中科院量子力学1990-2008(部分有答案)
2008中科量子力学及答案
建筑物地下工程规范要求地下工程在建筑物的设计和施工中起着重要的作用。
为了确保地下工程的安全和可靠性，建筑物地下工程规范要求被广泛遵守。
本文将详细介绍建筑物地下工程规范要求的相关内容。
一、工程设计要求建筑物地下工程的设计应遵循以下要求：1.地质勘探：在进行地下工程设计之前，必须进行地质勘探，以了解地下土壤和岩石的性质，确定地基承载力和地下水位等重要参数。
2.结构设计：地下工程的结构设计应符合国家和地方相关建筑设计规范，考虑地下水压、地震力等因素，确保结构的稳定性和安全性。
3.排水设计：地下工程的排水系统应满足工程的需要，包括排水管道、泵站等设施。
排水设计应考虑地下水位、雨水排放量等因素。
4.防水设计：地下工程必须进行有效的防水处理，以避免水的渗透和漏水现象。
防水设计应考虑地下水位、地下水压力等因素，选择合适的防水材料和施工方法。
二、施工要求建筑物地下工程的施工应符合以下要求：1.水平控制：地下工程的施工应按照设计要求进行水平控制，确保地下结构的准确位置和平整。
2.垂直控制：地下工程的施工应按照设计要求进行垂直控制，确保地下结构的高度和垂直度。
3.材料选择：地下工程的材料应符合国家和地方相关建筑材料标准，具有良好的耐久性和防水性能。
4.施工工序：地下工程施工应按照合理的工序进行，包括基坑开挖、地下结构施工、排水系统和防水系统安装等。
5.施工管理：地下工程的施工应建立健全的管理制度，包括施工现场的安全防护、施工人员的培训等。
三、验收要求建筑物地下工程的验收应符合以下要求：1.结构验收：地下工程的结构验收应符合国家和地方相关建筑验收规范，确保结构的安全和稳定。
2.防水验收：地下工程的防水验收应满足设计要求，防止水的渗透和漏水现象。
3.排水验收：地下工程的排水系统应进行验收，确保排水系统的正常运行。
4.安全验收：地下工程的安全设施应进行验收，确保施工现场的安全。
总结：建筑物地下工程规范要求是确保地下工程安全和可靠的重要保障。
2009年中科院量子力学试题(回忆版)
2009年中科院量子力学试题(811)（满分150分，时间180分钟）1、（30分）已知在的表象中，求：z 2L L ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010*******l x ℏ（1）的本征值和相应的本征函数；x l （2）的矩阵表示。
y l 2、（30分）已知一粒子处在一维谐振子势场中运动，势能为（k >0）,求：2kx 21x V =)(（1）粒子的基态本征函数；)(x 0ψ（2）若势场突然变为，则粒子仍处于基态的概率。
2kx x V =)(（提示：用湮灭算符，，…）)ˆ(p i x 2a µωµω+=ℏ41412.==423、（30分）若已知。
设21j i a a 0a a a a ij j i j i j i ,,],[,],[],[====+++其中δ，，)(1221x a a a a 21J +++=)(1221y a a a a 2i J ++−=)(1122z a a a a 21J ++−=求：（1），，的关系式；x J y J z J （2），试用，，，表示。
2z 2y 2x 2J J J J ++=�+1a 1a +2a 2a 2J �4、（30分）已知两种中微子的本征态为和，能量本征值为1ν2ν（其中i =1,2）,电子中微子的本征态为pcc m pc E 42i i +=，子中微子的本征态为，21e νθνθνsin cos +=µ21νθνθνµcos sin +−=其中是混合角。
某体系中在t=0时，电子中微子处于态，求：θe ν（1）t 时刻该中微子所处的状态；（2）t 时刻电子中微子处于基态的概率。
5、（30分）设在氘核中，质子和中子的作用表示成，a r 0e V r V /)(−−=试用，（为变数）为试探波，以变分法求：a 2r e /λψ−=λ（1）基态能量的近似值；（2）若V 0=32.7MeV,a =2.16fm.试确定的值。
量子力学课后习题答案
Wnl (r)dr Rnl2 (r)r 2dr
例如：对于基态 n 1, l 0
W10 (r) R102 (r)r 2
4 a03
r e2 2r / a0
求最可几半径
R e 2 r / a0
10
a03 / 2
dW10 (r) 4 (2r 2 r 2 )e2r / a0
x)
k
2
2
(
x)
0
其解为 2 (x) Asin kx B cos kx
根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得
2 (0) 1(0) B 0
2 (a) 3 (a) Asin ka 0
A0
sin ka 0
ka n
(n 1, 2, 3,)
[1 r
eikr
r
(1 r
eikr )
1 r
eikr
r
(1 r
eikr )]er
i1 1 11 1 1
2
[ r
(
r2
ik
) r
r
(
r2
ik
r )]er
k
r2
er
J1与er 同向。 1 表示向外传播的球面波。
习题
(2)
J2
i
2
(
2
* 2
2*
解：U (x)与t 无关，是定态问题
薛定谔方程为
2
2
d2 dx2
(x) U (x) (x)
E (x)
在各区域的具体形式为：
x0
中科院量子力学真题
x <a 势场中运动 (V0 > 0 ) 。试求系统能级或能级方 x >a
-6-
putiansong 3@
试证明位力定理：
ψn
ˆ2 p 1 � � ψ n = ψ n r ⋅∇V (r ) ψ n 2m 2 ˆ2 1 p 4 ˆ ' = −λ p ˆx + mω 2 x 2 ，设受到微扰 H 的作 2m 2
