复杂二次分式函数极值的快速解法
解题秘诀二次函数最值的4种解法
解题秘诀二次函数最值的4种解法二次函数是高中数学中的一个重要知识点，掌握了解题的秘诀和方法，就可以更好地解决与二次函数相关的各种问题。
本文将介绍四种解法来求解二次函数的最值问题。
一、二次函数的最值根据导数解法要求解二次函数的最值，可以通过求导数的方法来解决。
具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2. 对函数进行求导，得到导函数：f'(x) = 2ax + b。
3.导函数表示了二次函数的斜率，要求函数的最值，就是要求导函数为零点时的x值。
4. 解方程2ax + b = 0，求得x = -b / 2a。
5.将求得的x值代入二次函数，计算得到对应的y值。
6.x和y的值就是二次函数的最值。
二、二次函数的最值根据顶点法解法顶点法也是求解二次函数的最值的一种方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2.求出二次函数的顶点坐标，顶点的x值为-x/2a。
3.将求得的x值代入二次函数，计算得到对应的y值。
4.x和y的值就是二次函数的最值。
三、二次函数的最值根据平移法解法平移法是一种通过平移变换求解二次函数最值的方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2.将二次函数表示为顶点形式：f(x)=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。
3.根据函数的几何性质，二次函数的最值就是顶点的纵坐标k。
四、二次函数的最值根据因式分解解法因式分解是一种求解二次函数最值的常用方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2.将二次函数进行因式分解：f(x)=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为二次函数的两个零点。
3.根据函数的几何性质，二次函数的最值为x轴与二次函数的拐点处的纵坐标。
通过以上四种解法，我们可以灵活地解决二次函数的最值问题。
关于函数极值的高效解题技巧
关于函数极值的高效解题技巧在数学的学习中，函数极值问题是一个重要且具有一定难度的知识点。
掌握高效的解题技巧不仅能帮助我们在考试中取得好成绩，更能提升我们的数学思维能力。
下面，让我们一起来探讨一下函数极值的高效解题技巧。
一、函数极值的定义与概念首先，我们要明确函数极值的定义。
函数的极值是指在函数定义域内的某一点，其函数值大于（或小于）该点附近所有点的函数值。
极大值和极小值统称为极值。
理解极值的概念需要注意以下几点：1、极值是局部概念，是在某个局部区间内的最大值或最小值。
2、极值点不一定是导数为零的点，导数为零的点也不一定是极值点。
3、函数在区间端点处一般不考虑极值。
二、求函数极值的必要条件要找到函数的极值点，通常需要先求出函数的导数。
导数为零的点可能是极值点，但这只是必要条件，而非充分条件。
例如，对于函数 f(x) ＝ x³，其导数 f'（x) ＝ 3x²，当 f'（x) ＝ 0 时，x ＝ 0 。
但 x ＝ 0 并不是函数的极值点。
三、判断极值点的充分条件在求出导数为零的点后，我们需要进一步判断这些点是否为极值点。
常用的方法有：1、一阶导数判别法设函数 f(x) 在 x₀处可导，且 f'（x₀) ＝ 0 。
若在 x₀的左侧导数为正，右侧导数为负，则 x₀为极大值点；若在 x₀的左侧导数为负，右侧导数为正，则 x₀为极小值点。
2、二阶导数判别法设函数 f(x) 在 x₀处二阶可导，且 f'（x₀) ＝ 0 ，f'＇（x₀) ≠ 0 。
若 f'＇（x₀) ＜ 0 ，则 x₀为极大值点；若 f'＇（x₀) ＞ 0 ，则 x₀为极小值点。
四、求函数极值的步骤下面是求函数极值的一般步骤：1、求出函数的定义域。
2、对函数求导，得到导函数 f'（x) 。
3、令 f'（x) ＝ 0 ，求出导函数的零点。
4、利用上述判别法判断这些零点是否为极值点。
高考数学如何解决复杂的函数极值问题
高考数学如何解决复杂的函数极值问题在高考数学中，函数极值问题是一个重要的考点。
解决复杂函数极值问题需要掌握一定的数学知识和解题技巧。
本文将从数学知识的应用和解题方法两个方面，介绍如何解决复杂的函数极值问题。
一、数学知识的应用在解决复杂函数极值问题时，我们需要运用以下数学知识：1. 导数的概念和性质：导数可以表示函数在某一点的变化率，通过导数可判断函数在某一点的极值和临界点。
掌握导数的计算、导数的性质和导数的应用是解决函数极值问题的基础。
2. 极值的判定条件：对于给定的函数，如果函数在某一点的导数等于零或不存在，那么这个点可能是函数的极值点。
通过求导并令导数等于零，可以找到函数极值点的候选值。
3. 函数的单调性：在函数的极值问题中，还需要考虑函数的单调性。
如果函数在某个区间上单调递增或单调递减，那么该区间的端点可能是函数的极值点。
以上是解决复杂函数极值问题所必须掌握的数学知识，下面将介绍解题方法。
二、解题方法解决函数极值问题可以分为以下几个步骤：1. 确定函数的定义域：首先需要确定函数的定义域，即函数存在的取值范围。
对于定义域内的函数，才能进行极值的分析和计算。
2. 求函数的导数：根据函数的表达式，求出函数的导数。
导数代表函数在某一点的变化率，可以给出函数的极值点的候选值。
3. 求导数为零的点：将函数的导数等于零，求解方程得到导数为零的点。
这些点称为函数的临界点，它们可能是函数的极值点。
4. 判断极值点：通过判断函数在临界点附近的单调性，确定临界点是否为函数的极值点。
对于单调递增的函数，极小值点可能在临界点的左侧；而对于单调递减的函数，极大值点可能在临界点的右侧。
5. 确定极值：根据函数的定义域以及在临界点处的极值情况，确定函数的极值。
通过以上步骤，我们可以解决复杂的函数极值问题。
需要强调的是，在解题过程中，要注意对函数的定义域、导数和极值点进行合理的分析，灵活运用数学方法，尽量简化计算，提高解题的效率。
高中数学中的二次函数求解二次方程与二次函数极值的技巧
高中数学中的二次函数求解二次方程与二次函数极值的技巧二次函数是高中数学中一个重要的内容，它们在各个学科领域都有广泛的应用。
求解二次方程和求取二次函数的极值是解决二次函数问题的两个基本技巧。
本文将介绍一些在高中数学中用于求解二次方程和求取二次函数的极值的常用技巧，帮助学生更好地理解和掌握这些概念。
一、求解二次方程的技巧一般来说，二次方程的标准形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a不等于0。
我们可以通过以下技巧来解决二次方程问题。
1.使用因式分解法当二次方程可以因式分解时，我们可以利用这一性质来求解。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以将其写成(x - 2)(x - 3) = 0的形式，从而得到方程的两个解x = 2和x = 3。
2.使用配方法对于那些无法直接因式分解的二次方程，我们可以使用配方法来求解。
该方法通过将二次方程转化为完全平方的形式，从而得到方程的解。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将其写成(x + 3)^2 = 0的形式，从而得到方程的解x = -3。
3.使用求根公式当无法使用因式分解或配方法时，我们可以使用求根公式来求解二次方程。
二次方程的通解可以通过公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来表示。
例如，对于方程x^2 - 2x - 3 = 0，我们可以代入a = 1、b = -2、c =-3，利用求根公式计算得到方程的两个解x = 3和x = -1。
二、求取二次函数的极值的技巧二次函数的标准形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
我们可以通过以下技巧来求取二次函数的极值。
1.使用二次函数的顶点公式二次函数的顶点公式表达式为x = -b / (2a)，y = f(-b / (2a))，其中x表示顶点的横坐标，y表示顶点的纵坐标。
顶点是二次函数的极值点，通过这一公式可以直接计算出极值点的坐标。
高考高频考点2二次型分式函数求最值
