⎧++1,3≤1,2≤22a a a 解得1≤a ≤3；②当3a ＋1＜2，即a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}，因为A ⊆B ，所以⎩⎨⎧++2,≤1,2≤132a a a 解得a ＝－1.综上使A ⊆B 的a 的取值范围是a ＝－1或1≤a ≤3.总结提高1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.绝对值不等式的解法中，||x ＜a 的解集是(－a ，a )；||x ＞a 的解集是(－∞，－a )∪(a ，＋∞)，它可以推广到复合型绝对值不等式||ax ＋b ≤c ，||ax ＋b ≥c 的解法，还可以推广到右边含未知数x 的不等式，如||3x ＋1≤x －1⇒1－x ≤3x ＋1≤x －1.3.含有两个绝对值符号的不等式，如||x －a ＋||x －b ≥c 和||x －a ＋||x －b ≤c 型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x 前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.18.2 不等式的证明(一)典例精析题型一 用综合法证明不等式【例1】 若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证： lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .【证明】 由a ，b ，c 为正数，得 lg a ＋b 2≥lg ab ；lg b ＋c 2≥lg bc ；lg a ＋c 2≥lg ac .而a ，b ，c 不全相等，所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c2＞lg ab ＋lg bc ＋lg ac ＝lg a 2b 2c 2＝lg(abc )＝lg a ＋lg b ＋lg c .即lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .【点拨】 本题采用了综合法证明，其中基本不等式是证明不等式的一个重要依据(是一个定理)，在证明不等式时要注意结合运用.而在不等式的证明过程中，还要特别注意等号成立的条件是否满足.【变式训练1】已知a ，b ，c ，d 都是实数，且a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.求证：|ac ＋bd |≤1. 【证明】因为a ，b ，c ，d 都是实数，所以|ac ＋bd |≤|ac |＋|bd |≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22.又因为a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，所以|ac ＋bd |≤1. 题型二 用作差法证明不等式【例2】 设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca ). 【证明】a 2＋b 2＋c 2－2(ab ＋bc ＋ca )＝(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2－a 2－b 2－c 2＝[(a －b )2－c 2]＋[(b －c )2－a 2]＋[(c －a )2－b 2].而在△ABC 中，||b －a ＜c ，所以(a －b )2＜c 2，即(a －b )2－c 2＜0.同理(a －c )2－b 2＜0，(b －c )2－a 2＜0，所以a 2＋b 2＋c 2－2(ab ＋bc ＋ca )＜0. 故a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca ).【点拨】 不等式的证明中，比较法特别是作差比较法是最基本的证明方法，而在牵涉到三角形的三边时，要注意运用三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【变式训练2】设a ，b 为实数，0＜n ＜1,0＜m ＜1，m ＋n ＝1，求证：a 2m ＋b 2n≥(a ＋b )2.【证明】因为a 2m ＋b2n －(a ＋b )2＝na 2＋mb 2mn －nm (a 2＋2ab ＋b 2)mn＝na 2(1－m )＋mb 2(1－n )－2mnab mn＝n 2a 2＋m 2b 2－2mnab mn ＝(na －mb )2mn≥0，所以不等式a 2m ＋b 2n≥(a ＋b )2成立.题型三 用分析法证明不等式【例3】已知a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8(1－a )(1－b )(1－c ).【证明】因为a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，所以要证原不等式成立，即证[(a ＋b ＋c )＋a ][(a ＋b ＋c )＋b ][(a ＋b ＋c )＋c ] ≥8[(a ＋b ＋c )－a ][(a ＋b ＋c )－b ][(a ＋b ＋c )－c ]，也就是证[(a ＋b )＋(c ＋a )][(a ＋b )＋(b ＋c )][(c ＋a )＋(b ＋c )]≥8(b ＋c )(c ＋a )(a ＋b ).① 因为(a ＋b )＋(b ＋c )≥2(a ＋b )(b ＋c )＞0， (b ＋c )＋(c ＋a )≥2(b ＋c )(c ＋a )＞0， (c ＋a )＋(a ＋b )≥2(c ＋a )(a ＋b )＞0， 三式相乘得①式成立，故原不等式得证.【点拨】 本题采用的是分析法.从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”.分析法也可以作为寻找证题思路的方法，分析后再用综合法书写证题过程.【变式训练3】设函数f (x )＝x －a (x ＋1)ln(x ＋1)(x ＞－1，a ≥0). (1)求f (x )的单调区间；(2)求证：当m ＞n ＞0时，(1＋m )n ＜(1＋n )m . 【解析】(1)f ′(x )＝1－a ln(x ＋1)－a ，①a ＝0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－1，＋∞)上是增函数； ②当a ＞0时，f (x )在(－1，aa -1e －1]上单调递增，在[aa-1e －1，＋∞)单调递减.(2)证明：要证(1＋m )n ＜(1＋n )m ，只需证n ln(1＋m )＜m ln(1＋n )，只需证ln(1＋m )m ＜ln(1＋n )n.设g (x )＝ln(1＋x )x (x ＞0)，则g ′(x )＝x1＋x －ln(1＋x )x 2＝x －(1＋x )ln(1＋x )x 2(1＋x ). 由(1)知x －(1＋x )ln(1＋x )在(0，＋∞)单调递减， 所以x －(1＋x )ln(1＋x )＜0，即g (x )是减函数， 而m ＞n ，所以g (m )＜g (n )，故原不等式成立.总结提高1.一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法.比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法.2.用综合法证明不等式的过程中，所用到的依据一般是定义、公理、定理、性质等，如基本不等式、绝对值三角不等式等.3.用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换，它是从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立.4.所谓“综合法”、“分析法”其实是证明题的两种书写格式，而不是真正意义上的证明方法，并不像前面所用的比较法及后面要复习到的三角代换法、放缩法、判别式法、反证法等是一种具体的证明方法(或者手段)，而只是两种互逆的证明题的书写格式.18.3 不等式的证明(二)典例精析题型一 用放缩法、反证法证明不等式【例1】已知a ，b ∈R ，且a ＋b ＝1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.【证明】 方法一：(放缩法) 因为a ＋b ＝1，所以左边＝(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥2[(a ＋2)＋(b ＋2)2]2＝12[(a ＋b )＋4]2＝252＝右边.方法二：(反证法)假设(a ＋2)2＋(b ＋2)2＜252，则 a 2＋b 2＋4(a ＋b )＋8＜252.由a ＋b ＝1，得b ＝1－a ，于是有a 2＋(1－a )2＋12＜252.所以(a －12)2＜0，这与(a －12)2≥0矛盾.故假设不成立，所以(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.【点拨】 根据不等式左边是平方和及a ＋b ＝1这个特点，选用重要不等式a 2 ＋ b 2≥ 2(a ＋ b 2)2来证明比较好，它可以将具备a 2＋b 2形式的式子缩小.而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件a ＋b ＝1，得到关于a 的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明.【变式训练1】设a 0，a 1，a 2，…，a n －1，a n 满足a 0＝a n ＝0，且有 a 0－2a 1＋a 2≥0， a 1－2a 2＋a 3≥0， …a n －2－2a n －1＋a n ≥0， 求证：a 1，a 2，…，a n －1≤0.【证明】由题设a 0－2a 1＋a 2≥0得a 2－a 1≥a 1－a 0. 同理，a n －a n －1≥a n －1－a n －2≥…≥a 2－a 1≥a 1－a 0.假设a 1，a 2，…，a n －1中存在大于0的数，假设a r 是a 1，a 2，…，a n －1中第一个出现的正数. 即a 1≤0，a 2≤0，…，a r －1≤0，a r ＞0，则有a r －a r －1＞0，于是有a n －a n －1≥a n －1－a n －2≥…≥a r －a r －1＞0. 并由此得a n ≥a n －1≥a n －2≥…≥a r ＞0.这与题设a n ＝0矛盾.由此证得a 1，a 2，…，a n －1≤0成立. 题型二 用数学归纳法证明不等式 【例2】用放缩法、数学归纳法证明：设a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)，n ∈N *，求证：n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22.【证明】 方法一：(放缩法)n 2＜n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2，即n ＜n (n ＋1)＜2n ＋12.所以1＋2＋…＋n ＜a n ＜12[1＋3＋…＋(2n ＋1)].