初中升高中数学衔接教材.pptx

(a b)3 (a b)2 (a b) a3 3a2b 3ab2 b3 ···················① 那 (a b)3 ? 呢，同理可推。那能否不重复推导，直接从①式看出结果？将 (a b)3 中的 b 换成－b 即可。（b R ）▲这种代换的思想很常用，但要清楚什么时候 才可以代换 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 ············符号的记忆，和――差从代换的角度看 问：能推导立方和、立方差公式吗？即（）（）＝a3 b3
例 2：已知三角形ABC 中，AD 是角平行线，求证： BD AB
DC AC
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析：证比例关系，从相似，平行入手，分析思路
▲三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和 这个角的两边对应成比例。
练习：已知在 ABC 中，AD 是角平分线，AB＝5cm，AC＝4cm，BC＝7cm， 则 BD= cm.
由①可知， a3 b3 (a b)3 (3a2b 3ab2 ) (a b)(a2 ab b2 ) ······② 立方差呢？②中的b 代换成－b 得出： a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) ▲符号的记忆，系数的区别
例 1：化简(x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1) 法 1：平方差――立方差 法 2：立方和――立方差
教学过程：
4 个非零数 a，b，c，d 成比例，即 a : b c : d ，也可写成 a c ，其中 a，d 叫做
bd
比例外项，b，c 叫做比例内项，d 叫做 a，b，c 的第四比例项。
特别的当比例内项相等时，即 a : b b : c ，（或 a b ），此时 b 叫做 ac 的比例中项。
bc
一、比例的性质 1、 基本性质 a c ad bc(bd 0) ，比例的两个外项的乘积等于两个内项的
bd
乘积。
特别地， a b b2 ac(bc 0)
bc
2、 更比性质
当 abcd 0 时 ， a c ad bc b d b a
bd
ac dc
比例式有多种变形形式：内项和外项可以相应的交换位置（注意是对应位置，
x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 用十字交叉线表示:1a
1 b a+b（交叉相乘后 相加） 若二次项的系数不为 1 呢？ ax2 bx c(a 0) ，如： 2x2 7x 3 如何处理二次项的系数？类似分解：1－3
2 －1 -6+-1=-7
2x2 7x 3 (x 3)(2x 1)
b8
b8
（2）已知 a c (b d 0)，求证： a c b d
bd
ac bd
（3）已知 a c e 3,b d f 4, 求 a c e 的值。（比例性质的灵活使用）
bd f
二、 比例性质的应用 （一）平行线等分线段定理 1、由特殊：“三条平行线被两条直线所截”情况入手，观察（平行 非平行）、 猜想：
1
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（2）已知x2 x 1 0, 求证：(x 1)3 (x 1)3 8 6x ▲注意观察结构特征，及整体的把握
二、因式分解：将一个多项式化成几个整式的积的形式，与乘法运算是互逆变 形。初中学过的方法有：提取公因式法，公式法（平方差、完全平方、立方和、 立方差等） （1）十字相乘法 试分解因式： x2 3x 2 (x 1)(x 2) 要将二次三项式x2+px+q 因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于 常数项 q，和等于一次项系数 p,满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即
4、已知AD 是△ABC 的角平分线，BH AD，垂足为H，CK AD，垂足为K，
求证： AB DH
AC DK
第四课时
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一、Rt 的射影定理及其应用
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①Rt ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，图中线段 AC、BC、AD、BD、CD 之 C
间有些怎样的关系呢？（比如等量关系、大小关系、比例关系等）
作业：1、根据下列各式，求 a : b 的值。（1） a b 3 （2） a 5
b8
ba 7
2、已知 a c e 2, 则 2a c 3e ＝
。
bd f
2b d 3f
3、已知在△ABC 中，AB＝6,BC＝8,AC＝7，MN//AC，分别交 AB，BC 于点M，
N，且 AM＝BN，求 MN 的长。
1 已知二次函数的图象过点（－3，0），（1，0），且顶点到 x 轴的距离等于 2 ；
2 已知二次函数的对称轴为 x＝1，最大值为 15，图象与 x 轴有两个交点， 其横坐标的立方和为 17；
三、二次函数在给定范围内的最值问题 例 3、已知函数 y x2 2x 3 ，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的 最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量 x 的值: (1) x 2 ;(2) x 2;(3) 2 x 1;(4) 0 x 3
让学生探究得出以下结论
A
D
B
（1） CD2 AD BD ；（2）BC2 BD AB
（3） AC2 AD AB ；（4）AC BC AB CD 其中（1）（2）（3）结论就是射影定理。
②引入射影的概念（引垂直）
（1）点在直线上的正射影
即交叉相乘相等出现的式子是一样的）
3、合比性质
a c a b c d （证明：两边＋1）
bd b
d
4、等比性质
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a b
c d
m n
(b
d
n
0)
a c m bd n
a b
（证明：用中间量k 过渡，这种设k 的方法在解决比例问题中很常用）
例 1：(1)已知 a b 3 ，求证： a 11
除了上述两种表示方法外，我们还可以借助图像与 x 轴的交点，得出另一种表
示方法； 函数 y ax2 bx c(a 0) 的图像与 x 轴公共点的横坐标就是方程ax2 bx c 0 的
根，那它根的情况由谁决定，（判别式），当方程有两根 x1, x2 时，由韦达定理可
知
x1
x2
b, a
