【高考精品复习】第九篇 解析几何 第6讲 双曲线
高考数学复习第九章平面解析几何9.6双曲线理市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
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2.双曲线标准方程和几何性质
标准方程
ax22－by22＝1 (a>0，b>0)
图形
ay22－bx22＝1 (a>0，b>0)
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范围 _x_≥__a_或__x_≤__－__a_，__y_∈__R__ _x_∈__R_，__y_≤__－__a_或__y_≥__a__
对称性 性
顶点 质
渐近线
1＋ba2＝2.
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(2)(·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：
ax22＝－1by22(a>0，b>0)渐近
线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB垂心
3 为C2焦点，则C1离心率为____. 2
答案 解析
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思维升华
双曲线几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线 ax22－by22＝1 (a>0，b>0)中，离心率e与双曲线渐近线斜率k＝ 满足±关ba 系式e2＝1＋ k2.
§9.6 双曲线
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内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
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基础知识 自主学习
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知识梳理
1.双曲线定义
平面内到两个定点F1，F2 距离差绝对值
迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做
做
双曲线. 焦距
等于常数(小于F1F2正数)点轨 双曲线焦，点两焦点间距离叫
集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当 2a<F1F2 时，P点轨迹是双曲线； (2)当 2a＝F1F2 时，P点轨迹是两条射线； (3)当 2a>F1F2 时，P点不存在.
2020版高考数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线课件新人教A版
()
答案
知识梳理
-8-
知识梳理 双基自测
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2.(2018
全国Ⅱ,理
5)双曲线������������
2 2
−
������ ������
2
2=1(a>0,b>0)的离心率为
3,则
其渐近线方程为( )
A.y=± 2x C.y=± 2x
2
B.y=± 3x D.y=± 3x
2
∵e=������������ = 3,
∴������ 2
������ 2
=
������ 2+������2 ������ 2
=
������ 2+1=3.∴������=± 2.
������
������
∵双曲线交点在 x 轴上,
∴A 渐近线方程为 y=±������������x,∴渐近线方程为 y=± 2x.
关闭
关闭
解析 答案
知识梳理
|- 2������| 1+������ 2
=
43,整理,得
k2=8,即������������
2
2=k2=8,所以
e=������������
=
1
+
������ ������
2 2
=3,故选
D.
关闭
D
解析 答案
知识梳理
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知识梳理 双基自测
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4.已知双曲线 C:������������22 − ������������22=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y= 25x,
()
(4)等轴双曲线的离心率等于 2,且渐近线互相垂直. ( )
高三数学一轮复习第九章平面解析几何第六节双曲线课件理
)
D.( 3 ,0)
2 2 y x 答案 C ∵原方程可化为 - =1, 1 1 2 2 2 1 2 2 2 3 6 . ∴a =1,b = ,∴c =a +b = ,∴右焦点的坐标为 ,0 2 2 2
x2 y 2 2.(2015福建,3,5分)若双曲线E: - =1的左、右焦点分别为F1、F2,点P 9 16
则△F1PF2的面积是多少? 解析 不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2 2 ,
线,则C的方程为 答案
x2 y 2 - =1;y=±2x 3 12
;渐近线方程为
.
y2 2 解析 根据题意,可设双曲线C: -x =λ(λ≠0),将(2,2)代入双曲线C的方 4 x2 y 2 程得λ=-3,∴C的方程为 - =1.渐近线方程为y=±2x. 3 12
考点突破
考点一 双曲线的定义及标准方程 典例1 (1)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1| =2|PF2|,则cos∠F1PF2= ( A.
(2)当⑤ 2a=|F1F2| 时,P点的轨迹是两条射线;
(3)当⑥ 2a>|F1F2| 时,P点不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质
1.双曲线的方程为x2-2y2=1,则它的右焦点的坐标为 (
2 A. ,0 2 5 B. ,0 2 6 C. ,0 2
y 2 x2 4.若双曲线 - =1的离心率e∈(1,2),则m的取值范围为 5 m
.
