部分习题及参考答案

第一章部分习题及参考答案

1设p、q的真值为0; r、s的真值为1求下列各命题公式的真值。

(1) p V (q A r)

(2) (p? r)A (「q V s)

(3) (一p A—q A r) ? (p A q A「r)

(4) (—r A s)—(p A 一q)

2 .判断下面一段论述是否为真：“二是无理数。并且，如果3是无理数，则' 2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。”

3. 用真值表判断下列公式的类型：

(1)(p f q) f (一q—一p)

(2)(p A r) ' (—p A —q)

(3)((p f q) A (q f r)) f (p f r)

4. 用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值•

(1) 一(p A q f q)

(2) (p f (p V q))V (p f r)

(3) (p V q)f (p A r)

5. 用等值演算法证明下面等值式：

(1)(p f q) A (p f r)二(p f (q A r))

⑵(p A - q) V (一p A q)二(p V q) A ~ (p A q)

6•求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值

(1) ( "p f q)f(_q V p)

(2) _(p f q) A q A r

(3)(p V (q A r)) f (p V q V r)

7. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：

(1) 前提：p》q, 一(q r),r

结论：一p

(2) 前提：q— p,q『s,s = t,t r

结论：p q

8. 在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理：

前提：p— (q —r),s —p,q

结论：s_. r

9. 在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：

前提：p、—q, q,r - s

结论：_ p

参考答案：

1.

(1) p V (q A r) = 0V (0 A 1) = 0

(2) ( p? r )A (「q V s)二(0? 1)A (1 V 1)二0A 1= 0

(3) (一p A 一q A r) ? (p A q A「r)二(1 A 1 A 1) ? (0 A 0A 0)=0

(4) (一r A s)—(p A - q)二(0A 1)—(1 A 0)二0—0= 1

2. p:二是无理数1

q: 3是无理数0

r: 2是无理数 1

s: 6能被2整除1

t: 6能被4整除0

命题符•号化

为：

p A (q—r) A (t—s)的真值为1,所以这一段的论述为真。

3. (1)

p q p—q _q _p _q—_ p (p—q)—(一q—一p)

0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0 0 1 1

所以公式类型为永真式

(2) 公式类型为可满足式(方法如上例)

(3) 公式类型为永真式(方法如上例)

4. (2) (p—(p V q))V (p—r)= (一p V (p V q)) V (一p V r)= _ p V p V q V r= 1

所以公式类型为永真式

(3) P q r p V q p A r (p V q)—(p A r)

0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 1

0 1 0 1 0 0

0 1 1 1 0 0

1 0 0 1 0 0

1 0 1 1 1 1

1 1 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1

所以公式类型为可满足式

5.证明(1) (p —q) A (p —r)

(—p V q) A ( —p V r)

一P V (q A r))

:二p—(q A r)

(2)(p A - q) V ( 一p A q) = (p V ( 一p A q)) A( - q V ( 一p A q)

二(p V 一 p) A (p V q) A (一q V_ p) A(_ q V q)

二 1 A (p V q) A 一(p A q) A 1

=(p V q) A - (p A q)

(1) 主析取范式

(一p—q) —(一q p)

二「(p \/q) ”(「qwp)

=(一P _q) ( 一q p)

-(_p _q) (一q p) (—q _p) (p q) (p _q)

u ( — p _q) (p _q) (p q)

=m0m2 m3

-刀(0,2,3)

主合取范式：

(_p—q) —Lq p)

=「(p 口)"「qwp)

=(一p _q) (一q p)

=(—p ( —q p)) ( —q ( 一q p))

=1 (p - q)

：=(p _q) ：= M1

二n⑴

(2) 主合取范式为:

—(p —q) q r = 一(一p q) q r

-(p —q) q r = 0

所以该式为矛盾式•

主合取范式为n(0,1,234,5,6,7)

矛盾式的主析取范式为0

(3) 主合取范式为：

(P (q r)) —(p q r)

二_(p (q r)) —(p q r)

=(一p ( 一q - r)) (p q r)

u ( 一p (p q r)) (( 一q 一r)) (p q r))

二 1 1

-1

所以该式为永真式•

永真式的主合取范式为1

主析取范式为刀(0,1,2,3,4,5,6,7)

7.

证明：(1)

① 一(q r) 前提引入

②一q 一r ①置换

③q • _r ②蕴含等值式

④r 前提引入

⑤—q ③④拒取式

⑥ p—；q 前提引入

⑦」p (3)⑤⑥拒取式

证明(2):