-1-
putiansong 3@
（1）求其能级和本征函数；
⎧V1 , −α < ϕ < 0 ˆ ' = V (ϕ ) = ⎪ （2）加 H ⎨V2 , 0 < ϕ < α 微扰， ⎪ 0, 其他 ⎩
求对最低的两能级的一级微扰修正。 注：在坐标系中 ∇ 2 =
1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂2 。 (r ) + 2 + r ∂r ∂r r ∂ϕ 2 ∂z 2 ⎧ 0, 0 < x < a 中运动， t = 0 时刻处于基态， 此 ⎩∞, a < x, x < 0
ˆ = 五、一维谐振子系统哈密顿量为 H 0
用，试求对第 n 个谐振子能级的一级微扰修正。
ˆ n = （已知矩阵元 n ' x ℏ ( n + 1δ n ', n+1 + nδ n ', n−1 ) ） 2mω
� � 1⎛r � � r⎞ ˆ ˆ ˆ r = ⎜ ⋅ p + p ⋅ ⎟ ，则： 二、 (30') 在三维体系中粒子的径向动量算符 p 2⎝ r r⎠ ˆ r 是否为厄密算符，为什么？ （1） p ˆ r 的表示； （2）写出在球坐标系中 p ˆr ] = ? （3）求 [ r, p
中科院量子力学历年详解
1.10 2006 乙 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.11 2006 乙 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.12 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.13 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.14 2001 理论型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 详解 i 19
4 曾谨言《量子力学》卷 I 练习详解 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9
量子力学的诞生 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 波函数与 Schrödinger 方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 一维定态问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 力学量用算符表达 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 力学量随时间的演化与对称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 中心力场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 粒子在电磁场中的运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 表象变换与量子力学的矩阵形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 自旋 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 ii 目录 返回
Removed_量子力学试题(2008年)含答案
题号 一 二 三 得分
总分
（说明：考试时间 120 分钟，共 6 页，满分 100 分）
计分人：
复查人：
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）
得分 评卷人
1. 微观粒子具有 波粒 二象性。 2．德布罗意关系是粒子能量 E、动量 P 与频率、波长之间的关系，其表达式为：
[Lˆ x , Lˆ y ] [ ypˆ z zpˆ y , zpˆ x xpˆ z ]
[ ypˆ z , zpˆ x xpˆ z ] [zpˆ y , zpˆ x xpˆ z ]
[ ypˆ z , zpˆ x ] [ ypˆ z , xpˆ z ] [zpˆ y , zpˆ x ] [zpˆ y , xpˆ z ]
1、（10 分）设氢原子处于状态
(r, , )
1 2
R21 (r)Y10
( ,)
3 2
R21 (r)Y11 (
,)
求氢原子能量 E、角动量平方 L2、角动量 Z 分量 LZ 的可能值及这些可能值出现的几率。
解：在此状态中，氢原子能量有确定值
E2
e
2 s
2 2n2
e
2 s
8 2
角动量平方有确定值为
L2 ( 1) 2 2 2
[ ypˆ z , zpˆ x ] [zpˆ y , xpˆ z ]
y[ pˆ z , zpˆ x ] [ y, zpˆ x ] pˆ z z[ pˆ y , xpˆ z ] [z, xpˆ z ] pˆ y
y[ pˆ z , zpˆ x ] [z, xpˆ z ] pˆ y
yz[ pˆ z , pˆ x ] y[ pˆ z , z] pˆ x x[z, pˆ z ] pˆ y [z, x] pˆ z pˆ y
(NEW)中国科学技术大学《828量子力学》历年考研真题汇编(含部分答案)
（a）请考察A的厄米性；
（b）请写出A用 阵；
展开的表达式，其中
为著名的Pauli矩
（c）请求解A的本征方程，得出本征值和相应本征态。
5．（30分）假设自由空间中有两个质量为m、自旋为 /2的粒子，它们 按如下自旋相关势