答案 (0,15) 解析 ∵e= =
c a
5m 5m ,∴1< <2,即5<5+m<20,故0<m<15. 5 5
第九篇 解析几何第6讲 双曲线
第6讲双曲线双基自测1．双曲线x210－y22＝1的焦距为()．A．3 2 B．4 2 C．3 3 D．4 3 2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()．A．2 B．2 2 C．4 D．4 23．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为()．A．y＝±2x B．y＝±2x C．y＝±22x D．y＝±12x4．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()．A.x25－y24＝1 B.x24－y25＝1 C.x23－y26＝1 D.x26－y23＝15．设P是双曲线x2a2－y29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于________．考向一求双曲线的标准方程【例1】►设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()．A.x242－y232＝1 B.x2132－y252＝1C.x232－y242＝1 D.x2132－y2122＝1【训练1】已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同．则双曲线的方程为________．难点突破——高考中椭圆与双曲线的离心率的求解问题【示例1】►(2010·广东)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()．A.45 B.35 C.25 D.15【示例2】►(2011·福建)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于()．A.12或32 B.23或2C.12或2 D.23或32A 组一、选择题1．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．191622=-y xB ．191622=+-y xC ．116922=+y xD ．116922=-y x 2．方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 3．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（ ）A ．1222=-y xB ．122=+-y xC ．122=-y x D. 1222=+-y x 4．已知双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（ ） A ．1222=-y x B ．122=-y x C ．122=+-y x D. 1222=+-y x5．双曲线191622=-y x 的的渐近线方程是（ ） A ． 034=±y x B ．043=±y x C ．0169=±y x D ．0916=±y x6．已知双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，则双曲线标准方程是（ ）A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 二、填空题7．已知双曲线焦距是12，离心率等于2，则双曲线的标准方程是___________________.8．已知16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是_________.B 组1．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0,2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )A.32 B ．2 C.52D ．3 2．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点 P (3，y 0)在双曲线上．则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．43．设双曲线x 216－y 29＝1上的点P 到点(5,0)的距离为15，则P 点到(－5,0)的距离是________． 4．(2011年江西)若双曲线y 216－x 2m＝1的离心率e ＝2，则m ＝__________. 5．(2011年北京)已知双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________. 6．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，虚轴长为2 2. (1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．。
高考数学双曲线全套复习课件
第九章 平面解析几何
23
解析：通解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P 为双曲线右支上一点，则 S△PF1F2＝12 mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，又 e＝ac＝ 5，所以 a＝1，选 A. 优解：由题意得，S△PF1F2＝tanb425°＝4，得 b2＝4，又ac22＝5，c2＝b2＋a2，所 以 a＝1.
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第九章 平面解析几何
6
性质
实、虚轴
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴
长
a，b，c 的关系
c2＝__a_2＋__b__2 _ (c＞a＞0，c＞b＞0)
3.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为_y_＝__±__x__，离心
率为 e＝ 2.
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第九章 平面解析几何
7
常用结论 1．双曲线中的几个常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b. (2)若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min ＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2ab2，异 支的弦中最短的为实轴，其长为 2a.
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第九章 平面解析几何
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1．(2020·高考全国卷Ⅲ)设双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分
别为 F1，F2，离心率为 5.P 是 C 上一点，且 F1P⊥F2P.若△PF1F2 的面积为
苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第九章解析几何第六节双曲线教案理解析版
