中科院量子力学1990-2008(部分有答案)
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
则在 z 0 区域中的试探波函数应取下列函数中的 (1) 用变分法求基态能量， 哪一个？为什么？
z z 2 , e x , ze x , sin z 。
2
(2) 算出基态能量值。
5
中国科学院－中国科技大学 1991 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型）
0, r a (V0 0) V (r ) V0 , r a
问： (1) 存在 s 波束缚态的条件是什么？ (2) 当粒子能量 E 0 时，求粒子的 s 波相移 0 ； (3) 证明 lim 0 n , n 为整数。
E 0
五、
, z 0 (G 0) 中运动。 质量为 m 的粒子在一维势场 V ( z ) Gz , z 0
2 2
二、
ˆ 一维谐振子的哈密顿量 H
( x)
e
x 2
,
m 。
（1997 年（实验型Ⅰ）第五题） 设振子处于基态。
(1) 求 x 和 p ； (2) 写出本征能量 E ，并说明它反映微观粒子什么特征？ (3) 一 维 谐 振 子 的 维 里 定 理 是 T V ， 试 利 用 这 个 定 理 证 明 ： x p ，其中 x x 2 x 2 , p p 2 p 2 。 2
ˆ 的平均值。 时电子自旋朝上，即 sz 2 ，求 t 0 时自旋 S
五、
假定氢原子内的质子是一个半径为 1013 cm 的均匀带电球壳， 而不是点电
荷，试用一级微扰论计算氢原子 1s 态能量的改变。 一束中子射向氢分子而发生弹性碰撞。忽略电子对中子的作用，而两个 六、 原子核与中子的作用可用下面的简化势代替： (3) (3) V (r ) V0 r a r a ， 。试求高能下 其中 V0 是常数， a 是常矢量（ a 与 a 分别是两核的位置矢量） 的中子散射微分截面，并指出散射截面的一个极大的方向。
(V E ) 中运动粒子的波函数，计算几率流密
。 度，并证明虚势代表粒子的吸收，求吸收系数（用 V 表示）
试题名称：1990 量子力学（实验型）
第2页
共2页
4
中国科学院－中国科技大学 1991 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。 一、 一个带电粒子在电磁场中运动，请推导相应的几率守恒定律。求出几率 密度与几率流密度的表达式。 二、 当两个质量为 m 的粒子通过球对称势 V (r ) A ln r r0 ， （ A 0, r0 0 为
100
1 r a 2 e , a , me 2 a3
r a
e2 1 c 137
五、一质量为 的粒子被势场 V (r ) V0 e
(V0 a 0) 所散射，用一级玻恩近似
计算微分散射截面。
2
中国科学院－中国科技大学 1990 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
3
三、 精确到微扰论的一级近似，试计算由于不把原子核当作点电荷，而作为 是半径为 R ，均匀带电荷 Ze 的球体所引起的类氢原子基态能量的修正。已知 球内静电势
(r )
Ze Ze 3 r 2 ， 类 氢 原 子 基 态 波 函 数 2 ， 球 外 电 势 为 r R 2 2R Z 3 Zr a e , a 为玻尔半径。 a3
7
中国科学院－中国科技大学 1992 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
1 2 100 210 2 211 3 211 10
其中右方函数下标表示量子数 nlm 。忽略自旋和辐射跃迁。 (1) 此系统的平均能量是多少？ (2) 这系统在任意时刻处于角动量投影 Lz 0 的几率是多少？ 二、利用坐标与动量算符之间的对易投影关系，证明
Schrödinger's Kitten 2008 年 12 月 14 日
1
中国科学院－中国科技大学 1990 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。 一、在 t 0 ，氢原子波函数为
(r , 0)
常数）而束缚在一起，其第一激发态能量与基态能量之差为 E 。今有一个质 量为 m 的粒子与另一个质量为 1840m 的粒子通过同一位势形成束缚态，则这 一系统的第一激发态与基态能量之差是多少？说出理由，并证明之。 三、 一束极化的 s 波（ l 0 ）电子通过一个不均匀的磁场后分裂为强度不同 的两束，其中自旋反平行于磁场的一束与自旋平行于磁场的一束之强度比为 3 :1 ，求入射电子自旋方向与磁场方向夹角的大小。 四、 质量为 的粒子在一个三维球方势阱中运动，