所以n (n ＋1)2＜a n ＜12·(n ＋1)(1＋2n ＋1)2，即n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22.方法二：(数学归纳法)①当n ＝1时，a 1＝2，而1＜2＜2，所以原不等式成立.②假设n ＝k (k ≥1)时，不等式成立，即k (k ＋1)2＜a k ＜(k ＋1)22.则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1×2＋2×3＋…＋k (k ＋1)＋(k ＋1)(k ＋2)，所以k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)＜a k ＋1＜(k ＋1)22＋(k ＋1)(k ＋2).而k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)＞k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋1)＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)2， (k ＋1)22＋(k ＋1)(k ＋2)＜(k ＋1)22＋(k ＋1)＋(k ＋2)2＝k 2＋4k ＋42＝(k ＋2)22. 所以(k ＋1)(k ＋2)2＜a k ＋1＜(k ＋2)22.故当n ＝k ＋1时，不等式也成立.综合①②知当n ∈N *，都有n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22.【点拨】 在用放缩法时，常利用基本不等式n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2将某个相乘的的式子进行放缩，而在上面的方法二的数学归纳法的关键步骤也要用到这个公式.在用数学归纳法时要注意根据目标来寻找思路.【变式训练2】已知数列8×112×32，8×232×52，…，8n (2n －1)2(2n ＋1)2，…，S n 为其前n 项和，计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081，观察上述结果推测出计算S n 的公式且用数学归纳法加以证明.【解析】猜想S n ＝(2n ＋1)2－1(2n ＋1)2(n ∈N ＋).证明：①当n ＝1时，S 1＝32－132＝89，等式成立.②假设当n ＝k (k ≥1)时等式成立，即S k ＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2.则S k ＋1＝S k ＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2(2k ＋3)2－(2k ＋1)2(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝[2(k ＋1)＋1]2－1[2(k ＋1)＋1]2.即当n ＝k ＋1时，等式也成立.综合①②得，对任何n ∈N ＋，等式都成立. 题型三 用不等式证明方法解决应用问题【例3】某地区原有森林木材存量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设a n 为n 年后该地区森林木材存量.(1)求a n 的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年森林木材量应不少于79a ，如果b ＝1972a ，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg 2＝0.30)【解析】(1)依题意得a 1＝a (1＋14)－b ＝54a －b ，a 2＝54a 1－b ＝54(54a －b )－b ＝(54)2a －(54＋1)b ，a 3＝54a 2－b ＝(54)3a －[(54)2＋(54＋1)]b ，由此猜测a n ＝(54)n a －[(54)n －1＋(54)n －2＋…＋54＋1]b ＝(54)n a －4[(54)n －1]b (n ∈N ＋).下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝54a －b ，猜测成立.②假设n ＝k (k ≥2)时猜测成立，即a k ＝(54)k a －4[(54)k －1]b 成立.那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝54a k －b ＝54⎩⎨⎧⎭⎬⎫(54)k a －4[(54)k －1]b －b ＝(54)k ＋1a －4[(54)k ＋1－1]b ，即当n ＝k ＋1时，猜测仍成立. 由①②知，对任意n ∈N ＋，猜测成立.(2)当b ＝1972a 时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须少于79a ，所以(54)n a －4[(54)n －1]·1972a ＜79a ，整理得(54)n ＞5，两边取对数得n lg 54＞lg 5，所以n ＞lg 5lg 5－2lg 2＝1－lg 21－3lg 2≈1－0.301－3×0.30＝7.故经过8年该地区就开始水土流失.【变式训练3】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0).(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解析】(1)依题意，y ＝9203＋(v ＋1 600v)≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v，即v ＝40时，上式等号成立，所以y max ＝92083≈11.1(千辆/时).(2)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v －25)(v －64)＜0，解得25＜v ＜64.答：当v ＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.总结提高1.有些不等式，从正面证如果不易说清，可以考虑反证法，凡是含有“至少”、“唯一”或者其他否定词的命题适用反证法.在一些客观题如填空、选择题之中，也可以用反证法的方法进行命题正确与否的判断.2.放缩法是证明不等式特有的方法，在证明不等式过程中常常要用到它，放缩要有目标，目标在结论和中间结果中寻找.常用的放缩方法有：(1)添加或舍去一些项，如a 2＋1＞||a ，n (n ＋1)＞n ； (2)将分子或分母放大(或缩小)；(3)利用基本不等式，如n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2；(4)利用常用结论，如k ＋1－k ＝1k ＋1＋k ＜12k，1k 2＜1k (k －1)＝1k －1－1k； 1k 2＞1k (k ＋1)＝1k －1k ＋1(程度大)； 1k 2＜1k 2－1＝1(k －1)(k ＋1)＝12(1k －1－1k ＋1) (程度小). 3.用数学归纳法证明与自然数有关的不等式的证明过程与用数学归纳法证明其他命题一样，先要奠基，后进行假设与推理，二者缺一不可.18.4 柯西不等式和排序不等式典例精析题型一 用柯西不等式、排序不等式证明不等式【例1】设a 1，a 2，…，a n 都为正实数，证明：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .【证明】方法一：由柯西不等式，有(a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1)(a 2＋a 3＋…＋a n ＋a 1)≥ (a 1a 2·a 2＋a 2a 3·a 3＋…＋a n a 1·a 1)2＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2. 不等式两边约去正数因式a 1＋a 2＋…＋a n 即得所证不等式.方法二：不妨设a 1≤a 2≤…≤a n ，则a 21≤a 22≤…≤a 2n，1a 1≥1a 2≥…≥1a n. 由排序不等式有a 21·1a 2＋a 22·1a 3＋…＋a 2n －1·1a n ＋a 2n ·1a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， 故不等式成立.方法三：由均值不等式有 a 21a 2＋a 2≥2a 1，a 22a 3＋a 3≥2a 2，…，a 2na 1＋a 1≥2a n ，将这n 个不等式相加得 a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a 1≥2(a 1＋a 2＋…＋a n )，整理即得所证不等式. 【点拨】 根据所证不等式的结构形式观察是否符合柯西不等式、排序不等式的结构形式或有相似之处.将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方等方法的处理.【变式训练1】已知a ＋b ＋c ＝1，且a 、b 、c 是正数，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9.【证明】左边＝[2(a ＋b ＋c )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a )＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a)≥(1＋1＋1)2＝9，(或左边＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a)＝3＋a ＋b b ＋c ＋a ＋b c ＋a ＋b ＋c a ＋b ＋b ＋c c ＋a ＋c ＋a a ＋b ＋c ＋a b ＋c≥3＋2b ac b c b b a ++++∙＋2b a a c a c b a ++++∙＋2c b ac a c c b ++++∙＝9) 所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9.题型二 用柯西不等式求最值【例2】 若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝2，求x 2＋y 2＋z 2的最小值. 【解析】 由柯西不等式得，(12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋2y ＋3z )2＝4 (当且仅当1＝kx,2＝ky,3＝kz 时等号成立，结合x ＋2y ＋3z ＝2，解得x ＝17，y ＝27，z ＝37)，所以14(x 2＋y 2＋z 2)≥4.所以x 2＋y 2＋z 2≥27.故x 2＋y 2＋z 2的最小值为27.【点拨】 根据柯西不等式，要求x 2＋y 2＋z 2的最小值，就要给x 2＋y 2＋z 2再配一个平方和形式的因式，再考虑需要出现定值，就要让柯西不等式的右边出现x ＋2y ＋3z 的形式，从而得到解题思路.由此可见，柯西不等式可以应用在求代数式的最值中.