第六讲 等积法
六年级等积变换刘军辉
教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课类型T (等积变换) C （专题方法主题）T （学法与能力主题）授课日期时段教学内容一、同步知识梳理知识点1：等积变换模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；baS2S1DCBA如左图12::S S a b=③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCDS S=△△；反之，如果ACD BCDS S=△△，则可知直线AB平行于CD．④正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、同步题型分析题型1：等积变换的基本应用。
例1：如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？EDCBA AB CD E【解析】连接BE．∵3EC AE=∴3ABC ABES S=又∵5AB AD=∴515ADE ABE ABCS S S=÷=÷，∴1515ABC ADES S==．例2：如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC的面积.【解】根据定理：ABCBED∆∆=3211⨯⨯=61，所以四边形ACDE的面积就是6-1=5份，这样三角形35÷5×6=42。
题型2：等积变换的能力提升。
例1：如图，正方形ABCD的边长为6，AE=1.5，CF=2．长方形EFGH的面积为．【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEFS=⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH面积为33．例2：长方形ABCD的面积为362cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影_H_G_F_E_D_C_B_A_A_B_C_D_E_F_G_H12EFGB S =边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积． P DCBAA B C D(P )PDC BA【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米． （法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．检测题3：如右图所示，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD=AB ；延长BC 至E ，使CE=2BC ；延长CA 至F ，使AF=3AC ，求三角形DEF 的面积。
华东师大版七年级数学下册第6章一元一次方程6.3.2等积变形问题教学课件(17张ppt))
解得x=5 经检验，符合题意。 因此，水箱的高度变成了5 m.
进行维修改造，为减少楼顶原有储水 箱的占地面积，需要将它的底面直径 由4 m减少为3.2 m．那么在容积不变 的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变为多少米？
总结
本题用抓不变量法寻找等量关系．在解等积变形 问题的方程时，遇到π不要急于化为近似值3.14，若 方程的两边均含有π，可约去．
mm的钢圆柱体，则圆柱体的高是( B )
A．1 200 mm
B.180 mm
C．120π mm
π D．120 mm
分析：设圆柱体的高为xmm,根据题意得： π×502x＝150×150×20
x
15001500 20 50 50π
180
x＝
π
3. 用直径为4 cm的圆柱形钢铸造3个直径为2 cm，
高为16 cm的圆柱形零件，需要截取多长的圆柱
图形变化问题选做题：
学校建花坛余下24米长的小围栏，某班同学准备在自己教室前的空地上，建一 个一面砖墙、三面围栏的长方形小花圃(长边靠墙）。 （1）请你设计一下，使长比宽多3米，算一算这时的面积。 （2）请你再设法改变长与宽，扩大花圃的面积，并和其他同学比一比，看谁设 计的花圃面积最大。
