浙江大学 材料力学课件10-能量法(新)

由铰B平衡，得 FAB F，FBC 2F
（1）水平位移
去掉原外力，加水平单位力 A
B
1
相应内力 FAB 1，FBC 0
单位力法表达式
C
Bx
FN
L
FN dx EA
L EA
(
FAB
FAB
FL () EA
2FBC FBC )
（2）铅直位移
加铅直单位力，相应内力
1
FAB
1
FAB F
3
F
FN 3
F
N 2
12 38 9
3
F，FN1
32 38
9 9
3F 3
应力
1
FN1 4A
，
2
FN 2 3A
，
3
FN1 2A
类似静定问题，可计算杆伸缩
铰A铅直位移
Ay
V F
L1
FN 1 L1 EA1
如何求
？
Ax
例10-11正三角形刚架，边长为2a，弯曲刚度为 EI，铰D与C处受一对力F，不计剪切与 拉压影响。试求铰D的约束力。
，FBC
2 FBC F
B
单位力法
By
FN
L
FN dx EA
(1 2
2) FL EA
FN FN dx
FN2 1 dx
L F EA
L F 2EA
V F
例10-8 题同例10-4，求梁自由端的挠度与转角。
解：实际外力F相应的内力
M Fx
（1）挠度
1
加铅直单位力，相应内力 A
B
M x M F
由铰B平衡，得 FAB F Ft，FBC 2F
应变能
V
L 2EA
(F Ft )2
2F 2
1 (Ft
)
V Ft
L
(F EA
Ft )
实际上，Ft 0 水平位移
1
FL EA
注：变形在弹性范围内
例10-4. 试求悬臂梁自由端的挠度与转角。
F
EI , L
MB
A
B
解：弯矩 M Fx
，
应变能
（1）卡氏第一定理
应变能与功取决于荷载的最终值及相应的位移
——假定各力同时按比例加载至最终值
外力的功
i
W Fidi
0
应变能
F1 F2 Fn
A
B
1 2
n
i
V
Fidi V (i )
0
假设仅第i个位移有微小增量di，则应变能的变化
dV
V
i
di
外力功的变化 dW Fidi
外力功等值于应变能
Vc(Fi)——余能表示成外力的函数
Fi ——广义力，i ——广义位移
适用于非线弹性情况
线弹性情况下
Vc=V
i
Vε Fi
卡氏第二定理
V(Fi)——应变能表示成外力的函数
（3）卡氏定理的应用——静定结构
求相应于外力的位移（或广义位移）
求相应于一对外力的相对位移（或广义位移）
求不相应于外力的位移（或广义位移）
0
线弹性情况
vc
1 2
(
x
x
y y
zz
xy xy
xz xz
yz
yz )
v
余能
Vc V vcdV
线弹性、小变形情况下，杆件的余能
Vc V
等同应变能
思考：比较由两组不同的相互垂直截面上的应力 及应变计算一点的应变能与余能密度
例10-1. 简支梁，长为L，弯曲刚度为EI，受均布力
q作用。试求外力功与应变能。
解除约束——于支座处 建立补充方程——用卡氏定理或单位力法 可求解几何关系较复杂的、组合变形的结构超静定问题 利用结构的对称性——降低超静定次数
力法——以力为基本未知量，建立方程求解 位移法——以位移为基本未知量，建立方程求解
例10-9杆系，AB＝AC＝L，杆1、2的拉压刚度为 EA，杆3 的拉压刚度为E3A3，铰A受力F。 试求各杆内力。
解：一次超静定
B
D
C
1
32
A F
FD D
选基本静定系——解除铰D约束，加反力FD 变形相容 D 0
由平衡得杆内力
FN 3
FD，FN1
FN 2
F FD
2 c os
应变能
V
FN21L 2 FN23L cos
2EA
2E3 A3
卡氏定理
D
V FD
(F FD )L
2EA cos2
FD L cos
同一根杆的拉压应变能与弯曲应变能相比一般也较小
思考：组合变形杆应变能的叠加法
（2）余能
F 余功
F
F1
L
o
等直杆拉伸，非弹性变形情况下
1
余功
F1
Wc dF
余能
余能密度
0
vc
Vc AL
1
d
0
F1
Vc Wc dF
0
一般应力状态下，余能密度
(σ1 ,τ1 )
vc ( xd x yd y zd z xyd xy xzd xz yzd yz )
假定各力同时按比例加载至最终值
外力的余功
Fi
Wc
idFi
0