第2讲 二次型分式函数求最值知识与方法我们把y =一次函数二次函数、y =二次函数一次函数、y =二次函数二次函数统称为“二次型分式函数”，这些函数求最值的方法是类似的，通常有均值不等式法、判别式法、求导法等，下面通过例题详细分析这些方法是如何使用的.典型例题【例题】函数211x x y x −+=−()1x >的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：令1t x =−，则0t >，1x t =+，所以()()2211111113t t t t y t tt t +−++++===++≥+=，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，从而函数211x x y x −+=−()1x >的最小值为3.解法2（判别式法）：将211x x y x −+=−变形为()211y x x x −=−+，整理得：()2110x y x y −+++=①，将式①看出关于x 的一元二次方程，其判别式()()21410y y ∆=+−+≥，解得：1y ≤−或3y ≥，因为1x >，所以10x −>，210x x −+>，从而0y >，故3y ≥，注意到当2x =时，3y =，所以函数211x x y x −+=−()1x >的最小值为3.解法3（求导法）：设()211x x f x x −+=−()1x >，则()()()221x x f x x −'=−，所以()02f x x '>⇔>，()012f x x '<⇔<<，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()min 23f x f ==.【答案】3 变式1 函数211x y x x −=−+()1x >的最大值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：令1t x =−，则0t >，1x t =+，所以()()22111131111t t y t t t t t t ===≤=+++−++++， 当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，从而函数211x y x x −=−+()1x >的最大值为13.解法2（判别式法）：将211x y x x −=−+变形成()211y x x x −+=−， 整理得：()2110yx y x y −+++=①，当0y ≠时，把①看成关于x 的一元二次方程，其判别式()()21410y y y ∆=−+−+≥⎡⎤⎣⎦，解得：113y −≤≤，注意到当2x =时，13y =，所以函数211x y x x −=−+()1x >的最大值为13. 解法3（求导法）：设()211x f x x x −=−+()1x >，则()()()2221x x f x x x −'=−+，所以()012f x x '>⇔<<，()02f x x '<⇔>，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()max 123f x f ==.【答案】13变式2 函数22221x x y x x −+=−+()1x >的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：由题意，()()22222112211111x x x x x x y x x x x x x −+−−−+−===−−+−+−+，令1t x =−，则0t >，1x t =+，且()()221211111131111t t y t t t t t t =−=−=−≥=+++−++++， 当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，从而函数22221x x y x x −+=−+()1x >的最小值为23.解法2（判别式法）：将22221x x y x x −+=−+变形为()22122y x x x x −+=−+，整理得：()()21220y x y x y −+−+−=，当1y ≠时，将该方程看成关于x 的一元二次方程，其判别式()()()224120y y y ∆=−−−−≥，解得：223y ≤≤()1y ≠， 注意到当2x =时，23y =，所以函数22221x x y x x −+=−+()1x >的最小值为23.解法3（求导法）：设()22221x x f x x x −+=−+()1x >，则()()()2221x x f x x x −'=−+，所以()02f x x '>⇔>，()012f x x '<⇔<<，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()min 223f x f ==. 【答案】23【反思】从上面的几个例子可以看到，y =一次函数二次函数、y =二次函数一次函数、y =二次函数二次函数这三种“二次型分式函数”求最值的方法是类似的，在三种方法的选择上，一般首选均值不等式法，判别式法和求导法作为备选方案. 变式3函数y =的最大值为________.【解析】设t ，则1t ≥，221x t =−，且211444t y t t t ===≤=++，当且仅当4t t =，即2t =时取等号，此时x =，所以函数y =14.【答案】14变式4函数y =________.【解析】设t ，则2t ≥，224x t =−，且222115411t y x x t t t====+++++， 易得函数()1t t tϕ=+在[)2,+∞上，所以()()min522t ϕϕ==，故函数25y x =+的最大值为25. 【答案】25强化训练1.（★★）函数21x y x =−()1x >的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：设1t x =−，则0t >，1x t =+，且()22212112241t x t t y t x t t t +++====++≥=−，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，所以函数21x y x =−()1x >的最小值为4.解法2（判别式法）：将21x y x =−变形成()21y x x −=，整理得：20x yx y −+=①，将式①看成关于x 的一元二次方程，则其判别式240y y ∆=−≥，所以0y ≤或4y ≥，因为1x >，所以0y >，从而4y ≥，注意到当2x =时，4y =，所以函数21x y x =−()1x >的最小值为4.解法3（求导法）：设()21x f x x =−()1x >，则()()()221x x f x x −'=−，所以()02f x x >⇔>，()012f x x '<⇔<<，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()min 24f x f ==.【答案】42.（★★）函数221x x y x −+=+在[]0,4上的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：设1t x =+，则1x t =−，因为04x ≤≤，所以15t ≤≤，且()()22211223443311t t x x t t y t x t t t −−−+−+−+====+−≥=+，当且仅当4t t =，即2t =时取等号，此时1x =，所以函数221x x y x −+=+在[]0,4上的最小值为1.解法2（判别式法）：将221x x y x −+=+变形成()212y x x x +=−+，整理得：()2120x y x y −++−=①，将式①看成关于x 的一元二次方程，则其判别式()()21420y y ∆=+−−≥，解得：7y ≤−或1y ≥，因为04x ≤≤，所以10x +>，220x x −+>，从而0y >，故1y ≥，注意到当1x =时，1y =，所以函数221x x y x −+=+在[]0,4上的最小值为1.解法3（求导法）：设()221x x f x x −+=+()04x ≤≤，则()()()()2311x x f x x +−'=+，所以()014f x x '>⇔<≤，()001f x x '<⇔≤<，从而()f x 在[)0,1上，在(]1,4上，故()()min 11f x f ==.【答案】13.（★★★）函数2211x x y x x ++=−+的值域为________.【解析】解法1（均值不等式法）：由题意，()2222212121111x x x x x xy x x x x x x −++++===+−+−+−+，当0x =时，1y =；当0x ≠时，2111y x x=++−，易求得12x x +≤−或12x x +≥， 所以113x x +−≤−或111x x +−≥，从而220131x x−≤<+−或20211x x <≤+−，所以113y ≤<或13y <≤，综上所述，函数2211x x y x x ++=−+的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.