浙江大学 材料力学课件10-能量法(新)
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演示课件材料力学能量法.ppt
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14
先加F1后加F2 F1
F2
先加F2后加F1 F1
F2
不同加载次序外力功均相同，若按比例同时加载， 外力同时达到最终值，即比例加载，外力功不变。
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15
三、克拉贝依隆（Clapeyron)原理 线弹性体上，作用有载荷F1,F2 , … Fi, … Fn 与外力方向相应的位移为D1, D2, … Di, … Dn 由线弹性体的叠加原理，各位移是载荷的线性函数
……
Di*= di1F1 * +di2 F2 * + … +diiFi * … +dinFn *= lDi
……
注意：带星号上标的载荷和位移都是中间值，所 以是变数，随着l的变化而变化。
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18
Ve
W
n i 1
1 2
Fi Di
线弹性体的外力功或变形能等于每一外力与其 对应位移乘积之半的总和。
20
组合变形
M
据Clapeyron原理，
微段dx上
dVe
dW
1 2
FNd (Dl )
1 Mdq
2
1 Tdj
2
FN2dx M 2dx T 2dx
dx
2EA 2EI 2GIP
整个杆件的应变能为
Ve
FN2
(
x
)
dx
l 2EA
M2 (x)
dx l 2EI
T2 (x)
dx l 2GIP
T
FN
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9
已知：EI = 常数，用功能原理
F
计算A点的挠度。
A
B
解：①建立坐标系
wA
第十章 能量法 材料力学课件
§10.2 杆件变形能计算
一. 杆件基本变形的变形能 U=W
F
F
线弹性 U W 1F
2
特殊情况
F
F UW1Fl FN2l
2
2EA
Me
Me UW12Me2M Gx2Ilp
Me 广义表达式
Me UW12Me2M E2lI
UW
1F
2
内力2
2刚度
l
注意：当内力或刚度发生变化时要用
积分或分段计算
(内力)2(x)
必须强调 U W 1F 只适用于线弹性结构 2
面积= 1 底高 2
对非线性材料 U=W=曲线下的面积
可利用积分计算
U uW 0d0Fd
未作特殊说明,均假定材料在 线弹性范围内
F
F
例10.2 已知d F E G
解
求 fc=? 1 U W 2Ffc
2U
A
2a
F
C
a
B
fc F
UUCBUBA
aM 1 2(x)d x2aM 2 2(x)d x2aM x2(x)d
l M x M x dx tan l xM x dx
tan x c
M c
Mx
C•
x
Mx
l
M
lMxMxdx
tanxM(x)dx
l
tanxc
M
x xc
.c
dx
x
M M ( x) M c xc l
lM xE M Ixdx E M cI
lM xE M Ixdx E M cI
若需要分段,则: i Mci
M(x) ql x qx2(0 x l) 22
A1
。。。
大学材料力学下能量方法教学课件
对未来研究的展望
随着科学技术的发展，材料力学中的问题越来越 复杂，需要更深入的研究。
在实际应用中，应结合数值计算方法和实验研究 ，进一步提高能量方法的实用性和可靠性。
未来研究可进一步探索能量方法的理论基础，完 善其应用范围和精度，以满足更广泛的工程需求 。
此外，可开展跨学科的研究，将能量方法与其他 分析方法相结合，以解决更复杂的工程问题。同 时，应注重培养具有创新思维和实践能力的人才 ，为未来的科学研究和技术发展做出贡献。
断裂能与裂纹扩展的能量关系：在断裂力学中，我们通 常将断裂能作为描述裂纹扩展的能量关系的主要参数。 断裂能是裂纹扩展单位面积所需的能量。
能量法在断裂力学中的应用实例