F1 F2 Fn
A
B
余能
Fi
Vc idFi Vc (Fi )
1 2
n
0
假设仅第i个外力有微小增量dFi，则余能的变化
dVc
Vc Fi
dFi
外力余功的变化 dWc idFi
外力余功等值于余能 dWc dVc
i
Vc Fi
余能定理
GA
d Tdx
GI p
d FNdx
EA
单位力法的表达式
1
(M
L
M EI
Fs
s Fs
GA
T
T GI p
FN
FN )dx EA
同一根杆的轴力和剪力所作功与弯矩所作功相比
一般较小，其中相应项可略去
思考：线弹性、小变形假设下，单位力法表达式
与卡氏第二定理表达式的关系
例10-7题同例10-3，求铰B的水平与铅直位移。 解：实际外力F相应的杆内力
F
C
A
D
B
F
解：二次超静定
Fra Baidu bibliotek
基本静定系——解除铰D约束， 加反力F1，F2，F3，F4
铰D平衡：
F2 F4
F3 F1，F2 F4 F
F1
F3
D
结构对称性
F2
F4
F 2
一次超静定
F2 F4
F1 D
F3
F
D
变形相容 Dy 0 ——对称性已用
Dx 0
F1
F1
F 2
左半弯矩
1 M1 2 Fx
解静定问题的方法：
选取基本静定系，适当解除约束，增加相应的 约束反力
建立相应约束处的变形协调关系，并用外力与 解除约束的反力表示，得到补充方程
再结合基本静定系的平衡方程，可求得该约束 反力，从而将超静定问题转化为静定问题求解
进一步可计算内力、应力、变形及强度、刚 度、稳定性等
用能量法解超静定问题的特点：
Fi
V
i
dW dVε 卡氏第一定理
V (i )
应变能表示成位移的函数
Fi
广义力
i
广义位移
适用于非线弹性情况
例10-2. 平面桁架ABC，AB＝L， =45，铰B受力 F，
两杆的拉压刚度均为EA。试求铰B的水平与铅直
位移。
A
F
B B
C
解：设铰B的水平与铅直位移分别为1、 2
引起杆伸缩
1
L1 1，L2
十、能量法(Energy method)
1、应变能与余能
（1）应变能
F
F
F1
L
o
等直杆拉伸，非弹性变形情况下
应变能
1
Vε W Fd
0
应变能密度
vε
Vε AL
1
d
0
功
1
一般应力状态下，应变能密度
(ε1 ,γ1 )
vε ( xd x yd y zd z xyd xy xzd xz yzd yz )
满足约束条件 作为虚位移(I、、、、)
卸去所有实际外力，在某处某方向虚加一个外力，
其大小为一个单位——单位力（广义力）
内力—— M、Fs、T 、FN
虚位移原理
1 (Md Fsd Td FNd )
L
——可得任意虚加单位力相应的位移
单位力法
线弹性情况下，相应于内力的位移
d Mdx
EI
d s Fsdx
F
B
A
解：杆AB，M Fx
C
杆BC，M Fa，FN F
应变能 V
a F 2 x 2 dx 0 2EI
2a F 2a 2 dx 0 2EI
2a F 2 dx 0 2EA
位移
Ay
V F
7Fa 3 3EI
2Fa EA
思考：在D处也作用有水平力F， B
F A
V ? F
F D
如何求A或D处的位移？ C
L
M dx FL2 （顺时针）
EI
2EI
思考：两个单位力能否同时加，一次得到两
个位移？相对位移单位力如何加？
（如前例10-6）
思考：P84- 3-6，7，8，9，习题3-19，21，22*
练习：P90- 习题3-17（b），18（c）
4. 超静定结构
判断结构超静定，确定超静定次数 解超静定问题的基本思想——将超静定转化为静定
——虚设外力法
例10-3. 题同例10-2，求铰B的水平与铅直位移。
A
F
B B
解：由铰B平衡，得两杆内力 C
FAB F(拉)，FBC 2F(压)
应变能 V
Fi2 Li L (F 2 2 2F 2 ) 2EA 2EA
铅直位移
2
V F
(1 2
2) FL EA
水平位移
1
V Ft
0？
虚设力法：假定铰B还受水平向右的力Ft作用
例10-6 试分析下列结构的位移
A
BF
AB
B
V F
F A
B
F
AB
V F
或 V ？ (2F )
F1 A
F2 B
AB
V F1
或 V F2
或？
q AB
C B ?
