圣维南原理的概念及应用

右侧面: l cos, m sin
x y tan
cos x sin xy 0
fx fy 0
sin yx cos xy 0
例4 图示薄板,在y方向受均匀拉力作用，证
明在板中间突出部分的尖点A处无应力 存在。
解: —— 平面应力问题,在 AC、AB 边界上无面
力作用。即
高等岩石力学
第二讲:特殊边界处理与网格划分问题
平面问题的基本方程
1. 平衡微分方程
x
x
yx
y
fx
0
xy
x
y
y
fy
0
（2-2）
2. 几何方程
x
u x
y
v y
xy
v x
u y
（2-9）
3. 物理方程
x
1 E
( x
wk.baidu.com
y)
y
1 E
(
y
x)
（2-15）
xy
2(1 E
) xy
（平面应力问题）
4. 边界条件
左侧面: l cos , m sin
x y tan
fx y cos f y y sin
由应力边界条件公式,有
l( x )s m( xy )s f x m( y )s l( xy )s f y
x ( cos ) xy (sin ) y cos
y (sin ) xy ( cos ) y sin
P
P
P/2
P/2
P
A
P
P
A
P
A
3.、圣维南原理的应用
(1) 对复杂的力边界,用静力等效的分布面力代替。 (2) 有些位移边界不易满足时,也可用静力等效的分布面力代替。
注意事项:
(1) 必须满足静力等效条件；
(2) 只能在次要边界上用圣维南原理,在主要边界上不能使用。
如:
主要边界
A
B
P
P
A
次要边界
R
F i
MO
mO (F i )
这种等效只是从平衡的观点而言的,对刚体来而言完全正 确，但对变形体而言一般是不等效的。
2.、圣维南原理 (Saint-Venant Principle)
原理: 若把物体的一小部分边界上的面力,变换为分布不 同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显 著改变，而远处所受的影响可忽略不计。
h
h
(
yx
)
dx
y0
P
cos
注意: y , xy
必须按正向假设！
上端面: （方法2） 取图示微元体, 由微元体的平衡求得,
Fy 0
h
h
y
dx Psin 0
y0
h
h
y
dx P sin
y0
MO 0
h h
y
xdx
y0
P h sin 0
2
P
h h
(
y
)
y
0
xdx
P
h 2
ZS《Rock Mass Mechanics》
2020/12/7
ZS
1. 为什么要用圣维南原理？ 2. 如何应用圣维南原理？ 3. 圣维南原理中主矩的方向是如何定义的？ 4. 圣维南原理中主矩是对那个点取矩？ 5. 圣维南原理中边界的面力和应力的关系？ 6. 什么是主要边界？什么是次要边界？ 7. 为什么正应力对中心点取矩不为零？
代入应力边界条件公式,有
cos2 x sin 2 xy 0 （2） sin 2 y cos2 xy 0
∵A 点同处于 AB 和 AC 的边界,∴满 足式（1）和（2），解得
x y xy 0
∴ A 点处无应力作用
§2-8 圣维南原理
1. 静力等效 2. 圣维南原理及其应用
HPU
HPU
ZS《Rock Mass Mechanics》
问题的提出:
求解弹性力学问题时,使应力分量、形
P
P
变分量、位移分量完全满足8个基本方程相
对容易，但要使边界条件完全满足，往往很
困难。
P
如图所示,其力的作用点处的边界条件 无法列写。
1. 、静力等效的概念
两个力系,若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为 静力等效力系。
y
(1)
s
xy
0 0
s
y s 0, xy s 0
x
s 0
xy
(1) 0
s
y
(1)
s
xy
0 q
s
说明:
x = 0 的边界条件,是有矛盾 的。由此只能求出结果:
y s q, xy s 0
u 0,v 0.
例3 图示水坝,试写出其边界条件。
位移:
us u vs v
（2-17）
l( x )s m( xy )s fx
应力: m( y )s l( xy )s f y
（2-18）
例1 如图所示,试写出其边界条件。
q
(1)
x 0,
uvss
0 0
u 0, v 0 y x
h
hx
(2) x a, l 1, m 0 fx 0, f y 0
x xh 0
xy
xh
0
右侧面: l 1, m 0 fx y, f y 0
代入应力边界条件公式,有
x xh y
xy xh 0
上端面: 为次要边界,可由圣维南原理求解。
h
y方向力等效:
h
(
y
)
y
dx
0
P
sin
对O点的力矩等效:
h h
(
y
)
y
0
x
dx
P
h 2
sin
x方向力等效:
fx fy 0 AB 边界: l1 cos1, m sin 1
由应力边界条件公式,有
l( x )s m( xy )s fx
m( y )s l( xy )s f y cos1 x sin 1 xy 0 （1） sin 1 y cos1 xy 0
AC 边界:
l2 cos2
m2 sin 1
课堂练习与讨论
例7
HPU
ZS《Rock Mass Mechanics》
2020/12/7
ZS
例7 图示矩形截面水坝,其右侧受静水压 力，顶部受集中力作用。试写出水
y yx
坝的应力边界条件。
左侧面: l 1, m 0 fx f y 0
代入应力边界条件公式
l( x )s m( xy )s fx m( y )s l( xy )s f y
sin
x
h
Fx 0
h
yx
dx Pcos 0
y0
yx
y
h
h
(
yx
)
dx
y0
P
cos
y
注意： y , xy
可见,与前面结果相同。
必须按正向假设！
例9
图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据
材 压料 应力 力学公式y =，0，写然出后弯说曲明应这力些表x 达和式剪是应否力代表xy正的确表解达。式，并取挤
l( x )s m( xy )s fx
m( y )s l( xy )s f y
x s 0, xy s 0
(3) y h, l 0, m 1 fx 0, fy q
a
y
(4) y h, l 0, m 1
fx 0, f y 0
x s 0
xy
(1) 0
s