E
n
n
E0 n x 0
2
常数
ˆ 这里 En 是哈密顿量 H 常数。
ˆ2 p V ( x) 的本征能量，相应的本征态为 n 。求出该 2m
三、设一质量为 的粒子在球对称势 V (r ) kr (k 0) 中运动。利用测不准关系 估算其基态的能量。 四、电子偶素 （ e e 束缚态） 类似于氢原子， 只是用一个正电子代替质子作为核， 在非相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。今设在电子偶素的基态 ˆ 8 M ˆ M ˆ 其中 M ˆ 是电子和 ˆ 和M 里，存在一种接触型自旋交换作用 H e p e p 3 ˆ , q e) 。利用一级微扰论，计算此基态中自 ˆ q S 正电子的自旋磁矩 ( M mc 旋单态与三重态之间的能量差，决定哪一个能量更低。对普通的氢原子，基 态波函数
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。 一、 (1) 电子双缝实验中，什么结果完全不能用粒子性而必须用波动性来解释， 为什么？ (2) 解释钠原子光谱主线系 np 3s 的精细结构。 (3) 量子力学角动量用矢量图表示时，和经典角动量有什么不同，为什么？ 二、 一个质量为 的粒子，处于 0 x a 的无限深方势阱中， t 0 时，其归
1990-2008 年 中国科学院研究生院 招收攻读硕士学位研究生入学统一考试 试题及参考答案
考试科目：量子力学
Forum：Qbit.5d6d.com Weblog：bohl.blogcn.com Email：bohl0206@gmail.com
Schrödinger’s Kitten
Gucas, Dec 2008
试题名称： 量子力学（实验型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。 一、 (1) 光电效应实验指出：当光照射到金属上， a) 只有当光频率大于一定值 0 时，才有光电子发射出； b) 光电子的能量只与光的频率有关，而与光的强度无关； c) 只要光的频率大于 0 ，光子立即产生。 试述： a) 经典理论为何不能解释上述现象，或者说这些实验现象与经典理论 矛盾何在？ b) 用爱因斯坦假说正确解释上述实验结果。 (2) 电子是微观粒子，为什么在阴极射线实验中，电子运动轨迹可用牛顿定 律描述？ (3) 1 和 2 为体系本征态，任一态为 c1 1 c2 2 。如果 1 0 ，试问： a) 如 1 和 2 是经典波，在 态中 1 和 2 态的几率如何表示？ b) 如 1 和 2 是几率波，在 态中 1 和 2 态的几率如何表示？ (4) 如何知道电子存在自旋？ ˆ2 1 p m 2 x 2 ，基态波函数 2m 2
ˆ 与L ˆ 的本征态。 (3) 证明当 l 0 时，态 lm 也是Biblioteka BaiduL x y
三、 四、
请根据不确定关系估计氢原子基态的能量。 有一个定域电子（作为近似模型，可以不考虑轨道运动） ，受到均匀磁
场的作用， 磁场 B
ˆ 指向正 x 方向， 相互作用势为 H
eB ˆ eB ˆx 设t 0 S 。 c x 2 c
一化波函数为
( x, t 0)
8 x x 1 cos sin 5a a a
求(2000 年(实验型)第二题)： (1) 在后来某一时刻 t t0 时的波函数； (2) 在 t 0 和 t t0 时的体系平均能量。 三、 试计算如图所示宽度 OB 精确到微扰的一级近似，
为 a ， AO 为 V0 ， AOB 被切去的无限深方势阱（如图
CABD ）的最低三个态的能量。
四、
质量为 的粒子在势场 V (r )
r3 2
常数（ 0 ）中运动，试用测不准
关系估算基态能量。 五、 有
ˆ ，证明能量表象中 如系统的哈密顿量不显含时间，用算符对易关系 x, p
1s
四、
ˆ, J ˆ 的表达式。 ˆS ˆ S (1) 用 j , l , s 写出 L
ˆ 的可能值。 ˆS (2) 对于 l 2, s 1 2 ，计算 L ˆ 间夹角的可能值，并画出 L ˆ和J ˆ 的矢量模型图。 ˆ和S ˆ, S (3) 确定（2）中 L
五、
求在一维常虚势场 iV
1990-2008 年 中国科学院研究生院 招收攻读硕士学位研究生入学统一考试 试题及参考答案
考试科目：量子力学
To My Parents My Teachers and My Love