解:(1)设这个长方形小花圃的宽为x米，则长为（x+3）米，
形钢？ 导引：此题中存在的等量关系为铸造前圆柱形钢的体积
＝铸造后3个圆柱形零件的体积之和．
解：设需要截取x cm长的圆柱形钢．由题意得：
解得x＝12π.g
4 2
2
gx＝3π×
2 2
2
×16，
经检验，符合题意
答：需要截取12 cm长的圆柱形钢．
一年级奥数第六节 图形的等积变换与等份分划
第六节 图形的等积变换与等份分划
一、复习：1、3
162,2142==； 2、作业讲解。
方法：找最小的面积的个数。
二、图形的等积变换
1、面积:平面图形的大小；
2.把一个图形切开后组拼成另一个图，它的形状变了但（面积）大小未变，这样的过程叫做图形的等积变换。
例题1. 把右边的长方形剪一刀，将它分成两个同样的直角三角
形。
然后用这两个直角三角形拼成另外形状的图形。
拼成的图
形与原来的长方形面积相等吗？
总结：相拼的那两条边要一样长。
例题2. 给你一个梯形，把它剪成两部分，拼成一个三角形，试试看。
例题3.把下图中的长方形纸片先剪成两个大小相同的正方形，再把每个正方形纸片剪成两块，然后拼成一个大正方形。
怎样剪，怎样拼？
三、分图形
1．把图正方形分成两个相等的三角形。
2．把图长方形分成四个一样大的小长方形。
4．把图长方形分成四个一样大的三角形？
作业：
1．把如图的三角形分成4个相等的三角形。
2.请把下图中的正方形分成形状相同、大小相等的四
块，然后再拼成一个等腰直角三角形。
3．下图所示这块木料可看成由五个小正方形组成。
聪明的木工只据了两次，就拼出了一个正方形桌面。
想一想，他是怎样锯、怎样拼的？【沿怎样的线条锯，请画出来。
】。
＂等积法＂在高考解题中的应用
Ｓ ＡＡ Ａ１ 曰 ． ・ ． ６ 脚 ｈ ＝ ａ Ａ 口 ＝ Ａ ｃ ＝ × ｓ “ ‘ Ａ Ａｌ 即三
Ｊ
２ 、 ／６
棱锥ｃ ． 一 Ａ Ｂ Ｂ 的体积 为 。
６
二 求 点 到 平 面 的 距 离
总之 ， 用等积法 的关键是找准问题 的角度 ， 注意 观察 ， 从不 同角度思考 ， 充分利用 同一几何体体积不 Ｂ
，
Ｂ
…
． ・ ．
１ ｘ ｄ ｘ ￣ ２
３
－ 三 棱锥Ｃ ， 肋 的体 积。
－－ ２
图 ３
分析： 利用 等体积代换求 出三棱锥的体积。
解 ： 在 三 棱 柱 Ｃ — １ 日 Ｃ中 ， 。 ． ’ Ｓ△ＡＢ Ｂ ＝
２ｋ Ｆ ６
．
＝
，
故 异 面 直 线４ Ｅ 和Ｇ ， 间 的距 离 为
知：
３ ×ｄ×ｓ ＝ １
× ×ｓ
三 、 求体 积
如图３ ， 正 三 棱 柱 Ａ 曰 ｃ —Ａ Ｂ Ｃ 的 底 面 边 长
Ａ Ｉ Ｂ ｊ ￣ Ｂ Ｉ Ｂ ＝ ÷ｘ ２ ｘ ２ ＝ ２ 。
由 Ａ Ｉ － Ｂ Ｉ Ｆ Ｃ ￣ －
为３ ， 侧锨 Ａ ＝
三 求 Ｂ
Ａ Ｉ Ｂ｝ Ｃｌ Ｄ｛ 中， ＡＡ １ ＝ ＡＢ＝ ２， ＡＤ＝
１ ， 点 Ｅ、 Ｆ 、 Ｇ 分 别是Ｄ Ｄ． 、 Ａ Ｂ、
Ｃ Ｃ 的 中点 ， 求 异面 直线Ａ Ｅ
和Ｇ Ｆ 的距 离 。
分析 ：把 异而直线 问的距离转化为直线与平 面
问的距离 ， 再转 化 为 点 １ ＢＦ ． ＢＤ ． ｓ ｉ ｎ Ｚ＿ Ｆ ＢＤ ： １
．
— 一
(完整word版)面积——等面积法
面积法在中学数学解题中的巧用利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值，或证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明线段间的数量关系。
利用等积变形，可以排除图形的干扰，实现“从形到数”的转化，从而从数量方面巧妙地解决问题。
用面积法解题就是根据题目给出的条件，利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法。
运用面积法,巧设未知元,可获“柳暗花明”的效果。
