矩阵特征值估计

10
应该注意到：连通的这些盖尔圆中，有些盖尔圆可能包含两个或 多个特征值，而其它盖尔圆中可能无特征值。 推论 1. 孤立盖尔圆中恰好包含一个特征值。 推论 2. 实矩阵的孤立盖尔圆恰好包含一个实特征值。 推论 3. 盖尔圆方法中盖尔圆半径可以按列求和。 （因为方阵转置后特 征值不变） 推论 4. 盖尔圆半径变为 Ri =
T = i 1= j 1 n i i 1= j 1 = n n
ij
− a ji ) ξ j
= 2 Im ( λ )
∑∑ ξ ( a
i
n
ij
− a ji ) ξ j
≤ ∑∑ ξ i ( aij − a ji ) ξ j
= i 1= j 1
3
=
i , j =1
∑
n
'
ξiξ j aij − a ji
n
（
2
4
= i, j 1
∑
n
'
ξi ξ= j
2
2
= i, j 1
∑ ξi ξ j − ∑ ξi ≤ ∑ ξi − ∑ ξi
2 2 4 2 = i 1= i 1= i 1 2
n
n
n
n
4
=
不妨写为：
∑ ξi
i =1 2
n
(
1 − ξi
2
)
n 2 2 i i
= ξ1
2
(1 − ξ ) + ξ (1 − ξ ) + ∑ ξ (1 − ξ )
−1
∑
j =1
n
'
αi a ，两个盖尔圆定理仍然成立。 α j ij
说明如下：相似矩阵 P AP 与 A 具有相同的特征值，取
P = diag [α1 α 2 α n ] (α i > 0 )
11
1 α 1 1 −1 α2 = = B P AP 0 α = i aij α j
(a )
ij n×n
∈C
n×n
,由方程 z − aii ≤ Ri = aij 所确定的圆称
j =1 i≠ j
∑
n
为 A 的第 i 个盖尔圆， Ri 称为盖尔圆的半径。 定理 3：矩阵 A 的所有特征值均落在它的所有盖尔圆的并集之中。 证明：设 = A
(a )
ij n×n
∈ C n×n ，λ 为 A 的某一个特征值，x 为相应的特征
7
向量，将 x 写成 x = [ξ1 , ξ 2 ,, ξ n ] ，设 ξi0 = max ξi
T
由 Ax = λ x ，考虑 i0 行
∑a
j =1
n
i0 j
ξ j = λξi
0
( λ − a )ξ = ∑a ξ
' i0i0 i0 j =1 i0 j n '
00 0 0
n
j
( j ≠ i0 )
∑ 表示不含 i＝j）
'
≤ 2 M ∑ ' ξiξ j
i , j =1
Im ( λ )
2
n 2 ≤ M ∑ ' ξiξ j i , j =1
2
≤ M n ( n − 1) ∑ ' ξiξ j
2 i , j =1 n 2 2
n
2
= M n ( n − 1) ∑ ' ξi ξ j
i , j =1
a11 a1n n×n 证明：设 A ∈ C ， = an1 ann
9
a11 ua12 ua a22 21 令 B ( u ) = ua31 ua32 uan1 uan 2
ua13 ua1n ua23 ua2 n a33 ua3n uan 3 ann
第二十讲 矩阵特征值估计
1
特征值计算较困难，希望找ห้องสมุดไป่ตู้简便的特征值界限或分布范围的估 计方法。 一、 特征值界的估计 定理 1. 设 A ∈ R
n×n
， λ 为 A 的任意特征值，则有
Im ( λ ) ≤ M
n ( n − 1) 2
其中， M = max
aij − a ji 2
H
1≤i, j≤ n
证明： 设 x 为 A 的属于特征值 λ 的单位特征向量， 即 Ax = λ x ， x x = 1， 则
∴ Im ( λ ) ≤ M
定理 2. 设 A ∈ R
n×n
n ( n − 1) 2
， λ 为 A 的任意特征值，则有
6
λ ≤ nρ
1≤i,j≤ n
1 Re ( λ ) ≤ nτ 2
1≤i,j≤ n
1 Im ( λ ) ≤ ns 2
1≤i,j≤ n
其中， ρ = max a = max aij + a = max aij − a ji ji ， s ij ，τ 二、 盖尔圆法 定义：设 = A
2 2 1 2 2 i =3
5
ξ1 2 + 1 − ξ1 2 ≤ 2 1 ≤ 2
2
(
)
ξ2 2 + 1 − ξ2 2 + 2
2
(
)
n + ∑ ξi i =3
2
2
(
1 − ξi
2
)
取等号的条件为 ξ = ξ = 1 2
2
1 2 2 ，但 x = 1，所以其它 ξi = 0 2
j
n ξj = ai i ai j ≤ ∑ ' ai λ− ∑ ξi = j 1= j 1
0
ξj ≤ Ri ξi
0
0
对于 A 的特征值 λ ，一定存在 i0 (1 ≤ i0 ≤ n ) ，使 λ 落在 A 的第 i0 个盖尔
8
圆中，对于每个特征值都有相同的结论。 定理 4. 将矩阵 A 的全体盖尔圆的并集按连通部分分成若干个子集， （一 个子集由完全连通的盖尔圆组成，不同子集没有相连通的部分） ，对每 个子集，若它恰好由 K 个盖尔圆组成，则该子集中恰好包含 A 的 K 个 特征值。 说明：盖尔圆相互重叠时重复计算，特征值相重时也重复计算
2
= λ = x H Ax → λ
λ −= λ
x Ax ) x A x (= 2 jIm ( λ = = x x (A− A )x ) x (A− A )
H H H H H H H T T n n
将 x 写成 x = [ξ1 , ξ 2 ,, ξ n ]
x
H
( A − A= ) x ∑∑ ξ ( a
0 ≤ u ≤ 1， B ( 0 ) = diag [ a11 a22 ann ] ， B (1) = A B ( u ) 的特征多项式是 u 的多项式，其特征值是 u 的连续函数，观
察 u（ 0 ≤ u ≤ 1 ）变化的过程中 B ( u ) 特征值的变化，特征值只能在盖 尔圆连通的子集内变动，而不能跨出连通子集。 由此可见，由 K 个盖尔圆组成的连通子集恰好包含 K 个特征值。