解法2（判别式法）：()22221111x x y y x x x x x x ++=⇒−+=++−+，整理得：()()21110y x y x y −−++−=①，当1y =时，0x =；当1y ≠时，方程①可以看成关于x 的一元二次方程，则其判别式()()221410y y ∆=+−−≥，解得：133y ≤≤()1y ≠，综上所述，函数2211x x y x x ++=−+的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【答案】1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.（★★★）函数2sin 12sin x y x=+02x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的最大值为________.【解析】设sin t x =，则212t y t =+，因为02x π≤≤，所以01t ≤≤， 当0t =时，0y =；当01t <≤时，1142y t t=≤=+，当且仅当12t t =，即2t =时等等号，此时4x π=，所以函数2sin 12sin xy x=+02x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的最大值为4. 【答案】45.（★★★）函数22y x =+的最大值为________.【解析】设t =，则1t ≥，且211112t y t t t ====≤=++，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时0x =，所以函数y =12.【答案】1 26.（★★★）函数y=的最小值为________.【解析】设1t=+，则1t≥，()211x t=−+，所以()22211124332444t t ty tt t t⎡⎤−+−−+⎣⎦====+−≥−=−，当且仅当32tt=，即t=y=的最小值为4.【答案】−4。
二次函数最值问题及其解决方法
二次函数最值问题及其解决方法首先，我们可以通过求导数的方法来找到二次函数的极值。
对于一个一般形式的二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，其中 $a \neq 0$，我们可以先求出它的导数 $f'(x)=2ax+b$。
通过求导数，可以得到函数的极值点。
当导数 $f'(x)$ 为零时，即 $2ax+b=0$，解出 $x$ 的值，并代入原函数$f(x)$ 中，即可得到函数在该点上的最大值或最小值。
举个例子来说明，设有一个二次函数 $f(x)=2x^2+3x-2$，我们可以先求出它的导数 $f'(x)=4x+3$。
将导数设置为零，得到 $4x+3=0$，解得$x=-\frac{3}{4}$。
将 $x=-\frac{3}{4}$ 代入原函数 $f(x)$ 中，得到$f(-\frac{3}{4})=\frac{31}{8}$。
所以函数在 $x=-\frac{3}{4}$ 处取得最小值 $\frac{31}{8}$。
其次，我们也可以通过二次函数的图像特征来找到二次函数的最大值和最小值。
我们知道，二次函数的图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线。
如果二次函数的系数$a>0$，那么它的抛物线开口朝上，此时二次函数的最小值就是抛物线的顶点的纵坐标值；如果二次函数的系数$a<0$，那么它的抛物线开口朝下，此时二次函数的最大值就是抛物线的顶点的纵坐标值。
下面我们以一个具体的例子来说明这种方法。
考虑一个二次函数$f(x)=x^2-4x+3$。
我们可以求出该二次函数的顶点坐标，并判断它的开口方向。
先求导数$f'(x)=2x-4$，将导数设置为零，得到$2x-4=0$，解得$x=2$。
将$x=2$代入原函数$f(x)$中，得到$f(2)=-1$。
所以函数的最小值为$-1$。
通过分析二次函数$f(x)$，我们可以发现系数$a=1>0$，所以抛物线开口朝上，这也验证了我们的结论。
高中数学解二次函数求极值和最值的技巧和分析
高中数学解二次函数求极值和最值的技巧和分析二次函数在高中数学中占据着重要的地位，它的求极值和最值是我们学习的重点内容之一。
本文将通过具体的例题，详细介绍解二次函数求极值和最值的技巧和分析，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握这一知识点。
首先，我们来看一个简单的例题：已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(x)的最小值。
要求函数的最小值，我们需要先找到函数的极值点。
根据二次函数的性质，当二次函数的导数等于0时，函数的极值点就出现了。
所以，我们首先需要求出f(x)的导数。
f'(x) = 2x - 2。
将f'(x) = 0带入，得到2x - 2 = 0，解得x = 1。
这就是函数f(x)的极值点。
接下来，我们需要判断这个极值点是函数的最小值还是最大值。
这可以通过二次函数的凹凸性来确定。
二次函数的凹凸性由二次项的系数决定，当二次项系数大于0时，函数开口向上，为凹函数，极值点为最小值；当二次项系数小于0时，函数开口向下，为凸函数，极值点为最大值。
回到我们的例题，函数f(x) = x^2 - 2x + 1的二次项系数为1，大于0，因此函数是凹函数，极值点x = 1是最小值。
通过这个例题，我们可以总结出求二次函数极值和最值的一般步骤：1. 求出函数的导数；2. 令导数等于0，解方程得到极值点；3. 判断二次函数的凹凸性，确定极值点是最小值还是最大值。
接下来，我们来看一个稍微复杂一些的例题：已知函数g(x) = -2x^2 + 4x + 3，求g(x)的最大值。
同样地，我们首先求出函数g(x)的导数。
g'(x) = -4x + 4。
令g'(x) = 0，得到-4x + 4 = 0，解得x = 1。
这是函数g(x)的极值点。
然后，我们需要判断这个极值点是最大值还是最小值。
由于函数g(x)的二次项系数为-2，小于0，所以函数是凸函数，极值点x = 1是最大值。
通过这个例题，我们可以看到，求二次函数极值和最值的步骤是相同的，只是需要注意函数的凹凸性来确定极值点的性质。
二次函数的极值求法攻略
二次函数的极值求法攻略求二次函数的极值是中考热点，往往出现在压轴题中，多与面积、利润、成本等相结合。
其攻略途径为：第一，写出二次函数的解析式并化为顶点式；第二，确定自变量的取值范围，画出大致形状，范围内的用实线，外的用虚线；第三，判定x =ab2-是否在其范围内，若在，则极值为顶点纵坐标；若不在，就要根据其增减性求极值。
y=a x 2+b x +c (a,b,c 是常数，且a ≠0)= 2)2(ab x a -+a b ac 442-，顶点坐标为（-a b 2，a b ac 442-），对称轴为x =-ab2。
一、当x =-a b 2在自变量范围内时，当x =-ab2时，最值为y =a b ac 442-。
二、当x=-ab2不在自变量范围内时1、 若≤≤x m n 〈-ab2（n m 〈）（1）当0〉a 时，开口向上，在对称轴的左边y 随x 的增大而减小，所以当x =m 时，y 最大；当x =n 时，y 最小。
（2）当0〈a 时，开口向下，在对称轴的左边y 随x 的增大而增大，所以当x =m 时，y 最小；当x =n 时，y 最大。
2、若-ab2〈≤≤x m n （n m 〈） （1）当0〉a 时，开口向上，在对称轴的右边y 随x的增大而增大，所以当x =m 时，y 最小；当x =n 时，y 最大。
（2）当0〈a 时，开口向下，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小，所以当x =m 时，y 最大；当x =n 时，y 最小。
三、举例1、当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．2、当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．3、当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．4、当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．1、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数1623,3054=-≤≤．m x x(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？2、（湖北武汉）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天l80元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)．(1) 设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；(2) 设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大? 最大利润是多少元?3、（安徽省中中考）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售。
