【高考精品复习】第九篇 解析几何 第6讲 双曲线

第6讲双曲线

【高考会这样考】

1．考查利用基本量求双曲线的标准方程，考查双曲线的定义、几何图形．2．考查求双曲线的几何性质及其应用．

【复习指导】

本讲复习时，应紧扣双曲线的定义，熟练掌握双曲线的标准方程、几何图形以及简单的几何性质、近几年高考多以选择题．填空题进行考查．

基础梳理

1．双曲线的概念

平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；

(1)当a

(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；

(3)当a>c时，P点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

x2

a2－

y2

b2＝1

(a>0，b>0)

y2

a2－

x2

b2＝1

(a>0，b>0)

图形

性质

范

围

x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称

性

对称轴：坐标轴

对称中心：原点

顶点

A 1(－a,0)，A 2(a,0)

A 1(0，－a )，A 2(0，a )

渐近线 y ＝±

b a x

y ＝±

a b x

离心率 e ＝c

a ，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋

b 2

实虚轴

线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b

叫做双曲线的虚半轴长 a 、b 、c 的关系

c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0)

一条规律

双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 两种方法

(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a 、2b 或2c ，从而求出a 2、b 2，写出双曲线方程．

(2)待定系数法：先确定焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a 2、b 2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2

n 2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值． 三个防范

(1)区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.

(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．

(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±

b a x ，y 2a 2－x 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±

a

b x .

双基自测

1．(人教A 版教材习题改编)双曲线x 210－y 2

2＝1的焦距为( )．

A ．3 2

B ．4 2

C ．3 3

D ．4 3

解析 由已知有c 2＝a 2＋b 2＝12，∴c ＝23，故双曲线的焦距为4 3. 答案 D

2．(2011·安徽)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )． A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2

解析 双曲线2x 2

－y 2

＝8的标准方程为x 24－y 2

8＝1，所以实轴长2a ＝4.

答案 C

3．(2012·烟台调研)设双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )． A ．y ＝±2x B ．y ＝±2x C ．y ＝±22x

D ．y ＝±

12x

解析 由题意得b ＝1，c ＝ 3.∴a ＝2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±

b

a x ，即y ＝±22x . 答案 C

4．(2011·山东)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为

( )．

A.x 25－y 2

4＝1 B.x 24－y 2

5＝1 C.x 23－y 2

6＝1

D.x 26－y 2

3＝1

解析 圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx ±ay ＝0，根据已知得3b a 2＋b 2＝2，即3b 3＝2，解得b ＝2，则a 2＝5，故所求的双曲线方程是x 25－y 2

4＝1. 答案 A

5．(2012·银川质检)设P 是双曲线x 2a 2－y 2

9＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于________． 解析 由渐近线方程y ＝3

2x ，且b ＝3，得a ＝2，由双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝4，又|PF 1|＝3，∴|PF 2|＝7. 答案 7

考向一 双曲线定义的应用

【例1】►(2011·四川)双曲线x 264－y 2

36＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4，那么点P 到左准线的距离是________．

[审题视点] 利用双曲线的第一定义和第二定义解题．

解析 由已知，双曲线中，a ＝8，b ＝6，所以c ＝10，由于点P 到右焦点的距离为4,4＜a ＋c ＝18，所以点P 在双曲线右支上．由双曲线定义，可知点P 到左焦点的距离为2×8＋4＝20，设点P 到双曲线左准线的距离为d ，再根据双曲线第二定义，有20d ＝c a ＝10

8，故d ＝16. 答案 16

由双曲线的第一定义可以判断点P 的位置关系，在利用第二定义解题

时，要注意左焦点与左准线相对应，右焦点与右准线相对应．

【训练1】 (2012·太原重点中学联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2

4－y 2

12＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．

解析 由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4. 答案 4

考向二 求双曲线的标准方程

【例2】►(2012·东莞调研)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2