x 1x2
离为 6，求此二次函数的解析式。
2、 如图，用长为 18m 的篱笆（虚线部分），两面靠墙 围成矩形的苗圃。
（1）设矩形的一边为 x（m），面积为 y（m2 ），求 y 关于x 的函数关系式，并写
6
出自变量x 的取值范围；
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（2）当 x 为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少
\
第三节 比例关系，性质及其应用
第二节 二次函数及其最值 重点：二次函数的三种表示形式，韦达定理，给定区间的最值问题 难点：给定区间的最值问题
教学过程：
一、 韦达定理（二次方程根与系数之间的关系） 二次方程ax2 bx c 0(a 0) 什么时候有根（判别式 0 时），此时由求根公式得，
x b b2 4ac ，求出了具体的根，还反映了根与系数的关系。那可以不解方
2 分组分解法 分解xm xn ym yn ，观察；无公因式，四项式，则不能用提公因式法，公式法 及十字相乘法 两种方法 适当分组后提出公因式，各组间又出现新的公因式，····叫分组分解法 ▲如何适当分组是关键（尝试，结构），分组的原则，目的是什么？分组后可以 提取公因式，或；利用公式
练习：因式分解（1） x3 9 3x2 3x （2） x 2 4(xy 1) 4y 2
的一次项系数 b，即 a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x+c1
与 a x+c 之积，即 ax2+bx+c=（a x+c ）（ax+c ）。〔按行写分解后的因式〕
2
2
1
1
2
2
十字相乘法关键：（1）看两端，凑中间；（2）分解后的因式如何写（3）二次项
系数为负时，如何简化
例 2：因式分解：（1） 6x2 7x 5 （2）5x2 6xy 8y 2 （3）(x y)(2x 2y 3) 2
3x3 3x 4 （试根法，竖式相除） 归 纳：如何选择适当的方法
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作业： 将下列各式分解因式 （1） x2 5x 6；（2）x2 5x 6；（3）x2 5x 6；（4）x2 5x 6 （5） 3x2 2ax a2 ；（6）x3 y3 x2 y xy2 ；（7）2a2 b2 ab 2a b （8） a6 64；（9） x2 (a 1)x a
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第一节 乘法公式、因式分解 重点：和（差）的立方公式，立方和（差）公式及应用，十字相乘法，分组分 解法，试根法 难点：公式的灵活运用，因式分解 教学过程：
一、 乘法公式 引入：回顾初中常用的乘法公式：平方差公式，完全平方公式，（从项的角度变 化）那三数和的平方公式呢？(a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac （从指数的角度变化）看看和与差的立方公式是什么？如 (a b)3 ? ， 能用学过的公式推导吗？（平方―――立方）
c
，
a
所以
y
ax 2
bx
c
a(x 2
b a
x
c )
a
a[x 2
(x
1
x
2)x
x
1x
2]
a(x
x
1)(x
x
2)
，这是二次
函数的交点式。
（3）交点式： y a(x x1)(x x2 )(a 0) ▲根据题目所给条件，适当选择三种形式。
例 2：分别求下列一元二次函数的解析式。（P43－44）
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2a
程，直接从方程中看出两根和（积）与系数的关系吗，
x1 x2
b
b2 4ac b
2a
b2 4ac b
2a
a
x1 x2 b
b2 4ac b
2a
b2 4ac c
2a
a
反过来，若
x1, x2 满足
x1
x2
b a
, x1 x2
c a
，那么
x1, x2一定是
ax 2
bx
c
0(a
① x 2 x 2 ②| x x |③ x 3 x 3
1
2
1
2
1
2
二、二次函数的三种形式 (1)一般式： y ax2 bx c(a 0) (2)顶点式： y a(x h)2 k(a 0)，其中顶点坐标为（h，k） 练：求下列函数的最值。（1）y x2 4x 5（2）y 3x 2 6x 8（3）y 2x2 3x 4
动范围问题（选讲） 例 4、已知1 x a(a 为大于－1 的常数），求函数 y x2 的最大值 M 和最小值m。 （P50） ▲数形结合，根据对称轴与取值范围内图象的相对位置进行分类讨论，把握好 为什么要分类讨论、如何进行分类讨论。（要讲到位）
作业： 1、 已知某二次函数的图象的顶点为 A（2，18），它与 x 轴两个交点之间的距
不管l 与 l 是否平行，只要 A1A2 A2A3, 就有B1B2 B2B3 。
l
l'
A1 A2 A3
B1 l1
B2
l2
B3 l3
l
l'
A1 A2 A3
B1 C1 l1
C2
B2 l2
C3 B3 l3
证明：（1）先证l // l 时，（特殊位置）（2）再证l 不平行l 时，（引导如何思考： 将一般位置化归为特殊位置处理：辅助线作法两种（上图） 〔给学生指出：在研究问题中，将困难的、不熟悉的问题转化为容易的、熟悉 的问题，这是解决数学问题不可缺少的思想方法――－化归思想〕 从运动的角度看，将 l 平移，使得l 与 l1相交于 A1，得出 推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边；
整理：对于二次三项式 ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数 a 可以分解成两个因 数之积，即 a=a1a2，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即 c=c1c2，把 a1，a2， c1，c2 排列如下：
2
a2 +c2
a1+c1
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a1c2+a2c1=a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到 a c +a c ，若它正好等于二次三项式 ax2+bx+c 12 21
0)
的
两根，即韦达定理的逆定理也成立。
作用：（1）已知方程，得出根与系数的关系
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（ 2 ） 已 知 两 数 ， 构 造 出 以 两 数 为 根 的 一 元 二 次 方 程 （ 系 数 为 1 ）：
x2 (x x )x x x 0
1
2
12
例 1： x1, x2 是方程2x2 3x 5 0 的两根，不解方程，求下列代数式的值；