中职数学拓展模块双曲线几何性质(上课)
【高教版】中职数学拓展模块：2.2《双曲线》ppt课件(3)
巩 固 知 识 典 型 例 题
解题关键是判断双 曲线的焦点在哪个数 轴．方法是观察标准 方程中含x项与含y项的 系数的符合，如果含x 项（或含y项）的系数 为正数，那么焦点在x 轴（或y轴）上，并且 该项的分母为a2 ．
例2 求下列双曲线的焦点坐标和焦距．
x2 y2 1；（2） y 2 x2 4． （1） 144 25
从实验中发现：笔尖（即
点M）在移动过程中，与两个 定点F1、F2 的距离之差的绝对 值始终保持不变（等于拉链两 边的长度之差）．
M
我们将平面内到两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值为 常数（小于 F1 F2 ）的点的轨迹（或集合）叫做双曲线. 这两
动 脑 思 考 探 索 新 知
个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距． 实验画出的图形就是双曲线．下面我们根据实验的步骤 来研究双曲线的方程． 取过焦点 F1、F2的直线为x轴，线段 F1F2 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如 图，设双曲线的焦距为2c，则 两个焦点 F1、F2 的坐标分别为 （－c，0），（c，0）．
第2章
椭圆、双曲线、抛物线
2.2
双曲线
我们先来做一个实验． 取一条两边长度不等的拉链（如图），将拉链的两边分别 固定在两个定点F1、F2 （拉链两边的长度之差小于 F1、F2的距离）
创 设 情 境 兴 趣 引 入
上，把铅笔尖固定在拉链锁口处，慢慢拉开拉链，使铅笔尖慢 慢移动，画出图形的一部分；再将拉链的两边交换位置分别固 定在 F1、F2 处，用同样的方法 可以画出图形的另一部分．
设M(x，y)为双曲线上的任意一点，M与两个焦点F1、F2 的距离之差的绝对值为2a，则
MF1 MF2 2a，
中职数学拓展模块双曲线几何性质(上课)
2
3
关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
4
5
6
例3求双曲线 9x2 16 y 2 144 的实轴长、虚轴长、 焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程。
例4已知双曲线的一个焦点为（6,0），渐近线 2 5 x, 求双曲线的标准方程。 方程 y= 5
例5已知双曲线的两个顶点坐标为（0，-4），
F2
X
F1
0
范围 对称性 顶点
|x|a,|y|≤b
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
|x| ≥ a，yR
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点 (-a,0) (a,0) 实轴：2a 虚轴：2b e=
c (e1) a
（-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴：2a 短轴：2b
c e= a
x a 或 x a， y R
y a 或 y a， x R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（－ a，0），A2（a，0）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，－a），A2（0，a）
c e a
(e 1)
b y x a
c e a
(e 1)
a y x b
椭圆与双曲线的性质比较：
y＝
b x a
结论：
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 2 ( 0) 渐近线方程 2 2 0. a b a b
B2
. .
