立体几何文科练习题
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8．如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝ PD.
(1)证明：PQ⊥平面DCQ；
(2)求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值．[来
9．如图所示的多面体中， 是菱形， 是矩形， 面 , ．
（1）求证: .
（2）若
10．在四棱锥 中，底面 为矩形， ， ， ， ， 分别为 的来自百度文库点．
立体几何
1．用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为( )
A. B. C. D.
2．设 是不同的直线， 是不同的平面，下列命题中正确的是 ( )
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则 ⊥
D．若 ，则
3．如图，棱长为 的正方体 中， 为线段 上的动点，则下列结论错误的是
A． B．平面 平面
试题解析：证明：（1）由 是菱形
3分
由 是矩形
∴ .6分
（2）连接 ，
由 是菱形，
由 面 ,
，10分
则 为四棱锥 的高
由 是菱形， ，则 为等边三角形，
由 ；则 ， ，
14分
考点：线线平行、线面平行、面面平行、四棱锥的体积.
10．(1)见解析；(2)见解析.
【解析】
试题分析：（1）欲证线线垂直往往通过证明线面垂直（即证明其中一条线垂直于另一条所在平面）；（2）欲证线面平行，需在平面内寻找一条直线，并证此线平行于另一直线.此题也可以采用空间向量证明，即证明 的方向向量垂直于平面 的法向量 即可.
求证：（1）直线PA∥平面DFE；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
14．如图. 直三棱柱ABC —A1B1C1中，A1B1= A1C1,点D、E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1
（2）直线A1F∥平面ADE．
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：斜二测法：要求长边，宽减半，直角变为 角，则面积为： .
考点：直观图与立体图的大小关系.
2．C
【解析】
试题分析：此题只要举出反例即可，A,B中由 可得 ,则 , 可以为任意角度的两平面,A,B均错误.C,D中由 可得 ，则有 ,故C正确，D错误.
考点：线，面位置关系.
3．C
【解析】
试题分析： 面 ，∴A正确； 面 ，∴B正确；当 时， 为钝角，∴C错；将面 与面 沿 展成平面图形，线段 即为 的最小值，解三角形易得 = ， ∴D正确.故选C.
考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直.
4．4
【解析】
试题分析：已知三视图对应的几何体的直观图，如图所示： ，所以其体积为： ，故应填入：４．
试题解析：（1）证明： 底面 为矩形
（2）证明：取 ，连接
,
是平行四边形，
// ， ，
//
考点：（1）线线垂直；（2）线面平面.
11．（1）证明：见解析；（2）多面体 的体积 ．
C． 的最大值为 D． 的最小值为
4．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为______m3.
5．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于.
6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是____________
7．如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞 ，且知 ，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的.
由(1)知PQ为棱锥P－DCQ的高，而PQ＝ a，△DCQ的面积为 a2，
所以棱锥P－DCQ的体积V2＝ a3.
故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1.
考点：１．线面垂直；２．几何体的体积．
9．（1）证明过程详见解析；（2） .
【解析】
试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、四棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由于ABCD是菱形，得到 ，利用线面平行的判定，得 ，由于BDEF为矩形，得BF//DE，同理可得BF//面ADE，利用面面平行的判定，得到面BCF//面AED；第二问，通过证明得到 ，则 为四棱锥 的高，再求出BDEF的面积，最后利用体积公式 ，计算四棱锥A-BDEF的体积.
试题解析：(1)证明：由条件知PDAQ为直角梯形．
因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，
所以DC⊥平面PDAQ.可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝ PD，
则PQ⊥QD.所以PQ⊥平面DCQ.
(2)设AB＝a.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥Q－ABCD的体积V1＝ a3.
考点：体积相似计算.
8．(1)祥见解析；(2)１．
【解析】
试题分析：(1)要证直线与平面垂直，只须证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可，注意到QA⊥平面ABCD，所以有平面PDAQ⊥平面ABCD，且交线为AD，又因为四边形ABCD为正方形，由面面垂直的性质可得DC⊥平面PDAQ，从而有PQ⊥DC，又因为PD∥QA，且QA＝AB＝ PD，所以四边形PDAQ为直角梯形，利用勾股定理的逆定理可证PQ⊥QD；从而可证PQ⊥平面DCQ；(2)设AB＝a，则由(1)及已知条件可用含a的式子表示出棱锥Q－ABCD的体积和棱锥P－DCQ的体积从而就可求出其比值．
考点：三视图．
5．24
【解析】
试题分析：由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图 .
考点：三视图.
【答案】12
【解析】
试题分析：该几何体是一个直三棱柱，底面是等腰直角三角形
体积为 ＝12
考点：三视图，几何体的体积.
7．
【解析】
试题分析：过 作截面平行于平面 ,可得截面下体积为原体积的 ，若过点F，作截面平行于平面 ,可得截面上的体积为原体积的 ，若C为最低点，以平面 为水平上面，则体积为原体积的 ，此时体积最大.
(1) 求证： ；
(2) 求证： 平面 ；
11．如图，多面体 的直观图及三视图如图所示， 分别为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
(2）求多面体 的体积．
12．如图，在三棱锥 中， ， 平面 ， , 分别为 , 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 .
13．如图，在三棱锥P—ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA=6，BC=8,DF=5.