韧性材料的疲劳裂纹扩展：对于韧性材料，疲劳裂纹的 扩展通常是一个渐进的过程。使用能量法可以研究疲劳 裂纹的扩展规律，并预测结构的剩余寿命。
04
案例分析
悬臂梁的弯曲问题
总结词
悬臂梁弯曲问题是一个经典的材料力学问题，通过能量方法可以更深入地理解其 力学行为。
详细描述
悬臂梁在受到外力作用时会产生弯曲变形，通过应用能量方法，可以计算梁的弯 曲刚度、挠度以及应力分布情况。同时，还可以分析不同材料对梁弯曲的影响。
圆孔附近的应力集中问题
总结词
简化。
输标02入题
能量方法在解决弹性力学、塑性力学和断裂力学等领 域的问题时表现出色，为工程设计和科学研究提供了 有力支持。
01
03
能量方法的应用范围广泛，不仅可用于求解静力问题 ，还可用于分析动力学问题，以及研究材料的屈曲、
振动和稳定性等问题。
04
能量方法的基本原理包括虚功原理、最小势能原理和 哈密顿原理等，这些原理为解决各种材料力学问题提 供了基础。
材料力学--能量法
1、求内力
F
R
A
FA
R
M n
T
t
弯 矩:M () FR sin
扭矩:T () FR(1 cos) 12
2、变形能：
弯 矩:M () FR sin
扭矩:T () FR(1 cos)
U T 2 (x) dx M 2 (x) dx
l 2GI P
l 2EI
U1 U2
U U1 U2 F1 l2 U1 U2 F2 l1
结论：应变能与加载次序无关。
10
[例11-1-1] 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。
F
解：外力功等于应变能
A
C
B
W
1 2
FwC
a
a
U
L
M 2(x) 2EI
dx
利用对称性，得：
M (x)
L 2EA
L 2GIP
L 2EI
注意:应变能是力的二次函数，因此，引起同一 基本变形的一组外力在杆内所产生的应变能，并不等 于各力分别作用时产生的应变能的简单相加。
6
例如： 求图示简支梁的应变能。 解：设F和M同时由零按比 A 例加至终值。
（1）求支反力，列弯矩方程：
x
F
C
l 2
M1(x)
1 2
MFl2 16
M 2l 6
7
U
1 EI
F 2l3 96
MFl2 16
M 2l 6
(a)
A
FM
C
B
变形(a)式得
l
l
F
R
A
FA
R
M n
T
t
弯 矩:M () FR sin
扭矩:T () FR(1 cos) 12
2、变形能：
弯 矩:M () FR sin
扭矩:T () FR(1 cos)
U T 2 (x) dx M 2 (x) dx
l 2GI P
l 2EI
U1 U2
U U1 U2 F1 l2 U1 U2 F2 l1
结论：应变能与加载次序无关。
10
[例11-1-1] 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。
F
解：外力功等于应变能
A
C
B
W
1 2
FwC
a
a
U
L
M 2(x) 2EI
dx
利用对称性，得：
M (x)
L 2EA
L 2GIP
L 2EI
注意:应变能是力的二次函数，因此，引起同一 基本变形的一组外力在杆内所产生的应变能，并不等 于各力分别作用时产生的应变能的简单相加。
6
例如： 求图示简支梁的应变能。 解：设F和M同时由零按比 A 例加至终值。
（1）求支反力，列弯矩方程：
x
F
C
l 2
M1(x)
1 2
MFl2 16
M 2l 6
7
U
1 EI
F 2l3 96
MFl2 16
M 2l 6
(a)
A
FM
C
B
变形(a)式得
l
l
材料力学第10章-能量法
10-4 卡氏定理
（2）先加载dFi ，则力 dFi 在其相应的位移 di上做的功为
1
W1 dFi di
2
F1
再加载F1, F2 ,, Fn ，在相应
的位移 i 上所做的功为
1
n1
W2 i1 2 Fi i V
F2
2
dFi Fi
di
i
n
Fn
原来载荷 dFi 对位移i 上所做的功为
W3 dFi i
F A
F
在位移坐标轴上取了一个微段d ，
该微段对应的外力可视为常力。则常力作
功为
dW Fd k d
B
当外载荷和相应的位移由零缓慢增加 O
d
至F 和 时，在这个过程中外力作功