【变式训练2】已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值.【解析】因为(x 2＋2y 2＋3z 2)[32＋(2)2＋(13)2]≥(3x ＋2y ·2＋3z ·13)2≥(3x ＋2y ＋z )2，所以(3x ＋2y ＋z )2≤12，即－23≤3x ＋2y ＋z ≤23，当且仅当x ＝－9317，y ＝－3317，z ＝－317时，3x ＋2y ＋z 取最小值，最小值为－2 3. 题型三 不等式综合证明与运用【例3】 设x ＞0，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .【证明】(1)当x ≥1时，1≤x ≤x 2≤…≤x n ，由排序原理：顺序和≥反序和得 1·1＋x ·x ＋x 2·x 2＋…＋x n ·x n ≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1，即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n .①又因为x ，x 2，…，x n ，1为序列1，x ，x 2，…，x n 的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和得1·x ＋x ·x 2＋…＋x n －1·x n ＋x n ·1≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1，即x ＋x 3＋…＋x 2n －1＋x n ≥(n ＋1)x n ，②将①和②相加得1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .③ (2)当0＜x ＜1时，1＞x ＞x 2＞…＞x n . 由①②仍然成立，于是③也成立. 综合(1)(2)，原不等式成立.【点拨】 分类讨论的目的在于明确两个序列的大小顺序.【变式训练3】把长为9 cm 的细铁线截成三段，各自围成一个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值.【解析】设这三个正三角形的边长分别为a 、b 、c ，则a ＋b ＋c ＝3，且这三个正三角形面积和S 满足：3S ＝34(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋12)≥34(a ＋b ＋c )2＝934⇒S ≥334.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立.总结提高1.柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用.教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.2.排序不等式也是基本而重要的不等式.一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式a 2＋b 2≥2ab .有些重要不等式则可以借助排序不等式得到简捷的证明.证明排序不等式时，教科书展示了一个“探究——猜想——证明——应用”的研究过程，目的是引导学生通过自己的数学活动，初步认识排序不等式的数学意义、证明方法和简单应用.3.利用柯西不等式或排序不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，构造适当的两组数，有难度的逐步调整去构造.对于具体明确的大小顺序、数目相同的两列数考虑它们对应乘积之和的大小关系时，通常考虑排序不等式.。
不等式选讲高三数学一轮复习考点突破课件
PART 01
单击编辑章节标题
3
PART 02
不等式的性质与解法
4
性质及定理
• 基本性质：对称性、传递性、可加性、可乘性、可除性 • 比较性质：两个正数a、b，如果a>b，那么a^n>b^n • 绝对值不等式：|a|>|b|，当a>b时 • 平方根不等式：√a>√b，当a>b时 • 算术平均数不等式：(a+b)/2>√ab，当a>b时 • 几何平均数不等式：√(ab)>=(a+b)/2，当a>b时 • 调和平均数不等式：(a+b)/2>√ab，当a>b时 • 算术平均数与几何平均数不等式：(a+b)/2>√ab，当a>b时 • 算术平均数与调和平均数不等式：(a+b)/2>√ab，当a>b时 • 几何平均数与调和平均数不等式：√(ab)>=(a+b)/2，当a>b时
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商品价格：商品价格与购买量之 间的关系可以用不等式表示
交通流量：交通流量与道路容量 之间的关系可以用不等式表示
综合应用题解析
题目类型：不等式在实际生活中的应用 解题方法：分析题目，找出不等式关系，利用不等式性质求解 例题：某商品价格上涨10%，销量下降20%，问该商品销售额是否发生变化 解答：设原销售额为x，则新销售额为0.9x*(1-20%)=0.72x，因此销售额发生变化
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不等式选讲高三 数学一轮复习考 点突破
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汇报人：
目录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 不 等 式 的 性 质 与 解 法 03 不 等 式 的 应 用 04 不 等 式 的 证 明 方 法 05 不 等 式 选 讲 例 题 解 析 06 不 等 式 选 讲 高 考 真 题 回 顾
高考数学一轮复习 12.3不等式选讲课件
x 1,
解析 (1)原不等式等价于 (x 1) (x 2) 5
或2(x或x1)1,(x 2) 5
解得x≥2或x≤-3.
x 2, (x 1) (x 2) 5,
故原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.
(2)原不等式可转化为-1≤|x-2|-1≤1,故0≤|x-2|≤2,解得0≤x≤4,故所求不 等式的解集为[0,4].
5.排序不等式
设0≤a1≤a2≤…≤an,0≤b1≤b2≤…≤bn,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排
列, 则有:a1b1+a2b2+…+anbn≥a1c1+a2c2+…+ancn≥a1bn+a2bn-1+…+anb1,即顺序和 ≥乱序和≥逆序和. 6.绝对值三角不等式 定理1:若a、b为实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当④ ab≥0 时,等号成立. 定理2:设a、b、c为实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|, 等号成立⇔⑤ (a-b)(b-c)≥0 . 7.绝对值不等式的解法 (1)|ax+b|≤c、|ax+b|≥c型不等式的解法: a.c>0,则|ax+b|≤c可化为-c≤ax+b≤c;|ax+b|≥c可化为ax+b≥c或ax+b≤-
3.若不等式|x+1|+|x-3|≥a+ 4 (a≠0)对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范
a
围是
.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
答案 (-∞,0)∪{2}
解析 当a<0时,满足题意;当a>0时,∵|x+1|+|x-3|的最小值为4,∴a+ a4 ≤4.
高考数学一轮复习课件1--不等式选讲
1 －x－5 x＜－2， 1 解 (1)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝ 3x－3 －2≤x＜4， x＋5 x≥4.
1 当 x＜－ 时，由 f(x)＝－x－5＞2 得，x＜－7.∴x＜－7； 2 1 5 当－2≤x＜4 时，由 f(x)＝3x－3＞2，得 x＞3， 5 ∴3＜x＜4；
[解答示范] (1)当 a＝1 时，f(x)≥3x＋2 可化为|x－1|≥2. 由此可得 x≥3 或 x≤－1. (3 分)
故不等式 f(x)≥3x＋2 的解集为{x|x≥3 或 x≤－1}．(5 分)
第(2)问解不等式|x－a|＋3x≤0的解集，结果用a表示， 再由{x|x≤－1}求a.
(2)由 f(x)≤0 得，|x－a|＋3x≤0.
当 x≥4 时，由 f(x)＝x＋5＞2，得 x＞－3，∴x≥4. 故原不等式的解集为
5 xx＜－7或x＞ 3 .
(2)画出 f(x)的图象如图： 9 ∴f(x)min＝－2.
(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点； ②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取 每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值． (2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代 数问题几何化，即通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
a 由题设可得－2＝－1，故 a＝2.(10 分)
本题综合考查了含绝对值不等式的解法，属于中档 题．解含绝对值的不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号 转化为一元一次和一元二次不等式 (组)进行求解．含有多个绝 对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x－ a|＋|x－b|＞m 或|x－a|＋|x－b|＜m(m 为正常数)，利用实数绝对 值的几何意义求解较简便．
高考数学一轮复习课件：不等式选讲
=
1 2
［(b+c)+(a+c)+(a+b)］·( 1 + 1 + 1 )
b+c a+c a+b
-3≥
9 2
∴
-3= 3 ,
a2
b ++
c
≥3
b+c a+c a+b 2.
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【评析】 (1)本题证法一联合使用了综合法与分析 法，实际上是以分析法为主，借助综合法，使证明的 问题明朗化，此种方法称为分析综合法.分析综合法的 实质是既充分利用已知条件，又时刻不忘解题目标， 即不仅要搞清已知是什么，还要搞清干什么，瞻前顾 后，便于找到解题途径.
∴原不等式的解集为{x|-3<x<2}.
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解法三:分别作函数y1=|x-1|+|x+2|
{ -2x-1(x<-2)
= 3(-2≤x<1)
2x+1(x≥1) 和y2=5的图象,如图所示, 不难看出,要使y1<y2,只需 -3<x<2. ∴原不等式的解集为{x|-3<x<2}.