(1)证明：PQ⊥平面DCQ；
(2)求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值．[来
9．如图所示的多面体中， 是菱形， 是矩形， 面 , ．
（1）求证: .
（2）若
10．在四棱锥 中，底面 为矩形， ， ， ， ， 分别为 的来自百度文库点．
立体几何
1．用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为( )
A. B. C. D.
2．设 是不同的直线， 是不同的平面，下列命题中正确的是 ( )
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则 ⊥
D．若 ，则
3．如图，棱长为 的正方体 中， 为线段 上的动点，则下列结论错误的是
A． B．平面 平面
试题解析：证明：（1）由 是菱形
3分
由 是矩形
∴ .6分
（2）连接 ，
由 是菱形，
由 面 ,
，10分
则 为四棱锥 的高
由 是菱形， ，则 为等边三角形，
由 ；则 ， ，
14分
考点：线线平行、线面平行、面面平行、四棱锥的体积.
10．(1)见解析；(2)见解析.
【解析】
试题分析：（1）欲证线线垂直往往通过证明线面垂直（即证明其中一条线垂直于另一条所在平面）；（2）欲证线面平行，需在平面内寻找一条直线，并证此线平行于另一直线.此题也可以采用空间向量证明，即证明 的方向向量垂直于平面 的法向量 即可.
求证：（1）直线PA∥平面DFE；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
14．如图. 直三棱柱ABC —A1B1C1中，A1B1= A1C1,点D、E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1
（2）直线A1F∥平面ADE．
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：斜二测法：要求长边，宽减半，直角变为 角，则面积为： .
考点：直观图与立体图的大小关系.
2．C
【解析】
试题分析：此题只要举出反例即可，A,B中由 可得 ,则 , 可以为任意角度的两平面,A,B均错误.C,D中由 可得 ，则有 ,故C正确，D错误.
考点：线，面位置关系.
3．C
【解析】
试题分析： 面 ，∴A正确； 面 ，∴B正确；当 时， 为钝角，∴C错；将面 与面 沿 展成平面图形，线段 即为 的最小值，解三角形易得 = ， ∴D正确.故选C.
考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直.
4．4
【解析】
试题分析：已知三视图对应的几何体的直观图，如图所示： ，所以其体积为： ，故应填入：４．
试题解析：（1）证明： 底面 为矩形
（2）证明：取 ，连接
,
是平行四边形，
// ， ，
//
考点：（1）线线垂直；（2）线面平面.
11．（1）证明：见解析；（2）多面体 的体积 ．
C． 的最大值为 D． 的最小值为
4．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为______m3.
5．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于.
6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是____________
7．如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞 ，且知 ，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的.
由(1)知PQ为棱锥P－DCQ的高，而PQ＝ a，△DCQ的面积为 a2，
所以棱锥P－DCQ的体积V2＝ a3.
故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1.
考点：１．线面垂直；２．几何体的体积．
9．（1）证明过程详见解析；（2） .
【解析】
试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、四棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由于ABCD是菱形，得到 ，利用线面平行的判定，得 ，由于BDEF为矩形，得BF//DE，同理可得BF//面ADE，利用面面平行的判定，得到面BCF//面AED；第二问，通过证明得到 ，则 为四棱锥 的高，再求出BDEF的面积，最后利用体积公式 ，计算四棱锥A-BDEF的体积.
试题解析：(1)证明：由条件知PDAQ为直角梯形．
因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，
所以DC⊥平面PDAQ.可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝ PD，
则PQ⊥QD.所以PQ⊥平面DCQ.
(2)设AB＝a.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥Q－ABCD的体积V1＝ a3.
考点：体积相似计算.
8．(1)祥见解析；(2)１．
【解析】
试题分析：(1)要证直线与平面垂直，只须证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可，注意到QA⊥平面ABCD，所以有平面PDAQ⊥平面ABCD，且交线为AD，又因为四边形ABCD为正方形，由面面垂直的性质可得DC⊥平面PDAQ，从而有PQ⊥DC，又因为PD∥QA，且QA＝AB＝ PD，所以四边形PDAQ为直角梯形，利用勾股定理的逆定理可证PQ⊥QD；从而可证PQ⊥平面DCQ；(2)设AB＝a，则由(1)及已知条件可用含a的式子表示出棱锥Q－ABCD的体积和棱锥P－DCQ的体积从而就可求出其比值．
考点：三视图．
5．24
【解析】
试题分析：由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图 .
考点：三视图.
【答案】12
【解析】
试题分析：该几何体是一个直三棱柱，底面是等腰直角三角形
体积为 ＝12
考点：三视图，几何体的体积.
7．
【解析】
试题分析：过 作截面平行于平面 ,可得截面下体积为原体积的 ，若过点F，作截面平行于平面 ,可得截面上的体积为原体积的 ，若C为最低点，以平面 为水平上面，则体积为原体积的 ，此时体积最大.
(1) 求证： ；
(2) 求证： 平面 ；
11．如图，多面体 的直观图及三视图如图所示， 分别为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
(2）求多面体 的体积．
12．如图，在三棱锥 中， ， 平面 ， , 分别为 , 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 .
13．如图，在三棱锥P—ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA=6，BC=8,DF=5.