k 2 F
W kd 0
2
2
SOAB
线弹性范围内，外载荷所做的功等于力与位移乘积的一半。
10-2 外载荷做的功
二、多个力作用下的外力功
量的损失），弹性体内部所贮存的应变能，在数
值上等于外力所作的功，即满足：
V W
l
P
利用功和能的概念来求解可变形固体的位移、变形和内力
等的方法，通称为能量方法。
10-2 外载荷做的功
一、单个力作用下的外力功
材料服从胡克定律，即在线弹性范围内，弹性体在外力
作用下位移 与外载荷F 成正比，即
F k
横力弯曲时，弯矩为x的函数，则横力弯曲时的应变能为
M (x)2 dx dV
2EI
M (x)2 dx
V l 2EI
四、用广义力和广义位移表示的应变能
轴向压力
扭转
弯曲
F l V 2
V M e
材料力学第10章能量法介绍
A
（4）能量守恒：W=U
1 1 67 F 2 FvB 2 2 20 EA
67 F vB 20 EA
1.6m C 1.2m
B
F
U vB F
10.2 卡氏 (Castigliano)定理
10.2.1 卡氏第一定理
卡氏定理
1879年，意大利工程师Alerto Castigliano发表了两个 “内功的积分系数定理”—卡氏定理 建立应变能和外力、位移的关系
第一步：加增量dPn 应变能
1 dPn dn 2
n
第二步：施加外荷载。应变能 U ndPn 该步总能量
U 2total
1 U ndPn dPn dn U ndPn 2
3. 应变能与加载次序无关
U1total U 2total
U U dPn U ndPn Pn U n Pn
例10-2
图示悬臂刚架，已知F、a、EI，求应变能和C点竖直位 移（忽略AB杆段的压缩应变能）。
解：
（1）分段写弯矩函数
B
a
x2
F
x1 C
BA段：
M ( x2 ) Fa
a
A
CB段：
M ( x1 ) Fx1
（2）应变能
2 M 2 dx 2 a ( Fx ) dx a ( Fa) dx 1 1 U 2 l 2 EI 0 0 2EI 2 EI 2 F 2a3 3 EI
10.1 杆件的弹性应变能 10.2 卡氏定理 10.3 冲击应力与冲击韧性
功和能
弹性体在外力作用下产生变形，变形过程中外力所 做的功=外力功W 外力功转化为弹性势能存储于杆件内，该弹性势能= 应变能U（内力的功） 能量守恒： U = W
材料力学( 最新 )能量法
U W
• 10-2
杆件变形能的计算
P P
•轴向拉压 •轴力P与轴向变形成正比 •当轴力N沿轴向为变量时
N 2 ( x)dx dU udV dV Pl 2 2 EA N 2 ( x)dx dU 2 EA N 2 ( x)dx U dU l l 2 EA
' 4
1 1 U b P 3 P4 4 3 2 2
P3
P 4
A
B
1'
' 2
3
4
• 10-4
P 1
互等定理
P 2
A
P3
P 4
B
' 4 4
1
' 1
2
' 2
3
' 3
1 1 1 1 ' U1 P 1 P2 2 P 3 P4 4 P 1' P2 2 1 3 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ' ' U 2 P 1 P2 2 P 3 P4 4 P 3 P4 4 1 3 3 2 2 2 2
U1 U 2
P 1' P2 2' P3 3' P4 4' 1
•功的互等定理
P P P P
' 1 1 ' 2 2 ' 3 3 ' 4 4
•第一组力在第二组力引起的位移上做的功，等 于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功
' 当P2和P4等于零时 P 1' P3 3 1
V wA ε FP
FP2l 3 x 2dx 0 6 EI
l
FP l 3 wA () 3EI
材料力学 第2版 第10章 能量法
例1 已知 d, F, E, G
2a B
A
F
C
U UCB U BA
求 fc=?
解:
U
W
1 2
Ffc
fc
2U F
a
M
2 BC
(x)
d
x
2a
M
2 AB
(x)
d
x
2a
M
2 xAB
(x)
d
x
0 2EI
0 2EI
0 2GI p