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【评析】解这类含两个绝对值符号,且绝对值符号 里是一次式的不等式,一般解法有三种,分别是“零点划 分法”“利用绝对值的几何意义法”和“利用函数图 象法”.
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＊对应演练＊
设不等式|x+1|+|x-2|<k的解集非空,求k的范围.
由y=|x+1|+|x-2|可知: 当x≥2时,y=2x-1≥2×2-1=3; 当-1≤x≤2时,y=3; 当x≤-1时,y=-x-1+2-x=1-2x≥3. 即y≥3,对于k>|x+1|+|x-2|无解,即k≤|x+1|+|x-2|恒 成立,可知k≤3.即所求k的范围是(3,+∞).
北师大版高三数学(理)一轮复习《选修— 不等式选讲》课件
∴m2-m<[f(x)]min=2⇒m2-m-2<0⇒-1<m<2.
答案
第十四章
14.3 选修4—5 不等式选讲
考纲要求
知识梳理
双击自测
核核心心考考点点
学科素养
-18-
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5 知识方法 易错易混
考点2绝对值三角不等式的应用
例2设函数f(x)=
1 ������ + ������
考点1
第十四章
14.3 选修4—5 不等式选讲
考纲要求
知识梳理
双击自测
核核心心考考点点
学科素养
考点2
考点3
考点4
考点5 知识方法 易错易混
-16-
(3)对于形如|x-a|+|x-b|>m或|x-a|+|x-b|<m(m为正常数)的不等式, 利用实数绝对值的几何意义求解较简便,即利用数形结合法,把绝 对值转化为数轴上的动点x到两个定点a,b的距离之和.
=
(������ -������ )(������������ ������������
-1),
由 a>b>1 得 ab>1,a-b>0,
所A 以
������-������ (������������ -1)>0,即
������������
x-y>0,所以
x>y.
关闭 关闭
解析 答案
第十四章
14.3 选修4—5 不等式选讲
考纲要求
知识梳理
双双击击自自测测
核心考点
学科素养
-9-
12345
3.(2015西安模拟)若a>b>1,x=a+
高考数学一轮复习选修4_5不等式选讲课件文新人教版
不等式选讲
-2知识梳理
双基自测
1
2
3
4
1.绝对值三角不等式
(1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|≤
时,等号成立;
(2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|;
(3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|≤
(a-b)(b-c)≥0
时,等号成立.
5
|a|+|b|
,当且仅当_______
-22考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
对点训练2设函数f(x)=|x+1|-m|x-2|.
(1)若m=1,求函数f(x)的值域;
(2)若m=-1,求不等式f(x)>3x的解集.
解:(1)当m=1时,f(x)=|x+1|-|x-2|.
∵||x+1|-|x-2||≤|(x+1)-(x-2)|=3,
∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3,即函数f(x)的值域为[-3,3].
(3)柯西不等式的向量情势:设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且
仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
-6知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.不等式证明的方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等.
-7知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”.
所以|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,即
|| + |-1| = 1,
|| + |-1| = 1.
高三数学《师说》系列一轮复习 不等式选讲课件 理 新人教B
点评 解法一主要是分类讨论去绝对值，关键是确定讨论的区 间．解法二主要是根据具体问题结合数轴可得解集(即图象法).
变式迁移 1 不等式|2x＋1|＋|x－2|＞4 的解集为________．
答案 {x|x＜－1 或 x＞1}
解析 当 x≤－12时， 原不等式可化为－2x－1＋2－x＞4 ∴x＜－1.
②作商法：欲证 A＞B，若 B＞0，只需证AB＞1；若 B＜0，只 需证明AB＜1.
步骤：作商 变形 判断商与“1”的大小． 注意 在比较商式与“1”的大小关系时，应注意函数(特别是 指数函数)的性质(特别是单调性)的运用．
(2)分析法． ①方法：分析法是从需求证的不等式出发，分析使这个不等式 成立的充分条件，通过肯定这些充分条件都已具备，从而断定原不 等式成立． ②特点：执果索因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已 知”． 注意 用分析法证明不等式往往把“逆求”错误用做为“逆 推”，分析过程只需寻求充分条件即可，而不是充要条件．
(5)放缩法． 欲证 A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量， 使得 B≤B1，B1≤B2，…，Bi≤A，或 A≥A1，A1≥A2，…，Ai≥B， 再利用传递性，达到欲证的目的，这种方法叫做放缩法． (6)用数学归纳法证明不等式 ①用数学归纳法证明不等式必须严格遵循数学归纳法的基本程 序“两步一结论” ②由于不等式的特殊性，在 n＝k n＝k＋1 的过程中，假设成 立的结论代入后与目标结论尚有较大差异，此时要综合运用不等式 的证明方法．
平方和不等式：若 a，b∈R，则 a2＋b2≥12(a＋b)2； 重要不等式：a，b 均为正数，则a＋2 b≥ ab，a，b∈R，则 a2 ＋b2≥2ab； 倒数和不等式，若 a，b 均为正数，则(a＋b)(1a＋1b)≥4.
高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 选修系列(第2部分：不等式选讲)
高考一轮复习热点难点精讲精析： 选修系列（第2部分：不等式选讲）一、绝对值不等式（一）绝对值三角不等式性质定理的应用〖例〗“|x-a|＜m,且|y-a|＜m 是“|x-y|＜2m ”(x,y,a,m ∈R)的（A ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件思路解析：利用绝对值三角不等式，推证||||x a m y a m -<⎧⎨-<⎩与|x-y|＜2m 的关系即得答案。
解答：选A 。
|||()()|||||2,||,||||23,1,2, 2.5,||252,||5,|| 2.5,||||||2.x y x a y a x a y a m m m x a m y a m x y m x y a m x y m x a x a m x a m y a m x y m -=---≤-+-<+=∴-<-<-<===-=-=<=-=-<=-<-<-< 且是的充分条件.取则有但不满足故且不是的必要条件（二）绝对值不等式的解法 〖例〗解下列不等式：2(1)1|2|3;(2)|25|7;(3)|9|3;(4)|1||2| 5.x x x x x x x <-≤+>+-≤+-++<思路解析：（1）利用公式或平方法转化为不含绝对值的不等式。
（2）利用公式法转化为不含绝对值的不等式。
（3）利用绝对值的定义或|()|(0)|()|f x a a a f x a ≤>⇒-≤≤去掉绝对值符号或利用数形结合思想求解。
（4）不等式的左边含有绝对值符号，要同时去掉这两个绝对值符号，可以采用“零点分段法”，此题亦可利用绝对值的几何意义去解。
解答：（1）方法一：原不等式等价于不等式组|2|1,|2|3x x ->⎧⎨-≤⎩即13,15x x x <>⎧⎨-≤≤⎩或 解得-1≤x ＜1或3＜x ≤5,所以原不等式的解集为{x|-1≤x ＜1或3＜x ≤5}. （2）由不等式|25|7x x +>+，可得250257x x x +≥⎧⎨+>+⎩或250,25(7)x x x +<⎧⎨+<-+⎩解得x>2或x<-4.∴原不等式的解集是{x| x<-4或x>2}（3）原不等式⇔①229093x x x ⎧-≥⎪⎨-≤+⎪⎩或②2290,93x x x ⎧-<⎪⎨-≤+⎪⎩ 不等式①⇔3333 4.34x x x x x ≤-≥⎧⇔=-≤≤⎨-≤≤⎩或或不等式②⇔332 3.32x x x x -<<⎧⇔≤<⎨≤-≥⎩或 ∴原不等式的解集是{x|2≤x ≤4或x=-3}.(4)分别求|x-1|,|x+2|的零点，即1，-2。