有关面积的公式（1）矩形的面积公式：S=长⨯宽 （2）三角形的面积公式：ah S 21=（3）平行四边形面积公式: S=底⨯高（4）梯形面积公式: S=21⨯(上底+下底)⨯高（5）对角线互相垂直的四边形：S=对角线乘积的一半（如正方形、菱形等） 有关面积的公理和定理 1、面积公理（1）全等形的面积相等；（2）一个图形的面积等它各部分面积之和； 2、相关定理（1）等底等高的两个三角形面积相等；夹在平行线间的两个共底的三角形面积相等；如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD（2）等底等高的平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；（3）等底的三角形、平行四边形面积之比等于其高之比；等高的三角形、平行四边形面积之比等于其底之比；（4）相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（5）在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等；（6）等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。
一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米。
问：长方形的面积是__________平方厘米。
等面积法的应用一：利用平行线间两个共底的三角形面积相等解题。
如图，矩形ABCD 中，AB=3cm ，AD=6cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，且EF=2BE ，则AFC S =△ 9 2cm如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A →B →C →D 的路径匀速前进到D 为止。
等积变换
天门市石河中学 谈平忠
等积变换的基本原理：
等底等高的两个三角形面积相等。 等底等高 不等底但等高的两个三角形面积的比等于底边的比 不等底但等高 等底但不等高的两个三角形面积的比等于高的比 等底但不等高
等积变换的基本图形
A
C D O
B
D
C
A
B
等积变换的基本图形
一.用等积变换作图
根据等积关系，可以使某些作图题较快 地得到解答。
这道题可以直接解答， 这道题可以直接解答，也可以把两 个阴影部分集中，连结AC 因为AB AC， 个阴影部分集中，连结AC，因为AB 平行于DC 所以△DAE的面积 DC， 的面积= 平行于DC，所以△DAE的面积=△CAE 的面积，两个阴影部分的面积就换 的面积， 成一个△ CAB的面积了 的面积了。 成一个△ CAB的面积了。
B C
有一块形状如图的耕地， 例3.有一块形状如图的耕地，兄弟二人要把它分 有一块形状如图的耕地 成两等份， 成两等份，请你设计一种方案把它分成所需要的 份数．如果只允许引一条直线，你能办到吗？ 份数．如果只允许引一条直线，你能办到吗？
A
B
C
D
例4有一块形 状如图的耕地， 兄弟四人要把它 分成四等份，请 你设计一种方案 把它分成所需要 的份数．
例5四边形ABCD,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40. 又已知∠ABD+∠BDC=90度,求ABCD的面积．
如下图,以BD的垂直平分线为对称轴L,做 △ABD关于L的对称图形△BD.连接C．
如图,在三角形ABD中,当AB和CD的长度相等时, 请求出“?”所示的角是多少度,给出过程．
例1.用三种方法把任意一个三角形分成四 个面积相等的三角形。
等积变形
直线型面积——等积变形
【例1】用五种以上的方法将三角形ABC分解成面积相等的四个小三角形。
【例2】在三角形ABC中（如图），3BD=DC,阴影部分的面积是20 . 求三角形ABC的面积.
【例3】△ABC中，BD=DC, AE=2BE,已知△ACD的面积是60,求阴影部分的面积.
【例4】已知△ABC的面积为8，2BD=AB, BE=CE,已知△DBE的面积?
【例5】△ABC 中，D 、E 为BC 边的三等分点，M 、N 分别为AE 、AC 的中点，若S △ABC=24
,则S △
MCN=?
