工期网络图的时间——费用优化
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时间一一费用优化
某施工单位提交的一项目的网络计划资料如表 1所示。如下:
序 号
活 动
紧前 活动 正常作业时间(单位:天) 最短时
间tt i
乐观时 间a i
最可能 时间m i
悲观时
间b i
正常作 业期望 时间
t i
作业时 间方差
2
(T i
正常期望 时间对应 直接费用
(百元)l i
直接 费用 (百 元)
直接费 用
率k i 1 A
一
1 4 7 4 1 4
2 16 6 2 B 一
3 3 3 3 0 1 2
4 3 3 z-\ C
A
4 4 10
5 1 2 4 4 2 4 D B 5 5 11
6 1 2 4 4 1
5 M A,B 3 10 11 9 16/9 12 9 12 一
6 二 C,M
6 6 6 6 0 3 4
7 2 7 G
C,M
2
9
10 8 16/9 5 7 8 3
8 H D,E 1
3 5
3
4/9
6
3
6
一
求:(1)每项活动按正常平均时间作业,
请绘制相应的网络计划图,指出此时的关键线
路(在图上用双色线或色笔标出),并计算出工期。
(2)
接(1),如果考虑外部影响导致每项活动作业时间发生的随机波动(见表 1中悲
观时间和乐观时间所在列),那么该项目完工概率要达到 90%以上,则该工程工期不低于多
少天?
(3) 接(1)。施工单位经分析后,考虑有些工作可适当赶工(见最短时间所在列)
,并 估算出各工作每赶工1天所需增加的费用(直接费率,见表
1最后一列),间接费用为每天
9百元。给出增加赶工费最少的方案(要求写出每步调整的工作,调整的天数及最后方案的 网络计划,并在最后方案的
网络计划中标出关键线路)
。
(4)请建立第(3)问对应的线性规划模型。
解:(1)以各工作的正常作业期望时间为工序时间,绘制网络图如下:
双代号网络图的绘图原则如下:
(1) 网络图是有方向的,不允许出现回路,不允许出现从右到左的箭头。
(2) 直接连接两个相邻节点之间的活动只能有一个,如果实在要表示并列关系可用虚 工序。 (3) 箭线首尾必有节点,不能从箭线中间引出另一条箭线。 (4) 网络图必须只有一个网络始点和一个终点。
4 9 4 8 13 ,
4 13 0 4 13
4 4 0
4 4
0 , 3 1
t
4 0
3 1
忆 4
事件i 时间参数标记:
13 19 0 13 19
3 9 10
13 19 10
百
工 14
22
事件i 最早时间t E (i ); ■:一►事件i 最迟时间t L (i ) 工作(i,j )时间参数标记: 最早
开最早结 总时差 始时间束时间 /
19 1 22 0
19 1
22
LS
(i,j ) | t LF (i,j )丈[(肌、
最迟开始时间
最迟结束时间 自由时差
①'
4
4
r o ~[41 o I
2 5
3
4 3
3
13 *⑤
E 8
6
22
19
(5)各项活动之间的衔接必须按逻辑关系(紧前关系、紧后关系)进行。
(6)事件节点采用数字编号,在同一网络图中不允许重复使用,每条箭线箭头节点的
编号(J)必须大于其箭尾节点的编号(I )。
(7)尽量避免箭线交叉(采用过桥法或指向处理法)。
(8)标注出各项工作的准确历时或时间期望值。
(9)虚工序用虚箭线表示,仅表达一种工作顺序的先后依赖关系,有两种作用:①如
果a工序到b工序之间顺着箭头方向仅隔一个虚工序,则a仍是b的紧前活动。②如果a、
b、c三个活动共用一个开始节点i,则可用虚工序表示这三个活动并行展开且三者都是末端
活动。
各活动的正常作业期望时间t i=(a i+4m i+b i)/6,方差』i=(b i-a i)2/36,计算见表1第7、8列。以活动M 为例,计算如下:t5=(a5+4m5+b5)/6=(3+4 10+11)/6=9 , 舄=(11-3)2/36=16/9。
用图上计算法求出各事件时间参数,然后再求出各工作时间参数,计算结果如上图所示。
其中总时差为0的活动组成关键路线(如上图红色箭线所示):①T②—④T⑤T⑥T⑦;该项目期望完工工期为22天。(提问:某工序开始节点和结束节点的最早时间与最迟时间相等,它就一定是关键活动吗?答:不一定。比如图中的G活动满足该条件但不是关键活动。)
(2)该工程按期望时间完工的工期T E= 22天,等于各关键活动期望完工时间之和
=4+0+9+6+3)。期望总工期的均方差已J20 16/9 0 4/9 1.795055假设工程工期T k服
从正态分布N(22,1.795055 2),则完工的概率保证不小于90%勺计算表达式为:
P(U)P(T K兀)P(T K22)09。计算得到,T k> 24.3 - 25(天)
E 1.795055 ■
(3)直接费用率K=(f i-l i)/(t i-tt i),如A的直接费用率K1=(16-4)/(4-2)=6 百元/天。
时间——费用优化方法:
【优化原则】优化时,首先选择赶工费用率最低的关键活动进行赶工,非关键活动不需
要赶工因为还可利用总时差;每赶工1天(单独某活动赶工或者各关键活动同时赶工)增加
的直接费用不超过单位间接费用,否则不值得赶工(原则1和原则4得以反映)。每一次允
许的压缩时间以符合以下全部原则为限度。
原则1 :该关键活动赶工费用率不大于单位间接费用,否则不值得压缩;
原则2 :关键活动实际压缩时间不大于自身赶工可压缩时间极限;
原则3 :压缩允许时间不大于关键路线与次关键路线的工期之差。(理由:优化只能使
关键路线增多,而不能使之越来越少);
原则4 :须同时压缩的各并列关键活动赶工费用率之和不大于单位间接费用,并且不超
过各并列关键活动的赶工压缩时间极限。
第一步:在关键路线上,直接费用率最低的工作是 E (2=min(6,2 )<9,原则1),它自
身可以赶工2天(=6-4 ,原则2)。次关键路线是①T③ -------------- ④T⑤T⑥T⑦和①T② >
④T⑤T⑦,时间长度都为21,决定了关键路线这一步只能赶工1天(=22-21 ,原则3)。
因此,工作E赶工1天(=min(1,2)),剩余赶工时间为1天(=2-1 )。这时,关键路线变为两条:①T②一T④T⑤T⑥T⑦,①T②...T④T⑤T⑦,工期都为21天,工作G的1
天时差用完而成为关键活动;次关键路线为①T③ ④T⑤T⑥T⑦和①T③------------------- ④T⑤
T⑦,时间长度都为20天。,/
第二步:在上一步赶工以后得到的两条关键路线上,直接费率最低的工作仍是 E (2=mi n( 6,2,3 )<9原则1),其并列关键活动G自身允许赶工1天(=8-7 ,原则4后半句), 因此E和G 同时赶工(2+3<9,原则4前半句)1天(=mi门(1(常原则2),8-7,21-20 (原则3))), 之后E不能再赶工(0=1-1 );G不能再赶工。这时,关键路线仍为①T②—④T⑤T⑥ T⑦,①T②...T④T⑤T⑦,工期都为