１．双曲线的定义平面内与两个定点F１，F２的距离的差的绝对值等于非零常数（小于F１F ２）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M||MF１—MF２|＝２a}，F１F２＝２c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0．（１）当２a＜F１F２时，P点的轨迹是双曲线；（２）当２a＝F１F２时，P点的轨迹是两条射线；（３）当２a＞F１F２时，P点不存在．２．双曲线的标准方程和几何性质标准方程错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）图形性质范围x≤—a或x≥a，y∈R y≤—a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A１（—a,0），A２（a,0）顶点坐标：A１（0，—a），A２（0，a）渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈（１，＋∞）a，b，c的关系c２＝a２＋b２实虚轴线段A１A２叫做双曲线的实轴，它的长A１A２＝错误!；线段B１B２叫做双曲线的虚轴，它的长B１B２＝错误!；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长[小题体验]１．双曲线x２—５y２＝１0的焦距为________．解析：∵双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１，∴a２＝１0，b２＝２，∴c２＝a２＋b２＝１２，c＝２错误!，故焦距为４错误!.答案：４错误!２．双曲线２x２—y２＝8的实轴长为________．解析：双曲线２x２—y２＝8的标准方程为错误!—错误!＝１，实轴长为２a＝４．答案：４３．已知双曲线错误!—错误!＝１的右焦点为（３,0），则该双曲线的离心率等于________．解析：∵右焦点为（３,0），∴c＝３．∴a２＝c２—b２＝9—５＝４，∴a＝２，∴e＝错误!＝错误!.答案：错误!１．双曲线的定义中易忽视２a＜F１F２这一条件．若２a＝F１F２，则轨迹是以F１，F２为端点的两条射线，若２a＞F１F２，则轨迹不存在．２．双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a＞0，b＞0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈（１，错误!）；若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝错误!；若0＜a＜b，则双曲线的离心率e∈（错误!，＋∞）．３．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a２＝b２＋c２，而在双曲线中c２＝a２＋b２.４．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±错误!，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±错误!.[小题纠偏]１．设P是双曲线错误!—错误!＝１上一点，F１，F２分别是双曲线左、右两个焦点，若PF１＝9，则PF２等于________．解析：由题意知PF１＝9＜a＋c＝１0，所以P点在双曲线的左支，则有PF２—PF１＝２a＝8，故PF＝PF１＋8＝１7．２答案：１7２．若a＞１，则双曲线错误!—y２＝１的离心率的取值范围是________．解析：由题意得双曲线的离心率e＝错误!.即e２＝错误!＝１＋错误!.因为a＞１，所以0＜错误!＜１，所以１＜１＋错误!＜２，所以１＜e＜错误!.答案：（１，错误!）３．离心率为错误!，且经过（—错误!，２）的双曲线的标准方程为________．解析：当双曲线的焦点在x轴上时，设方程为错误!—错误!＝１．则有错误!解得错误!所以所求双曲线的标准方程为x２—错误!＝１．当双曲线焦点在y轴上时，设方程为错误!—错误!＝１．则有错误!解得错误!所以所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．答案：x２—错误!＝１或错误!—错误!＝１错误!错误![题组练透]１．若方程错误!＋错误!＝１（k∈R）表示双曲线，则k的取值范围是________．解析：依题意可知（k—３）（k＋３）＜0，解得—３＜k＜３．答案：（—３,３）２．已知双曲线C：错误!—错误!＝１的离心率e＝错误!，且其右焦点为F２（５,0），则双曲线C的标准方程为________．解析：因为所求双曲线的右焦点为F２（５,0）且离心率为e＝错误!＝错误!，所以c＝５，a＝４，b ２＝c２—a２＝9，所以所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１３．若以F１（—错误!，0），F２（错误!，0）为焦点的双曲线过点（２,１），则该双曲线的标准方程为________．解析：依题意，设题中的双曲线方程是错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0），则有错误!解得a２＝２，b２＝１．因此该双曲线的标准方程是错误!—y２＝１．答案：错误!—y２＝１４．（２0１9·苏锡常镇调研）已知双曲线Γ过点（２，错误!），且与双曲线错误!—y２＝１有相同的渐近线，则双曲线Γ的标准方程为________．解析：依题意，设所求双曲线的标准方程为错误!—y２＝λ，将点（２，错误!）的坐标代入，得１—３＝λ，∴λ＝—２，∴所求双曲线的方程为错误!—y２＝—２，其标准方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１[谨记通法]求双曲线标准方程的一般方法（１）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线错误!—错误!＝１有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为错误!—错误!＝λ（λ≠0）．（２）定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．错误!错误![典例引领]１．设F１，F２分别是双曲线错误!—错误!＝１的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F１AF２＝90°且AF１＝３AF２，则双曲线的离心率为________．解析：因为∠F１AF２＝90°，故AF错误!＋AF错误!＝F１F错误!＝４c２，又AF１＝３AF２，且AF１—AF２＝２a，故１0a２＝４c２，故错误!＝错误!，故e＝错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·海门中学检测）已知双曲线x２—错误!＝１的两个焦点为F１，F２，P为双曲线右支上一点．若PF１＝错误!PF２，则△F１PF２的面积为________．解析：由双曲线的定义可得PF１—PF２＝错误!PF２＝２a＝２，解得PF２＝6，故PF１＝8，又F１F２＝１0，由勾股定理可知三角形PF１F２为直角三角形，因此S△PF１F２＝错误!PF１·PF２＝２４．答案：２４[由题悟法]应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．[即时应用]１．设F１，F２分别为双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得PF１＋PF２＝３b，PF１·PF２＝错误!ab，则该双曲线的离心率为________．解析：由题设条件得PF１＋PF２＝３b，由双曲线的定义得|PF１—PF２|＝２a，两个式子平方相减得PF１·PF２＝错误!，则错误!＝错误!ab，整理得（３b—４a）·（３b＋a）＝0，即错误!＝错误!，所以e＝错误!＝错误!.答案：错误!２．设双曲线错误!—错误!＝１的左、右焦点分别为F１，F２，过F１的直线l交双曲线左支于A，B 两点，则BF２＋AF２的最小值为________．解析：由双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１，得a＝２，由双曲线的定义可得AF２—AF１＝４，BF２—BF１＝４，所以AF２—AF１＋BF２—BF１＝8．因为AF１＋BF１＝AB，当AB是双曲线的通径时，AB最小，所以（AF２＋BF２）min＝AB min＋8＝错误!＋8＝１0．答案：１0错误!错误![锁定考向]双曲线的几何性质是高考命题的热点．常见的命题角度有：（１）求双曲线的离心率或范围；（２）求双曲线的渐近线方程；（３）双曲线性质的应用．[题点全练]角度一：求双曲线的离心率或范围１．（２0１8·海安高三质量测试）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±错误!x，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意知错误!＝错误!，即b２＝３a２，所以c２＝a２＋b２＝４a２，所以e＝错误!