甘肃省天水市第一中学2020年高三上学期12月月考数学(理)试题
甘肃省天水一中2020届高三上学期第一阶段考试数学(理)试题 Word版含答案
5．D
【解析】
∵ 是偶函数
∴
当 时， ，又
∴
故选：D
6．D
【解析】对于 ，∵ ，当 趋向于 时，函数 趋向于0， 趋向于
∴函数 的值小于0，故排除
对于 ，∵ 是周期函数
∴函数 的图像是以 轴为中心的波浪线，故排除
对于 ，∵ 的定义域是 ，且在 时，
∴ ，故排除
对于 ，∵函数 ，当 时， ；当 时， ；且 恒成立
23．（10分）已知 函数
(1)当 时,求不等式 的解集；
(2)当 的最小值为3时,求 的最小值.
天水一中2020届2019—2020学年度第一学期第一次考试
数学理科试题参考答案
1．A
【解析】
【分析】
本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】
，则
【点睛】
易于理解集补集的概念、交集概念有误.
与 相互独立， 与 互斥， 与 互斥，且 ， ， ，再
利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知 ，分别求得 ， ， ， ，即可知 的概率分布及其期望.
试题解析：（1）记事件 ｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝， ｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝
｛顾客抽奖1次获一等奖｝， ｛顾客抽奖1次获二等奖｝， ｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意， 与 相互独立， 与 互斥， 与 互斥，且 ， ， ，
【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式, ,这是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边”.
18．（1） ；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）记事件 ｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝， ｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝
天水市第一中学高三数学上学期第三阶段(12月)月考试题文(扫描版)
甘肃省天水市第一中学2017届高三数学上学期第三阶段（12月）月考试题文（扫描版）参考答案1-5 CDAAA 6-10 CCCAB 11-12 DC13.14.15.16.17．（1）；（2）【解析】，所以，由正弦定理得，，由，由于，因此，所以，由于，（2）由余弦定理得，因此，当且仅当时，等号成立；因此面积，因此面积的最大值．18. 略19．（I）；（II）试题解析：（I）时，时，，又，两式相减得为是以1为首项，2为公差的等差数列，即. （II），——12分20．（1）见解析；（2）4．试题解析：（1）解法一：直线恒过定点，且点在圆的内部，所以直线与圆总有两个不同交点.解法二：联立方程，消去并整理，得.因为，所以直线与圆总有两个不同交点.解法三：圆心到直线的距离，所以直线与圆总有两个不同的交点.（2），．21．（Ⅰ）x-y-1=0；（Ⅱ）试题解析：（Ⅰ）的定义域为．当=1时，所以曲线在处的切线方程x-y-1=0（Ⅱ）当时，等价于令，则，（ⅰ）当，时，，故在上单调递增，因此；（ⅱ）当时，令得，由和得，故当时，，在单调递减，因此．综上，的取值范围是22．试题解析：（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为.（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.23．（Ⅰ）；（Ⅱ）．试题解析：（Ⅰ）当时，.解不等式，得.因此，的解集为.（Ⅱ）当时，，当时等号成立，所以当时，等价于. ①当时，①等价于，无解.当时，①等价于，解得.所以的取值范围是.。
考点03 逻辑联结词及数学归纳法(解析版)
考点48 逻辑联结词及数学归纳法一．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词． (2)命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断二．量词2.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定三．数学归纳法1．由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法． 2．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下： (1)归纳奠基：证明取第一个自然数n 0时命题成立；(2)归纳递推：假设n ＝k (k ∈N *，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题成立； (3)由(1)(2)得出结论．知识理解考向一 命题的否定【例1】（2021·四川成都市·高三二模（理））命题“0x ∀>，210x x ++>”的否定为（ ）A ．00x ∃≤，20010x x ++≤ B ．0x ∀≤，210x x ++≤ C ．00x ∃>，20010x x ++≤D ．0x ∀>，210x x ++≤【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“0x ∀>，210x x ++>”的否定是：00x ∃>，20010x x ++≤．故选：C ．【举一反三】1．