B2 A2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
《3.2.2 双曲线的几何性质》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版21拓展模块一
《双曲线的几何性质》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 知识与技能：掌握双曲线的几何性质，包括开口方向、焦点位置、离心率等，能够运用双曲线知识解决相关问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、探究双曲线的几何性质，提高观察、分析和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：培养数学兴趣和探究精神，增强对数学与生活的联系认识。
二、教学重难点1. 教学重点：掌握双曲线的几何性质，如开口方向、焦点位置、离心率等。
2. 教学难点：如何引导学生观察、分析、探究双曲线的几何性质，提高解决问题的能力。
三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、投影仪等教学设备，以及双曲线标准图象。
2. 制作课件：包括双曲线标准图象以及相关问题的示例和解答。
3. 搜集资料：收集与双曲线几何性质相关的实际应用案例，用于课堂讲解和讨论。
四、教学过程：本节课是双曲线的几何性质第一课时，是在学生学习了椭圆性质的基础上进行学习的，学习目的是通过类比学习，培养学生自主学习和探究的能力。
为了达成目标，结合本节课内容，我设计如下五个环节：1. 创设情境，引入课题以刘翔跨栏的视频情境为切入点，请学生回想如何计算位移与时间。
将刘翔百米跨栏比赛的视频进行回顾剪辑，给学生展示赛前与比赛结束的栏杆间距和所用时间，引导学生回忆计算位移的方法。
教师给出实际问题：在离地面3米高处要安装一个灯箱，离地面5米高处再安装一个灯箱，如果要求灯箱与地面距离差不超过2米，问两条灯箱的位置应如何设置？请用数学语言描述这个问题。
学生尝试用学过的知识解决这个问题。
通过类比问题，引入双曲线概念和简单几何性质。
设计意图：以刘翔跨栏视频创设情境，有利于激发学生的学习兴趣和求知欲，让学生体会到数学与体育的关系无处不在，同时也自然地引入课题。
2. 自主学习，合作探究将学生分成小组，结合课件通过多媒体网络自学教材内容，对双曲线的定义及几何性质进行自主探究，解决在自学中遇到的疑难问题。
在此过程中教师巡回指导，帮助学生解决疑难问题。
《3.2.2 双曲线的几何性质》学历案-中职数学高教版21拓展模块一上册
《双曲线的几何性质》学历案（第一课时）一、学习主题本课学习主题为《双曲线的几何性质》。
双曲线是中职数学课程中的重要内容，它不仅在数学本身有着广泛的应用，而且在物理、工程等领域也有着重要的意义。
本课将围绕双曲线的定义、性质、几何图像以及相关计算进行学习。
二、学习目标1. 知识与技能：理解双曲线的定义和标准方程，掌握双曲线的基本几何性质；能利用双曲线的性质解决简单的数学问题。
2. 过程与方法：通过观察双曲线的图像，培养学生利用数形结合的思想理解数学概念的能力；通过解决实际问题，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：通过本课学习，激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养他们认真、严谨的学习态度和良好的学习习惯。
三、评价任务1. 知识评价：通过课堂提问、随堂测验等方式，评价学生对双曲线定义、性质及标准方程的理解程度。
2. 能力评价：通过课堂练习、小组讨论等形式，评价学生利用双曲线知识解决实际问题的能力。
3. 过程评价：通过观察学生在课堂上的表现，评价他们的学习态度和学习习惯，包括参与度、合作能力、探究精神等。
四、学习过程1. 导入新课：通过回顾之前学习的内容（如直线、圆等），引出双曲线的概念，为学习新知做铺垫。
2. 新课学习：首先介绍双曲线的定义和标准方程，然后通过具体例子讲解双曲线的几何性质。
在此过程中，可以结合图像和动画，帮助学生更好地理解双曲线的形状和性质。
3. 课堂练习：布置相关练习题，让学生运用所学知识解决问题。
教师巡视指导，及时解答学生疑问。
4. 小组讨论：分组进行讨论，让学生分享自己的解题思路和方法，互相学习、互相启发。
5. 总结归纳：对本次课的学习内容进行总结归纳，强调重点和难点内容。
五、检测与作业1. 课堂检测：通过课堂小测验或作业的方式，检测学生对双曲线知识的掌握情况。
2. 课后作业：布置相关练习题和思考题，让学生巩固所学知识并拓展思维。
六、学后反思1. 学生反思：引导学生对本次课的学习过程进行反思，总结自己的收获和不足。
中职数学 拓展模块 第2章 椭圆、双曲线和抛物线
(3) x2 y2 1. 95
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长为20，离心率为 3/5 ； （2）a=4，b=1，焦点在y轴上. 3.方程x2+2y2－2x+12y+15=0表示的图形是不是椭圆？如果 是，求出它的对称中心坐标、对称轴方程以及离心率.