15
10.2 杆件变形能计算
U
a
M
2 BC
(x)
d
x
2a
M
2 AB
任意结构 任意截面
任意载荷 任意方向的位移
U=W
（功能原理）
17
10.3 单位载荷法 • 莫尔积分
以平面刚架为例，求任意截面任意方向的位
移（A点沿a-a 方向）
F
aA a
设刚架在F、Me作用下任意截面
A' x的弯矩为M(x)，
Me
变形能
U
M 2(x) 2EI
d
x
18
10.3 单位载荷法 • 莫尔积分
此时变形能为
U
M 2(x) 2EI
d
x
在此变形基础上再加F、Me，
变形能增加了 U
M 2(x) 2EI
d
x
Me ①
F aA
a A' Me ②
20
10.3 单位载荷法 • 莫尔积分
注意，此时单位力1在上作功1·，
aA
F
a A'
a 1A
F
a
Me
材料力学课件10_能量法_浙江大学
F
B
A
F D
C
例10-6. 试分析下列结构的位移
A
B
F
AB
B
V F
F A
F B
AB
V F
或 V ？ (2F )
F1 A
B
F2
AB
V F1
或 V F2
或？
q
AB
q
x
A w
B
y
解：线弹性、小变形条件下，弯矩 M 1 qLx 1 qx2
应变能
V
M 2 dx q2 L5
L 2EI
240EI
2
2
挠度 w q (L3 x 2Lx3 x4 )
24EI
外力功 W qdx w q2 L5
L
2 240EI
V W
思考：若计算梁弯曲的剪切应变能，功能相等 关系是否仍成立。
2 2
1
引起杆伸缩
2
L1 0，L2
2 2
2
L1 1 ，L2
2 2
(1
2
)
应变能 V
EAL2i 2Li
EA 2L
21
2
1 2
(1
2
)2
卡氏第一定理
0
V 1
EA 2L
21
2 2
1
2 2
2
F
V 2
EA 2L
2 2 1
2 2
2
解得
1
FL， EA
2
(1 2
2) FL EA
（2）余能定理与卡氏第二定理
V
L
M
2
dx
0 2EI
挠度
wB
V F
材料力学 第10章 能量法
§10.3 互等定理
1.先在1点作用F1
A 1 1 U1 F1 11 F2 22 F1 12 2 2
F1 1
11 12
2.先在2点作用F2
21 22 F2
F2 2
B
1 外力功： F2 22 2
再在1点作用F1
A
F1 1
12 11
22 21
F2 2
V W
弹性范围内应变能可逆
第十章 能量法
§10.2 弹性应变能的计算
一、线弹性问题的应变能 线弹性体的应变能等于每一外力 与其相应位移乘积的二分之一的总和 即：
1 3
F1 F2
2
F3
1 1 1 U W F1 1 F2 2 F3 3 2 2 2
变形能是外力或位移的二次函数
例1
求图示简支梁的变形能，并求yC
a A F b C B
解： 1.求支反力 2.列弯矩方程
Fb x1 AC段： M x1 l Fa M x x2 CB段： 2 l
RA = Fb l
x1
x1
l
x2
RB = Fa l
例1
求图示简支梁的变形能，并求fC
a A F b C B
解： 1.求支反力 2.列弯矩方程
3. 梁 应变能
Vε W M e d
ε1 0 0
1
应变能密度 vε d 式中， Me为外力偶矩，为弯曲转角，为正应力， 为线应变。 应变能和应变能密度之间的关系为
Vε vε d x d y d z vε dV
V V
式中，V 为体积。
例 题 3-1
Me
材料力学能量法最经典解析PPT课件
能量法——利用定理求变形
极坐标方程是给一 个角度能够确定一 个挠度。因此该问 题是求任意位置角 的径向变形。
注意2个角度φ和θ的意义。 Φ用于表 示力F作用下任意位置上的弯矩。而θ 是用于表示任意位置的挠度，单位力 作用的位置。摩尔积分应该是对Φ积 分。 Φ在0到360度变化。
能量法——利用定理求变形
能量法——其他
超静定——与拉压杆相关
每根杆都沿杆的方 向线变形，后旋转 到变形后的位置。 变形用作垂线代替。
超静定——与拉压杆相关
此处注意CD杆
变形转换后是 BC杆变形的一 半。
超静定——与拉压杆相关
超静定——与拉压杆相关
广义胡克定律的应用。 每一点的应力状态为
p p