（2021·全国高三月考（理））命题“0x R ∃∈，002ln 0x x +≤”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，2ln 0x x+≥ B ．x R ∀∈，2ln 0x x+> C ．0x R ∃∈，002ln 0x x +≥ D ．0002,0x R lnx x ∃∈+> 【答案】B【解析】命题“0x R ∃∈，002ln 0x x +≤”为特称命题，该命题的否定为“x R ∀∈，2ln 0x x+>”. 故选：B.2．（2021·湖南岳阳市）命题“()1,x ∀∈+∞，21x e x ≥+”的否定是（ ） A ．()1,x ∃∈+∞，21x e x ≥+ B ．()1,x ∀∈+∞，21x e x <+ C ．()1,x ∃∈+∞，21x e x <+ D ．()1,x ∀∈+∞，21x e x ≥+【答案】C【解析】命题“()1,x ∀∈+∞，21x e x ≥+”为全称命题，该命题的否定为“()1,x ∃∈+∞，21x e x <+”. 故选：C.考向分析3．（2021·泰州市第二中学）巳知命题p ：0x ∃>，10x e x --≤，则命题p 的否定为（ ） A ．0x ∀≤，10x e x --＞ B ．0x ∀>，10x e x --> C ．0x ∃>，10x e x --≥ D ．0x ∃≤，10x e x --＞【答案】B【解析】命题p ：0x ∃>，10x e x --≤，则命题p 的否定为0x ∀>，10x e x -->. 故选：B考向二 逻辑连接词求参数【例2】（2021·全国高三专题练习）若命题“200[1,2],2x x a ∃∈--+”是假命题，则实数a 的范围是（ ） A ．2a > B ．2a C ．2a >- D ．2a -【答案】A【解析】若命题“200[1,2],2x x a ∃∈--+”是假命题，则命题“2[1,2],2x x a ∀∈--+<”是真命题， 当0x =时，()2max22x -+=，所以2a >.故选：A. 【举一反三】1．（2021·天水市第一中学高三月考（理））已知命题():1,3p x ∃∈-，220x a --≤.若p 为假命题，则a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞- B ．(),1-∞-C ．(),7-∞D ．(),0-∞【答案】A 【解析】p 为假命题，∴():1,3p x ⌝∀∈-，220x a -->为真命题，故22a x <-恒成立，22y x =-在()1,3x ∈-的最小值为2-，∴2a <-. 故选：A.2．（2020·北京人大附中高三月考）若命题“x R ∃∈，使得2210ax x ++＜成立”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1，+∞) B ．[0，+∞)C ．(-∞，1)D ．(-∞，0]【答案】A 【解析】命题“x R ∃∈，使得2210ax x ++＜成立”为假命题, 则它的否定命题: “x R ∀∈，2210ax x ++≥”为真命题所以0440a a >⎧⎨∆=-≤⎩ 解得1a ≥，所以实数a 的取值范围是[1,)+∞ 故选：A.3．（2020·江西高三期中（文））存在[1,1]x ∈-，使得230x mx m +-≥，则m 的最大值为（ ） A ．1 B ．14C ．12D ．-1【答案】C【解析】由不等式230x mx m +-≥，可化为23x m x≤-，设()[]2,1,13x f x x x=∈--，则()()()2226(6)33x x x x f x x x ---'==--，当[1,0)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(0,1]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，又由()11(1),142f f -==，所以函数()f x 的最大值为()112f =， 要使得存在[1,1]x ∈-，使得230x mx m +-≥，则12m ≤，则m 的最大值为12. 故选：C.考向三 数学归纳法【例3-1】（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋121n -＜n (n ∴N *，n ≥2)”时，由n ＝k (k ≥2)时不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是（ ） A ．2k －1 B ．2k －1 C ．2k D ．2k ＋1【答案】C【解析】n k =时，左边=1111 (2321)k ++++-，而n ＝k ＋1时，左边＝11111111 (232122121)k k k k +++++++++-+-，增加了1111 (22121)k k k +++++-，共(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k 项， 故选：C.【例3-2】．（2020·全国高三专题练习）设等比数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-. （1）计算23,a a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明； （2）求数列{}2nn a 的前n 项和n S .【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-+. 【解析】（1）由题意，等比数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-， 可得21345a a =-= ，323427a a =-⨯=，，猜想{}n a 的通项公式为21n a n =+，证明如下：（数学归纳法）当1,2,3n =时，显然成立； ∴ 假设n k =时，即21k a k =+成立；其中*(N )k ∈， 由134k k a a k +=-3(21)4k k =+-2(1)1k =++ ∴故假设成立，综上（1）（2），数列{}n a 的通项公式21n a n =+*()n N ∈.