“二次函数最值”4种解法
“二次函数最值”4种解法
二次函数作为初中函数知识板块中最复杂的函数，无论是平常的考试中，还是中考中都占据非常重要的位置。
作为初三数学学习中的一个重点，也是难点，在平常的考试，乃至中考中占有很大的比重，尤其是在大型考试的最后三题中，必有一题是二次函数的综合题。
在学习二次函数过程中，我们时常会碰见一类题目，试图让你求竖直线段最大值，抑或三角形面积最大值，我们常用的解题伎俩是几何问题代数化，从而将问题得到完美的转化，只不过在求解的过程中，对于逻辑性不是很好的同学思考路程难免有些长！
但就近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合，一般作为中考的压轴题存在。
可在实际的学习中，无数学生一提到二次函数，都会异口同声的说二次函数太难了！在考试里一做到二次函数的压轴题就一脸茫然，怀疑自己到底有没有学过二次函数。
针对这一现状，今天，老师就特地为大家整理了一份“二次函数最值”4种解法，并附有例题+解析，介绍几种不同的解题方法，供同学们参考，都掌握了之后一定会在压轴题上有一个大的提升。
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二次分式函数最值求解
二次分式函数最值的求解—-根判别式法函数最值的求解方法有:反函数、单调性、导数等方法.针对二次分式函数的最值求解适用于判别式的方法.二次分式函数的形式为:ax2+bx+cpx2+qx+r(px2+qx+r=0).若要运用根判别式法,要求定义域D为R,然后分式函数整理成整式,利用根判别式,注意二次项系数的讨论.否则(定义域不为R),则要分离参数.如果函数中有根式,一般先换元(包括三角换元,所有换元的前提是不能改变变量的范围).在圆锥曲线中,根判别式法还有应用.假设直线和圆锥曲线有交点,意味两者联立消元得到后的二次函数有实数解.即, ≥0.还有在圆锥曲线中的“点差法”的应用1.根的判别式只适用于判断实系数一元二次方程根的情况.复数不适用.注意,不能忽视对方程ax2+bx+c=0中a的讨论.1.求函数y=2x+√1−2x的最值2.1.1求函数y=x+4√1−x的值域.1.2求函数y=x+√1−x2的值域.解析:已知某两数的平方和大于、小于或者等于某数,或已知定义域区间为对称的,可以用三角换元.比如下面这2题:1.3设x2+y2≤2,求函数f(x,y)=|x2−2xy−y2|的最大值.1.4已知x2+4(y−1)2=4,求x2+y2的最值.1.5(平方法化简为二次函数)已知函数y=√1−x+√x+3,求y的最大值和最小值.1.6求函数y=x+x(2−x)的最大值和最小值.1.7求函数y=√x+√1−x的最大值和最小值.2.实数x,y满足4x2−5xy+4y2=5.设s=x2+y2,求s的最大值和最小值3.3.(2010江苏14)将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=(梯形边长)2/(梯形面积),则S的最小值是?4.已知p3+q3=2,其中p,q是实数,求p+q的最大值.4解析和总结:凡是题目中出现或者隐含两个变量p+q,pq的形式,都可以转化为二次函数利用根判别式进行求解最值.1点差法是由弦的两端点坐标代入圆锥曲线的方程,得到两个等式相减,可得一个与弦的斜率及中点相关的式子,再结合有关条件来求解.当题目涉及弦的中点、斜率或借助曲线方程中变量的取值范围求其他变量的范围时,一般都可以用“点差法”来求解.这种方法对有关点的坐标设而不求,充分发挥整体思想25/43化简成关于x/y的二次函数,利用根判别式方法.10/3;10/134此题关键在于构建二次函数,设s=p+q,立方和展开表示成p+q的二次函数,得到pq=f(s),则利用韦达定理构建关于s的二次函数,p,q为两个根,再利用根判别式定理.5.求函数y =x 2−x +12x 2−2x +3的值域.类似的题型:求函数y =x 2−x x 2−x +1的值域.5.1求函数y =ax 2+x +1x +1(x >−1,a >0)的最小值.解析:分子分母分离系数,利用均值不等式.注意条件的验证.6.当实数t 为何值时,一元二次方程x 2+3ix +t 2−2=0,(i 为虚数单位)有实数根？5解析:因为根判别式不适用于复数方程.进行参变分类,转化为x 2+3ix =2−t 2,方程右边为实数,则左边的复数项为0,得到2−t 2=0.7.已知方程sin 2x +2cosx −2m −1=0有实数根,求m 的取值范围6.8∗.已知直线y =(a +1)x −1与曲线y 2=ax 恰有一个公共点,求实数a 的值.解析:直线与二次曲线只有一个交点并不一定相切.不能等价转化为二次函数的根存在问题. =0只是该问题的一个充分不必要条件.可以转化为方程组解的个数模型,实质就为参数a =0?;a +1=0?的讨论问题,要求达到的条件是只有一个根-1,0,-4/5.9.已知函数y =log 2(x 2+ax +2);(1)当函数的定义域为R 时,求a 的取值范围.(2)当函数的值域为R 时,求a 的取值范围.解析:判别式的几何意义是函数与x 轴的交点个数.(1)通过 <0转化为恒成立的问题.(2)利用反证法来理解.x 2+ax +2能取到一切正数,等价于 ≥0.10.已知函数f (x )=ax 2−2x (0≤x ≤1).求f (x )的最小值g (a ).11(利用反函数法).讨论函数y =10x +10−x10x −10−x的定义域和值域.利用反函数的方法表示102x 求解值域y .127.求函数y =x 2(1−3x )在[0,13]时的最大值.12.1求函数f (x )=2x 3+3x 2−12x +14在[-3,4]上的最大值和最小值.13.若实数x ,y 满足|x |+|y |=5,求t =x 2+y 2−2x 的最值.解析:利用数形结合+线性规划.t =x 2+y 2−2x 可以认为是圆的方程.它表示一个同心圆簇,半径为√t +1.13.1求函数v =sinucosu +sinu +cosu 的最大值.解析:利用换元法,令cosu =x ,sinu =y ,有x 2+y 2=1.则转化为点(x ,y )在单位圆x 2+y 2=1上运动,xy +x +y −v =0在y 轴上的截距v 的最大值.(v 视为常数)13.2已知x 2+y 2−2x +4y −20=0,求x 2+y 2的最值.14.已知正数x ,y ,满足x +2y =1,求1x +1y的最小值.5注意根判别式法适用的条件,不能在复数方程中,系数不能保证都为实数.6换元后转化为二次函数注意定义域的同步变化7求导法。
二次函数的极值求法攻略
二次函数的极值求法攻略二次函数是高中数学中非常重要的一个概念，它在数学建模、物理等领域有广泛的应用。
在学习和应用二次函数的过程中，掌握求二次函数的极值非常重要。
下面将为您提供一份二次函数极值求法攻略，希望能够帮助您更好地理解和应用二次函数。
一、二次函数的基本形式二、二次函数的顶点坐标1.通过平方完成平方项的系数修正给定二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以通过平方完成平方项的系数修正方法将其变为标准形式。
首先对x^2项进行平方补全，将f(x) = ax^2 + bx + c 变形为：f(x)=a(x^2+(b/a)x)+c再加上一个常数项，即a(x^2+(b/a)x+(b/2a)^2-(b/2a)^2)+c，化简得：f(x) = a(x + b/2a)^2 - (b^2 - 4ac)/4a其中 -(b^2 - 4ac)/4a 为常数项，记为 d。
所以，原二次函数 f(x) 可以表示为：f(x)=a(x+b/2a)^2+d2.顶点坐标求解由二次函数的标准形式可以看出，当x=-b/2a时，二次函数的值取得最大值或最小值。
这个点的坐标就是二次函数的顶点坐标。
顶点的y坐标可以通过计算f(x)找出。
三、二次函数极值的判断1.a的符号判断首先，判断a的符号。
当a大于0时，二次函数的图像开口向上，即f(x)的极小值为顶点；当a小于0时，二次函数的图像开口向下，即f(x)的极大值为顶点。
2.通过二次项系数比较判断其次，通过二次项系数b的正负来判断极值。
当b大于0时，说明顶点在直线x=-b/2a的左边，f(x)离开极大值；当b小于0时，说明顶点在直线x=-b/2a的右边，f(x)离开极小值。
3.通过开口方向判断最后，通过二次函数的开口方向来判断极值。