(全国通用)高考数学一轮复习 不等式选讲 第一节 绝对值不等式习题 理 选修4-5-人教版高三选修4
选修4-5 不等式选讲第一节绝对值不等式[基础达标]一、填空题(每小题5分,共25分)1.若不等式A={x||3x+2|>1},B={x||x-2|≤3},则A∩B=.【解析】解不等式|3x+2|>1得3x+2<-1或3x+2>1,解得x<-1或x>-,则A=;解不等式|x-2|≤3得-3≤x-2≤3,则-1≤x≤5,则B={x|-1≤x≤5},所以A∩B=.2.(2015·某某统测)不等式|x-2|+|x+1|≤5的解集为.[-2,3]【解析】不等式|x-2|+|x+1|≤5⇔解得-2≤x<-1或-1≤x≤2或2<x≤3,所以不等式|x-2|+|x+1|≤5的解集为[-2,3].3.(2015·某某巴蜀中学三诊)已知关于x的不等式|x+2|+|x-2|≤a2解集为空集,则a的取值X围为.(-2,2)【解析】由关于x的不等式|x+2|+|x-2|≤a2解集为空集,得关于x的不等式|x+2|+|x-2|>a2解集为R,则(|x+2|+|x-2|)min>a2.又|x+2|+|x-2|≥|(x+2)-(x-2)|=4,所以a2<4,-2<a<2.4.若关于x的不等式|x-a|+|x-1|≥a恒成立,则实数a的取值X围是.【解析】由题意可得(|x-a|+|x-1|)min≥a,又|x-a|+|x-1|≥|1-a|,所以|a-1|≥a,则a-1≤-a,a≤.5.(2015·某某三模)若对于实数x,y有|1-x|≤2,|y+1|≤1,则|2x+3y+1|的最大值为.7【解析】由|2x+3y+1|=|2(x-1)+3(y+1)|≤2|x-1|+3|y+1|≤7,得|2x+3y+1|的最大值为7.二、解答题(每小题10分,共50分)6.(2015·某某高考)解不等式x+|2x+3|≥2.【解析】原不等式可化为解得x≤-5或x≥-.综上,原不等式的解集是.7.(2015·东北三省四市二模)设函数f(x)=|2x+2|-|x-2|.(1)求不等式f(x)>2的解集;(2)若对于∀x∈R,f(x)≥t2-t恒成立,某某数t的取值X围.【解析】(1)f(x)=当x<-1时,-x-4>2,x<-6,∴x<-6;当-1≤x<2时,3x>2,x>,∴<x<2;当x≥2时,x+4>2,x>-2,∴x≥2.综上所述.(2)易得f(x)min=f(-1)=-3,若对于∀x∈R,f(x)≥t2-t恒成立,则只需f(x)min=-3≥t2-t⇒2t2-7t+6≤0⇒≤t≤2,综上所述≤t≤2.8.(2015·某某实验中学质检)设函数f(x)=|x-1|+|x-3|.(1)求不等式f(x)>2的解集;(2)若不等式f(x)≤a的解集非空,某某数a的取值X围.【解析】(1)函数f(x)=方程f(x)=2的根为x1=,x2=3,由函数f(x)的图象知f(x)>2的解集为.(2)设g(x)=a,g(x)表示过点,斜率为a的直线,f(x)≤a的解集非空,即y=f(x)的图象在g(x)图象下方有图象,或与g(x)图象有交点,由图象可知a<-或a≥.9.已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+5|,且f(x)≥m恒成立.(1)求m的取值X围;(2)当m取最大值时,解关于x的不等式|x-3|-2x≤2m-8.【解析】(1)f(x)=当-≤x≤时,函数有最小值6,所以m≤6.(2)当m取最大值6时,原不等式等价于|x-3|-2x≤4,等价于可得x≥3或-≤x<3.所以原不等式的解集为.10.(2015·某某模拟)已知函数f(x)=|x-1|+|x+a|.(1)当a=2时,解不等式f(x)≥4;(2)若a>0,且∀x∈R,f(x)≥5恒成立,求a的取值X围.【解析】(1)当a=2时,f(x)=|x-1|+|x+2|,由f(x)≥4得|x-1|+|x+2|≥4.当x≤-2时,不等式化为-x-2-x+1≥4,其解集为.当-2<x≤1时,不等式化为x+2-x+1≥4,其解集为⌀.当x>1时,不等式化为x+2+x-1≥4,其解集为.综上得f(x)≥4的解集为.(2)因为a>0,所以f(x)=|x-1|+|x+a|=因此f(x)的最小值为a+1,由f(x)≥5恒成立,即a+1≥5恒成立,解得a≥4,所以当a>0时,对于∀x∈R,使f(x)≥5恒成立的a的取值X围是[4,+∞).[高考冲关]1.(5分)集合A=[1,5],集合B={x∈R‖x+3|+|x-2|≤a+2},且A⊆B,则实数a的取值X围是.[9,+∞)【解析】由题意可得当x∈[1,5]时,关于x的不等式|x+3|+|x-2|≤a+2恒成立,则(|x+3|+|x-2|)max≤a+2,又|x+3|+|x-2|=所以当x=5时,|x+3|+|x-2|取得最大值11,故a+2≥11,解得a≥9.2.(5分)(2015·某某调研)设函数f(x)=|x-1|+|2x-a|,若关于x的不等式f(x)≥a2+1对x∈R恒成立,则实数a的取值X围是.[-2,0]【解析】当<1,a<2时,f(x)=f(x)min=f=-a+1≥a2+1,解得-2≤a≤0;当>1,a>2时,f(x)=f(x)min=f a-1≥a2+1,无解;当a=2时,不成立.综上可得实数a的取值X围是[-2,0].3.(10分)(2015·某某测试)设函数f(x)=|x-1+a|+|x-a|.(1)若a≥2,x∈R,证明f(x)≥3;(2)若f(1)<2,求a的取值X围.【解析】(1)|x-1+a|+|x-a|≥|(x-1+a)-(x-a)|=|2a-1|,又a≥2,故|2a-1|≥3,所以此时f(x)≥3.(2)f(1)=|a|+|1-a|,当a≤0时,f(1)=(-a)+(1-a)=1-2a,由f(1)<2,得1-2a<2,即-<a≤0;当0<a≤1时,f(1)=a+(1-a)=1<2恒成立,故0<a≤1;当a>1时,f(1)=a+(a-1)=2a-1,由f(1)<2,得2a-1<2,解得1<a<.综上a的取值X围是.4.(10分)(2015·某某监测)(1)已知a和b是任意非零实数.证明:≥4;(2)若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-恒成立,某某数k的取值X围.【解析】(1)∵|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|,∴≥4.(2)记h(x)=|2x+1|-|x+1|=如图,若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-恒成立,则函数h(x)的图象在直线g(x)=k(x-1)-的上方,又g(x)的图象恒过定点,即g(x)的图象只能在图中阴影区域内,可得k∈.5.(10分)(2015·某某二中二模)已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.(1)解不等式|g(x)|<5;(2)若对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,某某数a的取值X围.【解析】(1)由‖x-1|+2|<5,得-5<|x-1|+2<5,∴-7<|x-1|<3,-2<x<4,∴不等式|g(x)|<5的解集为(-2,4).(2)∵对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,∴{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)},又f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+2≥2,则|a+3|≥2,解得a≥-1或a≤-5,即实数a的取值X围为(-∞,-5]∪[-1,+∞).。
高考数学一轮复习 12.3 不等式选讲精品课件 理 新人教A版
【评析】 (1)此题用的是作差比较法,其步骤:作差、 变形、判断差的符号、结论.其中判断差的符号为目的, 变形是关键.常用的变形技巧有因式分解、配方、拆项、 拼项等方法.
令x-1=0得x=1;令x+2=0得x=-2.
(1)当x<-2时,原不等式化为:-x+1-x-2<5,即x>-3.
∴-3<x<-2.
.
(2)当-2≤x<1时,原不等式化为:-x+1+x+2<5,即3<5恒 成立.
∴-2≤x<1也是原不等式的解集. (3)当x≥1时,原不等式化为:x-1+x+2<5,即x<2. ∴1≤x<2. 综合(1)(2)(3)可知:原不等式的解集为:{x|-3<x<2}.