（2）令2(21)2n nn n b a n ==+，则前项和1212...3252...(21)2n n n S b b b n =+++=⨯+⨯+++ ∴由∴两边同乘以2得：23123252...(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯++-++ ∴由∴-∴的322112(12)3222...2(21)26(21)212n n n n n S n n -++--=⨯+⨯++-+=+-+-， 化简得1(21)22n n S n +=-+. 【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式123(21)(1)(21)n n n +++++=++时，从n k=到1n k =+等式左边需增添的项是（ ） A ．22k + B ．[]2(1)1k ++ C ．[(22)(23)]k k +++ D ．[][](1)12(1)1k k ++++ 【答案】C【解析】当n k =时，左边123(21)k =+++++，共21k +个连续自然数相加，当1n k =+时，左边123(21)(22)(23)k k k =+++++++++，所以从n k =到1n k =+，等式左边需增添的项是[(22)(23)]k k +++. 故选：C.2．（2021·全国高三专题练习）设集合T n ＝{1，2，3，…，n }（其中n ≥3，n ∴N *），将T n 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为S n ． （1）求S 3，S 4，S 5的值； （2）试求S n 的表达式．【答案】（1）S 3＝1，S 4＝5，S 5＝15；（2）41n C + .【解析】（1）当n ＝3时，T 3＝{1，2，3}，3元子集有：{1，2，3}，∴S 3＝1；当n ＝4时，T 4＝{1，2，3，4}，3元子集有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，∴S 4＝1×3+2＝5；当n ＝5时，T 5＝{1，2，3，4，5}，3元子集有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，222543212315S C C C ∴=⨯+⨯+⨯=．（2）由S 3＝1，S 4＝5，S 5＝15，S 6＝35…归纳猜想出41n n S C +=（n ≥3）．下面用数学归纳法证明猜想：∴当n ＝3时，S 3＝1＝44C ，结论成立；∴假设n ＝k （k ≥3，k ∴N *）时，结论成立，即S k ＝41k C +，则当n ＝k +1时，T k +1＝{1，2，3，4，…，k ，k +1}，()()1111111232123...21k k k k k S S C C C k C k C +---⎡⎤=+++++-+-⎣⎦()()()(){}411111122112...21k k k C k C k C k k C k k C +--=+-+-++--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()(){}4111111111211231...23...1k k k C k C C C C C C k C +--⎡⎤=++++-++++-⎣⎦ ()422311k k k k C kC kC C ++⎡⎤=+--⎣⎦ ()4341111k k k C C C ++++=+=∴当n ＝k +1时，结论成立． 综上：由∴∴可得()413n n S C n +=≥．1．（2021·涡阳县育萃高级中学）已知命题:p x R ∀∈，2104x x -+，则p ⌝（ ） A ．21,04x x x ∃∈-+R B ．21,04x x x ∃∈-+>R C ．21,04x x x ∀∈-+>R D ．21,04x x x ∀∈-+<R 【答案】B【解析】命题p 为全称命题，根据全称命题的否定为特称命题，可得：p ⌝： 21,04x x x ∃∈-+>R 故选：B2．（2021·漠河市高级中学高三月考（文））下列说法正确的是（ ） A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．命题“若cos cos x y ≠，则x y ≠”的否命题是“若cos cos x y =，则x y ≠”C ．“0x <”是“20x x ->”的充要条件强化练习D ．若p ：x ∀∈R ，2320x x --<，则p ⌝：0x ∃∈R ，200320x x --.【答案】D【解析】对于A 选项，若p q ∨为真命题，可能p 真q 假，则p q ∧为假，故A 选项错误.对于B 选项，命题“若cos cos x y ≠，则x y ≠”的否命题是“若cos cos x y =，则x y =”，故B 选项错误. 对于C 选项，当2x =时，20x x ->，所以“0x <”不是“20x x ->”的充要条件，C 选项错误. 根据全称量词命题的否定的知识可知，D 选项正确. 故选：D3．（2021·全国高三专题练习）下列关于命题的说法中正确的是（ ）∴对于命题P ：x R ∃∈，使得210x x ++<，则:P x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥ ∴“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件∴命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则2320x x -+≠” ∴若p q ∧为假命题，则p ､q 均为假命题 A ．