超静定——弯扭相关
此题仍然是有两个变 量，x是所求任意截面 的挠度值，而ξ是任意 截面的弯矩值，摩尔 积分是对ξ积分。
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
此类题目重点是分析圆盘 及2根杆的受力情况及变 形情况。
超静定——弯扭相关
该表达式上课过 程中没有出现过， 但是很容易推导 出来。
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
此题目的重点是分析的方法和思路。由弹簧变 形与力和力矩之间的关系找到变形协调方程求 解超静定问题。
能量法——利用力做功求变形
能量法——利用力做功求变形
应力已知，计算应变能从而得到外力 功，最终获得力作用下的变形。
能量法——利用力做功求变形
能量法——利用力做功求变形
能量法——互等定理
该表达式上课过 程中没有出现过， 但是很容易推导 出来。积分求得 挠曲线后可得到 弯矩方程，进而 计算应变能。
材料力学 第10章 能量法
材料力学第10章能量法在材料力学这门学科中，能量法是一种重要的分析方法。
它可以帮助我们计算杆件受力、弯曲、扭转等方面的机械能量，以及计算受力杆件的变形和应力分布等方面的物理能量。
本文将对材料力学第10章中的能量法做一简要介绍和讲解。
第一节：能量法的基本概念能量法的基本概念是物理学中的能量守恒定律。
根据能量守恒定律，能量可以被转化为其他形式，但总能量守恒不变。
在材料力学中，能量法通过分析杆件的受力变形过程，计算机械能、变形能和应变能等不同形式的能量，来求解某些物理量，如杆件的应力、变形等。
第二节：能量法的应用能量法可以应用在杆件的弯曲、扭转、受力等方面。
其中，弯曲问题是最为常见的。
在弯曲分析中，我们需要计算杆件上各点的剪力和弯矩，使用能量法时，我们可以采用双曲线弧长法和曲率半径法来计算。
在扭转分析中，我们需要计算杆件上各点的切向力和扭矩，使用能量法时，我们可采用扭转角度法和扭转能的变化法来计算。
在受力分析中，我们需要计算杆件上各点的应力和应变，使用能量法时，我们可以用弹性能和破裂能来计算杆件的应力和应变等物理量。
第三节：能量法的计算过程在应用能量法进行分析时，需要进行以下步骤：1. 建立受力变形模型：根据杆件的几何形状和受力情况建立受力变形模型，确定受力分布和变形情况。
2. 确定杆件的位移和应变能量：计算杆件受力变形后的弹性能、变形能等物理能量。
3. 利用能量守恒定律：将机械能、弹性能、变形能和应变能等能量之和等于零，根据能量守恒定律和受力变形模型，求解杆件的位移、应力和应变等物理量。
4. 对解得的结果进行有效检验：通过检查应力、应变等物理量的分布情况，对解得的结果进行有效检验。
总而言之，能量法是材料力学分析领域中非常重要的分析方法。
它广泛应用于工程设计、科研和生产实践等领域。
通过掌握能量法的理论基础和实际应用方法，可以有效地分析和解决杆件受力、弯曲、扭转等方面的技术问题，推动材料力学学科的发展进步。
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十、能量法(Energy method)
1、应变能与余能
（1）应变能
F
F
F1
L
o
等直杆拉伸，非弹性变形情况下
应变能
1
Vε W Fd
0
应变能密度
vε
Vε AL
1
d
0
功
1
一般应力状态下，应变能密度
(ε1 ,γ1 )
vε ( xd x yd y zd z xyd xy xzd xz yzd yz )
——虚设外力法
例10-3. 题同例10-2，求铰B的水平与铅直位移。
A
F
B B
解：由铰B平衡，得两杆内力 C
FAB F(拉)，FBC 2F(压)
应变能 V
Fi2 Li L (F 2 2 2F 2 ) 2EA 2EA
铅直位移
2
V F
(1 2
2) FL EA
水平位移
1
V Ft
0？
虚设力法：假定铰B还受水平向右的力Ft作用
例10-6 试分析下列结构的位移
A
BF
AB
B
V F
F A
B
F
AB
V F
或 V ？ (2F )
F1 A
F2 B
AB
V F1
或 V F2
或？
q AB
C B ?
