湘教版-数学-八年级上册-一次函数的最值问题

一次函数的最值问题

一般地说，一次函数的图象为一条直线，似乎与最值“无缘”，然而，在实际问题中，由于自变量取值范围的限制，其函数图象局限于某一线段或射线，从而存在最值．下面举例说明．

例 1 电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧．经调查，播放甲连续剧平均每集有收视观众20万人次，播放乙连续剧平均每集有收视观众15万人次，公司要求电视台每周共播放7集．

（1）设一周内甲连续剧播x 集，甲、乙两部连续剧的收视观众的人次的总和为y 万人次，求y 关于x 的函数关系式．

（2）已知电视台每周只能为该公司提供不超过300分钟的播放时间，并且播放甲连续剧每集需50分钟，播放乙连续剧每集需35分钟，请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集，才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大，并求出这个最大值．

解：（1）设甲连续剧一周内播x 集，则乙连续剧播(7－x )集

根据题意得：y ＝20x ＋15(7－x )

∴y ＝5x ＋105

（2）50x ＋35(7－x )≤300

解得x ≤323

又y ＝5x ＋105的函数值随着x 的增大而增大．

又∵x 为自然数

当x ＝3时，y 有最大值3×5＋105＝120（万人次）

7－x ＝4

答：电视台每周应播出甲连续剧3集，播放乙连续剧4集，才能使每周收视观众的人次总和最大，这个最大值是120万人次．

例2 某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少?

解：根据题意，可有三种购买方案； 方案一：只买大包装，则需买包数为：48048505

=； 由于不拆包零卖．所以需买10包．所付费用为30×10=300(元) 方案二：只买小包装．则需买包数为：

4801630= 所以需买1 6包，所付费用为1 6×20＝320(元)

方案三：既买大包装．又买小包装，并设买大包装x 包．小包装y 包．所需费用为W 元． 则50304803020x y W x +=⎧⎨=+⎩ 103203

W x =-

+ ∵050480x <<，且x 为正整数， ∴x =9时，最小W =290(元)．

∴购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少．为290元答：购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少为290元．