∴∴∴ B ．∴∴∴ C ．∴∴∴∴ D ．∴∴【答案】A【解析】∴对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈均有210x x ++，故∴正确；∴由“1x =”可推得“2320x x -+=”，反之由“2320x x -+=”可能推出2x =，则“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，故∴正确；∴命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则2320x x -+≠”，故∴正确； ∴若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，故∴错误． 则正确的命题的有∴∴∴． 故选：A4．（2021·河南高三其他模拟（文））命题:p “0,2sin 0x x x ∀≥-≥”的否定为（ ）A ．0,2sin 0x x x ∀≥-<B ．0,2sin 0x x x ∀<-<C ．0000,2sin 0xx x ∃≥-< D ．0000,2sin 0xx x ∃<-<【答案】C【解析】命题:p “0,2sin 0xx x ∀≥-≥”是全称命题，又全称命题的否定是特称命题，故“0x ∀≥，2sin 0x x -≥”的否定是“0000,2sin 0xx x ∃≥-<”.故选：C.5．（2021·山东菏泽市·高三一模）命题“2,0∈≥∀x R x ”的否定是（ ）A ．2,0x R x ∃∈≥B ．2,0x R x ∀∈<C ．2,0x R x ∃∈<D ．2,0x R x ∃∈≤【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：x R ∀∈，20x ≥的否定是：x R ∃∈，20x <.故选：C6．（2021·四川成都市·石室中学高三月考（理））设命题:0p x ∀≤x =-，则p ⌝为（ ） A ．0x ∀≤x ≠- B ．00x ∃≤0x =- C ．0x ∀>x =- D ．00x ∃≤0x ≠-【答案】D【解析】命题p 为全称命题，该命题的否定为0:0p x ⌝∃≤0x ≠-. 故选：D.7．（2020·湖北武汉市·华中师大一附中高三期中）“0m >”是“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，命题“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题” 可得命题“x R ∀∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+>是真命题” 当10m -=时，即1m =时，不等式30>恒成立；当10m -≠时，即1m ≠时，则满足()()210214130m m m ->⎧⎪⎨⎡⎤---⨯<⎪⎣⎦⎩，解得14m <<，综上可得，实数14m ≤<，即命题“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”时，实数m 的取值范围是[1,4)，又由“0m >”是“14m ≤<”的必要不充分条件，所以“0m >”是“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的必要不充分条件， 故选：B.8．（2021·全国高三专题练习）若命题“∀[]1,4x ∈时，240x x m --≠”是假命题，则m 的取值范围（ ） A ．[4,3]-- B ．()-∞,-4 C ．[4,)-+∞ D ．[4,0]-【答案】D【解析】若命题“[1x ∀∈，4]时，240x x m --≠”是假命题， 则命题“[1x ∃∈，4]时，240x x m --=”是真命题, 则24m x x =-，设22()4(2)4f x x x x =-=--， 当14x 时，4()0f x -,则40m -. 故选：D ．9．（2020·江苏海门市·高三月考）命题“[]21220x x a ∀∈-≤，，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．4a ≤D ．4a ≥【答案】D【解析】“[]21220x x a ∀∈-≤，，”为真命题，可得2a ≥，因为[)[)4,2,+∞⊂+∞ ， 故选:D .10．（2021·全国高三专题练习）已知命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，则a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．()2,+∞C ．(],2-∞D ．(),2-∞【答案】A【解析】因为命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，所以240ax ax --≥对2x >恒成立， 所以()242a x x x≥>-恒成立．因为2x >， 所以22x x ->，则242x x<-， 故2a ≥． 故选：A11．（2020·全国高三专题练习）用数学归纳法证明“(1)(2)()213(21)nn n n n n ++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-”，从“k到1k +”左端需增乘的代数式为（ ） A ．21k + B ．2(21)k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 【答案】B【解析】当n k =时，等式的左边(1)(2)()k k k k =++⋅⋅⋅⋅⋅+，当1n k =+时，等式的左边(11)(12)()(1)(2)k k k k k k k k =++++⋅⋅⋅⋅⋅+++++， 所以当从“k 到1k +”左端增乘的代数式为(1)(2)2(21)1k k k k k k ++++=++.