虚加一对力偶MB
B
MB
B
V M B
M B 0
思考：P83- 3-1，2，3，4，习题3-8（c），9，14
练习：P86- 习题3-7（c），8（a）,15
内力虚功 dWi dWe (Md~ Fsd~) 一般情况下 dWi (Md~ Fsd~ Td~ FNd~)
杆内力的总虚功
Wi (Md~ Fsd~ Td~ FNd~)
L
Fi~i (Md~ Fsd~ Td~ FNd~)
L
适用非线弹性情况
虚位移原理
（2）单位力法
小变形假设下，结构因实际外力作用而产生的位移，
E3 A3
0
——补充方程
解得
FN 3
FD
1
F
2EAcos3
E3 A3
FN1 FN 2
F
2 cos
E3 A3
EAcos2
例10-1构0 架，各杆弹性模量均为E，横截面积 A1＝2A，A2=3A，A3＝4A，铰A受力F。 试求各杆应力（AD=L, ＝30, 60）
C2
B 1
3
D
A
F
解：一次超静定
0
线弹性情况
vε
1 2
(
x
x
y y
zz
xy
xy
xz
xz
yz
yz )
应变能
Vε vεdV
V
线弹性、小变形情况下，杆件的应变能
拉伸与压缩
V
L
FN2 dx 2EA
扭转
V
L
T 2 dx 2GIp
弯曲
V
L
M 2 dx 2EI
横力弯曲时的剪切应变能一般较小，可略去
组合变形 V Vtc Vt Vb
（注意：内力正负规定应一致）
单位力法
M
FL3
wB
M
L
EI
dx
3EI
M M dx
M 2 F dx
L F EI
L 2EI
V F
注：线弹性、小变形条件下，单位力法得到的 位移等于卡氏第二定理的结果，但两者的 概念与方法有所区别。
（2）转角
1
加单位力偶，相应内力
A
B
M 1
单位力法
B
M
基本静定系——解除铰D约束，加反力FD
变形相容 D 0
FD D
由平衡得
FN 3 FD，FN 2
2 3
FD，FN1
1 3 FD F
应变能
V
L
FD2
2EA 4
4 3
FD2
3
2 3
FD 3
F
2
2
1 3
卡氏定理
D
V FD
27 38 54
3
FD
1 3
F
——补充方程
解得
FD
63 38 9
练习： P85- 习题3-3（d）
补充：（II册） （斜弯曲）思考： P23-
1-1，2，3，4，5， 习题1-3，5 练习： P24- 习题1-4，7
（应变电测）思考： P1325-1，2，4，5 习题5-3，4，5
练习： P133- 习题5-2，6
2. 卡氏定理
卡斯蒂利亚诺(Castigliano)——力、位移与应变能导数关系
2 2
1
引起杆伸缩
2
L1 0，L2
2 2
2
L1 1 ，L2
2 2
(1
2
)
应变能 V
EAL2i 2Li
EA 2L
21
2
1 2
(1
2
)2
卡氏第一定理
0
V 1
EA 2L
21
2 2
1
2 2
2
F
V 2
EA 2L
2 2 1
2 2
2
解得
1
FL， EA
2
(1 2
2) FL EA
（2）余能定理与卡氏第二定理
M2
1 2
Fa
1 2
F sin 30 x
F1 sin 60 x
V
L
M
2
dx
0 2EI
挠度
wB
V F
L Fx 2 dx FL3
0 EI
3EI
虚加力偶MB于B端
M Fx M B，V
L (Fx M B )2 dx 0 2EI
转角
B
V M B
M B 0
L Fx
FL2
dx
0 EI
2EI
例10-5. 平面刚架，AB＝a，BC＝2a，弯曲刚度为EI， 拉压刚度EA，不计剪切影响。试求A端铅直位移。
3. 虚位移原理与单位力法
（1）虚位移原理
变形体：约束—支座约束、变形的几何相容
虚位移——满足约束条件的微小的位移
平衡条件等价于 We Wi 0
杆外力的总虚功
We Fi~i
F1 F2 Fn
A
B
1 2
n
截取微段
平衡
M
M+dM d
d
dWe dWi 0
2
2
外力虚功
Fs dx
Fs+dFs
dWe Md~ Fsd~
q
x
A w
B
y
解：线弹性、小变形条件下，弯矩 M 1 qLx 1 qx2
应变能
V
M 2 dx q2 L5
L 2EI
240EI
2
2
挠度 w q (L3 x 2Lx3 x4 )
24EI
外力功 W qdx w q2 L5
L
2 240EI
V W
思考：若计算梁弯曲的剪切应变能，功能相等 关系是否仍成立。