虚加一对力偶MB
B
MB
B
V M B
M B 0
思考：P83- 3-1，2，3，4，习题3-8（c），9，14
练习：P86- 习题3-7（c），8（a）,15
F
C
A
D
B
F
解：二次超静定
基本静定系——解除铰D约束， 加反力F1，F2，F3，F4
铰D平衡：
F2 F4
F3 F1，F2 F4 F
F1
F3
D
结构对称性
F2
F4
F 2
一次超静定
F2 F4
F1 D
F3
F
D
变形相容 Dy 0 ——对称性已用
Dx 0
F1
F1
F 2
左半弯矩
1 M1 2 Fx
GA
d Tdx
GI p
d FNdx
EA
单位力法的表达式
1
(M
L
M EI
Fs
s Fs
GA
T
T GI p
FN
FN )dx EA
同一根杆的轴力和剪力所作功与弯矩所作功相比
一般较小，其中相应项可略去
思考：线弹性、小变形假设下，单位力法表达式
与卡氏第二定理表达式的关系
例10-7题同例10-3，求铰B的水平与铅直位移。 解：实际外力F相应的杆内力
（1）卡氏第一定理
应变能与功取决于荷载的最终值及相应的位移
——假定各力同时按比例加载至最终值
外力的功
i
W Fidi
0
应变能
F1 F2 Fn
A
B
1 2
n
i
V
Fidi V (i )
0
假设仅第i个位移有微小增量di，则应变能的变化
dV
V
i
di
外力功的变化 dW Fidi
外力功等值于应变能
由铰B平衡，得 FAB F，FBC 2F
（1）水平位移
去掉原外力，加水平单位力 A
B
1
相应内力 FAB 1，FBC 0
单位力法表达式
C
Bx
FN
L
FN dx EA
L EA
(
FAB
FAB
FL () EA
2FBC FBC )
（2）铅直位移
加铅直单位力，相应内力
1
FAB
1
FAB F
同一根杆的拉压应变能与弯曲应变能相比一般也较小
思考：组合变形杆应变能的叠加法
（2）余能
F 余功
F
F1
L
o
等直杆拉伸，非弹性变形情况下
1
余功
F1
Wc dF
余能
余能密度
0
vc
Vc AL
1
d
0
F1
Vc Wc dF
0
一般应力状态下，余能密度
(σ1 ,τ1 )
vc ( xd x yd y zd z xyd xy xzd xz yzd yz )
2 2
1
引起杆伸缩
2
L1 0，L2
2 2
2
L1 1 ，L2
2 2
(1
2
)
应变能 V
EAL2i 2Li
EA 2L
21
2
1 2
(1
2
)2
卡氏第一定理
0
V 1
EA 2L
21
2 2
1
2 2
2
F
V 2
EA 2L
2 2 1
2 2
2
解得
1
FL， EA
2
(1 2
2) FL EA
（2）余能定理与卡氏第二定理
解静定问题的方法：
选取基本静定系，适当解除约束，增加相应的 约束反力
建立相应约束处的变形协调关系，并用外力与 解除约束的反力表示，得到补充方程
再结合基本静定系的平衡方程，可求得该约束 反力，从而将超静定问题转化为静定问题求解
进一步可计算内力、应力、变形及强度、刚 度、稳定性等
用能量法解超静定问题的特点：
由铰B平衡，得 FAB F Ft，FBC 2F
应变能
V
L 2EA
(F Ft )2
2F 2
1 (Ft
)
V Ft
L
(F EA
Ft )
实际上，Ft 0 水平位移
1
FL EA
注：变形在弹性范围内
例10-4. 试求悬臂梁自由端的挠度与转角。
F
EI , L
MB
A
B
解：弯矩 M Fx
，
应变能
（注意：内力正负规定应一致）
单位力法
M
FL3
wB
M
L
EI
dx
3EI
M M dx
M 2 F dx
L F EI
L 2EI
V F
注：线弹性、小变形条件下，单位力法得到的 位移等于卡氏第二定理的结果，但两者的 概念与方法有所区别。
（2）转角
1
加单位力偶，相应内力
A
B
M 1
单位力法
B
M
M2
1 2
Fa
1 2
F sin 30 x
F1 sin 60 x
假定各力同时按比例加载至最终值
外力的余功
Fi
Wc
idFi
0
F1 F2 Fn
A
B
余能
Fi
Vc idFi Vc (Fi )
1 2
n
0
假设仅第i个外力有微小增量dFi，则余能的变化
dVc
Vc Fi
dFi
外力余功的变化 dWc idFi
外力余功等值于余能 dWc dVc
i
Vc Fi
余能定理
q
x
A w
B
y
解：线弹性、小变形条件下，弯矩 M 1 qLx 1 qx2
应变能
V
M 2 dx q2 L5
L 2EI