故选：B.12．（多选）（2021·恩施市第一中学）下列命题正确的有（ ） A ．命题“x R ∀∈，20x ≥”的否定是“x R ∃∈，20x <”． B ．函数()cos f x x =向右平移2π个单位得到函数解析式为()sin g x x =． C ．函数()21f x x =-的零点为()1,0-，()1,0．D ．1弧度角表示：在任意圆中，等于半径长的弦所对的圆心角． 【答案】AB【解析】对A ，根据全称命题的否定性质，A 为正确的； 对B ，()cos f x x =向右平移2π个单位得到函数()cos()sin 2g x x x π=-=；对C ，函数零点是数而不是点，故C 错误；对D ，1弧度角表示为在任意圆中，等于半径长的弧所对的圆心角，故D 错误； 故选：AB.13．（多选）（2021·全国高三专题练习）下列命题中正确的是（ ） A ．(0,)x ∃∈+∞，23x x >B ．(0,1)x ∃∈，23log log x x <C ．(0,)x ∀∈+∞，121()log 2xx >D ．1(0,)3x ∀∈，131()log 2xx < 【答案】BD【解析】对于选项A ：当0x >时，22133xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以23x x <恒成立，故选项A 不正确；对于选项B ：当(0,1)x ∈时，23log lg lg 3lg 31log lg 2lg lg 2x x x x =⨯=>，且3log 0x <，所以23log log x x <，故选项B 正确；对于选项C ：当12x =时，1211()()222x ==，11221log log 12x ==，则121log ()2x x >，故选项C 不正确； 对于选项D ：当13x =时，131log 13=，由对数函数和指数函数的性质可知，当1(0,)3x ∈时，131()1log 2x x <<，故选项D 正确； 故选：BD14．（多选）（2021·全国高三专题练习）若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ可能取值是（ ） A ．32B．C ．3 D ．92【答案】AB【解析】由条件可知1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2210x x λ-+≥是真命题， 即22112x x x xλ+≤=+，即min 112,,22x x x λ⎛⎫⎡⎤≤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，设()112,22f x x x x ⎡⎤=+≥=∈⎢⎥⎣⎦等号成立的条件是112,222x x x ⎡⎤=⇒=∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x的最小值是即λ≤AB. 故选：AB15．（2021·江西高三其他模拟（文））已知命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】18a >【解析】因为命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题， 所以命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是真命题，当0a =时，得2x <，故命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是假命题，不合题意；当0a ≠时，得0180a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得18a >.故答案为：18a >16．（2021·全国高三专题练习）若“存在x ∴[﹣1，1]，3210x x a ⋅++>成立”为真命题，则a 的取值范围是___．【答案】9(,)2-+∞【解析】存在x ∴[﹣1，1]，3210xxa ⋅++>成立，即213x xa +-<在[1,1]x ∈-上有解， 设2121()333x xx xf x +⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[1,1]x ∈-， 易得y ＝f (x )在[﹣1，1]为减函数， 所以()[(1),(1)]f x f f ∈-，即213()3332f x +≤≤+，即91()2f x ≤≤， 即92a -<，所以92a >-， 故答案为：9(,)2-+∞．17．（2020·江西高三其他模拟（文））若命题:p x R ∃∈，210x mx -+<为假命题，则m 的取值范围是______． 【答案】[]22-,【解析】命题:p x R ∃∈，210x mx -+<为假命题，p ∴⌝：x R ∀∈，210x mx -+≥为真命题，则240m ∆=-≤，解得22m -≤≤，即m 的取值范围是[]22-,. 故答案为：[]22-,. 18．（2020·北京密云区·高三期中）若“01x ∃>，使得11x a x +<-.”为假命题，则实数a 的最大值为___________. 【答案】3【解析】由“∴x 0>1，使得11x a x +<-.”为假命题，可知，“11,1x x a x ∀>+≥-”为真命题， 11a x x ∴≤+-恒成立，由11111311x x x x +=-++≥=--，当且仅当2x =时取等号， 即a 的最大值为3. 故答案为：3.19．