9 16 y2 x2 (4) 1; 93 (5) y2 x2 1. 9 16
2.2 双曲线
练一练
2.求下列双曲线的标准方程：
（1）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，顶点为焦点；
8
（2）过点(3,9
5
2)且
c
10 ;
a3
（3）经过点(3,2 7) 和(6 2,7).
2.2 双曲线
2.2.2 双曲线的性质
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第2章 椭圆、双曲线和抛物线
2.2 双曲线
2.2.1 双曲线的定义与标准方程
在画板上选取两定点F1，F2，将拉 链（拉链的两边等长）拉开一段，其中 一边固定在F1处，在另一边上截取一段A F2（并使A F2小于F1，F2之间的距离）， 而后固定在F2处，把笔尖放在拉链口处 （即点M处），于是随着拉链的逐渐打 开或闭拢，笔尖就徐徐画出一条曲线； 同理，将拉链的两边交换位置，可画出 另外一支曲线，如图2-6所示.
可得椭圆的标准方程为 （2-1）
2.1 椭圆
我们把方程（2-1）叫作椭圆的标准方程 .它 表示椭圆的焦点在x轴上，且焦点为F1（-c，0）， F2（c，0），其中c>0，
【语文版】中职数学拓展模块：2.2《双曲线的标准方程和性质》课件(1)
数，可得到另一条曲线.
结论 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常 数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲 线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1
问题 2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差
的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？
答案 若没有绝对值，动点的轨迹就成了双曲线的一支.
本 讲
问题 3 双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差
栏 目
的绝对值为常数 2a,2a<|F1F2|?
开 关
答案 只有当 2a<|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线；当 2a
＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当 2a>|F1F2|时，满足条
数符号决定了焦点所在的坐标轴.当 x2 系数为正时，焦点在 x
轴上；当 y2 系数为正时，焦点在 y 轴上.而与分母的大小无关.
两种形式可统一表示为 mx2＋ny2＝1(mn<0).
本 问题 3 如图，类比椭圆中 a，b，c 的意义，你能在 y 轴上
讲 栏
找一点 B，使|OB|＝b 吗？
目
开
关
答案 以双曲线与 x 轴的交点 A 为圆心，以线 段 OF2 为半径画圆交 y 轴于点 B.
焦点在 y 轴上
本 讲 栏 目
标准 方程
xa22－by22＝1 (a>0，b>0)
ay22－xb22＝1 (a>0，b>0)
开
关
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝ 2c ，c2＝ a2＋b2
《双曲线》中职数学(拓展模块)2.2ppt课件1【人教版】
回顾椭圆的画法：
想想双曲线怎样画？
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板上。
M
M
F1
F2
|MF1|+|MF2|=2a
y M
F1 O F2
x
F1
F2
|MF2|-|MF1|=常数（右边） |MF1|-|MF2|=2a |MF1|-|MF2|=常数}（左边） |MF2|-|MF1|= 2a
即： 2a ＞2c （ a ＞c）
y
M
x
F1
O F2
|MF1|-|MF2|=2a |MF2|-|MF1|= 2a
2.推导双曲线标准
| |MF1|-|MF2| | =2a
或|MF1|-|MF2|=±2a
y
F1 (-c,0) O
M
x F2 (c,0)
2.3-2
由定义可知，双曲线就是集合
P={M||MF1|-|MF2|=2a}.
M F2 (c,0x)
编者语
• 要如何做到上课认真听讲？
•
我们都知道一个人的注意力集中时间是有限的，一节课45分钟如何保持时时刻刻都能认真听讲不走神呢？
•
1、往前坐
•
坐的位置越靠后，注意力就越难集中。老师不会注意到你的事实可以让你不再紧张，放心去做别的事情。坐在后面，视线分散，哪怕你是在看老师，如果有人移动，你的视线就会飘到那个同学的后脑勺上去，也就无法集中注意力。 而且，坐在后面很
x2
y2
a2 c2 a2 1.