240EI
2
2
挠度 w q (L3 x 2Lx3 x4 )
24EI
外力功 W qdx w q2 L5
L
2 240EI
V W
思考：若计算梁弯曲的剪切应变能，功能相等 关系是否仍成立。
E3 A3
0
——补充方程
解得
FN 3
FD
1
F
2EAcos3
E3 A3
FN1 FN 2
F
2 cos
E3 A3
EAcos2
例10-1构0 架，各杆弹性模量均为E，横截面积 A1＝2A，A2=3A，A3＝4A，铰A受力F。 试求各杆应力（AD=L, ＝30, 60）
C2
B 1
3
D
A
F
解：一次超静定
内力虚功 dWi dWe (Md~ Fsd~) 一般情况下 dWi (Md~ Fsd~ Td~ FNd~)
杆内力的总虚功
Wi (Md~ Fsd~ Td~ FNd~)
L
Fi~i (Md~ Fsd~ Td~ FNd~)
L
适用非线弹性情况
虚位移原理
（2）单位力法
小变形假设下，结构因实际外力作用而产生的位移，
3. 虚位移原理与单位力法
（1）虚位移原理
变形体：约束—支座约束、变形的几何相容
虚位移——满足约束条件的微小的位移
平衡条件等价于 We Wi 0
杆外力的总虚功
We Fi~i
F1 F2 Fn
A
B
1 2
n
截取微段
平衡
M
M+dM d
d
dWe dWi 0
2
2
外力虚功
Fs dx
Fs+dFs
dWe Md~ Fsd~
F
B
A
解：杆AB，M Fx
C
杆BC，M Fa，FN F
应变能 V
a F 2 x 2 dx 0 2EI
2a F 2a 2 dx 0 2EI
2a F 2 dx 0 2EA
位移
Ay
V F
7Fa 3 3EI
2Fa EA
思考：在D处也作用有水平力F， B
1、应变能与余能
（1）应变能
F
F
F1
L
o
等直杆拉伸，非弹性变形情况下
应变能
1
Vε W Fd
0
应变能密度
vε
Vε AL
1
d
0
功
1
一般应力状态下，应变能密度
(ε1 ,γ1 )
vε ( xd x yd y zd z xyd xy xzd xz yzd yz )
——虚设外力法
例10-3. 题同例10-2，求铰B的水平与铅直位移。
A
F
B B
解：由铰B平衡，得两杆内力 C
FAB F(拉)，FBC 2F(压)
应变能 V
Fi2 Li L (F 2 2 2F 2 ) 2EA 2EA
铅直位移
2
V F
(1 2
2) FL EA
水平位移
1
V Ft
0？
虚设力法：假定铰B还受水平向右的力Ft作用
例10-6 试分析下列结构的位移
A
BF
AB
B
V F
F A
B
F
AB
V F
或 V ？ (2F )
F1 A
F2 B
AB
V F1
或 V F2
或？
q AB
C B ?
虚加一对力偶MB
B
MB
B
V M B
M B 0
思考：P83- 3-1，2，3，4，习题3-8（c），9，14
练习：P86- 习题3-7（c），8（a）,15
F
C
A
D
B
F
解：二次超静定
基本静定系——解除铰D约束， 加反力F1，F2，F3，F4
铰D平衡：
F2 F4
F3 F1，F2 F4 F
F1
F3
D
结构对称性
F2
F4
F 2
一次超静定
F2 F4
F1 D
F3
F
D
变形相容 Dy 0 ——对称性已用
Dx 0
F1
F1
F 2
左半弯矩
1 M1 2 Fx
GA
d Tdx
GI p
d FNdx
EA
单位力法的表达式
1
(M
L
M EI
Fs
s Fs
GA
T
T GI p
FN
FN )dx EA
同一根杆的轴力和剪力所作功与弯矩所作功相比
一般较小，其中相应项可略去
思考：线弹性、小变形假设下，单位力法表达式
与卡氏第二定理表达式的关系
例10-7题同例10-3，求铰B的水平与铅直位移。 解：实际外力F相应的杆内力
（1）卡氏第一定理
应变能与功取决于荷载的最终值及相应的位移
——假定各力同时按比例加载至最终值
外力的功
i
W Fidi
0
应变能
F1 F2 Fn
A
B
1 2
n
i
V
Fidi V (i )
0
假设仅第i个位移有微小增量di，则应变能的变化
dV
V
i
di
外力功的变化 dW Fidi
外力功等值于应变能
由铰B平衡，得 FAB F，FBC 2F
（1）水平位移
去掉原外力，加水平单位力 A
B
1
相应内力 FAB 1，FBC 0
单位力法表达式
C
Bx
FN
L
FN dx EA
L EA
(
FAB
FAB
FL () EA
2FBC FBC )