当开口向上时，二次函数存在极小值；当开口向下时，二次函数存在极大值。
综上所述，可以得出二次函数极值的判断公式：-当a大于0且b小于0时，存在极大值；-当a小于0且b大于0时，存在极小值。
二次函数的极值求法攻略
二次函数的极值求法攻略二次函数是一种形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其图像为一个抛物线。
在求解二次函数的极值时，可以使用求导法或者配方法，下面分别介绍这两种方法的具体步骤。
1.求导法：求导法是将二次函数f(x)对x求导，然后令导数为0，求得极值点的横坐标。
具体步骤如下：- 首先，将二次函数表示为标准形式：f(x) = ax² + bx + c。
- 然后，对函数f(x)对x求导得到f'(x)。
求导规则为：对于幂函数f(x) = xn，导数f'(x) = nx^(n-1)。
-将f'(x)置为0，并解方程得到x的值。
-将求得的x值带入原函数f(x)，得到极值点的函数值。
2.配方法：配方法是通过对二次函数进行配方，将其转化为完全平方后再求极值。
具体步骤如下：- 首先，将二次函数表示为标准形式：f(x) = ax² + bx + c。
- 根据配方法，先计算出平方项的系数。
将a从二次项的系数中提取出来，得到f(x) = a(x² + bx/a) + c。
-将平方项的系数b/a除以2，并进行平方，得到b²/(4a²)。
-将配方后的二次项进行变形，可以得到f(x)=a[(x+b/(2a))²-b²/(4a²)]+c。
-化简上式，得到f(x)=a(x+b/(2a))²-b²/(4a)+c。
-由于平方项的平方一定大于等于0，所以二次项的极值就是b²/(4a)-c。
具体取极大值还是极小值要根据二次项的系数a的正负性来决定。
以上就是求解二次函数极值的两种方法，下面通过一个具体例子来演示这两种方法的使用。
例子：求解函数f(x)=2x²-8x+5的极值。
使用求导法：(-8x)将此二次函数对x求导得到f'(x)=4x-8令f'(x)为0，得到4x-8=0，解方程得到x=2将求得的x值带入原函数f(x)，得到f(2)=2(2)²-8(2)+5=-3、所以函数f(x)在x=2处取得极小值-3使用配方法：将函数f(x)=2x²-8x+5表示为配方法形式：f(x)=2(x-2)²-3通过以上例子可以看出，无论是求导法还是配方法，最终都能够得到二次函数的极值。
高中数学中的二次函数利用函数像求解二次方程与二次函数极值的技巧
高中数学中的二次函数利用函数像求解二次方程与二次函数极值的技巧二次函数在高中数学中占有重要的地位，它的研究对于学生的数学能力培养具有重要意义。
本文将详细介绍如何利用函数像求解二次方程以及求解二次函数的极值的技巧。
1. 利用函数像求解二次方程的技巧对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，要求解该函数的零点，即解出方程ax^2 + bx + c = 0 的根，我们可以利用函数像的性质来简化求解的过程。
首先，根据二次函数的对称性，我们知道函数的零点在对称轴上。
对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，它的对称轴的横坐标可以通过公式 x= -b / (2a) 来计算得到。
这样一来，我们就可以很轻松地得到方程的一个根。
接下来，我们可以利用函数像的性质，根据对称性得到另一个根。
假设已经求得一个根 x1，那么根据对称性，对称轴上的点（2x1-x, 0）也是函数的一个零点。
进而，我们可以利用韦达定理来求解方程，即根据已知根 x1，将方程拆分为 (x - x1)(x - (2x1-x)) = 0。
这样一来，我们就可以得到方程的另一个根。
通过这种方式，我们可以利用函数像的性质，较为便捷地求解出二次方程的根。
这一技巧在解题中非常实用，能够大大提高解题的效率。
2. 求解二次函数的极值的技巧对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，我们常常需要求解它的极值。
求解二次函数的极值需要注意以下几个方面的技巧。
首先，我们可以根据二次函数的对称性得到极值点在对称轴上。
对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，它的对称轴的横坐标可以通过公式 x = -b / (2a) 来计算得到。
这样一来，我们就可以得到极值点的横坐标。
其次，我们可以通过计算得到极值点的纵坐标。
将对称轴的横坐标代入二次函数中，即可计算得到对应的纵坐标。
这个纵坐标就是函数的极值。
进一步地，我们可以根据二次函数的开口方向确定其极值。
如果二次函数的系数 a 大于 0，那么函数的开口朝上，对应的极值点为最小值；如果二次函数的系数 a 小于 0，那么函数的开口朝下，对应的极值点为最大值。
二次函数的极值问题解析与求解技巧
二次函数的极值问题解析与求解技巧二次函数是高中数学中一个重要的概念，具有许多实际应用。
在解析与求解二次函数的极值问题时，我们需要掌握一些基本的技巧和方法。
本文将对二次函数的极值问题进行分析，并介绍求解的具体步骤和技巧。
一、二次函数的基本形式二次函数的一般形式为：f(x) = ax²+ bx + c，其中a、b和c为实数，且a≠0。
在解析与求解极值问题时，我们通常关注函数的顶点，即极值点。
二、二次函数的顶点二次函数的顶点可以通过求导数的方法来找到。
我们首先将二次函数的一般形式化为顶点形式：f(x) = a(x - h)²+ k，其中(h, k)为顶点的坐标。
求导数f'(x) = 2a(x - h)，令f'(x) = 0，解得x = h。
将x = h代入二次函数中，得到顶点的纵坐标k。
通过以上步骤，我们可以得到二次函数的顶点坐标。
三、极值问题的求解步骤1. 将二次函数化为顶点形式：f(x) = a(x - h)²+ k。
2. 求导数f'(x) = 2a(x - h)，令f'(x) = 0，解得x = h。
3. 将x = h代入二次函数中，得到顶点的纵坐标k。
4. 判断二次函数的开口方向：若a > 0，则开口向上；若a < 0，则开口向下。
5. 根据二次函数的开口方向，可以确定函数的极值：若开口向上，则顶点为最小值；若开口向下，则顶点为最大值。
四、解题技巧1. 注意二次函数的定义域和值域：对于一般的二次函数，定义域为全体实数；对于顶点形式的二次函数，定义域为全体实数，值域为k 及以上或k及以下的实数。
2. 对于较复杂的二次函数，可以通过配方法或因式分解的方式将其化简，进而求得顶点形式。
3. 如果需要求二次函数的最值，可以通过求导数的方法来找到极值点。
五、实例解析现假设有一个二次函数f(x) = 2x² - 3x + 1，我们来求解它的极值问题。
二次函数与曲线的最值点求解方法
二次函数与曲线的最值点求解方法二次函数是数学中一种常见的函数形式，其最常见的表达式为y=ax^2+bx+c（其中a、b、c为常数，且a≠0）。
在二次函数的图像中，有两个重要的特点，即最值点和开口方向。
本文将介绍二次函数最值点的求解方法，并探讨曲线的最值点的求解方法。
一、二次函数最值点的求解方法对于二次函数y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，要求解其最值点，主要有两种方法：一是通过顶点公式，二是通过求导数的方法。
1. 顶点公式法顶点公式是一种直接求解二次函数最值点坐标的方法，其原理是二次函数的最值点即为顶点（最高点或最低点）。
顶点公式为：对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)）。
举例说明：对于二次函数y=2x^2+4x+1，通过顶点公式求解其最值点坐标。
根据顶点公式，顶点的横坐标为-x/2a=-4/(2*2)=-1，然后将x=-1带入原函数得到纵坐标，即f(-1)=2*(-1)^2+4*(-1)+1=-1。
因此，二次函数y=2x^2+4x+1的最值点坐标为（-1，-1）。
2. 求导数法求导数是一种常用的求函数极值点的方法，对于二次函数亦可使用此方法求解最值点。
具体步骤如下：1) 求二次函数的导函数，即将y=ax^2+bx+c关于x求导得到y'。
2) 解方程y'=0，可以得到二次函数的极值点x。
3) 将x带入原函数得到纵坐标，即可求得最值点坐标。
举例说明：对于二次函数y=2x^2+4x+1，通过求导数法求解其最值点坐标。
首先求导数，y'=4x+4。
然后令y'=0，解方程4x+4=0，可得x=-1。
最后将x带入原函数，即可求得最值点的纵坐标，即f(-1)=2*(-1)^2+4*(-1)+1=-1。
因此，二次函数y=2x^2+4x+1的最值点坐标为（-1，-1）。
二、曲线的最值点的求解方法除了二次函数，其他类型的曲线也存在最值点。
如何高效解决复杂的函数极值问题