＝２．答案：２２．（２0１7·全国卷Ⅰ）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．解析：双曲线的右顶点为A（a,0），设点M，N在渐近线y＝错误!x，即bx—ay＝0上，则圆心A到此渐近线的距离d＝错误!＝错误!.又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin 60°＝错误!，即错误!＝错误!，所以e＝错误!＝错误!.答案：错误!角度二：求双曲线的渐近线方程３．（２0１9·徐州调研）若双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为错误!，则双曲线C的渐近线方程为________．解析：∵双曲线C的离心率为错误!，∴e＝错误!＝错误!，则c２＝１0a２＝a２＋b２，得b２＝9a２，即b＝３a，则双曲线C的渐近线方程为y＝±错误!x＝±３x.答案：y＝±３x角度三：双曲线性质的应用４．已知点F１，F２分别为双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若错误!的最小值为9a，则双曲线的离心率为________．解析：在双曲线中，P为右支上一点，则PF１＝PF２＋２a，则错误!＝错误!＝PF２＋错误!＋４a≥２错误!＋４a＝8a（当且仅当PF２＝２a时取等号），因为已知错误!min＝9a，故PF２≠２a，在双曲线右支上点P 满足（PF２）min＝c—a，则c—a＞２a，即c＞３a，故e＞３，又由错误!≥9a，即错误!≥9a可得e≤２或e≥５，综上可得，e≥５，故当错误!取最小值9a时，e＝５．答案：５[通法在握]与双曲线几何性质有关问题的解题策略（１）求双曲线的离心率（或范围）．依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式（或不等式），解方程（或不等式）即可求得．（２）求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．（３）求双曲线的方程．依据题设条件，求出a，b的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．（４）求双曲线焦点（焦距）、实虚轴的长．依题设条件及a，b，c之间的关系求解．[演练冲关]１．（２0１9·通州模拟）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的四个顶点都在双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）上，若双曲线的焦点在正方形的外部，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：由题意，可设正方形与双曲线的某个交点为A（m，m），则双曲线错误!—错误!＝１，可得m ２＝错误!＜c２，即c２b２—c２a２＞a２b２，又c２＝b２＋a２，化简可得c４—３c２a２＋a４＞0，即e４—３e２＋１＞0，又e＞１，解得e＞错误!，故该双曲线的离心率的取值范围是错误!.答案：错误!２．（２0１8·无锡调研）双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为错误!，焦点到渐近线的距离为３，则C的实轴长等于________．解析：因为e＝错误!＝错误!，所以c＝错误!a，设双曲线的一条渐近线方程为y＝错误!x，即ax—by ＝0，焦点为（0，c），所以错误!＝b＝３，所以a＝错误!＝错误!，所以a２＝１6，即a＝４，故２a＝8．答案：8３．（２0１8·盐城二模）已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y＝错误! x与双曲线相交于A，B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为________．解析：由题意可知，双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c,0），联立错误!整理得（9b２—１6a２）x２＝9a２b２，即x２＝错误!，∴A与B关于原点对称，设A错误!，B错误!，则错误!＝错误!，错误!＝错误!，∵AF⊥BF，∴错误!·错误!＝0，即（x—c）（—x—c）＋错误!x×错误!＝0，整理得c２＝错误!x２，∴a２＋b２＝错误!×错误!，即9b４—３２a２b２—１6a４＝0，∴（b２—４a２）（9b２＋４a２）＝0，∵a＞0，b＞0，∴9b２＋４a２≠0，∴b２—４a２＝0，故b＝２a，∴双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x＝±２x.答案：y＝±２x４．已知双曲线x２—错误!＝１的左顶点为A１，右焦点为F２，P为双曲线右支上一点，则错误!·错误!的最小值为________．解析：由题可知A１（—１,0），F２（２,0）．设P（x，y）（x≥１），则错误!＝（—１—x，—y），错误!＝（２—x，—y），错误!·错误!＝（—１—x）（２—x）＋y２＝x２—x—２＋y２＝x２—x—２＋３（x２—１）＝４x２—x—５．因为x≥１，函数f（x）＝４x２—x—５的图象的对称轴为x＝错误!，所以当x＝１时，错误!·错误!取得最小值—２．答案：—２一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·滨湖月考）已知双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，实轴长为１２，则该双曲线的标准方程为________________．解析：∵双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，实轴长为１２，∴当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为错误!—错误!＝１，a＞0，b＞0，此时错误!解得a＝6，b＝４，∴双曲线方程为错误!—错误!＝１．当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为错误!—错误!＝１，a＞0，b＞0，此时错误!解得a＝6，b＝9，∴双曲线方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１２．已知双曲线x２＋my２＝１的虚轴长是实轴长的２倍，则实数m的值是________．解析：依题意得m＜0，双曲线方程是x２—错误!＝１，于是有错误!＝２×１，m＝—错误!.答案：—错误!３．若双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为错误!，则其渐近线方程为________．解析：由条件e＝错误!，即错误!＝错误!，得错误!＝错误!＝１＋错误!＝３，所以错误!＝错误!，所以双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x.答案：y＝±错误!x４．（２0１8·苏州高三暑假测试）双曲线错误!—y２＝１（m＞0）的右焦点与抛物线y２＝8x的焦点重合，则m＝________.解析：因为双曲线的右焦点为（错误!，0），抛物线的焦点为（２,0），所以错误!＝２，解得m＝３．答案：３５．（２0１9·常州一中检测）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线错误!—y２＝１（m＞0）的一条渐近线方程为x—错误!y＝0，则实数m的值为________．解析：∵双曲线错误!—y２＝１（m＞0）的渐近线方程为x±my＝0，已知其中一条渐近线方程为x—错误!y＝0，∴m＝错误!.答案：错误!6．（２0１8·苏北四市摸底）已知双曲线x２—错误!＝１（m＞0）的一条渐近线方程为x＋错误!y＝0，则实数m＝________.解析：双曲线x２—错误!＝１（m＞0）的渐近线为y＝±mx，又因为该双曲线的一条渐近线方程为x＋错误!y＝0，所以m＝错误!.答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．双曲线错误!—错误!＝１的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为________．