（2021·湖南永州市·高三二模）若对[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】解：因为[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，所以[]1,2x ∀∈，都有1a x≤，令()1g x x =，[]1,2x ∈，因为()1g x x=，在[]1,2x ∈上单调递减，所以()()min 122g x g ==，所以12a ≤，即实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦20．（2020·全国高三月考（文））已知命题():0,p x ∀∈+∞，2230x mx -+>，命题:q m a <；若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______.【答案】()+∞【解析】设命题():0,p x ∀∈+∞，2230x mx -+>成立对应的m 的范围为集合A ，{}|B m m a =<若()0,x ∀∈+∞，223x mx +>，则32x m x +>，所以min 32m x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭而32x x +≥32x x =，即x =时等号成立，所以min32x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭m <{|A m m =<，因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B，所以a > 即实数a的取值范围为()+∞.故选答案为：()+∞21．（2020·凌海市第二高级中学高三月考）命题“2,1x R x t ∀∈>+”为真命题，则实数t 的取值范围是__________. 【答案】(),1-∞- 【解析】命题“2,1x R x t ∀∈>+”为真命题，且20x ≥，10t ∴+<，则1t <-，故实数t 的取值范围是(),1-∞-.故答案为：(),1-∞-.22．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明()2511222n n N -*++++∈能被31整除时，从k 到1k +添加的项数共有__________________项（填多少项即可）． 【答案】5【解析】当n k =时，原式为：251122...2k -++++，当1n k =+时，原式为251551525354122...222222k k k k k k -+++++++++++++， 比较后可知多了55152535422222k k k k k ++++++++，共5项. 故答案为：523．（2020·浙江高三其他模拟）用数学归纳法证明：111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++，第一步应验证的等式是__________；从“n k =”到“1n k =+”左边需增加的等式是_________.【答案】11122-=()()1121121k k -+-+ 【解析】当1n =时，应当验证的第一个式子是11122-=，从“n k =”到“1n k =+”左边需增加的式子是()()1121121k k -+-+24．（2021·全国高三专题练习）设数列{}n a 满足11a =，12(23)n n a a n +=--. （1）计算2a ，3a .猜想{}n a 的通项公式并利用数学归纳法加以证明； （2）记2n nn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）23a =，35a =，21n a n =-；证明见解析；（2）1(23)26n n S n +=-⨯+.【解析】（1）由题意可得2121213a a =+=+=，3221615a a =-=-=， 由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列， 即21n a n =-， 证明如下：当1n =时，12111a =⨯-=成立； 假设n k =时，21k a k =-成立.那么1n k =+时，12(23)2(21)(23)212(1)1k k a a k k k k k +=--=---=+=+-也成立. 则对任意的*n ∈N ，都有21n a n =-成立；（2）因为(21)2n n b n =-.∴23123252(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯，∴ 23412123252(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯++-⨯，∴∴-∴得：2341222222222(21)2n n n S n +-=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()211122122(21)26(23)212n n n n n -++⨯-=+--⨯=---⨯-.∴1(23)26n n S n +=-⨯+.25．（2020·全国高三专题练习）已知数列{}n a 满足：11a =，点()()*1,n n a a n +∈N 在直线21y x =+上.（1）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想.【答案】（1）2343,7,15a a a ===，21n n a =-；（2）证明见解析.【解析】（1）因为点()()*1,n n a a n N +∈在直线21y x =+上所以121n n a a +=+， 因为11a =，故22113a =⨯+=，32317a =⨯+=， 427115a =⨯+=，由上述结果，猜想：21nn a =-.（2）1︒，当1n =时，1211a =-=成立，2︒，假设当()1,n k k k N =≥∈时，21kk a =-成立，那么，当1n k =+时，()1121221121kk k k a a ++=+=-+=-成立，由1︒，2︒可得21nn a =-.26．