量子力学基础知识2

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4.41031 m
电子:

px mv 9.11031 kg 3106 m s1 0.01%
2.7 1028 kg m s1
x
h
p x
6.61034 J s 2.7 1028 kg m s1
2.4106 m
§1.1 微 观 粒 子 的 运 动 特 征
结论:宏观粒子的运动不受测不准关系限制,但
测 不 准 原 理
x px h(1.1.3)
考虑二级衍射等,则有
x px h (1.1.4)
§1.1 微 观 粒 子 的 运 动 特 征
海森堡测不准关系式:
测 不
x y
px p y
/ /
2
2
z
pz
/
2
h
2
上式表明:对于微观粒子的坐标描述得愈准确(即
准 坐标不确定量愈小),其动量的描述就愈不准确(即动
态 数,是体系中所有粒子的坐标和时间的函数。

两粒子体系: Ψ = Ψ(x1, y1, z1, x2, y2, z2, t )
平面单色光: Aexp[i2 ( x t)]

将 E h,p h / 代入,得单粒子一维运动波函数:
函 数
Aexp[i
2
h
( xpx
Et )]
(1.2.1)
定态波函数:
测 微观粒子的运动则受测不准关系的限制。


通过本节的学习,我们可以看到微观体系
区别于宏观体系的两个显著特点:

① 量子化

② 波粒二象性
§1.2 量 子 力 学 的 基 本 假 设
假定 I 对于一个微观体系,它的状态和有关情况可 用波函数Ψ(x, y, z, t) 来描述。Ψ(x, y, z, t) 是体系的状态函
= (x, y, z)
§1.2 量 子 力 学 的 基 本 假 设
一般情况下, = f + ig,故有
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* ( f ig) ( f ig) f 2 g2

为书写方便,常写作
(1.2.2)

* 2 2
*· 代表粒子的概率密度(电子云), *·d 为
波 空间某点附近体积元 d 内出现的概率。

是状态的一种数学表示,它能给出体系状态和 关于该状态各种物理量的取值及其变化的信息。

例:
1s
er / a0
a03
,
2 1s
e 2r / a0
a03
§1.2 量 子 力 学 的 基 本 假 设
偶函数和奇函数
偶函数: (x, y, z) = (–x, –y, –z)

物质波的统计解释(Born):

电子运动的波性和宏观的波有相似的地方,即都是实 物或场的某种性质在空间和时间方面周期性的表现。

概率 —— 单个事件在整体事件中发生的机会

电子衍射不是电子间相互作用的结果,而是个别电子
的 本身的波动性所表现的相干效应造成的,是大量彼此独立
波 而又在完全相同的条件下的电子运动或是一个电子在多次
6.6 1034 m

电子对应的 de Broglie 波长为

2
6.6 1034 J s 9.1 1031 kg 106 m s1
7.3 1010 m
§1.1 微 观 粒 子 的 运 动 特 征

测不准原理


微观粒子在空间运动,其坐标和动量
不能同时准确确定。


§1.1 微 观 粒 子 的 运 动 特 征
误差在 0.01% 的枪弹(m = 50 g)与电子,其位置与动量
在同一实验中同时测量时,它们的位置测量精度如何?

解 枪弹:

px mv 5102 kg 300m s1 0.01%
1.5103 kg m s1
准 原
x
h
p x
6.61034 J s 1.5103 kg m s1
粒 二
相同实验中运动的统计结果。就大量粒子行为而言,衍射 强度大的地方,表明出现的粒子数多;小的地方,出现的 粒子数就少。就一个粒子的行为来说,衍射强度大的地方,
象 表明粒子出现的概率大;小的地方,粒子出现的概率就小。
空间任一点波的强度和粒子出现的概率成正比。

概率波
§1.1 微 观 粒 子 的 运 动 特 征

一切微观体系都是粒性和波性的对立统

一体。 E = h,p = h/,两式具体揭示了波

性和粒性的内在联系:等式左边体现粒性,

右边体现波性;它们彼此联系,互相渗透,

在一定条件下又可互相转化,构成矛盾的对
波 粒
立统一体。

波粒二象性是微观粒子运动的本质

特征。

§1.1 微 观 粒 子 的 运 动 特 征
第1章 量子力学基础
1.1 微观粒子的运动特征 1.2 量子力学基本假设 1.3 一维势箱中粒子的方程 及其求解
§1.1 微 观 粒 子 的 运 动 特 征
实 物 微
de Broglie 提出电子等实物微粒也具有波粒二象性 的假设,即存在下列关系:

E h

(1.1.1)
波 粒
p h/
(1.1.2)

例 1 以 10.0 m ·s-1 的速度抛出的质量为 0.1 kg 的石头和以 106 m ·s-1 速度运动的原子中电子的

物质波波长各是多少?
微 粒
解 根据 de Broglie 关系式

λ = h / p = h / mv

石头对应的 de Broglie 波长为
粒 二
1
6.6 1034 J s 0.1kg 10.0m s1
二 象 性
式(1.1.2)称为 de Broglie 关系式,满足该关系式的实 物粒子的波称为物质波或 de Broglie 波。
§1.1 微 观 粒 子 的 运 动 特 征

描述实物粒子与光子运动规律的有关公式

实物粒子


p = h /
p = mv
的 波
u
p2 E
2m
光子
c
p = h /
p = mc
E pc

E

E = h
E
E = h

u —— 传播速度(相速度)
v = 2u

v —— 运动速度(群速度)
§1.1 微 观 粒 子 的 运 动 特 征


物质波的实验







质子、中子、原子和分子在一定条件下都有衍射现象
性 发生,且都符合德布罗意关系式。
§1.1 微 观 粒 子 的 运 动 特 征
量的不确定量愈大)。反之,动量的描述愈准确,坐标
原 的描述就愈不准确。
测不准关系的产生来源于物质的波粒二象性。

对于能量 E 和时间 t 的同时测定,有类似的不确定
关系:
E t / 2 (1.1.5)
§1.1 微 观 粒 子 的 运 动 特 征
例 2 试估算速度分别为 300 和 3 106 m ·s-1,测量
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