解析：由渐近线互相垂直可知错误!·错误!＝—１，即a２＝b２，即c２＝２a２，即c＝错误!a，所以e ＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·常州期末）双曲线错误!—错误!＝１的右焦点与左准线之间的距离是________．解析：因为a２＝４，b２＝１２，所以c２＝１6，即右焦点为（４,0），又左准线为x＝—错误!＝—１，故右焦点到左准线的距离为５．答案：５３．（２0１8·南京学情调研）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0）的一条渐近线与直线y＝２x＋１平行，则实数a＝________.解析：由双曲线的方程可知其渐近线方程为y＝±错误!x.因为一条渐近线与直线y＝２x＋１平行，所以错误!＝２，解得a＝１．答案：１４．已知直线l与双曲线C：x２—y２＝２的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为________．解析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A（x１，x１），B（x２，—x２），所以AB中点坐标为错误!，所以错误!２—错误!２＝２，即x１x２＝２，所以S△AOB＝错误!OA·OB＝错误!|错误!x１|·|错误!x２|＝x１x２＝２．答案：２５．（２0１8·镇江期末）双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为________．解析：由题意c—错误!＝２a，即错误!２—２·错误!—１＝0，e２—２e—１＝0，解得e＝１±错误!.又因为双曲线的离心率大于１，故双曲线的离心率为１＋错误!.答案：１＋错误!6．（２0１9·连云港调研）渐近线方程为y＝±２x，一个焦点的坐标为（错误!，0）的双曲线的标准方程为________．解析：∵双曲线的渐近线方程为y＝±２x，∴设双曲线方程为x２—错误!＝λ（λ≠0），∵一个焦点的坐标为（错误!，0），∴（错误!）２＝λ＋４λ，解得λ＝２，∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１7．（２0１9·淮安模拟）已知双曲线错误!—错误!＝１的一个焦点与圆x２＋y２—１0x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于错误!，则该双曲线的标准方程为________．解析：将圆x２＋y２—１0x＝0化成标准方程，得（x—５）２＋y２＝２５，则圆x２＋y２—１0x＝0的圆心为（５,0）．∴双曲线错误!—错误!＝１的一个焦点为F（５,0），又该双曲线的离心率等于错误!，∴c＝５，且错误!＝错误!，∴a２＝５，b２＝c２—a２＝２0，故该双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１8．已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F１，F２，点P在双曲线的右支上，且PF１＝４PF２，则双曲线的离心率e的最大值为________．解析：由双曲线定义知PF１—PF２＝２a，又已知PF１＝４PF２，所以PF１＝错误!a，PF２＝错误!a，在△PF１F２中，由余弦定理得cos∠F１PF２＝错误!＝错误!—错误!e２，要求e的最大值，即求cos∠F１PF２的最小值，因为cos∠F１PF２≥—１，所以cos∠F１PF２＝错误!—错误!e２≥—１，解得e≤错误!，即e的最大值为错误!.答案：错误!9．已知双曲线的中心在原点，焦点F１，F２在坐标轴上，离心率为错误!，且过点（４，—错误!），点M（３，m）在双曲线上．（１）求双曲线的方程；（２）求证：错误!·错误!＝0；（３）求△F１MF２的面积．解：（１）因为e＝错误!，则双曲线的实轴、虚轴相等．所以可设双曲线方程为x２—y２＝λ.因为双曲线过点（４，—错误!），所以１6—１0＝λ，即λ＝6．所以双曲线方程为x２—y２＝6．（２）证明：设错误!＝（—２错误!—３，—m），错误!＝（２错误!—３，—m）．所以错误!·错误!＝（３＋２错误!）×（３—２错误!）＋m２＝—３＋m２，因为M点在双曲线上，所以9—m２＝6，即m２—３＝0，所以错误!·错误!＝0．（３）因为△F１MF２的底边长F１F２＝４错误!.由（２）知m＝±错误!.＝错误!×４错误!×错误!＝6．所以△F１MF２的高h＝|m|＝错误!，所以S△F１MF２１0．（２0１8·启东中学检测）已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F１，F２，一条渐近线方程为２x＋y＝0，且焦点到这条渐近线的距离为１．（１）求此双曲线的方程；（２）若点M错误!在双曲线上，求证：点M在以F１F２为直径的圆上．解：（１）依题意得错误!解得错误!故双曲线的方程为错误!—x２＝１．（２）证明：因为点M错误!在双曲线上，所以错误!—错误!＝１．所以m２＝错误!，又双曲线错误!—x２＝１的焦点为F１（0，—错误!），F２（0，错误!），所以错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!２—（错误!）２＋m２＝错误!—５＋错误!＝0，所以MF１⊥MF２，所以点M在以F１F２为直径的圆上．三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线错误!—错误!＝１的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．解析：∵双曲线的两条渐近线的夹角为60°，且渐近线关于x，y轴对称，若夹角在x轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为３0°，１５0°，斜率为±错误!，故错误!＝错误!.∵c２＝a２＋b２，∴错误!＝错误!，即e２—１＝错误!，解得e＝错误!.若夹角在y轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为60°，１２0°，斜率为±错误!，故错误!＝错误!.同理可求得e＝２．综上，e＝错误!或２．答案：错误!或２２．（２0１8·南通中学高三数学练习）已知点F是双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．解析：由题意得F（—c,0），A错误!，B错误!，E（a，0）．因为△ABE是锐角三角形，所以错误!·错误!＞0，即错误!·错误!＝错误!·错误!＞0．整理，得３e２＋２e＞e４.所以e３—e—２e—２＝e（e＋１）（e—１）—２（e＋１）＝（e＋１）２（e—２）＜0，解得0＜e＜２．又e＞１，所以e∈（１,２）．答案：（１,２）３．已知椭圆C１的方程为错误!＋y２＝１，双曲线C２的左、右焦点分别是C１的左、右顶点，而C２的左、右顶点分别是C１的左、右焦点，O为坐标原点．（１）求双曲线C２的方程；（２）若直线l：y＝kx＋错误!与双曲线C２恒有两个不同的交点A和B，且错误!·错误!＞２，求k的取值范围．解：（１）设双曲线C２的方程为错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0），则a２＝４—１＝３，c２＝４，再由a２＋b２＝c２，得b２＝１，故双曲线C２的方程为错误!—y２＝１．（２）将y＝kx＋错误!代入错误!—y２＝１，得（１—３k２）x２—6错误!kx—9＝0．由直线l与双曲线C２交于不同的两点，得错误!所以k２＜１且k２≠错误!.１设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝错误!，x１x２＝错误!.所以x１x２＋y１y２＝x１x２＋（kx１＋错误!）（kx２＋错误!）＝（k２＋１）x１x２＋错误!k（x１＋x２）＋２＝错误!.又因为错误!·错误!＞２，即x１x２＋y１y２＞２，所以错误!＞２，即错误!＞0，解得错误!＜k２＜３．２由１２得错误!＜k２＜１，故k的取值范围为错误!∪错误!.。
新教材高考数学一轮复习第九章解析几何第六节双曲线课件新人教B版
)
A．2
B．
6 2
C．
5 2
D．1
【解析】选D.由题意得e＝
a2＋3 a
＝2，
所以 a2＋3 ＝2a，
所以a2＋3＝4a2，所以a2＝1，所以a＝1.