如何高效解决复杂的函数极值问题函数极值问题是数学中一个重要且常见的问题，涉及到数学建模、优化算法等多个领域。
尤其是在现实生活和工程应用中，我们经常需要面对复杂的函数极值求解问题。
本文将介绍一些高效解决复杂函数极值问题的方法和技巧，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、理解函数的性质在解决函数极值问题之前，我们首先需要对函数的性质进行分析和了解。
这包括函数的定义域、连续性、可导性以及凸凹性等方面的性质。
通过对函数性质的分析，我们可以更好地把握函数极值点的可能位置，从而缩小极值点的搜索范围。
二、利用导数寻找极值点对于可导函数，我们可以通过求导数来寻找它的极值点。
导数为0的点通常是函数的极值点。
因此，我们可以对函数进行求导，并解方程找出导数为0的点。
除了一次求导外，我们还可以通过二次、三次甚至更高次导数的求解，来确定函数的极值点。
三、应用优化算法当我们面对复杂的函数，无法通过解析的方法求得它的导数或无法通过导数为0的点确定极值点时，我们可以采用优化算法来解决函数极值问题。
常见的优化算法包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
1. 梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化算法，适用于解决无约束非线性优化问题。
其基本思想是通过迭代的方式，不断调整参数的取值，使目标函数逐渐趋于极值点。
具体而言，梯度下降法根据函数的梯度方向，朝着极小值方向迭代搜索。
2. 牛顿法牛顿法是一种二阶优化算法，用于寻找函数的极值点。
它利用函数的一阶导数和二阶导数信息进行迭代搜索。
具体而言，牛顿法通过对函数进行泰勒展开，近似地求解极值点。
牛顿法在寻找函数极值点时具有快速收敛的特点，但需要保证函数的二阶导数存在且不为0。
3. 拟牛顿法拟牛顿法是对牛顿法的一种改进和扩展，适用于在求解复杂函数极值时，无法直接计算二阶导数的情况。
拟牛顿法通过利用函数的一阶导数信息来近似计算二阶导数，从而进行迭代搜索。
拟牛顿法的优点是具有较快的收敛速度和较强的稳定性，适用于求解大规模的函数极值问题。
二次分式函数最值的求法
二次分式函数最值的求法
一、引言
二次分式函数的求解是数学分析学中的研究内容，一般情况下，求解二次分式函数的最值问题都是需要使用特定的方法和具体的技巧的，其主要包括解出三次方程的根解，然后在二次分式函数的定义域上检查根解，使得这个根解达到最大或最小值。
二、最值的求法
1、解三次方程式：首先把要求解的二次分式函数表达式化简成二次函数形式，然后求解该二次函数的根解，其具体方法为：（1）用标准的三次函数的求根的基本公式a3x3+b2x2+cx+d=0；
（2）通过代入参数和项数确定基本公式的系数；
（3）计算出D的值；
（4）用求根公式求出根解；
2、求最值：将得到的根解代入二次分式函数表达式，并求出最后的分式函数值，最后进行比较，从而可以得出最大值或最小值。
三、总结
本文主要讲述了求解二次分式函数的最值问题，结合具体的技巧和解三次方程求根公式，我们可以简单的解决这一问题，而求出的结果还可以帮助我们对实际中有关二次分式函数的研究有所帮助。
复杂二次分式函数极值的快速解法
复杂二次分式函数极值的快速解法在高考中,我们经常会碰到二次分式函数问题,这类问题通常比较麻烦, 有时运算量很大,很难在短时间内解决.所以本文将研究求解二次分式函数单调性,值域,极值的简便方法.希望能得到一个极值通用公式, 以便在考试中套用,节约时间.二次分式函数具有形式22(,()0)Ax Bx Cy f x Dx A Ex B F++==++不同时为. 我们将要研究它的定义域,值域,单调性,极值.1. 定义域和有界性20Dx Ex F ++=当方程有解,设12122,0(=Dx Ex x x x x F ++≤)是两个根 .则函数定义域12{|}x x x x x ∈≠∧≠R .当122211220,lim 0,lim x x x x Ax Bx C Ax Bx C →→++≠=∞++≠=∞或.此时函数无界.当221122=0=0Ax Bx C Ax Bx C ++++且,函数有界且为常值函数(很少遇到的情况,比如2211x y x -=- ).所以通常当240E DF -≥ ,二次分式函数是无界的.12,x x x x == 是函数的渐近线.当240E DF -<,函数定义域为R .函数有界. 2. 单调性,极值,值域 当240E DF -<,20Dx Ex F ++≠,可以将函数化为()22=.y Dx Ex F Ax B x x C ++++的方程 .()()2B 0x Dy A x Ey Fy C -+-+-=即.对于值域中的每一个y,方程都有实数解,0,=00,,Dy A Dy A -≠-∆≥当验当证是否有解 .这样就可以求出值域.值域的两个端点(方程的两个解)为函数极大值和极小值.但为了计算在何处取得极值,需将极值代入()()2B 0xDy A x Ey Fy C -+-+-=函数解出x ,计算可能有点慢.下文会给出一个简便的计算方法.lim ()x A f x D →∞=,根据极值与A D的大小即可判断单调区间.240E DF -<这种情况最多有三个单调区间.当240E DF -≥,用判别式法可能会产生增根.此时通常会解出y ∈R .出现这种情况,求解20Dx Ex F ++=和20Ax Bx C ++= .分式可化为一次分式,根据定义去求出这个一次分式值域.比如()()()()2221121311221222x x x x y x x x x x x x x-+-+-+====-≠≠--++-++++且 {}1,0,0.|1x y y y y ==≠≠取所以函数值域且分离变量和换元再用基本不等式求解也是解决二次分式的常规方法,再.下面给出一个具体例子.223325x x x y x +--++=.首先定义域2{|50}x x x -++≠ 解得((111){|(1}22x x x ∧≠≠.分离分子中的二次项得261335x y x x +=-+-++ . 13613,6t t x x -=+=令 .代入得 ()()222135613131151313636136732361367836369y x x x t t tt t t t t =-+-+++=-++-+--+=-+-+-=--+-()0131336782136369671313,,363666013133678213636967,,3636t y t t t t t x t t y t t t t x t >-+=--≥--=+--====<+=-+≤-+=--++-===当当当当函数值域(-()∞∞Ç根据2233m2l 35i x x x x x →∞+-++=--, 3131-21321+-<+-<1311316262+-<<<可判断出单调区间((((((((1111(-,13),(13,1),(1,+) 66221111(13,1),(1,13)6226∞∞--+---增区间减区间共有5个单调区间顺便再算一下函数零点((212113320=3,=366x x x x +---+解得= 有了这些信息,我们很容易画出函数大致图像通过这样一个例子,我们意识到,如果在考试中碰到这样的函数,分离变量换元的方法计算量非常大并且需要一定的技巧,浪费了我们很多的时间.而判别式法只能求极值和值域,对于何处取极值,还需将极值代入原函数.对于上面的例子,直接代会函数运算过于复杂对于一些简单二次分式函数,分离变量是可行的,并且非常快.但是对于像上面这种二次分式函数,我们找到需要一种计算量很小的方法.二次分式函数极值公式很多老师不赞成用导数计算二次分式函数极值.但为了找到一个简便公式,我们必须通过导数来研究二次分式函数.22()Ax Bx C f x Dx Ex F++=++ ()()22'22222(2)()()(2D )()()2()Ax B Dx Ex F Ax Bx C x E f x Dx Ex F AE BD xAF CD x CE BFDx Ex F +++-+++=++-+--+=++我们只关心导数的符号,导数分母是个正数,我们记分子()()22AE BD x AF CD N x CE BF -+--+= .函数取极值时'()0,N 0f x ==即 .我们只需解方程()()220AE BD x AF CD x CE BF -+--+=即可得到函数取极值时的x值.为了防止错误,最好验证的得到的x 值是否在定义域内.将方程系数与22Ax Bx CDx Ex F ++++比较.发现N 可以写成三阶行列式. 212x x N AB C DEF-= .这样就很容易记住了. 对于上面的例子223325x x x y x +--++=,2212332011517266x x N x x +-+-===-解得((1211=13,=1366x x --.这种方法比分离变量快多了. 