3.证明不等式的常用方法
(1)比较法:分作差比较法和作商比较法两种.一般对 于多项式类和分式类的用作差比较法,对于含有幂指数 类的用作商比较法.
(2)综合法:利用已知条件和公式、定理等直接推导
所要证明的不等式.其过程是“由因导果”.常用到以下
不等:a2≥0,(a±b)2≥0,a2+b2≥2ab(a,b∈R), a+b ≥ ab
{ x-2≥0,
(1) 3≤x-2<9,
{x-2<0,
(2) 3≤2-x<9.
不等式组（1）的解集为{x|5≤x<x≤-1}.
∴原不等式的解集为{x|-7<x≤-1或5≤x<11}.
.
解法三：不等式3≤|x-2|<9的几何意义是表示在数轴 上到2的距离大于或等于3且小于9的点的集合.如图所 示.∴原不等式的解集为{x|-7<x≤-1或5≤x<11}.
高考数学一轮复习 不等式选讲课件 理
4x－2，x>32，
由f(x)≥6⇒x≤－1或x≥2.
所以不等式的解集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
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第三十二页，共四十五页。
－4x＋2＋a，x<－12， (2)方法一：f(x)＝4＋a，－12≤x≤32，
4x－2＋a，x>32
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第二十五页，共四十五页。
方法二：由|x＋1|－|x－3|≤|x＋1－(x－3)|＝4. |x－3|－|x＋1|≤|(x－3)－(x＋1)|＝4. 可得－4≤|x＋1|－|x－3|≤4. (1)若不等式有解，则a＜4； (2)若不等式的解集为R，则a＜－4； (3)若不等式解集为∅，则a≥4.
解析：由|3x－b|＜4得－4＜3x－b＜4， 即－43＋b＜x＜4＋3 b， ∵不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则
0≤－43＋b＜1 3＜4＋3 b≤4
⇒45≤ ＜bb＜ ≤78 ，∴5＜b＜7.
答案：(5,7)
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5．已知关于x的不等式|x－2|－|x－5|－k＞0的解集为R，则实 数k的范围是__________．
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第二十九页，共四十五页。
(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.
此不等式化为不等式组xx≥－aa，＋3x≤0 或xa＜－ax， ＋3x≤0，
x≥a， x＜a，
即x≤a4
或x≤－a2.
因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤－a2}．
由题设可得－a2＝－1，故a＝2.
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高考数学一轮复习 不等式选讲课件 文课件
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标A版·数学（文）
【解】 (1)当 a＝2 时， f(x)≥3x＋2 可化为|x－2|≥2
基
解得 x≥4 或 x≤0，
础 知
识
故不等式 f(x)≥3x＋2 的解集为{x|x≥4 或 x≤0}．
回 顾
考 点 互 动 探 究
课 时 作 业
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第十一篇 选修4－5
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标A版·数学（文）
问题探究 1：柯西不等式的一般形式等号成立的条件若写作
基
“当且仅当 bi＝0(i＝1,2…n)或 bi≠0(i＝1,2…n)，ab11＝ab22＝…＝bann
础 知 识 回
时等号成立”可以吗？
顾
考
提示：可以．
点 互
动
探
究
课 时 作 业
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第十一篇 选修4－5
与名师对话·系列丛书
础 知
识
值的不等式的求解，要掌握好三种方法，一是根据绝对值的几何
回 顾
意义，即借助数轴的直观解法；二是根据绝对值的意义，采用零 考
点
点分段去绝对值后，转化为不等式组的方法；三是构造函数，即
互 动
探
通过函数图象的方法，要在解题过程中根据不同的问题情境灵活 究
选用这些方法．
课
时
作
业
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第十一篇 选修4－5
高考总复习·课标A版·数学（文）
3．排序不等式
(1)乱序和、反序和与顺序和
基 础
知
设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn∈R，
识 回
顾
且 a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn，
高中数学一轮复习 不等式选讲
选修4—5 不等式选讲随堂演练巩固1.对于x ∈R ,不等式|x +10|-|x -2|8≥的解集为.【答案】 [0),+∞【解析】 令y =|x +10|-|x -2|=121028102122x x x x -,≤-,⎧⎪+,-<<,⎨⎪,≥,⎩则可画出其函数图象如图所示:由图象可以观察出使8y ≥的x 的范围为[0),+∞.∴|x +10|-|x -2|8≥的解集为[0),+∞.2.（2011江西高考，理15）对于实数x ,y ,若|x -1|1≤,|y -2|≤1,则|x -2y +1|的最大值为 .【答案】 5 【解析】 |x -2y +1|=|x -1-2(y -2)-2|≤|x -1|+2|y -2|+2≤1+2+2=5.3.设函数f (x )=|2x -4|+1.(1)画出函数y =f (x )的图象;(2)若不等式()f x ax ≤的解集非空,求a 的取值范围【解】 (1)由于f (x )= 252232x x x x -+,<,⎧⎨-,≥,⎩则函数y =f (x )的图象如图所示.(2)由函数y =f (x )与函数y =ax 的图象可知,当且仅当12a ≥或a <-2时,函数y =f (x )与函数y =ax 的图象有交点,故不等式()f x ax ≤的解集非空时,a 的取值范围为1(2)[)2-∞,-⋃,+∞.4.设a ,b 是非负实数,求证: 3322)a b a b ++.【证明】 由a ,b 是非负实数,作差得3322)a b a b a b ++=+55]=-.当a b ≥时从而55≥,得55]0-≥;当a <b 时<从而55<,得55]0->.∴3322)a b a b ++.5.若a >b >c ,且a +b +c =0,证明<【证明】<⇔< 2222330b ac a a b ac ⇔-<⇔-+>22223()20a a c ac a ac c ⇔-++=-->()(2a c a ⇔-+c )>0.∵a >b >c ,a +b +c =0,∴a -c >0,2a +c =a +(a +c )=a -b >0,即知(a -c )(2a +c )>0.<6.已知(01)a b c ,,∈,,求证:(1-a )b ,(1-b )c ,(1-c )a 不能同时大于14. 【证法一】 假设三式同时大于14, 即有111(1)(1)(1)444a b b c c a ->,->,->, 三式同向相乘,得(1-a )a (1-b )b 1(1)64c c ->.又211(1)()24a a a a -+-≤=. 同理11(1)(1)44b bc c ,-≤,-≤. ∴(1-a )a (1-b 1)(1)64b c c -≤,与假设矛盾, ∴结论正确.【证法二】 假设三式同时大于14,∵0<a <1,∴1-a>0,(1)122a b -+≥>. 同理(1)(1)22b c c a -+-+,都大于12. 三式相加,得33>,矛盾. ∴原命题成立.课后作业夯基基础巩固1.若不等式|x +1|+|x -2|a ≥对任意x ∈R 恒成立,则a 的取值范围是 .【答案】 (-∞,]3【解析】 方法一:∵|x +1|+|x -2|≥|(x +1)-(x-∴使原不等式恒成立的a 的取值范围是3a ≤.方法二:|x +1|+|x -2|表示数轴上一点A(x )到B(-1)与C(2)的距离之和,而|BC|=3,∴|AB|+|AC|3≥.∴3a ≤.方法三:设f (x )=|x +1|+|x -2|= 121312212x x x x x -,<-,⎧⎪,-≤≤,⎨⎪-,>,⎩∴f (x )的图象如图所示,∴()3f x ≥.∴3a ≤.2.不等式|22x x --|234x x >--的解集是 .【答案】 (3)-,+∞【解析】 ∵|22x x --|=|22x x -+|,而220x x -+>恒成立,∴原不等式等价于22234x x x x -+>--,即2x >-6,x >-3.