由双曲线的定义可知2c>2a， 即c>a所以c2-a2>0.类比椭圆标准方 程的建立过程，
y
M
x F1(0) O F2 (c,0)
人教版中职数学(拓展模块)2.2《双曲线》ppt课件3
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=常数
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=常数 由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 常数
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
双曲线在生活中 ☆.☆
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
则 S△F1MF2＝12r1r2sin 60°＝9 3.
方法感悟
1．对双曲线定义的理解
双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)，不要漏了绝 对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．
解题时，也要注意“绝对值”这一个条件，若去掉定义中的 绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支．
83
为3
.
2. y2-2x2=1的焦点为(0,
6 2
)
、焦距是6 .
3.方程(2+)x2+(1+)y2=1表示双曲线的充要条件 是 -2<<-1 .
练习巩固:
下列方程各表示什么曲线? (1) (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 4
方程表示的曲线是双曲线
(2) (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 5
此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准
方程
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
y
M
M
F2 x
F1 O F2 x
O
b2 1
(a 0，b 0)
问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看 x2 , y2 前的系数，哪一个为
正，则在哪一个轴上
教案教学设计中职数学拓展模块2.2.2双曲线的几何性质
课时教学设计首页（试用）☆补充设计☆教 师 行 为学 生 行 为教学意图*揭示课题2．2 双曲线． *创设情境 兴趣导入我们用于研究椭圆的性质相类似的方法来，根据双曲线的标准方程22221(00)x y a b a b-=>>， 来研究双曲线的性质．了解 观看 课件 思考引导 启发学生得出结果*动脑思考 探索新知1．范围因为220y b ≥，所以由双曲线的标准方程知道，双曲线上的点的横坐标满足221x a≥，即22x a ≥．于是有x ≤－a 或x ≥a ．这说明双曲线位于直线x ＝－a 的左侧与直线x ＝a 的右侧（如图2－11）图2－11 2．对称性在双曲线的标准方程中，将y 换成－y ，方程依然成立．这说明双曲线关于x 轴对称．同理可知，双曲线关于y 轴对称，也关于坐标原点对称．x轴与y 轴都叫做双曲线的对称轴，坐标原点叫做双曲线的对称中心（简称中心）．3.顶点思考引导学生发现解决问题方法图2－12【说明】焦点在y 轴的双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的渐近线方程为ay x b=±． 5．离心率双曲线的焦距与实轴长的比22c ca a=叫做双曲线的离心率，记作e ．即 c e a=．因为0c a >>，所以双曲线的离心率1e >． 由2222211b c a c e a a a-==-=- 可以看到，e 越大，ba 的值越大，即渐近线by x a=±的斜率的绝对值越大，这是双曲线的“张口”就越大（如图2－12）．因此，离心率e 的值可以刻画出双曲线“张口”的大小． 【想一想】等轴双曲线的离心率是多少？*巩固知识 典型例题图2－13【说明】画双曲线的草图时，可以首先确定顶点，再画出双曲线的渐近线，然后根据双曲线与其渐近线逐渐接近的特点画出图形．例 4 已知双曲线的焦点为（6，0），渐近线方程为255y x =±，求双曲线的标准方程．解 由已知条件知双曲线的焦点在y 轴．所以有2236255a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得 254a b ==，． 故所求的双曲线方程为2212016x y -=．【注意】不能由渐近线方程255y x =±直接得到5,25a b ==．想一想为什么？例5 已知双曲线的两个顶点坐标为（0，－4），（0，4）离心率为32，求双曲线的标准方程及其渐近线方程．。
【优质课件】高教版中职数学拓展模块2.2双曲线2优秀课件.ppt
可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3
焦点坐标为（0，-5）、（0，5）
离心率 e c 5 a4
渐进线方程为 y 4 x 3
例2 已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e
5， 4
焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方
程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
解：3焦点为 2 5，0 ，
设所求双曲线方程为 x2 y2 10 m 20
20 m m
能够生在同一个平面。然而我
们又无缘,漫漫长路无交点.为何
看不见,等式成立要条件。难到
正如书上说的,无限接近不能达
到。为何看不见,明月也有阴晴
圆缺,此事古难全,但愿千里共婵
娟。”
4
一、研究双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
的简单几何性质
1、范围
y
x2 a2
≥
1, 即x 2
≥
解：
x2 y2 1
64 36
渐近线方程为y 3 x 4
焦点F1(10,0), F2 (10,0)
思考:一个双曲线的渐近线的方程为:y 3 x ,它的
离心率为 5 或 5 .