4．设P是双曲线1x62 －2y02 ＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右两个焦 点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________．
【解析】由题意知|PF1|＝9＜a＋c＝10， 所以P点在双曲线的左支， 则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17. 答案：17
A．
22，0
C．
26，0
B．
25，012 －y12 ＝1， 2
所以a2＝1，b2＝12 ，所以c2＝a2＋b2＝32 ，
所以右焦点坐标为
26，0
.
2．以椭圆x42 ＋y32 ＝1 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为(
)
A．x2－y32 ＝1
C．焦点在 x 轴上的双曲线
D．焦点在 y 轴上的双曲线
(2)已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，
则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x22 －1y42 ＝1(x≥ 2 ) C．x22 ＋1y42 ＝1(x≥ 2 )
B．x22 －1y42 ＝1(x≤－ 2 ) D．x22 ＋1y42 ＝1(x≤－ 2 )
2 ).
(3)选C.由题意可知C3，C2的圆心分别是双曲线C1：1x62 －y92 ＝1的左、右焦 点，点P在双曲线的左支上， 则|PC2|－|PC3|＝8. |PQ|max＝|PC2|＋1，|PR|min＝|PC3|－1， 所以|PQ|－|PR|的最大值为(|PC2|＋1)－(|PC3|－1)＝|PC2|－|PC3|＋2＝8＋2＝10.
高考备考指南文科数学第9章第6讲双曲线
y≤－a或y≥a，x∈R
对称轴：坐__标___轴___，对称中心：_原__点___
A1__(－__a_,_0_)___，A2_(a_,_0_)__ A1_(_0_，__－__a_)_，A2_(_0_，__a_)
y＝±bax
y＝栏±目ab索x引
第九章 平面解析几何
高考备考指南
文科数学
标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
线与y轴所形成的锐角为30°，则双曲线M的离心率是( )
A．2 3 3
B． 3
C．2 【答案】C
D．2 3 3或2
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第九章 平面解析几何
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文科数学
【解析】因为双曲线M：
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与y轴所形成的锐
角为30°，则这条渐近线与x轴的夹角为60°，所以
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第九章 平面解析几何
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文科数学
5．经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． 【答案】x82－y82＝1 【解析】设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故 所求方程为x82－y82＝1.
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第九章 平面解析几何
＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是
x2 m2
－
y2 n2
＝0，即
x m
y ±n
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＝0.( )
第九章 平面解析几何
高考备考指南
文科数学
(4)已知F1(0，－2)，F2(0,2)，|PF1|－|PF2|＝4，则动点P的轨迹是一条射
【新人教A版】2024版高考数学一轮总复习第9章解析几何第6节双曲线课件
时,点P的轨迹是双曲线;
(2)当
2a=|F1F2|
时,点P的轨迹是两条射线;
(3)当
2a>|F1F2|
时,点P不存在.
微点拨若2a=0,则点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
,两焦
微思考若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉,
则点的集合是双曲线的哪一支?
第九章
第六节 双曲线
内
容
索
引
01
强基础•固本增分
02
研考点•精准突破
课标解读
1.了解双曲线的实际背景,感受双曲
线在刻画现实世界和解决实际问题
中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和
标准方程,以及它们的简单几何性质.
3.通过双曲线的学习,进一步体会数
形结合的思想.
衍生考点
核心素养
1.直观想象
1.双曲线的定义及应用
0
=1.
2
F1,F2,点 P(x0,y0)为双曲线
上任意一点,且不与点 F1,F2 共线,∠F1PF2=θ,则△F1PF2 的面积为
2
tan
2
2
3.若点 P(x0,y0)在双曲线 2 −
0
0
02
02
方程为 2 − 2 = 2 − 2 .
2
=1(a>0,b>0)内,则被点
(1)定义:实轴和虚轴的长相等的双曲线叫做等轴双曲线;
(2)性质:①两渐近线垂直且方程为y=±x,②离心率为e=
2.