要求单调区间,由于N 的符号和'()f x 相同,大致画出y N = 的图像,只需画出开口方向,标出零点和渐近线即可确定单调区间.由此可知二次分式函数最多可有5个单调区间.如果要求极值,把x 代入函数(((((221121313121213)11651313636(f -+--+--+---=- 计算量很大,对于x 很复杂的情况建议用判别式求值域.想到取极值时的x 值可用方程0N =表示,我们也找到一个关于y 的方程.联立()()22220Ax Bx Cy Dx Ex FAE BD x AF CD x CE BF ⎧++=⎪++⎨⎪-+--+=⎩,消去x 整理得 ()()()22244240EDF y AF CD BE y B AC -++-+-=2244E DF B AC --二次项系数和常数项正好为分母和分子的判别式 .我们只需特别记住一次项系数()42AF CD BE +-.比较22Ax Bx CDx Ex F++++发现这一项也挺好记的:二次项系数与常数项系数积的和的4倍减一次项系数积的两倍对于上面的例子,将系数代入该方程得2336220=1y y ++ 解得((121131,312121y y =--=-+ . 根据已求出的单调区间, 比较AD 和极值的大小即可区分极大值和极小值.我们重新回顾判别式求值域的方法. ()()2B 0xDy A x Ey Fy C -+-+-=()()()24=0Ey B Dy A Fy C ---- 的解即为极值.重新整理方程可得()()22244244=0B AC CD BE AF y E DF y -+-++- 和刚才的到的方程是一样的.说明导数和判别式这两种方法是等价的.在考试中,我们碰到的二次分式函数定义域不是根据函数本身的得出的,而是已知条件给定的.在特定的定义域内求解函数值域时,用判别式求解可能会放大值域.但我们能可用判别式求出极值.再用=0N 和渐近线求出单调区间进而求出值域.下面给出一道有二次分式函数应用的高考例题.(2013浙江)如图,点P(0,1)- 是椭圆12222:1(0)bx y C a b a +>>= 的一个顶点,1C 的长轴是圆222:4C x y += 的直径.12,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆221,, D.C A B l C 与两点交椭圆与与另一点(1) 求椭圆1C 的方程; (2) 求ABC 面积取最大值的直线1l 的方程;第一问222:14x C y += 设121:1(R) ,:1l y kx k l y x k=-∈=-- O 到AB距离d =AB == . 21224C 1410x x k l ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭代入得 设1122(,),(,)P x y D x y(2:0l x ky k ++=套用圆锥曲线硬解定理)12212840()||=(=kx x k x x DP -+=+⋅==形式而已套用圆锥曲线硬解定理2211||||2244S DP AB k k ===++接下来是关键了,用我们的公式来算.224t=k (t k S =+≥=令2212043464001816t t N t t -==--+=5,20,t t k >==1:12l y x =±- 现在算最大面积.284163y t t t =+++ 代公式()()()22244240E DF y AF CD BE y B AC -++-+-=max 4130(1264)160y y S ====+-+。
初中数学解题技巧解决二次函数与指数函数的最值与零点问题
初中数学解题技巧解决二次函数与指数函数的最值与零点问题二次函数和指数函数是初中数学中经常涉及的两类函数。
在解题过程中，确定二次函数和指数函数的最值与零点是非常关键的。
本文将介绍一些解决这些问题的技巧和方法。
一、二次函数的最值与零点问题二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
1. 最值问题要确定二次函数的最值，可以使用求导的方法。
首先，对二次函数进行求导，求得导函数。
然后，令导函数为零，解方程得到极值点的横坐标。
最后，将这些横坐标代入原函数中，求得相应的纵坐标。
这样就得到了二次函数的最值。
例如，对于二次函数 y = 2x^2 - 4x + 3，首先求导得到 y' = 4x - 4。
然后令导函数为零，解方程得到 x = 1。
最后将 x = 1 代入原函数中，得到 y = 1。
所以最小值为(1, 1)。
2. 零点问题要确定二次函数的零点，可以使用求根公式。
对于一般形式的二次函数 y = ax^2 + bx + c，使用求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a 可以得到零点。
例如，对于二次函数 y = 2x^2 - 4x + 3，使用求根公式可以得到 x = (4 ± √(4^2 - 4×2×3)) / (2×2)，化简后得到 x = 1 或 x = 1.5。
所以二次函数的零点为 x = 1 和 x = 1.5。
二、指数函数的最值与零点问题指数函数的一般形式为 y = a^x，其中a为底数，x为指数，a > 0 且a ≠ 1。
1. 最值问题要确定指数函数的最值，需要观察底数的取值范围。
当底数 a > 1 时，指数函数呈现递增趋势，最小值为 x 趋近于负无穷大时的函数值，最大值为 x 趋近于正无穷大时的函数值。
当 0 < a < 1 时，指数函数呈现递减趋势，最小值为 x 趋近于正无穷大时的函数值，最大值为 x 趋近于负无穷大时的函数值。
二次函数中的极值问题
专题复习——二次函数中的极值问题教学目标1.熟悉三角形三边之间的关系与两线段和差的极值的关系2.了解三角形与二次函数结合图形中的极值问题的解决方法3.通过解决几何图形中的线段和差的极值问题，周长的极值问题，以及面积的几值问题提高学生解决问题的能力，培养学生的数学素养。
重点1．三角形三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边定理的应用2．会从复杂的几何图形中分解出熟悉简单的几何图形解决几何问题难点1.如何利用三角形三边关系的模型解决极值问题2.通过综合利用所学知识解决几何问题的能力，提高学生的答题技巧。
教学方法探究法，转化法，类比法教学过程（一）知识点复习1.三角形三边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边2.三角形的底边不变，面积的大小和高之间的关系底边不变时高越长面积越大3.二次函数的极值与极小值是什么？当二次函数y＝ax2＋bx＋c，a>0时，函数有最小值当二次函数y＝ax2＋bx＋c，a<0时，函数有最大值（二）例题如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(4，0)、B(1，0)，点C为y轴上一点，且OC＝2.连接AC，抛物线的顶点为D，对称轴为直线l.(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；定理应用：三角形任意两边之和大于第三边因E点在y轴上，作B点关于y轴的对称点坐标为M（-1.0）与D点的连线与y 轴的交点就是E点。
(3)设点F在直线l上，是否存在点F，使得△FCB的周长最小，若存在，求点F的坐标及△BCF的周长最小值，若不存在，说明理由；定理应用：三角形任意两边之差小于第三边由三角形三边关系得GD-GB<BD,当三点共线时GD-GB=BD，所以G,D,B三点共线时GD-GB的差最大，所以连接BD并延长与y轴的交点为G点，G点的坐标可有BD的解析式与y轴的交点求得。
(5)在线段AC上方的抛物线上存在一点H，使得△ACH的面积取得最大值，求出H点的坐标，并求出此时△ACH的面积（思路解析一）利用二次函数求极大值H在抛物线上设H（m，- m²＋m-2），K在AC上，K(m，m-2)，HK平行L，则三角形的面积可表示为S=×4×[（- m²＋m-2）-m-2) ]=-(m+2)²+4所以面积最大值为4.（思路解析二）当三角形的底边不变时，高越大面积越大。
