平稳随机信号通过线性系统

若任意常数a, b, 输入信号 x1(t), x2(t), 有 L[ax1(t)+bx2(t)] = aL[x1(t)] + bL[x2(t)]
6
3.1 线性系统的基本理论
什么是线性系统？
x(t) h(t)
y(t) = x(t)*h(t)
连续时不变线性系统
y(t) x(t )h( )d x( )h(t )d x(t) h(t)
RY (t1, t2 ) h(t1) h(t2 ) RX (t1, t2 ) RY ( ) RX ( ) h( ) h( )
h(t1) RXY (t1, t2 ) h(t2 ) RYX (t1, t2 )
RXY17( ) h( ) RYX ( ) h( )
解：
mY
t
EY
7
3.1 线性系统的基本理论
3.1.2 连续时不变线性系统的分析方法
8
3.1 线性系统的基本理论
3.1.3 离散时不变线性系统的分析方法
9
3.1 线性系统的基本理论
3.1.4 卷积积分回顾
1.卷积积分计算
f1 t
f 2 t
f1
f 2 t
d
f1
t
f2
t
f1
f2
t
d
f1
t
f2
-t
f1
3、输入与输出的互谱密度SXY/ SYX
RXY RX h
SXY () SX ()H ()
RYX RX h
SYX () SX ()H ()
t
E
0
hu
X
t
u
du
0
hu
EX
t
u
du
EX t u EM B cos20t EM 5
mY t 5
hudu
0
5
10
e
10t
dt
0
5
18
(1) 输出信号均值
mY
t
EY
t
E
0
hu
X
t
u
du
0
hu
EX
t
u
du
19
mX
0
hudu
mX
(2) 输出自相关函数
RY
EY
t
Y
t
L[•] 称作算子
4
3.1 线性系统的基本理论
• 什么是线性系统？
时不变线性系统
连续时不变线性系统
离散时不变线性系统
5
3.1 线性系统的基本理论
什么是线性系统？
x(t) L[.]
y(t) = L[x(t)]
时不变线性系统
若输入信号x(t)时移C, 输出y(t)也只引时移C，即 y(t-C) = L[x(t-C)]
：
2、输出信号的自相关函数
输入信号的自相关函数RX输出信号的自相关函数RY，即：
RY (t1,t2 ) E[Y(t1)Y(t2 )] h(t1) h(t2 ) RX (t1, t2 )
14
3.2.1 时域分析法
2、输出信号的自相关函数
输入x(t)与输出y(t)的互相关函数RXY输出y(t)的自相关函数 RY
E
0
hu
X
t
udu 0
hvX
t
vdv
0
0
hvhuEX
t
uX
t
vdudv
0
0
hvhuRX
u
vdudv
0
0
hvhu
N0 2
u
vdudv
0
hu
0
hv
N0 2
u
vdvdu
N0 2
0
huh
udu
N0
0 2
bebubeb udu N0b2 eb
0
2
e2budu N0b eb
0
4
20
第四章 随机信号通过线性系统
主要内容
3.1 线性系统基本理论 3.2 随机信号通过连续时间系统 3.3 随机序列通过离散时间系统
2
3.1 线性系统的基本理论
系统可分为：
（1）线性系统：线性放大器、线性滤波器
（2）非线性系统：限幅器、平方律检波器
对于线性系统：
已知系统特性和输入信号的统计特性，
可以求出输出信号的统计特性
小结
输出均值
mY t mX (t)*h(t)
输入输出互相关函数
平稳随机信号
mY mX 0 h( )d
RXY (t1, t2 ) RX (t1, t2 ) * h(t2 ) RYX (t1, t2 ) RX (t1, t2 ) * h(t1)
输出自相关函数
RXY ( ) RX ( ) h( ) RYX ( ) RX ( ) h( )
所研究的系统：
①单输入单输出（响应）
②连续或离散
③线性时不变
④物理可实现（因果性）
3
⑤稳定性
连续与离散系统：
连续时间系统：输入和输出都是连续时间信号； 离散时间系统：输入和输出都是离散时间信号。
线性时不变系统：
（1）线性性： L[ax1(t) bx2 (t)] aL[x1(t)] bL[x2 (t)] （2）时不变： y(t t0 ) L[x(t t0 )]
22
3.2 随机信号通过连续时间系统
前提: 系统处于稳定状态时，t=0系统输出响应也已处于稳态
23
3.2 随机信号通过连续时间系统
• 3.2.2 频域分析法
•
1、输出信号的均值
•
2、输出信号的功率谱密度
•
3、输入信号与输出信号的互谱密度
•
4、拉氏变换与付氏变换的关系
24
3.2 随机信号通过连续时间系统 3.2.2 频域分析法
t时刻的X t+τ时刻的Y 以Y为计时起点， 则- τ 时刻的X
t时刻的Y
t+τ时刻的X
15
以Y为计时起点，
则+τ 时刻的X
3.2.1 时域分析法
3、输入X与输出Y之间的互相关函数RXY
t时刻的X t+τ时刻的Y 若以X为计时起 点， 则+τ 时刻的Y
t时刻的Y t+τ时刻的X 若以X为计时起 16 点，则-τ 时刻的 Y
(3) 输出平均功率
Q
RY
0
N0b 4
(4) 输入输出互相关函数
RXY
RX h
0
hu
RX
udu
hu N0
0
2
源自文库
udu
N0 2 0,
h
,
0
其它
RYX
RXY
0N, 0 2
h
,
0 0
21
RXY
RX
h
0
hu
N0 2
u
du
N0 h , 0
2
h
2 N0
RXY ,
0
当输入信号带宽远大于系统带宽时，输入信号≈白噪声。
•1、输出信号的均值
mY t mX t ht
对于平稳随机信号x(t)：
mY mX H
mY mX 0 h( )d mX H () 0 mX H (0)
25
3.2 随机信号通过连续时间系统
• 3.2.2 频域分析法
2、输出的功率谱密度SY
SY (s) SX (s)H (s)H (s)
f2[ t
]d
10
3.1 线性系统的基本理论
2.冲激函数性质
11
3.2 随机信号通过连续时间系统
12
3.2 随机信号通过连续时间系统
• 3.2.1 时域分析法
• 1、输出信号的均值 • 2、输出信号的自相关函数 • 3、输入信号与输出信号之间的互相关函数
13
3.2.1 时域分析法
1、输出信号的均值