常用结论
2
1.过双曲线 2
高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 第六节 双曲线
一定是双曲线吗?为什么?
提示 不一定.当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线;
当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在;
当2a=0时,动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程
图形
x2
a2
−
y2
=1(a>0,b>0)
b2
y2
a2
−
x2
=1(a>0,b>0)
b2
32 + 02 =2<|AB|=4,
∴F 的轨迹为以点 A,点 B 为焦点的双曲线的下支.
2
设双曲线方程为 2
−
2
2 =1(y≤-a),
则 2a=2,即 a=1,c=2,∴b2=c2-a2=3,
∴焦点 F 的轨迹方程是
2
y2- =1(y≤-1).
3
考点二
双曲线的标准方程
典例突破
例 2.(1)(2023
7.焦点三角形的面积:点P为双曲线上的点,F1,F2为双曲线的两个焦点,且
∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积为
2
tan
2
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲
线.( × )
2
小值为9.
(2)因为由双曲线的定义有|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2 2,
所以|PF1|=2|PF2|=4 2,
所以
|1 |2 +|2 |2 -|1 2 |2
cos∠F1PF2=
2013届高考数学(理)一轮复习课件：第九篇 解析几何第6讲 双曲线).ppt
答案 4
考向二 求双曲线的标准方程
【例2】►(2011·东莞调研)设椭圆C1的离心率为
5 13
，焦点在x轴
上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离
的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )．
A.4x22－3y22＝1
B.1x322－5y22＝1
C.3x22－4y22＝1
D.1x322－1y222＝1
【训练1】 (2011·太原重点中学联考)在平面直角坐标系xOy
中，已知双曲线
x2 4
－
y2 12
＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此
双曲线的右焦点的距离为________．
解析 由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，
15)或(3，－ 15)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.
两种方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线 定义，确定2a、2b或2c，从而求出a2、b2，写出双曲线方程． (2)待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准 方程，再由条件确定a2、b2的值，即“先定型，再定量”；如 果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为mx22－ny22＝λ(λ≠0)， 再根据条件求λ的值．
【训练3】 (2010·辽宁)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个
端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此
双曲线的离心率为( )．
3＋1
5＋1
A. 2 B. 3 C. 2 D. 2
解析
设双曲线方程为
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞0，b＞0)，F(c,0)，B(0，
b)，则kBF＝－bc，双曲线的渐近线方程为y＝±bax，
2020版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第6讲双曲线教案理(含解析)新人教A版(最新整理)
第6讲双曲线基础知识整合1．双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2（|F1F2｜＝2c>0）的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2｜且不等于零)的点的轨迹叫做错误!双曲线．这两个定点叫做双曲线的错误!焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的错误!焦距．集合P＝{M|｜｜MF1|－|MF2｜｜＝2a}，|F1F2｜＝2c,其中a，c为常数且a〉0，c>0:（1）当错误!a〈c时，M点的轨迹是双曲线；(2）当错误!a＝c时，M点的轨迹是两条错误!射线；（3)当错误!a>c时,M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质续表a,b,c的关系，错误!c2＝a2＋b2(c〉a>0,c〉b>0）双曲线中的几个常用结论（1）焦点到渐近线的距离为b.(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．（3）双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝错误!⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系）．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为错误!.（5)双曲线的离心率公式可表示为e＝错误!。
1．（2018·浙江高考）双曲线错误!－y2＝1的焦点坐标是( ）A．（－错误!，0),(错误!,0) B．（－2，0），（2，0)C．（0，－错误!），(0，错误!）D．（0，－2)，(0，2）答案 B解析 因为双曲线方程为错误!－y 2＝1，所以焦点坐标可设为(±c,0)，因为c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4,c ＝2,所以焦点坐标为(±2,0）,选B 。
2．(2019·宁夏模拟)设P 是双曲线错误!－错误!＝1上一点,F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点，若｜PF 1|＝9，则|PF 2｜等于( ）A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对答案 B解析 根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2|｜＝8⇒｜PF 2｜＝1或17.又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17，故选B 。
第6讲双曲线
第6讲 双曲线
1．考查利用基本量求双曲线的标准方程，考查双曲线的定 义、几何图形． 2．考查求双曲线的几何性质及其应用． 【复习指导】 本讲复习时，应紧扣双曲线的定义，熟练掌握双曲线的标准 方程、几何图形以及简单的几何性质、近几年高考多以选择 题．填空题进行考查．
1．双曲线的概念 平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离的差的绝对 值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲 线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦 距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为 常数且a>0，c>0； (1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线； (2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线； (3)当a>c时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
一条规律
两种方法
三个防范
考向一
双曲线定义的应用
16 [审题视点] 利用双曲线的第一定义和第二定义解题．
【反思与悟】 由双曲线的第一定义可以判断点P的位置关系， 在利用第二定义解题时，要注意左焦点与左准线相对应，右 焦点与右准线相对应．
4
考向二
求双曲线满足的几何条件用定义法求方程．
考向三
双曲线的几何性质的应用
答案
C
答案
D
高考中椭圆与双曲线的离心率的求解问题
离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一 个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件 求椭圆或双曲线的离心率；另一类是根据一定的条件求离 心率的取值范围．无论是哪类问题，其难点都是建立关于a， b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a， c表达，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆 和双曲线的离心率问题难点的根本方法．