（2020·黑龙江哈尔滨市·高三月考（理））已知数列{}n a 满足1a m =，2n a ≠，11210n n n a a a ++-⋅-=. （1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 【答案】（1）212a m =-，3232m a m -=-，43243ma m-=-；（2）()()()121n n n m a n n m ---=--；证明见解析.【解析】1）因为11210n n n a a a ++-⋅-=，2n a ≠，所以112n na a +=-，又因为1a m = 211122a a m ==--，3212232m a a m -==--，43132243ma a m-==-- （2）()()()121n n n ma n n m---=--证明：1n =时，()1011ma m --==，结论成立 假设n k =时，结论成立，即()()()121k k k ma k k m---=--当1n k =+时：()()()()()()()()()11111122211221211k kk k m a k k m k k m k k m a k km k k m k k m+--====-------+--+------ 结论成立.综上，数列通项为()()()121n n n m a n n m---=-- 27（2020·云南师大附中高三月考（理））设数列{}n a 满足11a =，23a =，当()11112n n n n n a a a n a a -+-+=+++.（1）计算3a ，4a ，猜想{}n a 的通项公式，并加以证明. （2）求证：()()()2221244474111n a a a +++<+++. 【答案】（1）35a =，47a =，21n a n =-，证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）解：由11a =，23a =， 所以()123121225a a a a a +=++=+，()234231327a a a a a +=++=+. 猜想：21n a n =-，证明：当2n =时，由11a =，23a =，故成立；假设n k =（2k ≥）时成立，即21k a k =-， 所以()()1111221211k k k k k a a a k k k a a -+-+=++=+=+-+，即当1n k =+时成立，综上所述，21n a n =-. （2）证明：由（1）知，()22411n n a =+， 所以()()()22212444111n a a a ++++++22222211111111221311n n =+++<++++--- ()()1111132411n n =++++⨯⨯-+111111111111232435211n n n n ⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪--+⎝⎭11117112214n n ⎛⎫=++--< ⎪+⎝⎭，证毕.。
2020届甘肃省天水市第一中学等八校联考高三12月联考数学(文)试题(含答案解析)
2020届甘肃省天水市第一中学等八校联考高三12月联考数学（文）试题一、单选题 1．34()12ii-=+A ．12i -B ．2i -C ．2i --D ．12i --【答案】D【解析】上下同时乘以12i -再化简即可. 【详解】234(34)(12)31081051212(12)(12)55i i i i i i i i i i ----+--====--++- 故选D 【点睛】本题主要考查复数的四则运算,属于基础题型.2．已知全集为R ,集合{}2|2A x x x =+-<0，{}2|0B x x x =-+<，则()()R A C B ⋃=A ．[)(,2)1,-∞-⋃+∞ B ．(,0](1,)-∞+∞U C ．(2,1]- D ．(]1,1-【答案】C【解析】分别求得集合,A B 再求()R A C B U 即可. 【详解】{}{}{}2|2|(2)(1)|21A x x x x x x x x =+-<0=+-<0=-<< {}{}2|0|(1)0{|1B x x x x x x x x =-+<=->=>或0}x <故{}|01R C B x x =≤≤,故{}()|21R A C B x x ⋃=-<≤ 故选：C 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,属于基础题型.A ．44B ．55C ．143D ．176【答案】A【解析】根据等差数列的性质计算即可. 【详解】由等差数列{}n a 中,则5766842,a a a a ===+,故1161144S a == 故选：A 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本性质,包括等和性与当n 为奇数时,前n 项和12n n S na += .属于基础题型.4．函数3()cos ()xx x xf x e+=的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】先分析奇偶性,再分析当0x +→时函数值的正负即可. 【详解】33()cos ()cos ()()x xx x x x x xf x f x e e--+-==-=-,故()f x 为奇函数.排除C,D 又当0x +→时, 30,cos 00,xx x x e +>>>,此时()0f x >,排除B故选A 【点睛】本题主要考查了函数图像的判断,一般先分析奇偶性,再分析特殊位置的正负即可.属于基础题型.5．动点A 在圆221x y +=上移动时，它与定点()3,0B 连线的中点的轨迹方程是 （ ）A ．22320x y x +++=B ．22320x y x +-+=C ．22320x y y +++=D ．