【例6】如图：将一个三角形（有阴影的）两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的多少倍？
【小试锋芒】
AD ，△ABC 与△ACD 的面积有什么关系？
2. 的面积？
3. F 是AC 的三等分点，已知△ABC 的面积是108，求三
角形CDE 的面积？
4.下图中，BD=2厘米，DE=4厘米，EC=2厘米，F 是AE 的中点，△
影面积是多少平方厘米？
5. 在△ABC 中（如图），DC=2BD, CE=3AE, 阴影部分的面积是20
6.已知三角形ABC 面积为8, 2BD=AB, BE=CE, 求三角形
DBE 的面积？
★7.如图中：如果△ABC 中的BD=DE=EC, BF=FA, △EDF 的面积是1个面积单位，△ABC 的面积是多少？。
面积——等面积法
面积法在中学数学解题中的巧用利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值，或证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明线段间的数量关系。
利用等积变形，可以排除图形的干扰，实现“从形到数”的转化，从而从数量方面巧妙地解决问题。
用面积法解题就是根据题目给出的条件，利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法。
运用面积法,巧设未知元,可获“柳暗花明”的效果。
有关面积的公式（1）矩形的面积公式：S=长⨯宽 （2）三角形的面积公式：ah S 21=（3）平行四边形面积公式: S=底⨯高（4）梯形面积公式: S=21⨯(上底+下底)⨯高（5）对角线互相垂直的四边形：S=对角线乘积的一半（如正方形、菱形等） 有关面积的公理和定理 1、面积公理（1）全等形的面积相等；（2）一个图形的面积等它各部分面积之和； 2、相关定理（1）等底等高的两个三角形面积相等；夹在平行线间的两个共底的三角形面积相等；如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD（2）等底等高的平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；（3）等底的三角形、平行四边形面积之比等于其高之比；等高的三角形、平行四边形面积之比等于其底之比；（4）相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（5）在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等；（6）等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。
一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米。
问：长方形的面积是__________平方厘米。
等面积法的应用一：利用平行线间两个共底的三角形面积相等解题。
如图，矩形ABCD 中，AB=3cm ，AD=6cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，且EF=2BE ，则AFC S =△ 9 2cm如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A →B →C →D 的路径匀速前进到D 为止。
求点面距离的最有效方法——等积法
求点面距离的最有效方法——等积法
徐家银
【期刊名称】《中学生数理化（学研版）》
【年(卷),期】2012(000)008
【摘要】在计算点面距离的时候，通常要过已知点向已知平面作垂线．而在几何体中过点向平面作垂线，往往比较困难，主要是垂足的位置难确定．但在不要求作出垂线的情况下，用体积相等的方法计算点面距离比较简单和有效，其原理是同一几何体用不同的方法计算出来的体积相等．然后列方程求解即可，这种方法叫等积法．下面举例说明：
【总页数】1页(P22-22)
【作者】徐家银
【作者单位】广西南宁市第十五中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.对“垂面法”求点到平面距离问题的探究 [J], 叶保国
2.对"垂面法"求点到平面距离问题的探究 [J], 叶保国
3.用法向量法求点面距离 [J], 张镭
4.求“点面距离”常用的几种基本方法 [J], 潘继军
5.求点面距离的几种常用方法 [J], 陈浩
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勾股定理等积法证明
勾股定理等积法证明勾股定理是数学中一个重要的定理，它的证明方法有很多种。
其中一种常用的证明方法是等积法。
本文将以等积法来证明勾股定理，并对其进行详细解释。
我们回顾一下勾股定理的表述：在直角三角形中，直角边的平方等于另外两个边的平方和。
即对于直角三角形ABC，有AB²+BC²=AC²。
为了证明这个定理，我们可以构造一个等边直角三角形。
假设直角三角形ABC的直角边AB和BC等长，且为a，斜边AC为c。
根据勾股定理，我们需要证明a²+a²=c²。
接下来，我们通过等积法来证明这个结论。
我们将直角三角形ABC 进行如下操作：将其分割成四个直角三角形，分别记为ADE、EBC、FDC和FAC。
如图所示：A---D---E| || |F---C---B根据等积法，我们可以得到ADE和EBC的面积之和等于FDC和FAC 的面积之和。
即ADE的面积加上EBC的面积等于FDC的面积加上FAC的面积。
我们计算ADE和EBC的面积。
由于ADE和EBC都是直角三角形，它们的面积可以用底边乘以高的一半来表示。
所以ADE的面积为(a*a)/2，EBC的面积也为(a*a)/2。
因此，ADE的面积加上EBC的面积为a²。
接下来，我们计算FDC和FAC的面积。
同样地，由于FDC和FAC都是直角三角形，它们的面积也可以用底边乘以高的一半来表示。
FDC 的底边为a，高为a，所以FDC的面积为(a*a)/2。
同理，FAC的面积也为(a*a)/2。
因此，FDC的面积加上FAC的面积为a²。
我们得到ADE的面积加上EBC的面积等于FDC的面积加上FAC的面积，即a²=a²+c²。
经过简化，我们得到a²=a²+c²。
根据等积法的证明，我们可以得出结论：在直角三角形ABC中，直角边的平方等于另外两个边的平方和。
面积法与等积变换
面积法与等积变换等面积法等面积补强法三角形等面积法spwm等面积法扩展等面积法等积变换等积变换模型等积变换定理三角形等积变换
面积法与等积变换
主要知识点
思考1，2，
思考3
思考4
教程练习
面积法与等积变换
主要知识：(见教程 P417 ) 1.面积公式 1 1 S△ ABC aha ab sin C 2 R 2 sin A sin B sin C 2 2 S△ABC p( p a)( p b)( p c) pr ( p 是周长的一半) 2.面积定理 等底等高的三角形的面积相等. 等高(比)的两个三角形的面积之经等于底( 高)之比. 3.等积变换 一个图形经过变形, 但面积保持不变 ,这种变形称为 等积变换.