相互作用，其中r为两粒子之间的距离，g>0为常量，而 （i=l，2）为 分别作用于第1个粒子自旋的Pauli矩阵。
。算符 ， 与升降算符之间的关系为：
其中
。对于体系基态，相关的平均值为：
所以，
，
最终得到：
。 4．（20分〉设有2维空间中的如下矩阵
（a）请考察A的厄米性；
（b）请写出A用 阵；
展开的表达式，其中
为著名的Pauli矩
（c）请求解A的本征方程，得出本征值和相应本征态。
解：（a）矩阵A的转置共轭为：
因此，矩阵A为厄米矩阵。 （b）Pauli矩阵分别为：
令
，则 ， 与哈密顿量对易。对于 ，此结果是显然的。对
于，
体系的角动量 显然也与哈密顿量及自旋对易。因此力学量组 即为体系的一组可对易力学量完全集。
（b）为考虑体系的束缚态，需要在质心系中考查，哈密顿量可改写 为：
其中 为质心动量。由于质心的运动相当于一自由粒子，体系的波函数 首先可分离为空间部分和自旋部分，空间部分可以进一步分解为质心部 分和与体系内部结构相关的部分。略去质心部分，将波函数写成力学量 完全集的本征函数：
目 录
2014年中国科学技术大学828量子力学 考研真题
2013年中国科学技术大学828量子力学 考研真题
2012年中国科学技术大学828量子力学 考研真题
2011年中国科学技术大学809量子力学 考研真题
量子力学习题及答案
量子力学习题及答案1. 简答题a) 什么是量子力学？量子力学是一门研究微观领域中原子和基本粒子行为的物理学理论。
它描述了微观粒子的特性和相互作用，以及它们在粒子与波的二重性中所呈现出的行为。
b) 什么是波函数？波函数是描述量子体系的数学函数。
它包含了关于粒子的位置、动量、能量等信息。
波函数通常用符号ψ表示，并且可用于计算概率分布。
c) 什么是量子态？量子态是描述量子系统的状态。
它包含了有关系统性质的完整信息，并且根据量子力学规则演化。
量子系统可以处于多个量子态的叠加态。
d) 什么是量子叠加态？量子叠加态是指量子系统处于多个不同态的线性叠加。
例如，一个量子比特可以处于0态和1态的叠加态。
2. 选择题a) 下列哪个物理量在量子力学中具有不确定性？1.速度2.质量3.位置4.电荷答案：3. 位置b) 关于波函数的哪个说法是正确的？1.波函数只能描述单个粒子的行为2.波函数可以表示粒子的位置和动量的确定值3.波函数的模的平方表示粒子的位置概率分布4.波函数只适用于经典力学体系答案：3. 波函数的模的平方表示粒子的位置概率分布c) 下列哪个原理是量子力学的基本假设？1.宏观世界的实在性2.新托尼克力学3.不确定性原理4.不可分割性原理答案：4. 不可分割性原理3. 计算题a) 计算氢原子的基态能级氢原子的基态能级可以通过解氢原子的薛定谔方程得到。
基态能级对应的主量子数为n=1。
基态能级的能量公式为： E = -13.6 eV / n^2代入n=1，可以计算得到氢原子的基态能级为：-13.6 eVb) 简述量子力学中的双缝干涉实验双缝干涉实验是一种经典的量子力学实验，用于研究光和物质粒子的波粒二象性。
实验装置包括一道光源、两个狭缝和一个光屏。
当光的波长足够小，两个狭缝足够细时，光通过狭缝后会形成一系列的波纹，这些波纹会在光屏上出现干涉条纹。
实验结果显示，光在光屏上呈现出干涉现象，表现为明暗相间的条纹。
这种实验结果说明了光具有波动性，同时也具有粒子性。
中科院量子力学1990-2008(部分有答案)
考试科目：量子力学
To My Parents My Teachers and My Love
前
言
中科院并不是高不可攀的，只要你有能力，就会看重你。所以要 多注重基础，当然做题时关键。希望大家不要天天泡在网上，期待有 所谓的中科院考研秘籍、考研笔记、或内部资料什么的来透题，我把 历年的试题都做成了电子档，并上传到了网，让那些高价的所谓的内 部笔记都见鬼去吧！中科院看中的是你的能力，英雄不问出路，作者 以前毕业的学校也并不好，但也来到了中科院研究生院，在 2009 年 研究生考试还有一个月的时候，希望大家都能注重基础知识，多做真 题(真题很有用的)，平心和气，在考场上亮出自己的最好成绩。 本 书 收 集 了 中 国 科 学 院 1900-2008 年 研 究 生 考 试 的 真 题 。 （1990-2002 年的包括理论型和实验型） ，近几年的试题还配有答案， 但也有部分试题还未有答案，但在以前的其他的真题中也都出现过 的。本书的主要源自于《量子力学习题解答》陈鄂生著，山东大学物 理系； 《中国科学院硕士研究生入学考试物理真题及解答 (2006-2007)》 ，世界图书出版社；还有网络论坛上有人总结的真题回 忆版，时间长了是哪个论坛的我已经不记得了，不能一一列出，在表 示感谢！ 由于时间仓促，书中未免会出现错误，希望大家及时给予指出， 提出宝贵建议（bohl0206@）使更多的同学受益！
Schrödinger's Kitten 2008 年 12 月 14 日
1
中国科学院－中国科技大学 1990 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。 一、在 t 0 ，氢原子波函数为
中国科技大学2001-2002年硕士研究生入学考试试题（量子力学）
中国科技大学2001-2002年硕士研究生入学考试试题（量子力学）中国科技大学2001-2002年硕士研究生入学考试试题（量子力学）中国科学院——中国科技大学2001年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称：量子力学（实验型）一、（10分）设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动()()()?<<><∞=a x a x x x V 00,0 试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