4
43
练习
(1) ：x2 8 y2 32 的实轴长8 2虚轴长为___4__ 顶点坐标为 4 2,0 ,焦点坐标为_____6_,_0__
B1
(3)渐近线对双曲线的开口的影响 y b x a
A2
ax
y b x a
双曲线上的点与这两
直线有什么位置关系呢?
5、离心率
《双曲线的标准方程和性质》中职数学拓展模块2.2ppt课件1【语文版】
本 讲 栏 目
解析 椭圆1x62 ＋y92＝1 的焦点在 x 轴上，且 a＝4，b＝3，c＝
开
7，所以焦点为(± 7，0)，顶点为(±4,0).于是双曲线经过点
关
(± 7，0)，焦点为(±4,0)，则 a′＝ 7，c′＝4，所以 b′2
＝9，所以双曲线的标准方程为x72－y92＝1.
研一研·问题探究、课堂更高效
本 讲 栏 目 开
轴，建立平面直角坐标系，设所求双曲线方程的标准形式为 ax22－by22＝1 (a>0，b>0)， ∵a＝25,2c＝|AB|
＝ 1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝50 7，
关 ∴c＝25 7，b2＝c2－a2＝3 750，
故双曲线的标准方程为6x225－3 y7250＝1.
(D )
本 讲 栏 目 开 关
2．2.1 双曲线及其标准方程
【学习要求】
1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程.
本 讲
2.掌握双曲线的标准方程.
栏 目
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.
开 关
【学法指导】
本节课的学习要运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别
中建立双曲线的定义及标准方程.
F1(－4,0)、F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，
∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，
故点 P 的轨迹是双曲线的右支.
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 双曲线的标准方程
问题 1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线
的标准方程？
答案 (1)建系：以直线 F1F2 为 x 轴，F1F2 的中点为原点建立
填一填·知识要点、记下疑难点
中职数学(高教版)拓展模块教学设计：双曲线
【课题】2．2双曲线（二）
【教学目标】
知识目标：
了解双曲线标准方程所表示的双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质．
能力目标：
学生的数学思维能力得到提高．
【教学重点】
双曲线的性质．
【教学难点】
双曲线的渐近线概念的理解．
【教学设计】
双曲线性质的教学，可以与椭圆的性质对比进行，着重指出他们的异同点．例3是双曲线的性质的训练题．利用对称性，作图会简便的多，可以让学生自行练习．例4与例5都是求双曲线方程的训练题．这些题目都属于基础性训练题．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
图2－11
．对称性
在双曲线的标准方程中，将y换成－y，方程依然成立．说明双曲线关于x轴对称．
同理可知，双曲线关于y轴对称，也关于坐标原点对称．
轴都叫做双曲线的对称轴，坐标原点叫做双曲线的
图2－12 【说明】
焦点在y轴的双曲线
22
22
1(0,0)
y x
a b
a b
-=>>的渐近线方程
图2－13
画双曲线的草图时，可以首先确定顶点，再画出双曲线的渐近线，然后根据双曲线与其渐近线逐渐接近的特点画出图
【教师教学后记】。
高教版中职数学(拓展模块)2.2《双曲线》ppt课件2
x
曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长.