前
言
中科院并不是高不可攀的，只要你有能力，就会看重你。所以要 多注重基础，当然做题时关键。希望大家不要天天泡在网上，期待有 所谓的中科院考研秘籍、考研笔记、或内部资料什么的来透题，我把 历年的试题都做成了电子档，并上传到了网，让那些高价的所谓的内 部笔记都见鬼去吧！中科院看中的是你的能力，英雄不问出路，作者 以前毕业的学校也并不好，但也来到了中科院研究生院，在 2009 年 研究生考试还有一个月的时候，希望大家都能注重基础知识，多做真 题(真题很有用的)，平心和气，在考场上亮出自己的最好成绩。 本 书 收 集 了 中 国 科 学 院 1900-2008 年 研 究 生 考 试 的 真 题 。 （1990-2002 年的包括理论型和实验型） ，近几年的试题还配有答案， 但也有部分试题还未有答案，但在以前的其他的真题中也都出现过 的。本书的主要源自于《量子力学习题解答》陈鄂生著，山东大学物 理系； 《中国科学院硕士研究生入学考试物理真题及解答 (2006-2007)》 ，世界图书出版社；还有网络论坛上有人总结的真题回 忆版，时间长了是哪个论坛的我已经不记得了，不能一一列出，在表 示感谢！ 由于时间仓促，书中未免会出现错误，希望大家及时给予指出， 提出宝贵建议（bohl0206@gmail.com）使更多的同学受益！
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。 忽略彼此 一、 N 个质量都是 m 的粒子可在一宽为 a 的无限深方势阱中运动， 4 间的相互作用，请求出最低的 条能级，并写下相应的简并度。 二、
ˆ2 之间的一切对易关系； ˆ 及算符 L ˆ, L ˆ , L (1) 写出角动量算符 L x y z ˆ2 与 L ˆ 的 本 征 态 ， 本 征 值 分 别 为 l (l 1) 2 和 m ， 证 明 (2) 设 lm 是 L z ˆ iL ˆ 亦为 L ˆ 的本征态，求出本征值； ˆ2 与 L L x y lm z
E
n
n
Em xnm
2
2 2
其 中 为 系 统 质 量 ， En 与 Em 是 能 量 本 征 值 ， 满 足
ˆ n E n , H ˆ m E m ， 是对 n 的完全求和。 H n m
n
6
中国科学院－中国科技大学 1992 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）
z z 2 , e x , ze x , sin z 。
2
(2) 算出基态能量值。
5
中国科学院－中国科技大学 1991 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型）
0, r a (V0 0) V (r ) V0 , r a
问： (1) 存在 s 波束缚态的条件是什么？ (2) 当粒子能量 E 0 时，求粒子的 s 波相移 0 ； (3) 证明 lim 0 n , n 为整数。
E 0
五、
, z 0 (G 0) 中运动。 质量为 m 的粒子在一维势场 V ( z ) Gz , z 0
2 2
二、
ˆ 一维谐振子的哈密顿量 H
( x)
e
x 2
,
m 。
（1997 年（实验型Ⅰ）第五题） 设振子处于基态。
(1) 求 x 和 p ； (2) 写出本征能量 E ，并说明它反映微观粒子什么特征？ (3) 一 维 谐 振 子 的 维 里 定 理 是 T V ， 试 利 用 这 个 定 理 证 明 ： x p ，其中 x x 2 x 2 , p p 2 p 2 。 2
ˆ 的平均值。 时电子自旋朝上，即 sz 2 ，求 t 0 时自旋 S
五、
假定氢原子内的质子是一个半径为 1013 cm 的均匀带电球壳， 而不是点电
荷，试用一级微扰论计算氢原子 1s 态能量的改变。 一束中子射向氢分子而发生弹性碰撞。忽略电子对中子的作用，而两个 六、 原子核与中子的作用可用下面的简化势代替： (3) (3) V (r ) V0 r a r a ， 。试求高能下 其中 V0 是常数， a 是常矢量（ a 与 a 分别是两核的位置矢量） 的中子散射微分截面，并指出散射截面的一个极大的方向。
(V E ) 中运动粒子的波函数，计算几率流密
。 度，并证明虚势代表粒子的吸收，求吸收系数（用 V 表示）
试题名称：1990 量子力学（实验型）
第2页
共2页
4
中国科学院－中国科技大学 1991 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。 一、 一个带电粒子在电磁场中运动，请推导相应的几率守恒定律。求出几率 密度与几率流密度的表达式。 二、 当两个质量为 m 的粒子通过球对称势 V (r ) A ln r r0 ， （ A 0, r0 0 为