二、（10分）设一个质量为m 的粒子束沿正x 方向以能量E 向x=0处的势垒运动()()()>≤=04300x E x x V 试用量子力学的观点回答：在x=0处被反射的反射系数是多少？三、（20分）1、在坐标表名胜中写出一维量子体系的坐标算符q和动量算符p ?，并推导其间的对易关系。
2、在动量表象中做1所要求做的问题。
四、（20分）设一个微观粒子在球对称的中心势场()r V 中运动，且处于一个能量和轨道角动量的共同本征态。
1、在球坐标系中写出能量本征态波函数的基本形式，写出势能()r V 在此态中平均值〈V 〉的表达式，并最后表示成径向积分的形式。
2、设V(r)为r 的单调上升函数（即对任意r,0>drdV ）。
试证明：对任意给定的r 0，均有 ()[]()022<-?dr r r R V r V ro o ，其中R(r)是径向波函五、（20分）设一个质量为m 的微观粒子的哈密顿量不显含时间，试证明：在能量表象中有 ()mh X E Enm n m n 222=-∑ ,其中E 为能量，x 为坐标。
六、（20分）设一微观体系的哈密顿H=H 0+H ‘，其中H ’为微扰。
在一个由正交归一函数作为基的表象中。
量子力学(二)习题参考答案
ψ 1 (− a ) = ψ 2 (− a ) → −C sin ka = A1e −α a
比较以上两式可以得到
B2 = − A1
A1eα x , x < − a 于是有 ψ 0 ( x) = C sin kx, −a < x < a − A e −α x , x > a 1
——奇宇称态！
+∞
( p x x − Et )
4） 、由归一化条件 ψ * ( x)ψ p ' ( x )dx = δ ( p ' − p '' ) 可定出归一化常数 p'
−∞
∫
A= 1
2π h h2 d 2 ,U = 0 2 I dϕ 2
µ =− 4、平面转子（见教科书）—— H
其解为： E m =
m2 h2 , m = 0, ±1, ±2 …… 2I 1 imϕ e ， 2π
比较得到：
B2 ＝ A1
于是得
A1eα x , x < − a ψ e ( x) = C cos kx, − a < x < a −α x A1e , x > a
——偶宇称态！
（23）
其中的 C，A1 可由归一化条件和连续性条件定出。 7、 δ 形势—— U ( x ) = f ( x )δ ( x) U(x) E 1 0 2 x （1）
①
②
由①和②消去 B
→ 2 A = (1 +
2k1 k2 k +k )C = 1 2 C → C = A k1 k1 k1 + k 2
③
由①和②消去 C
→
A − B k2 = → A + B k1
量子力学考试题讲解及答案
量子力学考试题讲解及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 量子力学中，波函数的平方代表的是：A. 粒子的位置B. 粒子的动量C. 粒子出现的概率密度D. 粒子的能量答案：C2. 根据海森堡不确定性原理，下列说法正确的是：A. 粒子的位置和动量可以同时精确测量B. 粒子的位置和动量不能同时精确测量C. 粒子的能量和时间可以同时精确测量D. 粒子的能量和时间不能同时精确测量答案：B3. 薛定谔方程是用来描述：A. 经典力学系统B. 热力学系统C. 量子力学系统D. 电磁学系统答案：C4. 量子力学中的波粒二象性是指：A. 粒子有时表现为波动性，有时表现为粒子性B. 粒子总是同时具有波动性和粒子性C. 粒子只具有波动性D. 粒子只具有粒子性答案：B5. 量子力学中，哪个假设是关于测量的？A. 叠加原理B. 波函数坍缩C. 泡利不相容原理D. 量子纠缠答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 量子力学中的波函数通常用希腊字母________表示。
答案：Ψ2. 量子力学中的德布罗意波长公式为λ = ________。
答案：h/p3. 在量子力学中，一个粒子的总能量可以表示为E = ________ + V。
答案：K.E.4. 费米子遵循的统计规律是________统计。
答案：费米-狄拉克5. 量子力学中的测不准原理是由海森堡提出的，其数学表述为ΔxΔp ≥ ________。
答案：h/4π三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述量子力学中的波函数坍缩概念。
答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当一个量子系统的状态被测量时，系统的波函数会从多个可能的状态中“选择”一个确定的状态，这个过程称为波函数坍缩。
2. 解释量子力学中的叠加原理。
答案：叠加原理是指在量子力学中，一个量子系统可以同时处于多个状态的叠加，即系统的波函数可以是多个不同状态波函数的线性组合。
3. 描述量子力学中的泡利不相容原理。
答案：泡利不相容原理指出，两个相同的费米子（如电子）不能处于同一个量子态，即它们不能具有相同的一组量子数。
中国科学技术大学考研真题—中国科学技术大学