（2）铅直位移
加铅直单位力，相应内力
1
FAB
1
FAB F
同一根杆的拉压应变能与弯曲应变能相比一般也较小
思考：组合变形杆应变能的叠加法
（2）余能
F 余功
F
F1
L
o
等直杆拉伸，非弹性变形情况下
1
余功
F1
Wc dF
余能
余能密度
0
vc
Vc AL
1
d
0
F1
Vc Wc dF
0
一般应力状态下，余能密度
(σ1 ,τ1 )
vc ( xd x yd y zd z xyd xy xzd xz yzd yz )
2 2
1
引起杆伸缩
2
L1 0，L2
2 2
2
L1 1 ，L2
2 2
(1
2
)
应变能 V
EAL2i 2Li
EA 2L
21
2
1 2
(1
2
)2
卡氏第一定理
0
V 1
EA 2L
21
2 2
1
2 2
2
F
V 2
EA 2L
2 2 1
2 2
2
解得
1
FL， EA
2
(1 2
2) FL EA
（2）余能定理与卡氏第二定理
解静定问题的方法：
选取基本静定系，适当解除约束，增加相应的 约束反力
建立相应约束处的变形协调关系，并用外力与 解除约束的反力表示，得到补充方程
再结合基本静定系的平衡方程，可求得该约束 反力，从而将超静定问题转化为静定问题求解
进一步可计算内力、应力、变形及强度、刚 度、稳定性等
用能量法解超静定问题的特点：
由铰B平衡，得 FAB F Ft，FBC 2F
应变能
V
L 2EA
(F Ft )2
2F 2
1 (Ft
)
V Ft
L
(F EA
Ft )
实际上，Ft 0 水平位移
1
FL EA
注：变形在弹性范围内
例10-4. 试求悬臂梁自由端的挠度与转角。
F
EI , L
MB
A
B
解：弯矩 M Fx
，
应变能
（注意：内力正负规定应一致）
单位力法
M
FL3
wB
M
L
EI
dx
3EI
M M dx
M 2 F dx
L F EI
L 2EI
V F
注：线弹性、小变形条件下，单位力法得到的 位移等于卡氏第二定理的结果，但两者的 概念与方法有所区别。
（2）转角
1
加单位力偶，相应内力
A
B
M 1
单位力法
B
M
M2
1 2
Fa
1 2
F sin 30 x
F1 sin 60 x
假定各力同时按比例加载至最终值
外力的余功
Fi
Wc
idFi
0
F1 F2 Fn
A
B
余能
Fi
Vc idFi Vc (Fi )
1 2
n
0
假设仅第i个外力有微小增量dFi，则余能的变化
dVc
Vc Fi
dFi
外力余功的变化 dWc idFi
外力余功等值于余能 dWc dVc
i
Vc Fi
余能定理
q
x
A w
B
y
解：线弹性、小变形条件下，弯矩 M 1 qLx 1 qx2
应变能
V
M 2 dx q2 L5
L 2EI
240EI
2
2
挠度 w q (L3 x 2Lx3 x4 )
24EI
外力功 W qdx w q2 L5
L
2 240EI
V W
思考：若计算梁弯曲的剪切应变能，功能相等 关系是否仍成立。
E3 A3
0
——补充方程
解得
FN 3
FD
1
F
2EAcos3
E3 A3
FN1 FN 2
F
2 cos
E3 A3
EAcos2
例10-1构0 架，各杆弹性模量均为E，横截面积 A1＝2A，A2=3A，A3＝4A，铰A受力F。 试求各杆应力（AD=L, ＝30, 60）
C2
B 1
3
D
A
F
解：一次超静定
内力虚功 dWi dWe (Md~ Fsd~) 一般情况下 dWi (Md~ Fsd~ Td~ FNd~)
杆内力的总虚功
Wi (Md~ Fsd~ Td~ FNd~)
L
Fi~i (Md~ Fsd~ Td~ FNd~)
L
适用非线弹性情况
虚位移原理
（2）单位力法
小变形假设下，结构因实际外力作用而产生的位移，
3. 虚位移原理与单位力法
（1）虚位移原理
变形体：约束—支座约束、变形的几何相容
虚位移——满足约束条件的微小的位移
平衡条件等价于 We Wi 0
杆外力的总虚功
We Fi~i
F1 F2 Fn
A
B
1 2
n
截取微段
平衡
M
M+dM d
d
dWe dWi 0
2
2
外力虚功
Fs dx
Fs+dFs
dWe Md~ Fsd~
F
B
A
解：杆AB，M Fx
C
杆BC，M Fa，FN F
应变能 V
a F 2 x 2 dx 0 2EI
2a F 2a 2 dx 0 2EI
2a F 2 dx 0 2EA
位移
Ay
V F
7Fa 3 3EI
2Fa EA
思考：在D处也作用有水平力F， B