-b B1
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.
x2 y2 m(m 0)
(下一页)渐近线
4、渐近线 动画演示点在双曲线上情况
⑴双曲线 x2 a2
y2 b2
1
(a 0, b 0) 的渐近线为 y
y
b a
x
如何记忆双曲线的渐近线方程？
例2
已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e
5 4
，
焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方
程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
解：
x2 y2 1
64 36
渐近线方程为y 3 x 4
焦点F1(10,0), F2 (10,0)
思考:一个双曲线的渐近线的方程为:y 3 x ,它的
注:等轴双曲线 x2 y2 m(m 0)
b B2
的渐近线为 y x
A1
o
(2)利用渐近线可以较准确的画出
双曲线的草图
B1
(3)渐近线对双曲线的开口的影响 y b x a
A2
ax
y b x a
双曲线上的点与这两
直线有什么位置关系呢?
5、离心率
⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e c ,叫做双曲线的离心率.
y2 0 则 4
4
y2
2即 x2
y92
1 4
1
，解得
2
94
18 8
例3：求下列双曲线的标准方程：
（3）与双曲线 x2 y2 1有相同焦点，且过点 3 2，2 ； 16 4
【精选课件】人教版中职数学拓展模块2.2双曲线2课件.ppt
y2 a2
x2 b2
1 a
0, b
0
其范围、对称性、顶点分别是什么？
y
|y|≥a，x∈R
F2
关于x轴、y轴、原点对称.
o
x
F1 顶点（0，±a）
探究（二）:双曲线的渐近线
思考1：函数 y = 1 的图象是什么？它 x
与两坐标轴的位置关系如何？
y 双曲线
O
x
思考2：我们猜想双曲线
x2 a2
的斜率有什么关系？
e
1 (b)2
a
思考2：当离心率e在(1，＋∞)内变化时，
它对双曲线的形状产生什么影响？如何
用三角函数知识y 解释上述思现考象：？双曲线
B2
的离心率刻画
双曲线的什么
A1 o A2 x 几何特征？
b x
0
b
思考9：实轴长与虚轴长相等的双曲
线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的
一般式方程是什么？其渐近线方程
是什么？
一般式:x2－y2＝λ (λ ≠0)
渐近线:y＝±x
探究（三）:双曲线的离心率
双曲线的焦距与实轴长的比
e = c , 叫做双曲线的离心率. a
双曲线的离心率的取值范围是(1, +∞)
思考1：双曲线的离心率与其渐近线
1,
因为c＞a＞0，可令b2＝c2－a2，则双曲
线方程可简化为
x2 a2
y2 b2
1其中a，b，c
两两之间的大小关系如何？
c＞a， c＞b，
a、b大小关系不确定
中心在原点，焦点在x轴上的双曲线 x2
a2
y2 b2
语文版中职数学拓展模块2.2《双曲线的标准方程和性质》教案
双曲线的标准方程及简单的几何性质第一部分双曲线及其标准方程学习目标1、掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导，能根据条件确定双曲线的标准方程。
2、培养的分析能力、归纳能力、推理能力。
3、进一步掌握双曲线的定义及其标准方程的求法，特别是要熟练掌握用定义法、待定系数法求双曲线标准方程的方法。
4、会利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。
5、培养分析能力、归纳能力、推理能力和数学的应用能力。
重点难点重点：双曲线的定义及其标准方程；难点：1、双曲线标准方程的推导；2、利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。
例题分析第一阶梯[例1]已知两定点F1（-5，0）、F2（5，0），求与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于6的点的轨迹方程。
分析：根据双曲线的定义可知，动点的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，又由焦点位置可知，所求的点的轨迹方程是双曲线的标准方程。
解：由题意可知，所求点的轨迹是双曲线，其方程可设为，这里2a=6,2c=10.变题：如将本题条件中的6改为10，其余条件不变，求解本题。