提示：分别作点 G、 F 关于直线 AC 的对称点 G、F ，连结 F G 只 要 证 F G, EH , BO 三 线 共 点 即可 ,这可运用塞瓦定理来证 .
G
F
练习
练习: 1.(教程 P426 3) 如图,M 在 AC 上,N 在 BC 上,AN 与 BM 相交于 点 O,已知 S△OMA 3, S△OAB 2, S△OBN 1, 则 S△CMN =____.
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看鞠言战申了吧?自混元诞生以来,到现在为止,一共才有拾二位……”一名公爵开口说道,但他说到呐里便没有再说下去.他想说の是,混元空间诞生以来至今,天庭一共才有拾二位大王.“是啊！已经很久,没有善王能进入天庭了.但俺隐约有一种感觉,呐位鞠言战申,是有一些希望の.所以,俺认 为,现在俺们花费一些代价拉拢鞠言,是有希望给俺们带来丰厚回报の.”毕微王尪道.“你们都是俺临高王国の元老级人物,对王国の情况也比较清楚.在天庭内,可没有与俺们临高王国亲近の存在.俺们临高王国在天庭の话语权,目前来说几乎等于零！”毕微王尪继续说道,他说呐句话の事候,心 情很是沉叠.在场の临高王国众人,都不说话了.“呐件事,你们各自也好好考虑一下.俺,也利用呐几天再想一想.”毕微王尪转目又环视在场の众人,而后说道.毕微王尪本人,现在也没有想好,到底要不要授与鞠言名誉大公爵の头衔.呐个头衔,确实是无比の叠要,对王国意义非凡,是一件王国大事. 毕微王尪,也无法随意の独断专行.“是！”众人应声散去.而就在临高王国派人与鞠言接触后不久,便又有王国派人去见鞠言了.第二个派人の王国,就是举办呐一届战申榜排位赛の法辰王国.法辰王国,直接派出了一名公爵与鞠言见面,也体现出法辰王国对鞠言の叠视.法辰王国当然也是想招揽 鞠言加入王国,成为其王国一员の,不过鞠言仍是毫不犹豫の拒绝了法辰王国の橄榄枝.第三个向鞠言抛出橄榄枝の是天轮王国,天轮王国也是一名公爵出面,同样是没有得到想要の结果.接下来巴克王国等等,也都做出了相似の行为.……“你们听说了没有?混元七大王国,都向龙岩国鞠言战申抛 出橄榄枝了！”“怎么没听说,呐件事都已经传开了！”“是啊！真是令人羡慕,若是有任何一个王国想要招揽俺,俺都不知道会兴奋成哪个样子.而现在,竟是七大王国都想招揽鞠言战申.”“你也不看看自身の实历,你一个普通善王,七大王国会招揽你?就算你主动上门跪在那些王尪面前,人家 怕都不会多看你一眼.”“呐话太难听了吧！”那善王黑了黑脸道.“难听?不要嫌难听,呐是事实.人家鞠言战申是何等实历,那可是杀死了丁水云战申の存在.丁水云战申,战申榜排名第三拾の强者！就你呐实历若是面对丁水云战申,怕是连一根手指都挡不住.”“哈哈……”四周传出一阵笑 声.“嗯,鞠言战申确实非常强大,七大王国想要招揽他加入也正常.耐人寻味の是,鞠言战申对七大王国の邀请,竟全部都拒绝掉了.就是说,他不打算加入任何一个王国,还要留在那个龙岩国.”“是啊,不知道鞠言战申是怎么想の.如果能够加入一个王国,那会得到怎样の帮助?七大王国,可都是有 修炼秘境の,不说那些高端の稀有资源,就一个修炼秘境,那都不知道要羡慕死多少人了.”“一些顶级尪国也想招揽鞠言,但是听说七大王国都被拒绝了,呐些顶级尪国也就不好随便出手了.”在呐座临事城市内,很多人都在谈论七大王国对鞠言招揽呐件事.鞠言战申拒绝了七大王国の招揽,让很 多人感到诧异,很多人都无法理解鞠言战申为何拒绝加入王国而继续留在龙岩国呐个弹丸小国.法辰王国国都皇宫之中.仲零王尪,与王国一些叠要人物在宫殿之中议事.“陛下,龙岩国鞠言战申呐到底是哪个意思?难道,他是想待价而沽吗?”鲍一公爵站在那里出声说道.“鞠言战申拒绝了俺们法 辰王国の橄榄枝,其他陆个王国也都派人与他接触,但似乎是同样の结果.”一名叠臣大声说道.“俺们法辰王国给他开出の条件已经非常好了！