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复杂二次分式函数极值的快速解法在高考中,我们经常会碰到二次分式函数问题,这类问题通常比较麻烦, 有时运算量很大,很难在短时间解决.所以本文将研究求解二次分式函数单调性,值域,极值的简便方法.希望能得到一个极值通用公式, 以便在考试中套用,节约时间.二次分式函数具有形式22(,()0)Ax Bx Cy f x Dx A Ex B F++==++不同时为. 我们将要研究它的定义域,值域,单调性,极值.1. 定义域和有界性20Dx Ex F ++=当方程有解,设12122,0(=Dx Ex x x x x F ++≤)是两个根 .则函数定义域12{|}x x x x x ∈≠∧≠R .当122211220,lim 0,lim x x x x Ax Bx C Ax Bx C →→++≠=∞++≠=∞或.此时函数无界.当221122=0=0Ax Bx C Ax Bx C ++++且,函数有界且为常值函数(很少遇到的情况,比如2211x y x -=- ).所以通常当240E DF -≥ ,二次分式函数是无界的.12,x x x x == 是函数的渐近线.当240E DF -<,函数定义域为R .函数有界. 2. 单调性,极值,值域 当240E DF -<,20Dx Ex F ++≠,可以将函数化为()22=.y Dx Ex F Ax B x x C ++++的方程 .()()2B 0x Dy A x Ey Fy C -+-+-=即.对于值域中的每一个y,方程都有实数解,0,=00,,Dy A Dy A -≠-∆≥当验当证是否有解 .这样就可以求出值域.值域的两个端点(方程的两个解)为函数极大值和极小值.但为了计算在何处取得极值,需将极值代入()()2B 0xDy A x Ey Fy C -+-+-=函数解出x ,计算可能有点慢.下文会给出一个简便的计算方法.lim ()x A f x D →∞=,根据极值与A D的大小即可判断单调区间.240E DF -<这种情况最多有三个单调区间.当240E DF -≥,用判别式法可能会产生增根.此时通常会解出y ∈R .出现这种情况,求解20Dx Ex F ++=和20Ax Bx C ++= .分式可化为一次分式,根据定义去求出这个一次分式值域.比如()()()()2221121311221222x x x x y x x x x x x x x-+-+-+====-≠≠--++-++++且 {}1,0,0.|1x y y y y ==≠≠取所以函数值域且分离变量和换元再用基本不等式求解也是解决二次分式的常规方法,再.下面给出一个具体例子.223325x x x y x +--++=.首先定义域2{|50}x x x -++≠ 解得((111){|(1}22x x x ∧≠≠.分离分子中的二次项得261335x y x x +=-+-++ . 13613,6t t x x -=+=令 .代入得 ()()222135613131151313636136732361367836369y x x x t t tt t t t t =-+-+++=-++-+--+=-+-+-=--+-()0131336782136369671313,,363666013133678213636967,,3636t y t t t t t x t t y t t t t x t >-+=--≥--=+--====<+=-+≤-+=--++-===当当当当函数值域(-)∞∞Ç根据2233m2l 35i x x x x x →∞+-++=--, 3126731267-21321+-<+-<671312167131216262+--+-<<< 可判断出单调区间()()()()()()()()1111(-,1367),(1367,121),(121,+) 66221111(1367,121),(121,1367)6226∞∞---+++-----+增区间减区间共有5个单调区间顺便再算一下函数零点()()212113320=333,=33366x x x x +----+解得= 有了这些信息,我们很容易画出函数大致图像通过这样一个例子,我们意识到,如果在考试中碰到这样的函数,分离变量换元的方法计算量非常大并且需要一定的技巧,浪费了我们很多的时间.而判别式法只能求极值和值域,对于何处取极值,还需将极值代入原函数.对于上面的例子,直接代会函数运算过于复杂对于一些简单二次分式函数,分离变量是可行的,并且非常快.但是对于像上面这种二次分式函数,我们找到需要一种计算量很小的方法.二次分式函数极值公式很多老师不赞成用导数计算二次分式函数极值.但为了找到一个简便公式,我们必须通过导数来研究二次分式函数.22()Ax Bx C f x Dx Ex F++=++ ()()22'22222(2)()()(2D )()()2()Ax B Dx Ex F Ax Bx C x E f x Dx Ex F AE BD xAF CD x CE BFDx Ex F +++-+++=++-+--+=++我们只关心导数的符号,导数分母是个正数,我们记分子()()22AE BD x AF CD N x CE BF -+--+= .函数取极值时'()0,N 0f x ==即 .我们只需解方程()()220AE BD x AF CD x CE BF -+--+=即可得到函数取极值时的x值.为了防止错误,最好验证的得到的x 值是否在定义域.将方程系数与22Ax Bx CDx Ex F++++比较.发现N 可以写成三阶行列式. 212x x N AB C DEF-= .这样就很容易记住了. 对于上面的例子223325x x x y x +--++=,2212332011517266x xN x x +-+-===-解得((1211=13,=1366x x --.这种方法比分离变量快多了. 要求单调区间,由于N 的符号和'()f x 相同,大致画出y N = 的图像,只需画出开口方向,标出零点和渐近线即可确定单调区间.由此可知二次分式函数最多可有5个单调区间.如果要求极值,把x 代入函数(((((221121313121213)11651313636(f -+--+--+---=- 计算量很大,对于x 很复杂的情况建议用判别式求值域.想到取极值时的x 值可用方程0N =表示,我们也找到一个关于y 的方程.联立()()22220Ax Bx Cy Dx Ex FAE BD x AF CD x CE BF ⎧++=⎪++⎨⎪-+--+=⎩,消去x 整理得 ()()()22244240EDF y AF CD BE y B AC -++-+-=2244E DF B AC --二次项系数和常数项正好为分母和分子的判别式 .我们只需特别记住一次项系数()42AF CD BE +-.比较22Ax Bx CDx Ex F++++发现这一项也挺好记的:二次项系数与常数项系数积的和的4倍减一次项系数积的两倍对于上面的例子,将系数代入该方程得2336220=1y y ++ 解得((121131,312121y y =--=-+ . 根据已求出的单调区间, 比较AD 和极值的大小即可区分极大值和极小值.我们重新回顾判别式求值域的方法. ()()2B 0xDy A x Ey Fy C -+-+-=()()()24=0Ey B Dy A Fy C ---- 的解即为极值.重新整理方程可得()()22244244=0B AC CD BE AF y E DF y -+-++- 和刚才的到的方程是一样的.说明导数和判别式这两种方法是等价的.在考试中,我们碰到的二次分式函数定义域不是根据函数本身的得出的,而是已知条件给定的.在特定的定义域求解函数值域时,用判别式求解可能会放大值域.但我们能可用判别式求出极值.再用=0N 和渐近线求出单调区间进而求出值域.下面给出一道有二次分式函数应用的高考例题.(2013)如图,点P(0,1)- 是椭圆12222:1(0)b x y C a b a +>>= 的一个顶点,1C 的长轴是圆222:4C x y += 的直径.12,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆221,, D.C A B l C 与两点交椭圆与与另一点(1) 求椭圆1C 的方程; (2) 求ABC 面积取最大值的直线1l 的方程;第一问222:14x C y += 设121:1(R) ,:1l y kx k l y x k=-∈=-- O 到AB 距离21d k =+222342241k AB d k ==+-+ . 21224C 1410x x k l ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭代入得 设1122(,),(,)P x y D x y(2:0l x ky k ++=套用圆锥曲线硬解定理)122122121222222840()1||1()42(1)4(4)=(81=kx x k x x DP x x x x kk k k k -+=+⋅==++-⋅+⋅+-+形式而已套用圆锥曲线硬解定理2211||||2244S DP AB k k ===++接下来是关键了,用我们的公式来算.224t=k (t k S =+≥=令2212043464001816t t N t t -==--+=5,20,2t t k >==±1:12l y x =±- 现在算最大面积.284163y t t t =+++ 代公式()()()22244240E DF y AF CD BE y B AC -++-+-=max 4130(1264)160y y S ====+-+。