空间向量的数量积运算练习题
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课时作业(十五)
[学业水平层次]
一、选择题
1．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②④ 【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确．
【答案】 D
2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．以上都不对
【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝14.
【答案】 D
3．已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连结AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )
A.PC →与BD →
B.DA →与PB →
C.PD →与AB →
D.P A →与CD →
【解析】 用排除法，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，故P A →·CD →
＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，P A ⊥AD ，又P A ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面P AB ，所以AD ⊥PB ，故DA →·PB →＝0，排除B ，同理PD →·AB →＝0，排除C.
【答案】 A
4. 如图3-1-21，已知空间四边形每条边和对角线都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )
图3-1-21
A ．2BA →·AC →
B ．2AD →·DB →
C ．2FG →·AC →
D ．2EF →·CB →
【解析】 2BA →·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；2EF →·CB →＝－12a 2
，故D 错；2FG →·AC →＝AC →2＝a 2，故只有C 正确．
【答案】 C 二、填空题
5．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |＝________. 【解析】 |2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2 ＝4×|a |2＋9×|b |2－12×|a |·|b |·cos 60°＝61， ∴|2a －3b |＝61. 【答案】
61
6．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．
【解析】
由题意知⎩⎨
⎧
(a ＋λb )·
(λa －2b )<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1.
即⎩⎨
⎧
(a ＋λb )·
(λa －2b )<0，(a ＋λb )·(λa －2b )≠－|a ＋λb ||λa －2b |⇒λ2＋2λ－2<0.
∴－1－3<λ<－1＋ 3.
【答案】 (－1－3，－1＋3)
7. 如图3-1-22，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．
图3-1-22
【解析】 不妨设棱长为2，则|AB →1|＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→
， cos 〈AB 1→，BM →
〉＝(BB 1→－BA →)·(BC →＋12BB 1→
)
22×5
＝0－2＋2－022×5
＝0，故
填90°.
【答案】 90° 三、解答题
8．如图3-1-23在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面GBD .
图3-1-23
【证明】 设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →
＝c . 则a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0.
而A 1O →＝A 1A →＋AO →＝A 1A →＋12(AB →＋AD →)＝c ＋1
2(a ＋b )， BD →＝AD →－AB →
＝b －a ，
OG →＝OC →＋CG →＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→＝12(a ＋b )－12c . ∴A 1O →·BD →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a )
＝c ·(b －a )＋1
2(a ＋b )·(b －a ) ＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2) ＝12(|b |2
－|a |2)＝0. ∴A 1O →⊥BD →. ∴A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O →⊥OG →
. ∴A 1O ⊥OG .
又OG ∩BD ＝O 且A 1O ⊄面BDG ， ∴A 1O ⊥面GBD .
9．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点，试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→
；(3)EF →·FC 1→.
【解】 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→
＝c ， 则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.
(1)BC →·ED 1→＝AD →·(EA 1→＋A 1D 1→)