俺们已经承诺,能够让他在王国秘境之中修行万年.呐在正常情况下,是不可能有の待遇.”又一名公爵微微有些愤怒の表情说道.坐在尪座之上の仲零王 尪,却是轻轻摇头.仲零王尪说道：“鞠言战申,应该是真の不想离开龙岩国.或许,俺们该换一个方式来招揽他.”“陛下の意思是?”柳涛公爵看向仲零王尪问道.“他不想离开龙岩国,他想一直作龙岩战申,那俺们也没必要一定要求他加入法辰王国.”仲零王尪微笑说道：“或许,如果给他更多 の自由,那他就会愿意与俺们谈了.”(本章完)第三零零八章授与仲零王尪想の,倒是与临高王国毕微王尪相似.鞠言既然坚持不想离开龙岩国,那就让鞠言继续留在龙岩国.龙岩国只是一个很小の国家,无论从哪方面看,都无法对混元王国形成竞争威胁.所以,法辰王国全部能够换一个方式来与鞠 言战申建立更为亲近の关系.“陛下,那俺们该如何做?”鲍一公爵出声询问.“俺暂事也没有想好,所以才让诸位过来,大家一起商议.”仲零王尪缓缓说道.“陛下,俺从临高王国那边听说了一些消息,但不能确定真假.俺听说,临高王国の毕微王尪有意授与鞠言战申名誉大公爵の头衔.”一名公爵 低沉の声音道.“哦?”在场不少人眼申都一凝.“真の假の?”有人不敢置信の语气道.“真实性很高,但不能全部确定,也有可能是临高王国故意放出の烟雾弹来迷惑俺们.”那位公爵摇摇头说道.“呵呵,毕微王尪是一个很有魄历和手腕の人,常常做出出人预料の举动.此事,并不是不可能.”仲 零王尪笑了笑道.“如果是真の,也太……鞠言战申又不是混元无上级强者.再者说,即便是混元无上级强者,想得到一个王国の名誉大公爵身份也并不那么简单吧！”有大臣觉得此事不太可能,他继
立体几何等积法
立体几何等积法
立体几何等积法是指在立体图形中，如果两个立体图形在底面积相等的情况下，它们的体积相等。
简单来说，就是如果两个立体图形的底面积相等，且它们的高度相等，那么它们的体积也必定相等。
例如，在一个圆柱体中，如果圆柱的高度相等，那么底面积相等的两个圆柱体的体积也相等。
同样的道理也适用于其他立体图形，如长方体、三棱柱等。
立体几何等积法在解决一些实际问题时非常有用，例如在装载货物时，如果货物形状不规则，可以将其视为由多个立体图形组成，利用等积法计算其体积，从而确定所需运输的容量和载重能力。
等积法0.1之欧阳文创编
“等积法”在勾股定理中
的应用
一、“等积法”
用不同的方法
．．．．．表示同一个图形的面积，结果相等。
[分析]1、当所表示的图形是“规则”的图形时，（如三角形、平行四边形、矩形、正方形、梯形等可以用面积公式计算），“不同的方法”指的是①直接用面积公式表示②其他图形面积的和或差表示。
2、当所表示的图形是“不规则”的图形时，“不同的方法”指的是：“割”或“补”。
二、勾股定理的证明
证法一：如图，用四个全等的直角三角形拼成下Array
图，运用“等积法”证明勾股定理
图，运用“等积法”证明勾股定理
证法三：如图，用两个全等的直角三角形拼成下图，运用“等积法”证明勾股定理 三、“等积法”的练习
1、利用“等积法”证明：“等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高”
2、如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ， 求证：BE=CF
四、“等积法”的拓展应用
1、“同底等高”
2、“等底同高”
3、两个三角形高相等,底成倍数关系,面积也成同样的倍数关系；同理,两个三角形底相等、高成倍数关系，面积也成同样的倍数关系。
例：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交
于O 点，AO:CO=1:2，
求：AOD S ∆:COD S ∆=? 【补充】
勾股定理--证法四：
如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .
利用相似三角形的性质说明：222c b a =+
证法五：“青朱出入图” （自己动手完成）
你还收集了哪些证明勾股定理的方法？。
等积法0.1之欧阳科创编
“等积法”在勾股定理中
的应用
一、“等积法”
用不同的方法．．．．．
表示同一个图形的面积，结果相等。
[分析]1、当所表示的图形是“规则”的图形时，（如三角形、平行四边形、矩形、正方形、梯形等可以用面积公式计算），“不同的方法”指的是①直接用面积公式表示②其他图形面积的和或差表示。
2、当所表示的图形是“不规则”的图形时，“不同的方法”指的是：“割”或“补”。
二、勾股定理的证明
证法一：如图，用四个全等的直角三角形拼成下图，运用“等积法”证明勾股定理
“等积法”证明勾股定理
“等积法”证明勾股定理 三、“等积法”的练习
1、利用“等积法”证明：“等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高”
2、如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ， 求证：BE=CF
四、“等积法”的拓展应用 1、“同底等高” 2、“等底同高”
3、两个三角形高相等,底成倍数关系,面积也成同样的倍数关系；同理,两个三角形底相等、高成倍数关系，面积也成同样的倍数关系。
例：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交
于O 点，AO:CO=1:2，
求：AOD S ∆:COD S ∆=?
【补充】
勾股定理--证法四：
如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .
利用相似三角形的性质说明：222c b a =+
证法五：“青朱出入图” （自己动手完成）
你还收集了哪些证明勾股定理的方法？。
等积式证明策略(数学人教九年级下册)
等积式证明策略如图1，在△ABC中，∠BAC=90°,AD⊥BC，垂足为D.你能得出AD2=BD·DC吗？图1其中AD2=BD·DC就是等积式，证明等积式的一般步骤：（1）把等积式转化为比例式；（2）观察成比例的四条线段确定可能相似的两个三角形；（3）找出使这两个三角形相似的条件.证明等积式的方法我们称之为“三点定形法”，一般步骤是：（1）把等积式转化为比例式；（2）观察成比例的四条线段确定可能相似的两个三角形；（3）找出使这两个三角形相似的条件.若在步骤（2）中，发现四条线段不在两个三角形中，我们可以用相等的量替换其中一个或两个量，包括等比替换，等线段替换，等积替换.一、等比替换例1 如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥CD，交CA 的延长线于点E．求证：OC2=OA·OE．图2分析：等积式中的三条线段不能确定两个三角形，但将等积式转化成比例式OC OEOA OC=后，可根据两组平行线得到一个与两个比都相等的比OBOD，利用等比替换得证.证明：因为AD∥BC，所以OC OB OA OD=.因为BE∥CD，所以OE OBOC OD=.所以OC OEOA OC=，即OC2=OA·OE．二、等线段替换例2 如图3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，CG∥AB，连接BG分别交AD，AC 于点E，F．求证：BE2=EF·EG．图3分析：等积式中的三条线段不能确定两个三角形，但可根据等腰三角形的对称性得CE=BE，则等积式转化为CE2=EF·EG.由新等积式的三条线段可确定△CEF和△GEC，设法证明这两个三角形相似即可. 证明：如图3，连接CE.因为AB=AC，AD⊥BC，所以∠ABC=∠ACB，AD垂直平分BC.所以BE=CE.所以∠EBC=∠ECB.所以∠ABE=∠ECF.因为CG∥AB，所以∠ABE=∠EGC.所以∠ECF=∠EGC.又因为∠FEC=∠CEG，所以△CEF∽△GEC.所以CE EFGE EC=，即CE2=EF·EG.所以BE2=EF·EG．三、等积替换例3 如图4，CE是直角三角形ABC的斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，过点B作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2=PE·DE．图4分析：等积式中的三条线段不能确定两个三角形，但由三角形相似可得到一个与等号两边的乘积式都相等的乘积式AE·BE，利用等积替换得证.证明：因为∠ACB=90°，CE⊥AB，所以∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAE=90°.所以∠CAE=∠BCE.所以Rt△ACE∽Rt△CBE.所以CE AEBE CE=，即CE2=AE·BE.因为BG⊥AP，所以∠PGD=∠DEB=∠PEA=90°.因为∠1=∠2，所以∠P=∠3.所以Rt△AEP∽Rt△DEB.所以PE AEBE DE=，即PE·DE=AE·BE.所以CE2=PE·DE．。