中国科学技术大学人文学院高等数学（B）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1993——2005（1993——2004有答案）管理学院西方经济学（中国科学技术大学命题试卷）1994——1998（1996—1997有答案）（注：1997年的答案共4页，缺P3-P4）概率统计（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2004——2007（2004——2007有答案）概率论与数理统计（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2008（2008有答案）数学系数学分析（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000，2008（注：2008年试卷为回忆版）数学分析（中国科学技术大学命题试卷）1993，1996——1998高等代数（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2008（注：2008年试卷为回忆版）线性代数（中国科学技术大学命题试卷）1997——1999物理系普通物理（A）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）普通物理（甲）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1997——1998，2000普通物理（B）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2004——2008有答案）普通物理（乙型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1997——2002（1998，2000——2002有答案）量子力学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）量子力学（实验型）（中国科学技术大学命题试卷）1990——1998（1997有答案）量子力学（实验型）（中国科学院命题试卷）1998——1999量子力学（实验型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）（2000——2002有答案）量子力学（理论型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1990——2002 半导体材料（半导体研究所命题试卷）1996，1998，2000——2001（1996，2000有答案）半导体材料物理（半导体研究所命题试卷）2002——2003半导体集成电路（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2001——2002，2004（2002有答案）半导体模拟集成电路（中国科学技术大学、半导体研究所联合命题试卷）1995——1996，1998（1996，1998，1999有答案）模拟集成电路（中国科学技术大学、半导体研究所联合命题试卷）1997（1997有答案）半导体物理（甲）（中国科学院研究生院命题试卷）2007半导体物理（乙）（中国科学院研究生院命题试卷）2007半导体物理（中国科学院、半导体研究所、中国科学技术大学联合命题试卷）1997——2002，2004（1997——2002有答案）半导体物理[试卷抬头标注为中国科学院微电子中心命题试卷]2004原子核物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2002原子物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2006（2003——2006有答案）原子物理与量子力学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2001——2002，2007——2008（2007——2008有答案）热力学与统计物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2002，2005——2008（2005——2008有答案）化学物理系物理化学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1987，1995——2008（1995——2008有答案）物理化学（B）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）物理化学（C）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2004无机化学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1999——2008（2001，2003——2008有答案）普通物理（A）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）普通物理（甲）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1997——1998，2000普通物理（B）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2004——2008有答案）普通物理（乙型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1997——2002（1998，2000——2002有答案）量子力学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）量子力学（实验型）（中国科学技术大学命题试卷）1990——1998（1997有答案）量子力学（实验型）（中国科学院命题试卷）1998——1999量子力学（实验型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）（2000——2002有答案）量子力学（理论型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1990——2002 