结构力学_第11章_2 位移法

第11章 位移法
11.2 等截面杆件的刚度方程 由杆端位移求杆端弯矩 取简支梁为为基本结构
M AB
M BA
AB
B
A
M AB 1
AB
当支座移动时，将使整个基本结构 转动同一角度 AB 。 力法方程 11M AB 12 M BA AB A 21M AB 22 M BA AB B 令 i
3
3
P C A
1
2
D
B
（2）加入一定数量的附加链杆以阻止各 结点发生线位移。因此，附加链杆 的数目等于各结点的独立线位移的 数目。
基本体系
第11章 位移法
11.4 位移法方程 位移法方程的建立
C
P
1 (C )
1 (C )
D
2
Leabharlann Baidu
（1）基本未知量
1 结点 C 的角位移 结点 D 的水平线位移 2
对于 θB 0 或 AB 0 或 θB 0, AB 0 的情况，可由上述矩阵形式 推出。 对于一端固定另一端铰支或另一端滑动支座的情况，用力法都可推出 类似的刚度方程。
第11章 位移法
11.2 等截面杆件的刚度方程 由荷载求固端弯矩 在等截面直杆中，当杆两端固定（或一端固定、一端铰支，或一端固 定、一端滑动，均称为固端），只受荷载作用时，所得的赶、杆端力， 通常称为固端力。类似地，可以用力法求得各种荷载作用下的杆件固 端力。
11.6 位移法计算有侧移刚架和排架 例 1 用位移法刚架的内力图。 （1）基本未知量 结点 C 的角位移 1 结点 D 的线位移 2 （2）基本体系 结点 C 加上附加约束 1（附加刚臂） 结点 D 加上附加约束 2（附加链杆） 得到基本体系 （3）位移法方程
C
3EI
E
EI 10kN/m
EI
4.29 1.29
B
QBC
10.14
C
QCB
M A 0, QBA
由 BC 杆隔离体得
M C 0, QBC M
B
0, QCB
12.86 16 3 10.14kN 6 12.86 16 3 5.86kN 6
5.86 7.72
剪力图（单位：kN ）
第11章 位移法
端点 A 和 B 的转角分别为 θA ,θB
两端垂直杆轴的相对位移为 AB A 端弯矩 M AB B 端弯矩 M BA 弦转角
q A
P
EI A'
θA
l
B
AB
θB AB
AB
AB l
B'
位移法中正负号规则
结点转角 θA ,θB，弦转角 AB ，杆端弯矩 M AB , M BA ，一律以顺时针 转向为正。
第11章 位移法
11.1 位移法的基本概念 刚架 ABC 在 P 作用下发生变形，忽略 杆件轴向变形， 则结点 C 只发生角位 移 θC 。 取 θC 为基本未知量。 求出 θC 后，就可求出 AC 和 CB 各杆的 变形，从而求出各杆的内力。 求 θC 的基本步骤
C
θc
p B
θc EI 1
EI2
l2
4m
A
6m
原结构
B
2
C A
1
D
k111 k122 F1P 0 k211 k222 F2 P 0
B
基本体系
第11章 位移法
11.6 位移法计算有侧移刚架和排架
（4）计算 kij
附加约束 1 发生单位位移 1 1
k11
4iCA
计算各杆端弯矩 EI M CA 4iCA 4 EI 4 EI EI M AC 2iCA 2 4 2 3EI 3EI M CD 3iCD 3 6 2
2kN/m
A B
16kN
C
6m
2kN/m A B
3m 3m
原结构
16kN
1
C
基本体系
4i
A
2i
1 1
C
M
B
0, k11 4i 3i 7i
4i
B
2i
1 1 作用的 M1图
B 3i
第11章 位移法
11.5 位移法计算连续梁和无侧移刚架
（4）计算 F1P
基本结构在荷载作用下
求 θC 的基本步骤 （2）施加力偶，使结点 C 产生角位移 θC。
两根超静定杆 结点C有角位移 θC
力法
4 EI 2C l2
C
θc
3EI1C l1 2 EI 2C l2
B
弯矩图
A
3EI1C 4 EI 2C 结点 C 处施加的外部约束力矩 F1 l1 l2
实际结构的受力和变形由以下两种状态叠加 1）基本结构受荷载单独作用；2）基本结构受 θC 单独作用。 叠加后在结点 C 处不应有外加力矩
平衡条件
QAB QAB 1 QBA M AB M BA l 6i 6i 12i QBA A B l l l AB
第11章 位移法
11.2 等截面杆件的刚度方程 由杆端位移求杆端弯矩 矩阵形式的刚度方程
M AB 4i M BA 2i 6i QAB l 2i 4i 6i l 6i A l 6i B l 12i 2 AB l
即 F1 Fp 0
3EI1C 4 EI 2C 3 pl1 0 l1 l2 16
3 pl12l2 C 48EI1l2 64 EI2l1
第11章 位移法
11.2 等截面杆件的刚度方程 位移法是以单跨超静定梁作为其计算的基础，需要用到这种梁在外荷载 作用以及杆端发生转动或移动下的杆端弯矩和剪力。
第11章 位移法
11.4 位移法方程 在位移法的典型方程中，每一个方程表示在基本结构中与每一个基本 未知量相应的附加约束处约束反力等于零的平衡条件。 建立位移法方程时，i 均假设为正，即角位移为顺时针，线位移使杆 件产生顺时针转动。
kij 也称刚度系数
显然，kii 0 由反力互等定理可知， kij k ji 由位移法的典型方程可求出基本未知量 i i 1, 2,, n 按照 M 1M1 2 M 2 n M n M p 计算杆端弯矩，作弯矩图。 然后再像力法的情况一样利用平衡条件作出剪力图和轴力图。