∴原不等式的解集为(3)-,+∞.3.（2011天津高考，理13）已知集合A ={x ∈R ||x +3|+|x -4|≤9},B ={x ∈R |146x t t =+-, (0)t ∈,+∞},则集合A B ⋂= .【答案】 {x |25x -≤≤} 【解析】 解不等式|x +3|+|x -4|9≤.(1)当x <-3时,|x +3|+|x -4|=-x -3+4-x ≤9,∴4x ≥-,即43x -≤<-;(2)当34x -≤≤时,|x +3|+|x -4|=x +3+4-x ≤9恒成立,∴34x -≤≤;(3)当x >4时,|x +3|+|x -4|349x x =++-≤,∴5x ≤,即45x <≤.综上所述,A={x ∈R |45x -≤≤}.∵(0)t ∈,+∞,∴14662x t t =+-≥=-,当且仅当12t =时等号成立. ∴B={x ∈R |2x ≥-}.∴A B ⋂={x ∈R |45x -≤≤}⋂{x ∈R |2x ≥-}={x ∈R |25x -≤≤}.4.如果关于x 的不等式|x -3|-|x -4|<a 的解集不是空集,则实数a 的取值范围是 .【答案】 a >-1【解析】 a >(|x -3|-|x -4|min ),令y =|x -3|-|x -4|,由几何意义得11y -≤≤,故a >-1.5.若不等式|1x x+|>|a -2|+1对于一切非零实数x 均成立,则实数a 的取值范围是 . 【答案】 (1,3)【解析】 ∵|1x x+|2≥,∴|a -2|+1<2, 即|a -2|<1,解得1<a <3.6.解不等式|3x -2|>4.【解法一】 由|3x -2|>4,得3x -2<-4或3x -2>4, 即23x <-或x >2. 所以原不等式的解集为{x |23x <-或x >2}. 【解法二】 (数形结合法):画出函数y =|3x -2|=23232233x x x x ⎧-,≥,⎪⎨⎪-,<⎩的图象,如下图所示: |3x -2|=4,解得x =2或23x =-, ∴|3x -2|>4时23x ,<-或x >2.∴原不等式的解集为{x |23x <-或x >2}. 7.解不等式:|x |+|2x +7|<5.【解】 当72x ≤-时,-x -(2x +7)<5,x >-4,∴-4<x ≤72-; 当702x -<≤时,-x +2x +7<5,x <- ∴72-<x <-2;当x >0时,x +2x +7253x <,<-,舍去. ∴原不等式的解集为(-4,-2).8.若关于x 的不等式x +|x -1|a ≤有解,求实数a 的取值范围. 【解】 设f (x )=x +|x -1|,则f (x )=21111x x x -,≥,⎧⎨,<.⎩所以f (x )的最小值为1.所以当1a ≥时()f x a ,≤有解,即实数a 的取值范围是[1),+∞.9.解不等式x +|2x -1|<3.【解】 原不等式可化为210(21)3x x x -≥,⎧⎨+-<⎩ 或210(21)3x x x -<,⎧⎨--<.⎩ 解得1423x ≤<或122x -<<. 所以原不等式的解集是{x |423x -<<}. 10.求证:111a b a b a b a b |+|||||≤++|+|+||+||. 【证明】 设111()1111x x f x x x x+-===-,+++ 定义域为{x |x ∈R 且1x ≠-},f (x )分别在(1)(1)-∞,-,-,+∞上是增函数.又0≤|a +b |≤|a |+|b |,∴f (|a +b |)(f ≤|a |+|b |), 即11a b a b a b a b |+|||+||≤+|+|+||+|| 11a b a b a b ||||=++||+||+||+|| a b ||||≤+. ∴原不等式成立.11.设函数f (x )=|x -a |+3x ,其中a >0.(1)当a =1时,求不等式()32f x x ≥+的解集;(2)若不等式()0f x ≤的解集为{x |1x ≤-},求a 的值.【解】 (1)当a =1时()32f x x ,≥+可化为|x -1|2≥.由此可得3x ≥或1x ≤-.故不等式()32f x x ≥+的解集为{x |3x ≥或x ≤-(2)由()0f x ≤得|x -a |30x +≤.此不等式化为不等式组30x a x a x ≥,⎧⎨-+≤,⎩ 或30x a a x x ≤,⎧⎨-+≤,⎩即4x a a x ≥,⎧⎪⎨≤,⎪⎩ 或2x a a x ≤,⎧⎪⎨≤-.⎪⎩ 因为a >0,所以不等式组的解集为{x |2a x ≤-}. 由题设可得12a -=-,故a =2. 12.已知0abc ≠,且a c ≠,求证:若a ,b ,c 成等差数列,则111a b c,,不可能成等差数列. 【证明】 假设111a b c ,,成等差数列,则112a c b+=,化简得b (a +c )=2ac . ① 因为a ,b ,c 成等差数列,所以a +c =2b . ②把②代入①,得2()4a c ac +=,由此得2()0a c a c -=,=.这与a c ≠相矛盾,因此假设不成立,故原命题正确.13.(2011安徽高考,理19)(1)设11x y ≥,≥,证明x +y +1xy ≤1x +1xy y+; (2)设1a b c <≤≤,证明log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c .【证明】 (1)由于11x y ≥,≥,所以2111()1()x y xy xy x y y x xy xy x y++≤++⇔++≤++. 将上式中的右式减左式,得[y 2()]x xy ++-[xy (x +y )+1]2[()1][(xy xy x =--+y )-(x +y )]=(xy +1)(xy -1)-(x +y )(xy -1)=(xy -1)(xy -x -y +1)=(xy -1)(x -1)(y -1).既然11x y ≥,≥,所以(xy -1)(x -1)(1)0y -≥.从而所要证明的不等式成立.(2)设log a b x =,log b c y =,由对数的换底公式得log c a =1xy,log b a =1x ,log 1c b y=,log a c xy =. 于是,所要证明的不等式即为111x y xy xy x y++≤++, 其中x =log 1a b y ≥,=log 1b c ≥. 故由(1)可知所要证明的不等式成立.拓展延伸14.已知函数f (x )=|x -a |,(1)若不等式()3f x ≤的解集为{x |15x -≤≤},求实数a的值(2)在(1)的条件下,若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范围.【解法一】 (1)由()3f x ≤得|x -a |3≤,解得3a -≤x ≤a又已知不等式()3f x ≤的解集为{x |15x -≤≤}, 所以 3135a a -=-,⎧⎨+=,⎩解得a =2.(2)当a =2时,f (x )=|x -2|.设g (x )=f (x )+f (x +5),于是g (x )=|x -2|+|x +3|=213532212x x x x x --,<-,⎧⎪,-≤≤,⎨⎪+,>.⎩所以当x <-3时,g (x )>5;当32x -≤≤时,g (x )=5;当x >2时,g (x )>5.综上可得,g (x )的最小值为5.从而,若()(5)f x f x m ++≥,即()g x m ≥对一切实数x 恒成立,则m 的取值范围为(5]-∞,.【解法二】 (1)同解法一.(2)当a =2时,f (x )=|x -2|.设g (x )=f (x )+f (x +5).由|x -2|+|x +3|≥|(x -2)-(x +3)|=5(当且仅当32x -≤≤时等号成立)得,g (x )的最小值为5. 从而,若()(5)f x f x m ++≥,即()g x m ≥对一切实数x 恒成立,则m 的取值范围为(5]-∞,.。