原子核物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2002原子物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2006（2003——2006有答案）原子物理与量子力学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2001——2002，2007——2008（2007——2008有答案）热力学与统计物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2002，2005——2008（2005——2008有答案）近代物理系普通物理（A）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）普通物理（甲）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1997——1998，2000普通物理（B）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2004——2008有答案）普通物理（乙型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1997——2002（1998，2000——2002有答案）量子力学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）量子力学（实验型）（中国科学技术大学命题试卷）1990——1998（1997有答案）量子力学（实验型）（中国科学院命题试卷）1998——1999量子力学（实验型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）（2000——2002有答案）量子力学（理论型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1990——2002 电动力学（中国科学院命题试卷）1998电动力学（中国科学技术大学命题试卷）1999电动力学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2002电动力学（A）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）电动力学（B）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2005电子学基础（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2005，2008（2004——2005，2008有答案）原子核物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2002原子物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2006（2003——2006有答案）原子物理与量子力学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2001——2002，2007——2008（2007——2008有答案）热力学与统计物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2002，2005——2008（2005——2008有答案）力学和机械工程系理论力学（A）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2005理论力学（B）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2004——2005机械设计（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2005——2008有答案）电子工程与信息科学系信号与系统（中国科学技术大学命题试卷）1990——1999（1996——1999有答案）（另：有《信号与系统》期末考试试题11份，每份3元。
量子力学试题及答案
量子力学试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 量子力学中的波函数ψ(x,t)描述的是粒子的：A. 位置B. 动量C. 概率密度D. 能量答案：C2. 根据海森堡不确定性原理，以下哪个说法是正确的？A. 粒子的位置和动量可以同时精确测量B. 粒子的位置和动量不能同时精确测量C. 粒子的能量和时间可以同时精确测量D. 粒子的能量和时间不能同时精确测量答案：B3. 薛定谔方程是描述量子态随时间演化的方程，其形式为：A. iħ∂ψ/∂t = HψB. ħ∂ψ/∂t = iHψC. i∂ψ/∂t = ħHψD. ħ∂ψ/∂t = -iHψ答案：A4. 量子力学中的泡利不相容原理指出：A. 两个电子不能占据同一个量子态B. 两个电子可以占据同一个量子态C. 两个电子可以占据同一个量子态，但必须具有不同的自旋D. 两个电子可以占据同一个量子态，但必须具有相同的自旋答案：A5. 以下哪个实验验证了量子力学的波粒二象性？A. 光电效应B. 双缝干涉实验C. 康普顿散射D. 光电效应和康普顿散射答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 量子力学的基本假设之一是波函数的________，即波函数的模的平方给出了粒子在空间某点出现的概率密度。
