空间直角坐标系课件讲义北师大版

z
C
M
M
z
O
M
y
y By
O
y
x
x
空间直角坐标系中点的坐标的确定方法
设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P、 Q和R．
设点P、Q和R在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别是 x，y和z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组 （x，y，z）． z
z
3
7O
x
2 1
6y 5
思考3:如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1 中，以点D为坐标原点建立空间直角
坐标系，那么x轴、y轴、z轴应如何
选取？
z
D1
A1 D
C1 B1
C
y
A
B
x
知识探究（二）空间直角坐标系中点的坐标
思考1:在平面直角坐标系中，点M的 横坐标、纵坐标的含义如何？
y (x,y)
|x|
z
M(x,y,z)
O
y
x
N(x,-y,-z)
点M(x,y,z)是空间直角坐标系中的一点，则有
• （1）与M点关于X轴对称的点为 (x,-y,-z) • （2）与M点关于Y轴对称的点为 (-x,y,-z) • （3）与M点关于Z轴对称的点为 (-x,-y,z) • （4）与M点关于原点对称的点为 (-x,-y,-z) • （5）与M点关于xoy平面对称的点为 (x,y,-z) • （6）与M点关于yoz平面对称的点为 (-x,y,z) • （7）与M点关于xoz平面对称的点为 (x,-y,z)
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空间直角坐标系课件 北师大版
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:如何确定空中飞行的飞机的置？
怎样确切的表示室内灯泡的位置？
对问题1,2的分析
对于直线上的点，我们可以通过建立数轴来 确定点的位置；
对于平面上的点，我们可以通过建立平面直 角坐标系来确定点的位置；
对于空间中的点，我们也希望建立适当的坐 标系来确定点的位置.
因此，如何在空间中建立坐标系，就成为我 们需要研究的课题.
数轴Ox上的点M，可用与它对应的实数x表示；
M
O
x
x
直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数(x，y)表
示．
y
y A (x,y)
Ox
x
知识探究（一）：空间直角坐标系
归纳:数轴上的点M的坐标用一个实
数x表示，它是一维坐标；平面上的
点M的坐标用一对有序实数（x，y）
表示，它是二维坐标.设想：对于空
间中的点M的坐标，需要几个实数表
示？
(x,y) y
Ox x
O
x
联想并思考1:平面直角坐标系是由 两条互相垂直的数轴组成，请大家 想一想：怎样建立一个空间直角坐 标系？空间直角坐标系由几条数轴 组成呢？其相对位置关系如何？
三条交于一点且两 两互相垂直的数轴
空间直角坐标系的建立：在空间中，过任意的一 点O作三条两两互相垂直的具有相同长度单位的数 轴：x轴、y轴、z轴，组成空间直角坐标系O-xyz， (如下图所示）其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、 z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐 标平面，并分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面.
z
B(0,b,c)
C(a,0,c)
C
B M
O
y
A
x
A(a,b,0)
思考2:x轴、y轴、z轴上的点的坐标 有何特点？xOy平面、yOz平面、xOz 平面上的点的坐标有何特点？
x轴上的点:(x,0,0) z
O
y
x
xOy平面上的点:(x,y,0)
一、坐标轴上的点
z
C
F
O A x
E
M B
D
x轴上的点纵坐标竖坐为0. 例如：A点坐标记为A(a,0,0) y轴上的点横坐标竖坐标为0. 例如：B点坐标记为B(0,b,0)
y z轴上的点横坐标纵坐标为0. 例如：C点坐标记为C(0,0,c)
二、坐标平面内的点
xoy平面上的点竖坐标为0 例如：D点坐标记为D(a,b,0)
yoz平面上的点横坐标为0 例如：E点坐标记为E(0,b,c)
xoz平面上的点纵坐标为0 例如：F点坐标记为F(a,0,c)
思考3:在空间直角坐标系中，在每个卦限内点的 横，纵，竖坐标的符号分别具有怎样的特点？
z
z
O
y
x
O
y
x
思考2:在空间直角坐标系Oxyz中， 三个坐标平面的位置关系如何？它们 将空间分成几个部分？
在空间直角坐标系
中，三个坐标平面的位 置关系是两两互相垂直， 它们把空间分成8部分，4 我们把每一部分分别叫 做
第1卦限，第2卦限， 第3卦限，第4卦限，
8
第5卦限，第6卦限，
第7卦限，第8卦限
R(0,0,3)然后过A,B,C分别作x轴，y轴, z轴的垂面，
则这三个垂面的交点就是点P如图所示：
z
方法二：先画一
R M
个长方体使共顶 点的三条棱长分 别为1,2,3
O
Qy
P
M
x
思考2:设点M的坐标为（a，b，c）过
点M分别作xOy平面、yOz平面、xOz平
面的垂线，那么三个垂足的坐标分别
如何？
R M
O
Q
y
P
M
x
我们把有序实数组（x，y，z）称为点M的空间坐 标，记为M （x，y，z）其中x、y、z分别叫做点 M的横坐标、纵坐标、竖坐标。
z
C
O
Ay
x
点M
M
z xB y
（X，Y，Z）
反过来，对于一个有序实数组（x，y，z），它也唯一 的对应着空间直角坐标系中的点。在x 轴、y 轴和z 轴上 依次取坐标为x，y和z的点P、Q, R
（6）点M (x,y,z)在第6卦 限时，X<0,y>0,z<o，
z
3
4
7O 8x
2 1
6y 5
（7）点M (x,y,z)在第7卦限时， X<0,y<0,z<o， （8）点M (x,y,z)在第8卦限时， X>0,y<0,z<o，
思考3:设点M的坐标为（x，y，z）那 么点M关于x轴、y轴、z轴及原点对称 的点的坐标分别是什么？
ห้องสมุดไป่ตู้
z
3
4
7O 8x
2 1
6y 5
（1）点M (x,y,z)在第1卦 限时，X>0,y>0,z>o，
（2）点M (x,y,z)在第2卦 限时，X<0,y>0,z>o，
（3）点M (x,y,z)在第3卦 限时，X<0,y<0,z>o，
（4）点M (x,y,z)在第4卦 限时，X>0,y<0,z>o，
（5）点M (x,y,z)在第5卦 限时，X>0,y>0,z<o，
分别过P、Q 、 R各作一个平面，分别垂直于x 轴、y
轴和z 轴，
这三个平面的唯一交点就是有序实数组（x，y，z）确定
的点M．
z
R M
O
Q
y
P
M’
x
例如在空间直角坐标系中怎样求点M(1，2，3)的位置呢？
方法一：分析：因为点P在第一卦限，故在x轴上
取点P(1,0,0),在y轴上取点 Q(0,2,0)，在z轴上取点
|y|
O
x
思考:在空间直角坐标系中，怎样描述一点M位 置呢？
在空间直角坐标系中，设点M为空间的一
个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的
平面，垂足为A、B、C. 设点A、B、C在x轴、y
轴、z轴上的坐标分别为x、y、z，那么点M的
位置与有序实数组（x，y，z）是一个什么对
应关系？
z
z
xO A x