解：由条件可知，所求点的轨迹是两条射线，其方程为y=0(x≤-5或x≥5)注意：在求解轨迹方程的问题时，要注意应用有关曲线的定义去判断所求的点的轨迹是什么曲线，如是已经研究过的曲线，则可用曲线的标准方程去求解。
[例2]分析：分别求出椭圆及双曲线的焦点即可。
证明：易得椭圆的两个焦点为（-4，0）、（4，0），双曲线的两个焦点也为（-4，0）、（4，0）。
[例3]分析迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。
解：在△ABC中，|BC|=10，故项点A的轨迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。
第二阶梯[例4]A、1 C、2解：+|PF2|2-|PF1||PF2|=16，因为∠F1PF2=90°，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=20.所以评注：本题考查双曲线的基础知识以及计算能力和推理能力。
人教版中职数学(拓展模块)：2.2《双曲线》教案设计
双曲线及其标准方程教案段文良教学后记：教务主任签字：2017届高考小题精练（满分42分时间20分钟）姓名：班级：得分：1．下列关于同温同压下的两种气体12C18O和14N2的判断正确的是（）A．体积相等时密度相等B．原子数相等时具有的中子数相等C．体积相等时具有的电子数相等D．质量相等时具有的质子数相等【答案】C考点：考查物质的量的有关计算2．将17．9 g Al、Fe、Cu组成的合金溶于足量的NaOH溶液中，产生气体3．36 L（标准状况）。
另取等质量的合金溶于过量的稀硝酸中，生成6．72 L NO（标准状况），向反应后的溶液中加人过量NaOH溶液，得到沉淀的质量为A．33．2 g B．25．4 g C．22．4 g D．19．6 g【答案】B【解析】试题分析：最终生成的沉淀是氢氧化铁和氢氧化铜，沉淀增加的质量就是和金属阳离子结合的OH－的质量，而结合的OH－的物质的量就是金属失去的电子的物质的量，根据电子的得失守恒可知，金属失去电子的物质的量是(6.72L/22.4L•mol-1)×3mol＝0.9mol，而金属铝失去的电子的物质的量是0.3mol，则金属铝的质量是0.1mol×27g/mol＝2.7g，所以和金属阳离子结合的OH－的质量是0.6mol×17g/mol＝10.2g，则最终沉淀的质量是17.9g－2. 7g＋10.2g＝25.4g，选项B符合题意。
考点：考查化学计算，涉及化学反应原理、原子守恒、电荷守恒及电子守恒等的应用。
3．金属Cu和一定浓度的HNO3反应：生成NO、NO2、N2O4，生成的气体恰好与11.2L O2（标准状况）混合后用水吸收全部转化成浓HNO3，然后与过量的碳在加热时反应，所产生的CO2的量（）A．小于0.5 mol B．等于0.5 mol C．大于0.5molD．无法确定【答案】A【解析】试题分析：后阶段生成NO、NO2、N2O4，生成的气体恰好与11.2L O2（标准状况）混合后用水吸收全部转化成浓HNO3，然后与过量的碳在加热时反应仍生成二氧化氮，相当于一氧化氮和碳失电子给=0.5mol的氧气得电子，利用得失电子守恒，4n（O2）=4n（C）+2n（NO），因为：2n（NO）＞0，所以4n（O2）＞4n（C），即n（C）＜n（O2）=0.5，则产生的CO2的量小于0.5mol，答案选A。
中职拓展模块课件2.2.1 双曲线的定义与标准方程(教学课件)(汪鸿波)
设 c2 a2 b2 b 0
则 b2x2 a2 y2 a2b2
等式两边同除以 a2b2
得：
x焦点在 轴上的双曲线的标准方程
探究二：双曲线的标准方程？
y
焦点在
焦点在
轴上的双曲线的标准方程与 轴上的双曲线的标准方程有何联系？
O
x
探究二：双曲线的标准方程？
x2 y2 1 a2 b2
两边平方得： x c2 y2 x c2 y2 4a2 4a x c2 y2
整理得： cx a2 a x c2 y2
两边平方得： cx a2 2 a2 x c2 a2 y2
整理得： c2 a2 x2 a2 y2 a2 c2 a2
由双曲线的定义得： 0 2a 2c 即 c a 0 从而 c2 a2 0
即A11,0，B 11,0， 故 AB 11 11 22.
y AO
Bx
课堂小结
定义
图形
MF1 MF2 2a 2a F1F2
标准方程 焦点坐标 a，b，c之间的关系
F1 c,0, F2 c,0 F1 0, c, F2 0,c c2 a2 b2
作业
必做作业： 1.动动手：分小组操作拉链实验，体验双曲线的形成过程； 2.登陆“奇偶道”多媒体助学软件系统，完成本节内容对 应的每课一练，并完成课后反思.