100
1 r a 2 e , a , me 2 a3
r a
e2 1 c 137
五、一质量为 的粒子被势场 V (r ) V0 e
(V0 a 0) 所散射，用一级玻恩近似
计算微分散射截面。
2
中国科学院－中国科技大学 1990 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
3
三、 精确到微扰论的一级近似，试计算由于不把原子核当作点电荷，而作为 是半径为 R ，均匀带电荷 Ze 的球体所引起的类氢原子基态能量的修正。已知 球内静电势
(r )
Ze Ze 3 r 2 ， 类 氢 原 子 基 态 波 函 数 2 ， 球 外 电 势 为 r R 2 2R Z 3 Zr a e , a 为玻尔半径。 a3
7
中国科学院－中国科技大学 1992 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
1 2 100 210 2 211 3 211 10
其中右方函数下标表示量子数 nlm 。忽略自旋和辐射跃迁。 (1) 此系统的平均能量是多少？ (2) 这系统在任意时刻处于角动量投影 Lz 0 的几率是多少？ 二、利用坐标与动量算符之间的对易投影关系，证明
Schrödinger's Kitten 2008 年 12 月 14 日
1
中国科学院－中国科技大学 1990 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。 一、在 t 0 ，氢原子波函数为
(r , 0)
常数）而束缚在一起，其第一激发态能量与基态能量之差为 E 。今有一个质 量为 m 的粒子与另一个质量为 1840m 的粒子通过同一位势形成束缚态，则这 一系统的第一激发态与基态能量之差是多少？说出理由，并证明之。 三、 一束极化的 s 波（ l 0 ）电子通过一个不均匀的磁场后分裂为强度不同 的两束，其中自旋反平行于磁场的一束与自旋平行于磁场的一束之强度比为 3 :1 ，求入射电子自旋方向与磁场方向夹角的大小。 四、 质量为 的粒子在一个三维球方势阱中运动，
E
n
n
E0 n x 0
2
常数
ˆ 这里 En 是哈密顿量 H 常数。
ˆ2 p V ( x) 的本征能量，相应的本征态为 n 。求出该 2m
三、设一质量为 的粒子在球对称势 V (r ) kr (k 0) 中运动。利用测不准关系 估算其基态的能量。 四、电子偶素 （ e e 束缚态） 类似于氢原子， 只是用一个正电子代替质子作为核， 在非相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。今设在电子偶素的基态 ˆ 8 M ˆ M ˆ 其中 M ˆ 是电子和 ˆ 和M 里，存在一种接触型自旋交换作用 H e p e p 3 ˆ , q e) 。利用一级微扰论，计算此基态中自 ˆ q S 正电子的自旋磁矩 ( M mc 旋单态与三重态之间的能量差，决定哪一个能量更低。对普通的氢原子，基 态波函数
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。 一、 (1) 电子双缝实验中，什么结果完全不能用粒子性而必须用波动性来解释， 为什么？ (2) 解释钠原子光谱主线系 np 3s 的精细结构。 (3) 量子力学角动量用矢量图表示时，和经典角动量有什么不同，为什么？ 二、 一个质量为 的粒子，处于 0 x a 的无限深方势阱中， t 0 时，其归
1990-2008 年 中国科学院研究生院 招收攻读硕士学位研究生入学统一考试 试题及参考答案
考试科目：量子力学
Forum：Qbit.5d6d.com Weblog：bohl.blogcn.com Email：bohl0206@gmail.com
Schrödinger’s Kitten
Gucas, Dec 2008