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第6讲双曲线【高考会这样考】1．考查利用基本量求双曲线的标准方程，考查双曲线的定义、几何图形．2．考查求双曲线的几何性质及其应用．【复习指导】本讲复习时，应紧扣双曲线的定义，熟练掌握双曲线的标准方程、几何图形以及简单的几何性质、近几年高考多以选择题．填空题进行考查．基础梳理1．双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；(1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当a>c时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线 y ＝±b a xy ＝±a b x离心率 e ＝ca ，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0)一条规律双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 两种方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a 、2b 或2c ，从而求出a 2、b 2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a 2、b 2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值． 三个防范(1)区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±ab x .双基自测1．(人教A 版教材习题改编)双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )．A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3解析 由已知有c 2＝a 2＋b 2＝12，∴c ＝23，故双曲线的焦距为4 3. 答案 D2．(2011·安徽)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )． A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2解析 双曲线2x 2－y 2＝8的标准方程为x 24－y 28＝1，所以实轴长2a ＝4.答案 C3．(2012·烟台调研)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )． A ．y ＝±2x B ．y ＝±2x C ．y ＝±22xD ．y ＝±12x解析 由题意得b ＝1，c ＝ 3.∴a ＝2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，即y ＝±22x . 答案 C4．(2011·山东)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )．A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1D.x 26－y 23＝1解析 圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx ±ay ＝0，根据已知得3b a 2＋b 2＝2，即3b 3＝2，解得b ＝2，则a 2＝5，故所求的双曲线方程是x 25－y 24＝1. 答案 A5．(2012·银川质检)设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于________． 解析 由渐近线方程y ＝32x ，且b ＝3，得a ＝2，由双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝4，又|PF 1|＝3，∴|PF 2|＝7. 答案 7考向一 双曲线定义的应用【例1】►(2011·四川)双曲线x 264－y 236＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4，那么点P 到左准线的距离是________．[审题视点] 利用双曲线的第一定义和第二定义解题．解析 由已知，双曲线中，a ＝8，b ＝6，所以c ＝10，由于点P 到右焦点的距离为4,4＜a ＋c ＝18，所以点P 在双曲线右支上．由双曲线定义，可知点P 到左焦点的距离为2×8＋4＝20，设点P 到双曲线左准线的距离为d ，再根据双曲线第二定义，有20d ＝c a ＝108，故d ＝16. 答案 16由双曲线的第一定义可以判断点P 的位置关系，在利用第二定义解题时，要注意左焦点与左准线相对应，右焦点与右准线相对应．【训练1】 (2012·太原重点中学联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析 由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4. 答案 4考向二 求双曲线的标准方程【例2】►(2012·东莞调研)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为()．A.x242－y232＝1 B.x2132－y252＝1C.x232－y242＝1 D.x2132－y2122＝1[审题视点] 抓住C2上动点满足的几何条件用定义法求方程．解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为：F1(－5,0)，F2(5,0)．设曲线C2上的一点P.则||PF1|－|PF2||＝8.由双曲线的定义知：a＝4，b＝3.故曲线C2的标准方程为x242－y232＝1.答案 A(1)当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，求方程时应分类讨论，或者将方程设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．(2)已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．根据其他条件确定λ的值．若求得λ＞0，则焦点在x轴上；若求得λ＜0，则焦点在y轴上．【训练2】(2012·郑州模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同．则双曲线的方程为________．解析∵双曲线的渐近线为y＝3x，∴ba＝3，①∵双曲线的一个焦点与y2＝16x的焦点相同．∴c＝4. ②∴由①②可知a2＝4，b2＝12.∴双曲线的方程为x24－y212＝1.答案x24－y212＝1.考向三双曲线的几何性质的应用【例3】►(2011·浙江)已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－y24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )． A ．a 2＝132 B ．a 2＝13 C ．b 2＝12 D ．b 2＝2[审题视点] 取一条C 2的渐近线，将其与C 1联立求得弦长|AB |，令|AB |＝23a ，方可得出结论．解析 依题意a 2－b 2＝5，根据对称性，不妨取一条渐近线y ＝2x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，解得x ＝±ab 4a 2＋b 2，故被椭圆截得的弦长为25ab4a 2＋b 2，又C 1把AB 三等分，所以25ab 4a 2＋b 2＝2a 3，两边平方并整理得a 2＝11b 2，代入a 2－b 2＝5得b 2＝12.答案 C在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线； (2)求已知渐近线的双曲线的方程； (3)渐近线的斜率与离心率的关系，如k ＝ba ＝c 2－a 2a ＝c 2a2－1＝e 2－1. 【训练3】 (2010·辽宁)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )． A. 2 B. 3 C.3＋12 D.5＋12解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，F (c,0)，B (0，b )，则k BF ＝－bc ，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，∴－b c ·b a ＝－1，即b 2＝ac ，c 2－a 2＝ac ，∴e 2－e －1＝0，解得e ＝1±52.又e ＞1，∴e ＝5＋12.答案 D难点突破21——高考中椭圆与双曲线的离心率的求解问题离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆或双曲线的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表达，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆和双曲线的离心率问题难点的根本方法． 【示例1】► (2010·广东)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )．A.45B.35C.25D.15【示例2】► (2011·福建)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )． A.12或32 B.23或2 C.12或2D.23或32。