模特班同学参加第十六届国际服装节
实验
笔尖轨迹会是一条什么样的曲线？
探究一：双曲线的定义？
演示
双曲线的定义：
平面内到两个定点
的距离之差的绝对值为常数
（小于
）的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点
叫做双曲线的焦点 ；
两个焦点间的距离
叫做 焦距 .
探究二：双曲线的标准方程？
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y＝
b x a
结论：
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 2 ( 0) 渐近线方程 2 2 0. a b a b
B2
. .
B2 A2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
3 （0,4），离心率为 ，求双曲线的标准方程 2
及其渐近线方程。
小结：
知识要点：
x2 y2 b 1. 2 2 1的渐近线是 y＝ x. a b a y2 x2 a 2. 2 2 1的渐近线是 y＝ x. a b b
技法要点：
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 2 ( 0) 渐近线方程 2 2 0. a b a b
B2
. .
B2 A2
2 2 2 2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线
x2 y2 1 ( a 0 b 0) a 2 b2
y x 1 (a 0 ,b 0 ) a b
2
3
关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
4
5
6
例3求双曲线 9x2 16 y 2 144 的实轴长、虚轴长、 焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程。
例4已知双曲线的一个焦点为（6,0），渐近线 2 5 x, 求双曲线的标准方程。 方程 y= 5
例5已知双曲线的两个顶点坐标为（0，-4），
( 0＜ e ＜ 1 )
离心率 渐近线
无
y=±
b x a
如何记忆双曲线的渐进线方程？ y
0
x
可以直接由双曲线方程推出渐近线方程？ 双曲线方程
x2 y2 2 0 2 a b
x2 y 2 2 1 (a 0 ,b 0 ) 中，把1改为0，得 2 a b
x y x y ( )( ) 0 a b a b x y x y 0或 0. a b a b
x a 或 x a， y R
y a 或 y a， x R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（－ a，0），A2（a，0）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，－a），A2（0，a）
c e a
(e 1)
b y x a
c e a
(e 1)
a y x b
x a 或 x a， y R
y a 或 y a， x R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（－ a，0），A2（a，0）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，－a），A2（0，a）
c e a
(e 1)
b y x a
c e a
(e 1)
a y x b
椭圆与双曲线的性质比较：
③c
2 2 2
B2
. .
B2 A2
2 2 2 2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
x2 y2 1 ( a 0 b 0) a 2 b2
y x 1 (a 0 ,b 0 ) a b
双曲线的性质
两种标准方程的特点
y
M
M o
y
F2
F1
F2
x
F1
x
y x x y 1 a 0 ， b 0 1 a 0 ， b 0 2 2 a b a 2 b2 ① 方程用“—”号连接。 ② a , b 大小不定。
2 2
2
2
a b 。 如何确定焦点位置？？ 2 ④如果 x 的系数是正的，则焦点在 x 轴上； 2 如果 y 的系数是正的，则焦点在 y 轴上。
椭 圆 方程 a b c关系
x y 2 a2 b
2 2
双曲线
x2 a
2
1 （ a＞ b ＞0）
y2 b
2
ห้องสมุดไป่ตู้ （ a、b ＞0）
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0)
y
M
c 2 a 2 b 2 (a＞ 0 b＞0)
Y p F2 X
图象
F1
0
F2
X
F1
0
y
图象
F1
0
Y
M
p
F2 X
F2
X
F1
0
范围 对称性 顶点
|x|a,|y|≤b
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
|x| ≥ a，yR
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点 (-a,0) (a,0) 实轴：2a 虚轴：2b e=
c (e1) a
（-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴：2a 短轴：2b
c e= a