答案：模的平方2. 根据量子力学，一个粒子的波函数可以展开为一系列本征函数的线性组合，这些本征函数对应的是系统的________。
答案：本征值3. 在量子力学中，一个粒子的总能量可以表示为动能和________的和。
答案：势能4. 量子力学中的波函数ψ(x,t)是复数函数，其模的平方表示粒子在空间某点出现的概率密度，而其________则与粒子的相位有关。
答案：相位5. 量子力学中的隧道效应是指粒子通过一个经典物理中不可能通过的势垒的现象，这一现象说明了粒子的________。
答案：波动性三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述量子力学中的测不准原理。
答案：量子力学中的测不准原理，也称为海森堡不确定性原理，指的是粒子的位置和动量不能同时被精确测量。
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说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。 一、 (1) 光电效应实验指出：当光照射到金属上， a) 只有当光频率大于一定值 0 时，才有光电子发射出； b) 光电子的能量只与光的频率有关，而与光的强度无关； c) 只要光的频率大于 0 ，光子立即产生。 试述： a) 经典理论为何不能解释上述现象，或者说这些实验现象与经典理论 矛盾何在？ b) 用爱因斯坦假说正确解释上述实验结果。 (2) 电子是微观粒子，为什么在阴极射线实验中，电子运动轨迹可用牛顿定 律描述？ (3) 1 和 2 为体系本征态，任一态为 c1 1 c2 2 。如果 1 0 ，试问： a) 如 1 和 2 是经典波，在 态中 1 和 2 态的几率如何表示？ b) 如 1 和 2 是几率波，在 态中 1 和 2 态的几率如何表示？ (4) 如何知道电子存在自旋？ ˆ2 1 p m 2 x 2 ，基态波函数 2m 2
1990-2008 年 中国科学院研究生院 招收攻读硕士学位研究生入学统一考试 试题及参考答案
考试科目：量子力学
To My Parents My Teachers and My高不可攀的，只要你有能力，就会看重你。所以要 多注重基础，当然做题时关键。希望大家不要天天泡在网上，期待有 所谓的中科院考研秘籍、考研笔记、或内部资料什么的来透题，我把 历年的试题都做成了电子档，并上传到了网，让那些高价的所谓的内 部笔记都见鬼去吧！中科院看中的是你的能力，英雄不问出路，作者 以前毕业的学校也并不好，但也来到了中科院研究生院，在 2009 年 研究生考试还有一个月的时候，希望大家都能注重基础知识，多做真 题(真题很有用的)，平心和气，在考场上亮出自己的最好成绩。 本 书 收 集 了 中 国 科 学 院 1900-2008 年 研 究 生 考 试 的 真 题 。 （1990-2002 年的包括理论型和实验型） ，近几年的试题还配有答案， 但也有部分试题还未有答案，但在以前的其他的真题中也都出现过 的。本书的主要源自于《量子力学习题解答》陈鄂生著，山东大学物 理系； 《中国科学院硕士研究生入学考试物理真题及解答 (2006-2007)》 ，世界图书出版社；还有网络论坛上有人总结的真题回 忆版，时间长了是哪个论坛的我已经不记得了，不能一一列出，在表 示感谢！ 由于时间仓促，书中未免会出现错误，希望大家及时给予指出， 提出宝贵建议（bohl0206@）使更多的同学受益！
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。 忽略彼此 一、 N 个质量都是 m 的粒子可在一宽为 a 的无限深方势阱中运动， 4 间的相互作用，请求出最低的 条能级，并写下相应的简并度。 二、
ˆ2 之间的一切对易关系； ˆ 及算符 L ˆ, L ˆ , L (1) 写出角动量算符 L x y z ˆ2 与 L ˆ 的 本 征 态 ， 本 征 值 分 别 为 l (l 1) 2 和 m ， 证 明 (2) 设 lm 是 L z ˆ iL ˆ 亦为 L ˆ 的本征态，求出本征值； ˆ2 与 L L x y lm z
0, r a (V0 0) V (r ) V0 , r a
问： (1) 存在 s 波束缚态的条件是什么？ (2) 当粒子能量 E 0 时，求粒子的 s 波相移 0 ； (3) 证明 lim 0 n , n 为整数。
E 0
五、
, z 0 (G 0) 中运动。 质量为 m 的粒子在一维势场 V ( z ) Gz , z 0
E
n
n
E0 n x 0
2
常数
ˆ 这里 En 是哈密顿量 H 常数。
ˆ2 p V ( x) 的本征能量，相应的本征态为 n 。求出该 2m
三、设一质量为 的粒子在球对称势 V (r ) kr (k 0) 中运动。利用测不准关系 估算其基态的能量。 四、电子偶素 （ e e 束缚态） 类似于氢原子， 只是用一个正电子代替质子作为核， 在非相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。今设在电子偶素的基态 ˆ 8 M ˆ M ˆ 其中 M ˆ 是电子和 ˆ 和M 里，存在一种接触型自旋交换作用 H e p e p 3 ˆ , q e) 。利用一级微扰论，计算此基态中自 ˆ q S 正电子的自旋磁矩 ( M mc 旋单态与三重态之间的能量差，决定哪一个能量更低。对普通的氢原子，基 态波函数
