中职数学拓展模块双曲线几何性质(上课)
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椭 圆 方程 a b c关系
x y 2 a2 b
2 2
双曲线
x2 a
2
1 （ a＞ b ＞0）
y2 b
2
1 （ a、b ＞0）
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0)
y
M
c 2 a 2 b 2 (a＞ 0 b＞0)
Y p F2 X
图象
F1
0
F2
X
F1
0
y
图象
F1
0
Y
M
p
F2 X
双曲线的性质
两种标准方程的特点
y
M
M o
y
F2
F1
F2
x
F1
x
y x x y 1 a 0 ， b 0 1 a 0 ， b 0 2 2 a b a 2 b2 ① 方程用“—”号连接。 ② a , b 大小不定。
2 2
2
2
a b 。 如何确定焦点位置？？ 2 ④如果 x 的系数是正的，则焦点在 x 轴上； 2 如果 y 的系数是正的，则焦点在 y 轴上。
2
3
关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
4
5
6
例3求双曲线 9x2 16 y 2 144 的实轴长、虚轴长、 焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程。
例4已知双曲线的一个焦点为（6,0），渐近线 2 5 x, 求双曲线的标准方程。 方程 y= 5
例5已知双曲线的两个顶点坐标为（0，-4），
F2
X
F1
0
范围 对称性 顶点
|x|a,|y|≤b
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
|x| ≥ a，yR
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点 (-a,0) (a,0) 实轴：2a 虚轴：2b e=
c (e1) a
（-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴：2a 短轴：2b
c e= a
B2
. .
B2 A2
2 2 2 2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线
x2 y2 1 ( a 0 b 0) a 2 b2
y x 1 (a 0 ,b 0 ) a b
x a 或 x a， y R
y a 或 y a， x R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（－ a，0），A2（a，0）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，－a），A2（0，a）
c e a
(e 1)
b y x a
c e a
(e 1)
a y x b
椭圆与双曲线的性质比较：
y＝
b x a
结论：
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 2 ( 0) 渐近线方程 2 2 0. a b a b
B2
. .
B2 A2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
x a 或 x a， y R
y a 或 y a， x R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（－ a，0），A2（a，0）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，－a），A2（0，a）
c e a
(e 1)
b y x a
c e a
(e 1)
a y x b
③c
2 2 2
B2
. .
B2 A2
2 2 2 2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
x2 y2 1 ( a 0 b 0) a 2 b2
y x百度文库 1 (a 0 ,b 0 ) a b
( 0＜ e ＜ 1 )
离心率 渐近线
无
y=±
b x a
如何记忆双曲线的渐进线方程？ y
0
x
可以直接由双曲线方程推出渐近线方程？ 双曲线方程
x2 y2 2 0 2 a b
x2 y 2 2 1 (a 0 ,b 0 ) 中，把1改为0，得 2 a b
x y x y ( )( ) 0 a b a b x y x y 0或 0. a b a b
3 （0,4），离心率为 ，求双曲线的标准方程 2
及其渐近线方程。
小结：
知识要点：
x2 y2 b 1. 2 2 1的渐近线是 y＝ x. a b a y2 x2 a 2. 2 2 1的渐近线是 y＝ x. a b b
技法要点：
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 2 ( 0) 渐近线方程 2 2 0. a b a b
x y 2 a2 b
2 2
双曲线
x2 a
2
1 （ a＞ b ＞0）
y2 b
2
1 （ a、b ＞0）
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0)
y
M
c 2 a 2 b 2 (a＞ 0 b＞0)
Y p F2 X
图象
F1
0
F2
X
F1
0
y
图象
F1
0
Y
M
p
F2 X
双曲线的性质
两种标准方程的特点
y
M
M o
y
F2
F1
F2
x
F1
x
y x x y 1 a 0 ， b 0 1 a 0 ， b 0 2 2 a b a 2 b2 ① 方程用“—”号连接。 ② a , b 大小不定。
2 2
2
2
a b 。 如何确定焦点位置？？ 2 ④如果 x 的系数是正的，则焦点在 x 轴上； 2 如果 y 的系数是正的，则焦点在 y 轴上。
2
3
关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
4
5
6
例3求双曲线 9x2 16 y 2 144 的实轴长、虚轴长、 焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程。
例4已知双曲线的一个焦点为（6,0），渐近线 2 5 x, 求双曲线的标准方程。 方程 y= 5
例5已知双曲线的两个顶点坐标为（0，-4），
F2
X
F1
0
范围 对称性 顶点
|x|a,|y|≤b
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
|x| ≥ a，yR
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点 (-a,0) (a,0) 实轴：2a 虚轴：2b e=
c (e1) a
（-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴：2a 短轴：2b
c e= a
B2
. .
B2 A2
2 2 2 2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线
x2 y2 1 ( a 0 b 0) a 2 b2
y x 1 (a 0 ,b 0 ) a b
x a 或 x a， y R
y a 或 y a， x R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（－ a，0），A2（a，0）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，－a），A2（0，a）
c e a
(e 1)
b y x a
c e a
(e 1)
a y x b
椭圆与双曲线的性质比较：
y＝
b x a
结论：
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 2 ( 0) 渐近线方程 2 2 0. a b a b
B2
. .
B2 A2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
x a 或 x a， y R
y a 或 y a， x R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（－ a，0），A2（a，0）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，－a），A2（0，a）
c e a
(e 1)
b y x a
c e a
(e 1)
a y x b
③c
2 2 2
B2
. .
B2 A2
2 2 2 2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
x2 y2 1 ( a 0 b 0) a 2 b2
y x百度文库 1 (a 0 ,b 0 ) a b
( 0＜ e ＜ 1 )
离心率 渐近线
无
y=±
b x a
如何记忆双曲线的渐进线方程？ y
0
x
可以直接由双曲线方程推出渐近线方程？ 双曲线方程
x2 y2 2 0 2 a b
x2 y 2 2 1 (a 0 ,b 0 ) 中，把1改为0，得 2 a b
x y x y ( )( ) 0 a b a b x y x y 0或 0. a b a b
3 （0,4），离心率为 ，求双曲线的标准方程 2
及其渐近线方程。
小结：
知识要点：
x2 y2 b 1. 2 2 1的渐近线是 y＝ x. a b a y2 x2 a 2. 2 2 1的渐近线是 y＝ x. a b b
技法要点：
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 2 ( 0) 渐近线方程 2 2 0. a b a b