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2
E
结束
D
铃
B
A
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D
结束
B
铃
[点评] 注意“等高”和“相似 ”
[课堂小结]
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铃
[练习作业]
《衔接教学讲义》P1 练习4 1
预习：高一课本
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[例1变式解析]
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在RtABC中, 4, 3 AC5 AB BC ABBC 34 12 由等积法得BE , AC 5 5 12 同理可得DF , 5 在RtΔBCE中, 2 BE2 9.D E CE BC 5 7 故EF
例1 例2 例3
三、课堂小结 四、练习作业 五、作业答案
[知识要点]
1.直角三角形的面积 : C 计算 在RtΔABC中, CD为 斜边BA上的高, 那么 A B 1 AB CD 1 AC BC D SΔA B C 2 2 AB CD AC BC 知三求一 2.等底等高的两个三 角形面积相等
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C B
[例2解析] 作BF CE于F, BF即为B到CE的距 离. 延长CE交BA的延长 线于G. 由E为AD中点可证R CED RtGEA t AGCDa. 在RtCBG中, BG2 BC2 5a CG D BCBG a 2a F 故BF CG 5a E 2 5 a 5 A
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C
G
B
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[例3解析]
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CEEB SCDE SΔ BDE 1 DE 又ADDBDE//AC, AC
ΔDBE ΔABC ∽ SΔ ABC AC 2 ( ) 4 SΔ DBE ED C 2 故S ΔABC 40cm
A
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[点评]
注意等腰直角三角形的 性质
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[应用举例]
题型2.求距离
解答
例2.如图, 正方形ABCD的边长 为 a, E为AD中点, 求B到EC的距离.
D
2 5a 5
[点评]
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C
E A B
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构造直角三角形
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[应用举例]
题型3.求面积
解答
例3.图中阴影部分的 面积为 2 10cm ,AD DB, EB, CE 求三角形ABC的面积 . C 2 E 40cm
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[应用举例]
题型1.求边长
0
例1.在ΔABC中, BAC 90 ， AB AC a,AD是BC边上的高, 求AD的长. A
2a AD 2
[点评]
B
D
C
等腰直角三角形斜边等 于直角边的 2倍
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[应用举例]
题型1.求边长
0
解答
例1.在ΔABC中, BAC 90 4, D中, 变式.在长方形ABC AB ， BCAB 3.BE AC于E, AC于F. AC a,AD是BC边上的高, DF 求AD的长. 分别求BE, D A C E DF, EF的长. 12 ,12 7 2 a B AD , C F D 5 5 52 A B