2kN/m 18
计算各杆固端弯矩，做 M P 图 ql 2 2 62 F F M AB M BA 6kN m 12 12 3 pl 3 16 6 F M BC 18kN m 16 16 由结点 B 的力矩平衡，可得
6 A
6 B
(单位：kN.m) 荷载作用的
C
P
C
D
C A
D D
B
原结构
C
D B
基本结构
A
第11章 位移法
11.3 位移法的基本未知量和基本体系 位移法的基本体系基本结构在荷载和基本 未知位移共同作用下的超静定杆的综合体。 选定基本结构 （1）每一刚结点加入附加刚臂以控制转 角。因此，附加刚臂的数目等于刚 结点的数目。
16kN C 15
MP 图
M
B
0, F1P 18 6 0
F P 12kN m 1
（5）求解 1
1 F1P 12 1 1.714 k11 7i i
6
F1P
B
18
第11章 位移法
11.5 位移法计算连续梁和无侧移刚架
（6）作 M 图
利用叠加公式：M M11 M P ，计算杆端弯矩。 1.714 F M AB 2i1 M AB 2i 6 2.57kN m i
k11
D
k21
A
1作用
B
k11 , k21
（4）基本结构中，附加约束 2 发生单位位移 2 1 先求各杆的杆端力 然后求附加约束中的约束反力矩或反力
2 1 2 1
C
k12
D
k22
k12 , k22
A
2 作用
B
第11章 位移法
11.4 位移法方程 位移法方程的建立 根据叠加原理，基本结构在荷载和结点位移共同作用下，附加约束中总 约束反力等于零。 k111 k122 F1P 0
1.714 F M BA 4i1 M BA 4i 6 12.86kN m i 1.714 F M BC 3i1 M BC 3i 18 12.86kN m i
12.86
2.57
A
1.29
B
17.57
C
弯矩图 (单位：kN.m)
第11章 位移法
11.2 等截面杆件的刚度方程 由杆端位移求杆端弯矩
1 1 M M AB A 3i AB 6i BA 1 1 M AB M BA AB B 6i 3i AB M AB 4i A 2iB 6i l M BA 2i A 4i B 6i AB l
A
两端固定
B
A
B
一端固定、一端铰支
A
B
一端固定、一端滑动
第11章 位移法
11.3 位移法的基本未知量和基本体系 基本未知量和基本结构的选定 用位移法解超静定结构是以结点位移（角 位移和线位移）为基本未知量，由位移法 方程先求出基本未知量，然后再计算各杆 的内力。在计算过程中，把结构各杆转化 为单跨超静定梁，利用已导出的刚度方程 作为计算基础。 在门式刚架中，刚结点 C 和 D 有角位移 和线位移。忽略轴向变形和剪切变形对位 移的影响，则 C D 选定基本未知量为 C ,D , 在 C 点和 D 点加入附加刚臂，在D 点加 入一根附加链杆，这样得到的无结点位移 的结构，称为原结构的基本结构。
EI l
1
M AB图
11
1 1 2 1 1l EI 2 3 3i 1 1 2 1 1l EI 2 3 3i
1
22
M BA 1
M BA图
1 1 1 1 12 21 l 1 EI 2 3 6i
在 C、D 点加入附加约束，得到基本结构
（2）基本结构受荷载单独作用 先求各杆的固端力 然后求附加约束中的约束反力矩或反力
A
原结构 B
约束1 约束2
C
P A C P A
基本结构
D B
F1P
D
F2P
F P , F2 P 1
荷载作用
B
第11章 位移法
11.4 位移法方程 位移法方程的建立 （3）基本结构中，附加约束 1 发生单位位移 C 1 1 1 1 先求各杆的杆端力 然后求附加约束中的约束反力矩或反力
A
l1 2 l1 2
（1）在结点 C 加上一个附加刚臂，作 C 用是控制结点不发生转动（但不能 阻止移动） 两根超静定杆 （基本结构） 原结构
3 pl1 16
p B
5 pl1 32
A
荷载作用
力法
各杆的弯矩
3 pl1 16
结点 C 处施加的外部约束力矩 Fp
第11章 位移法
11.1 位移法的基本概念
k211 k222 F2 P 0
这是位移方程的典型形式。
由此可求出基本未知量 1 , 2 对于具有 n 个基本未知量的结构，位移方程的典型形式为
k111 k122 k1n n F P 0 1 k211 k222 k2 n n F2 P 0 kn11 kn 22 knn n FnP 0
第11章 位移法
11.5 位移法计算连续梁和无侧移刚架 例 1 用位移法计算连续梁的内力， EI=常数。 （1）基本未知量和基本体系 结点 B 的角位移 1 结点 B 加上附加约束得到基本体系 （2）位移法方程 k111 F P 0 1 （3）计算 k11 附加约束发生单位位移 1 1 EI 令 i 计算各杆端弯矩，做 M1 图 6 M AB 2i, M BA 4i, M BC 3i k11 由结点 B 的力矩平衡，可得
第11章 位移法
11.5 位移法计算连续梁和无侧移刚架
（7）作剪力图 由 AB 杆隔离体得
2.57
2kN/m
12.86
A
QAB
12.86 16
B
QBA
M
B
0, Q AB
1 2.57 2 62 12.86 2 4.29kN 6 1 2.57 2 62 12.86 2 7.72kN 6