ˆ 的平均值。 时电子自旋朝上，即 sz 2 ，求 t 0 时自旋 S
五、
假定氢原子内的质子是一个半径为 1013 cm 的均匀带电球壳， 而不是点电
荷，试用一级微扰论计算氢原子 1s 态能量的改变。 一束中子射向氢分子而发生弹性碰撞。忽略电子对中子的作用，而两个 六、 原子核与中子的作用可用下面的简化势代替： (3) (3) V (r ) V0 r a r a ， 。试求高能下 其中 V0 是常数， a 是常矢量（ a 与 a 分别是两核的位置矢量） 的中子散射微分截面，并指出散射截面的一个极大的方向。
3
三、 精确到微扰论的一级近似，试计算由于不把原子核当作点电荷，而作为 是半径为 R ，均匀带电荷 Ze 的球体所引起的类氢原子基态能量的修正。已知 球内静电势
(r )
Ze Ze 3 r 2 ， 类 氢 原 子 基 态 波 函 数 2 ， 球 外 电 势 为 r R 2 2R Z 3 Zr a e , a 为玻尔半径。 a3
一化波函数为
( x, t 0)
8 x x 1 cos sin 5a a a
求(2000 年(实验型)第二题)： (1) 在后来某一时刻 t t0 时的波函数； (2) 在 t 0 和 t t0 时的体系平均能量。 三、 试计算如图所示宽度 OB 精确到微扰的一级近似，
则在 z 0 区域中的试探波函数应取下列函数中的 (1) 用变分法求基态能量， 哪一个？为什么？
z z 2 , e x , ze x , sin z 。
2
(2) 算出基态能量值。
5
中国科学院－中国科技大学 1991 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型）
2 2
二、
ˆ 一维谐振子的哈密顿量 H
( x)
e
x 2
,
m 。
（1997 年（实验型Ⅰ）第五题） 设振子处于基态。
(1) 求 x 和 p ； (2) 写出本征能量 E ，并说明它反映微观粒子什么特征？ (3) 一 维 谐 振 子 的 维 里 定 理 是 T V ， 试 利 用 这 个 定 理 证 明 ： x p ，其中 x x 2 x 2 , p p 2 p 2 。 2
100
1 r a 2 e , a , me 2 a3
r a
e2 1 c 137
五、一质量为 的粒子被势场 V (r ) V0 e
(V0 a 0) 所散射，用一级玻恩近似
计算微分散射截面。
2
中国科学院－中国科技大学 1990 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
为 a ， AO 为 V0 ， AOB 被切去的无限深方势阱（如图
CABD ）的最低三个态的能量。
四、
质量为 的粒子在势场 V (r )
r3 2
常数（ 0 ）中运动，试用测不准
关系估算基态能量。 五、 有
ˆ ，证明能量表象中 如系统的哈密顿量不显含时间，用算符对易关系 x, p
E
n
n
Em xnm
2
2 2
其 中 为 系 统 质 量 ， En 与 Em 是 能 量 本 征 值 ， 满 足
ˆ n E n , H ˆ m E m ， 是对 n 的完全求和。 H n m
n
6
中国科学院－中国科技大学 1992 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）
1 2 100 210 2 211 3 211 10
其中右方函数下标表示量子数 nlm 。忽略自旋和辐射跃迁。 (1) 此系统的平均能量是多少？ (2) 这系统在任意时刻处于角动量投影 Lz 0 的几率是多少？ 二、利用坐标与动量算符之间的对易投影关系，证明
1s
四、
ˆ, J ˆ 的表达式。 ˆS ˆ S (1) 用 j , l , s 写出 L
ˆ 的可能值。 ˆS (2) 对于 l 2, s 1 2 ，计算 L ˆ 间夹角的可能值，并画出 L ˆ和J ˆ 的矢量模型图。 ˆ和S ˆ, S (3) 确定（2）中 L
五、
求在一维常虚势场 iV
Schrödinger's Kitten 2008 年 12 月 14 日
1
中国科学院－中国科技大学 1990 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。 一、在 t 0 ，氢原子波函数为
(r , 0)
常数）而束缚在一起，其第一激发态能量与基态能量之差为 E 。今有一个质 量为 m 的粒子与另一个质量为 1840m 的粒子通过同一位势形成束缚态，则这 一系统的第一激发态与基态能量之差是多少？说出理由，并证明之。 三、 一束极化的 s 波（ l 0 ）电子通过一个不均匀的磁场后分裂为强度不同 的两束，其中自旋反平行于磁场的一束与自旋平行于磁场的一束之强度比为 3 :1 ，求入射电子自旋方向与磁场方向夹角的大小。 四、 质量为 的粒子在一个三维球方势阱中运动，
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。 一、 (1) 电子双缝实验中，什么结果完全不能用粒子性而必须用波动性来解释， 为什么？ (2) 解释钠原子光谱主线系 np 3s 的精细结构。 (3) 量子力学角动量用矢量图表示时，和经典角动量有什么不同，为什么？ 二、 一个质量为 的粒子，处于 0 x a 的无限深方势阱中， t 0 时，其归