试题名称： 量子力学（实验型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。 一、 (1) 光电效应实验指出：当光照射到金属上， a) 只有当光频率大于一定值 0 时，才有光电子发射出； b) 光电子的能量只与光的频率有关，而与光的强度无关； c) 只要光的频率大于 0 ，光子立即产生。 试述： a) 经典理论为何不能解释上述现象，或者说这些实验现象与经典理论 矛盾何在？ b) 用爱因斯坦假说正确解释上述实验结果。 (2) 电子是微观粒子，为什么在阴极射线实验中，电子运动轨迹可用牛顿定 律描述？ (3) 1 和 2 为体系本征态，任一态为 c1 1 c2 2 。如果 1 0 ，试问： a) 如 1 和 2 是经典波，在 态中 1 和 2 态的几率如何表示？ b) 如 1 和 2 是几率波，在 态中 1 和 2 态的几率如何表示？ (4) 如何知道电子存在自旋？ ˆ2 1 p m 2 x 2 ，基态波函数 2m 2
ˆ 与L ˆ 的本征态。 (3) 证明当 l 0 时，态 lm 也是Biblioteka BaiduL x y
三、 四、
请根据不确定关系估计氢原子基态的能量。 有一个定域电子（作为近似模型，可以不考虑轨道运动） ，受到均匀磁
场的作用， 磁场 B
ˆ 指向正 x 方向， 相互作用势为 H
eB ˆ eB ˆx 设t 0 S 。 c x 2 c
一化波函数为
( x, t 0)
8 x x 1 cos sin 5a a a
求(2000 年(实验型)第二题)： (1) 在后来某一时刻 t t0 时的波函数； (2) 在 t 0 和 t t0 时的体系平均能量。 三、 试计算如图所示宽度 OB 精确到微扰的一级近似，
为 a ， AO 为 V0 ， AOB 被切去的无限深方势阱（如图
CABD ）的最低三个态的能量。
四、
质量为 的粒子在势场 V (r )
r3 2
常数（ 0 ）中运动，试用测不准
关系估算基态能量。 五、 有
ˆ ，证明能量表象中 如系统的哈密顿量不显含时间，用算符对易关系 x, p
1s
四、
ˆ, J ˆ 的表达式。 ˆS ˆ S (1) 用 j , l , s 写出 L
ˆ 的可能值。 ˆS (2) 对于 l 2, s 1 2 ，计算 L ˆ 间夹角的可能值，并画出 L ˆ和J ˆ 的矢量模型图。 ˆ和S ˆ, S (3) 确定（2）中 L
五、
求在一维常虚势场 iV
1990-2008 年 中国科学院研究生院 招收攻读硕士学位研究生入学统一考试 试题及参考答案
考试科目：量子力学
To My Parents My Teachers and My Love
前
言
中科院并不是高不可攀的，只要你有能力，就会看重你。所以要 多注重基础，当然做题时关键。希望大家不要天天泡在网上，期待有 所谓的中科院考研秘籍、考研笔记、或内部资料什么的来透题，我把 历年的试题都做成了电子档，并上传到了网，让那些高价的所谓的内 部笔记都见鬼去吧！中科院看中的是你的能力，英雄不问出路，作者 以前毕业的学校也并不好，但也来到了中科院研究生院，在 2009 年 研究生考试还有一个月的时候，希望大家都能注重基础知识，多做真 题(真题很有用的)，平心和气，在考场上亮出自己的最好成绩。 本 书 收 集 了 中 国 科 学 院 1900-2008 年 研 究 生 考 试 的 真 题 。 （1990-2002 年的包括理论型和实验型） ，近几年的试题还配有答案， 但也有部分试题还未有答案，但在以前的其他的真题中也都出现过 的。本书的主要源自于《量子力学习题解答》陈鄂生著，山东大学物 理系； 《中国科学院硕士研究生入学考试物理真题及解答 (2006-2007)》 ，世界图书出版社；还有网络论坛上有人总结的真题回 忆版，时间长了是哪个论坛的我已经不记得了，不能一一列出，在表 示感谢！ 由于时间仓促，书中未免会出现错误，希望大家及时给予指出， 提出宝贵建议（bohl0206@gmail.com）使更多的同学受益！
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。 忽略彼此 一、 N 个质量都是 m 的粒子可在一宽为 a 的无限深方势阱中运动， 4 间的相互作用，请求出最低的 条能级，并写下相应的简并度。 二、
ˆ2 之间的一切对易关系； ˆ 及算符 L ˆ, L ˆ , L (1) 写出角动量算符 L x y z ˆ2 与 L ˆ 的 本 征 态 ， 本 征 值 分 别 为 l (l 1) 2 和 m ， 证 明 (2) 设 lm 是 L z ˆ iL ˆ 亦为 L ˆ 的本征态，求出本征值； ˆ2 与 L L x y lm z
E
n
n
Em xnm
2
2 2
其 中 为 系 统 质 量 ， En 与 Em 是 能 量 本 征 值 ， 满 足
ˆ n E n , H ˆ m E m ， 是对 n 的完全求和。 H n m
n
6
中国科学院－中国科技大学 1992 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）