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选修4—5 不等式选讲随堂演练巩固1.对于x R,不等式|x+10|-|x-2|8的解集为 .【答案】[0)【解析】令y=|x+10|-|x-2|=1210 28102122xx xx则可画出其函数图象如图所示:由图象可以观察出使8y的x的范围为[0).∴|x+10|-|x-2|8的解集为[0).2.（2011江西高考，理15）对于实数x,y,若|x-1|1|y-2|1,则|x-2y+1|的最大值为 .【答案】 5【解析】 |x-2y+1|=|x-1-2(y-2)-2||x-1|+2|y-2|+21+2+2=5.3.设函数f(x)=|2x-4|+1.(1)画出函数y=f(x)的图象;(2)若不等式()f x ax的解集非空,求a的取值范围【解】 (1)由于f(x)=252232x xx x则函数y=f(x)的图象如图所示.(2)由函数y =f (x )与函数y =ax 的图象可知,当且仅当12a或a <-2时,函数y =f (x )与函数y =ax 的图象有交点,故不等式()f x ax 的解集非空时,a 的取值范围为1(2)[)2.4.设a ,b 是非负实数,求证: 3322()ab ab a b .【证明】由a ,b 是非负实数,作差得332222()()()abab a b a a a b bb b a 55()[()()]ab a b .当a b 时ab 从而55()()a b 得55()[()()]0a b a b ;当a <b 时ab 从而55()()a b 得55()[()()]0a b a b .∴3322()abab ab .5.若a >b >c ,且a +b +c =0,证明:23bac a . 【证明】2233b acbac aa2222330bacaabac22223()20aa c ac aac c ()(2ac ac )>0.∵a >b >c ,a +b +c =0,∴a -c >0,2a +c =a +(a +c )=a -b >0, 即知(a -c )(2a +c )>0. 故23baca.6.已知(01)a b c 求证:(1-a )b ,(1-b )c ,(1-c )a 不能同时大于14.【证法一】假设三式同时大于14即有111(1)(1)(1)444a bb c c a 三式同向相乘,得(1-a )a (1-b )b 1(1)64c c.又211(1)()24a a a a .同理11(1)(1)44b bc c .∴(1-a )a (1-b 1)(1)64b c c与假设矛盾, ∴结论正确. 【证法二】假设三式同时大于14∵0<a <1,∴1-a >0,(1)11(1)242a ba b. 同理(1)(1)22b c c a都大于12. 三式相加,得3322矛盾. ∴原命题成立. 课后作业夯基基础巩固1.若不等式|x +1|+|x -2|a 对任意xR 恒成立,则a 的取值范围是 .【答案】(3【解析】方法一:∵|x +1|+|x -2||(x +1)-(x -∴使原不等式恒成立的a 的取值范围是3a .方法二:|x +1|+|x -2|表示数轴上一点A(x )到B(-1)与C(2)的距离之和,而|BC|=3, ∴|AB|+|AC|3.∴3a .方法三:设f (x )=|x +1|+|x -2|=121312212x xxx x∴f (x )的图象如图所示,∴()3f x .∴3a. 2.不等式|22x x |234xx的解集是 . 【答案】(3)【解析】∵|22x x|=|22xx|,而220xx 恒成立,∴原不等式等价于22234x x xx 即2x >-6,x >-3. ∴原不等式的解集为(3).3.（2011天津高考，理13）已知集合A ={xR ||x +3|+|x -4|9},B ={xR |146xt t(0)t },则集合A B.【答案】 {x |25x } 【解析】解不等式|x +3|+|x -4|9.(1)当x <-3时,|x +3|+|x -4|=-x -3+4-x 9, ∴4x即43x ;(2)当34x 时,|x +3|+|x -4|=x +3+4-x 9恒成立, ∴34x ;(3)当x >4时,|x +3|+|x -4|349x x ∴5x即45x .综上所述,A={xR |45x }. ∵(0)t∴11462462xtt tt当且仅当12t时等号成立. ∴B={x R |2x }.∴A B {x R |45x }{x R |2x }={x R |25x }.4.如果关于x 的不等式|x -3|-|x -4|<a 的解集不是空集,则实数a 的取值范围是 . 【答案】a >-1 【解析】a >(|x -3|-|x -4|min )令y =|x -3|-|x -4|,由几何意义得11y 故a >-1.5.若不等式|1x x |>|a -2|+1对于一切非零实数x 均成立,则实数a 的取值范围是 . 【答案】 (1,3) 【解析】∵|1xx|2∴|a -2|+1<2,即|a -2|<1,解得1<a <3. 6.解不等式|3x -2|>4. 【解法一】由|3x -2|>4,得3x -2<-4或3x -2>4,即23x或x >2. 所以原不等式的解集为{x |23x或x >2}. 【解法二】 (数形结合法):画出函数y =|3x -2|=23232233xxx x的图象,如下图所示: |3x -2|=4,解得x =2或23x∴|3x -2|>4时23x或x >2.∴原不等式的解集为{x |23x或x >2}. 7.解不等式:|x |+|2x +7|<5. 【解】当72x时,-x -(2x +7)<5,x >-4,∴-4<x 72; 当702x 时,-x +2x +7<5,x <-∴72<x <-2;当x >0时,x +2x +7253x 舍去. ∴原不等式的解集为(-4,-2).8.若关于x 的不等式x +|x -1|a 有解,求实数a 的取值范围.【解】设f (x )=x +|x -1|,则f (x )=21111x x x 所以f (x )的最小值为 1. 所以当1a时()f x a 有解,即实数a 的取值范围是[1).9.解不等式x +|2x -1|<3. 【解】原不等式可化为210(21)3x x x 或210(21)3x x x 解得1423x或122x. 所以原不等式的解集是{x |423x}. 10.求证:111a b ab a bab.【证明】设111()1111x x f x x x x定义域为{x |x R 且1x},f (x )分别在(1)(1)上是增函数.又0|a +b ||a |+|b |,∴f (|a +b |)(f |a |+|b |),即11a b ab aba b 11a bab ab11a b a b.∴原不等式成立.11.设函数f (x )=|x -a |+3x ,其中a >0.(1)当a =1时,求不等式()32f x x 的解集; (2)若不等式()0f x 的解集为{x |1x },求a 的值.【解】 (1)当a =1时()32f x x 可化为|x -1|2.由此可得3x或1x.故不等式()32f x x的解集为{x |3x 或x-(2)由()0f x 得|x -a |30x.此不等式化为不等式组30x ax a x或30x aa x x即4xa a x 或2xa a x因为a >0,所以不等式组的解集为{x |2a x}. 由题设可得12a 故a =2.12.已知0abc 且ac 求证:若a ,b ,c 成等差数列,则111a b c不可能成等差数列.【证明】假设111a b c 成等差数列,则112acb 化简得b (a +c )=2ac . ①因为a ,b ,c 成等差数列,所以a +c =2b . ②把②代入①,得2()4a c ac 由此得2()0a c ac .这与a c 相矛盾,因此假设不成立,故原命题正确.13.(2011安徽高考,理19)(1)设11x y证明x +y +1xy1x 1xy y;(2)设1a bc 证明log a blogbc log c a log b a log c b log a c . 【证明】 (1)由于11x y所以2111()1()xyxyxy x y y x xy xy x y.将上式中的右式减左式,得[y2()]x xy [xy (x +y )+1]2[()1][(xy xy x y )-(x +y )]=(xy +1)(xy -1)-(x +y )(xy -1) =(xy -1)(xy -x -y +1) =(xy -1)(x -1)(y -1).既然11x y 所以(xy -1)(x -1)(1)0y .从而所要证明的不等式成立.(2)设logab x log b cy由对数的换底公式得logc a1xy log b a 1x log 1c b y log acxy .于是,所要证明的不等式即为111x y xyxy x y其中x =log1ab ylog1bc .故由(1)可知所要证明的不等式成立.拓展延伸14.已知函数f (x )=|x -a |,(1)若不等式()3f x 的解集为{x |15x },求实数a 的值(2)在(1)的条件下,若()(5)f x f x m 对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范围. 【解法一】 (1)由()3f x 得|x -a |3解得3a xa又已知不等式()3f x 的解集为{x |15x},所以3135a a解得a=2.(2)当a=2时,f(x)=|x-2|. 设g(x)=f(x)+f(x+5),于是g(x)=|x-2|+|x+3|=213 532 212 x xxx x所以当x<-3时,g(x)>5;当32x时,g(x)=5;当x>2时,g(x)>5.综上可得,g(x)的最小值为 5.从而,若()(5)f x f x m即()g x m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(5].【解法二】 (1)同解法一.(2)当a=2时,f(x)=|x-2|.设g(x)=f(x)+f(x+5).由|x-2|+|x+3||(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当32x时等号成立)得,g(x)的最小值为 5. 从而,若()(5)f x f x m即()g x m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(5].。