哈工大机械振动大作业

《机械振动基础》大作业

（2015年春季学期）

题目

姓名 xxxxxxx

学号xxxxxxxxxx

班级

专业机械设计制造及其自动化

报告提交日期2015

哈尔滨工业大学

报告要求

1.请根据课堂布置的2道大作业题，任选其一，拒绝雷同和抄袭；

2.报告最好包含自己的心得、体会或意见、建议等；

3.报告统一用该模板撰写，字数不少于3000字，上限不限；

4.正文格式：小四号字体，行距为1.25倍行距；

5.用A4纸单面打印；左侧装订，1枚钉；

6.课程报告需同时提交打印稿和电子文档予以存档，电子文档由班长收齐，统一发送至：

***********************.cn。

7.此页不得删除。

评语：

成绩（15分）：教师签名：

年月日

一、 振动系统参数选择

在该作业中，我选取了9个自由度系统，其他参数如下：

二、 振动系统数学分析

1，多自由度系统概述

多自由度系统：是指必须通过两个以上的独立广义坐标才能够描述系统运动特性的系统，或者说是自由度数目多于两个，但又不属于连续弹性体（自由度数目为无穷多个）的系统。

2，刚度系数法建立振动微分方程

刚度系数法又称单位位移法，是把一个动力学系统当作一个静力系统来看待，用静力学方法确定出系统所有的刚度系数（刚度矩阵中元素），借助于这些系数建立系统的运动方程。

如上图所示系统，其刚度矩阵为

代入所给定的数据，为：

用刚度系数法来求刚度矩阵中的元素

K

ij

时，K ij 表示在第j 点处发生单位位移时，需

12

22233334

100000000000000N N

N N

N k k k k k k k k k k k k k k k -+-⎡⎤⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥-+=⎢

⎥⎢⎥⎢⎥

+-⎢

⎥-⎢⎥

⎣

⎦

K

在i 点处施加力的大小。这对于质量-弹簧系统的多自由度系统建立振动微分方程是非常简便的，不必进行隔离体分析列方程，就可建立起运动方程。

若系统存在阻尼，则与弹簧并行的还应画出阻尼器。对于黏性阻尼，阻尼矩阵的每一个元素cij 可以如下求得:当第j 个质量具有单位速度而其他质量的速度均为零时，要克服第j 个质量的阻尼器阻力而需在第i 个质量上施加的力的大小。然后把阻尼力这一项加到运动方程中去，即可得到有阻尼的多自由度系统运动微分方程

用刚度系数法同样也可以建立扭转振动系统微分方程，只需将作用力F 变成作用力矩M ，单位位移变成单位角位移，按上述方法分析即可

质量矩阵可用类似的过程得到

所以可列出该系统的矩阵方程为：

{}{}{}+=0M x K x （1）

3，固有频率与固有振型

（1）固有频率

设系统各质量块按照同频率和同相位作简谐振动，即：

sin()i i x A t ωϕ=+

代入式（1）得，

22211111121221122

22121122222222221

11222()()()0()()()0()()()0

n n n n n n n n n n nn nn n K m A K m A K m A K m A K m A K m A K m A K m A K m A ωωωωωωωωω⎧-+-++-=⎪-+-++-=⎪⎨⎪

⎪-+-+

+-=⎩

这是一个关于Ai 的n 元线性齐次方程组。写成矩阵形式：

{}{}2ω⎡⎤-=⎣⎦0K M A

2ω=-B K M ，称为系统的特征矩阵。上式有非零解的条件是特征矩阵的行列式为零，

即：

2

22111112121122221212222222

2

2

11220n n n n n n n n nn nn K m K m K m K m K m K m K m K m K m ωωωωωωωωω------=

=---B

将此式展开可得ω2的n 次方程，形式如下

2212221121()()()()0n n n n n a a a a ωωωω---+++

++=

该方程唯一的确定了频率ω所满足的条件，称为频率方程或特征方程。求解特征方程可求得n 个ω2根，称为特征值。这n 个特征值开方后得到n 个正实数值称为系统的n 个固有频率，计为ω1、ω2、…、ωn ，按照从小到大的次序依次称为第1阶、第2阶、…、第n 阶固有频率。

（2）主振型

如果特征值

已经求得，将对代入方程式

222111111212211222

2121122222222221

11222()()()0()()()0

()()()0

n n n n n n n n n n nn nn n K m A K m A K m A K m A K m A K m A K m A K m A K m A ωωωωωωωωω⎧-+-++-=⎪-+-++-=⎪⎨

⎪

⎪-+-++-=⎩

即可求出对应于2i ω的n 个幅值()1i A ()2i A …()

i n A 间的比例关系，称为振幅比。

对应于每一个特征值2i ω的振幅向量()i A 称之为特征向量

由于()i A 各元素比值完全确定了系统振动的形态，故又称为第i 阶主振型或固有振型。

()1()()

2()i i i i n A A A ⎧⎫

⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭

A

将系统的各阶固有频率依次代入式(3)，即可得到系统的第1阶、第2阶、…、第n 阶主振型。

(1)1(1)(1)2(1)n A A A ⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭A (2)1(2)(2)2(2)n A A A ⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭A …… ()1()()2()n n n n n A A A ⎧⎫⎪⎪

⎪⎪

=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭

A

可见n 个自由度系统就有n 个固有频率和n 个相应的主振型。

将求得的ωi 及对应的主振型()i j A (i ，j=1，2，…，n)代入sin()i i x A t ωϕ=+ 就得n 组特解，将这n 组特解叠加，就得到系统自由振动的一般解，即

2i ω