22320x y y +-+=【答案】B【解析】设连线的中点为(,)P x y ,再表示出动点A 的坐标,代入圆221x y +=化简即可. 【详解】设连线的中点为(,)P x y ,则因为动点(,)A A A x y 与定点()3,0B 连线的中点为(,)P x y ,故3232202A A A A x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩ ,又A 在圆221x y +=上,故22(23)(2)1x y -+=, 即2222412941,412840x x y x x y -++=-++=即22320x y x +-+= 故选：B 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的一般方法,属于基础题型.6．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若//,m n αβ⊥且m n ⊥则αβ⊥ B ．若,m n αβ⊥⊥且//m n 则//αβ C ．若,////m n m n αβαβ⊥⊥且则 D ．若,m n αβ⊂⊂且//m n 则//αβ 【答案】B【解析】试题分析：对于A 中，若//,m n αβ⊥且m n ⊥则α与β可能是平行的，所以不正确；对于C 中，,////m n m αβα⊥且则可能//n β，所以不正确；对于D 中，若,m n αβ⊂⊂且//m n 则α与β可能是相交的，所以不正确，故选B ． 【考点】直线与平面位置关系的判定． 7．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2π)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( )A ．2，－3πB ．2，－6π C ．4，－6πD ．4，3π 【答案】A【解析】由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象，求得T 、ω和φ的值． 【详解】由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象知，3T 5π412=-（π3-）3π4=， ∴T 2πω==π，解得ω＝2；又由函数f （x ）的图象经过（5π12，2）， ∴2＝2sin （25π12⨯+φ）， ∴5π6+φ＝2kππ2+，k ∈Z ， 即φ＝2kππ3-，又由π2-＜φπ2＜，则φπ3=-；综上所述，ω＝2、φπ3=-．故选A ． 【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题． 8．与直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线的方程是（ ） A ．3450x y -+= B ．3450x y --= C ．3450x y +-= D ．3450x y ++=【答案】D直线上求解即可. 【详解】设所求直线上点的坐标x y （，），则关于x 轴的对称点的坐标x y -（，）在已知的直线3450x y -+=上，所以所求对称直线方程为：3450x y ++=,故选D ． 【点睛】本题主要考查对称直线的方程，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.9．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ）A ．甲走桃花峪登山线路B ．乙走红门盘道徒步线路C ．丙走桃花峪登山线路D ．甲走天烛峰登山线路【答案】D【解析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可. 【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,(1,2,,6)i E i =L 分别是棱的中点，则多面体1123456B E E E E E E 的体积为（ ）A ．916B ．14C ．38D ．13【答案】C【解析】由题易得123456E E E E E E 为正六边形,故连接对角线取中心O ,再求得高1B O 与底面123456E E E E E E 面积即可. 【详解】取123456E E E E E E 为正六边形中心O ,则易得1,,D O B 共线,再建立如图空间直角坐标系,则1(1,1,1)DB =u u u u r ,14(1,0,1)E E =-u u u u r ,1611(0,,)22E E =-u u u u r 故1140DB E E ⋅=u u u u r u u u u r ,1160DB E E ⋅=u u u u r u u u u r故1OB ⊥面123456E E E E E E ,故1123456B E E E E E E 体积123456211132336()3328E E E E E E V S OB =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=故选：C本题主要考查立体几何中的垂直平行关系,同时注意正六边形的面积可以用六个小正三角形进行计算,属于中等题型.11．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB BCD ⊥平面，BCD V 是边长为3的等边三角形，若2AB =，则球O 的表面积为( ) A ．16π B ．323π C ．12π D ．32π【答案】A【解析】先求底面外接圆直径,再求球的直径,再利用表面积2S D π=求解即可. 【详解】BCD V外接圆直径sin CD d CBD ===∠ ,故球的直径平方22222216D AB d =+=+=,故外接球表面积216S D ππ== 故选：A 【点睛】本题主要考查侧棱垂直底面的锥体外接球表面积问题,先利用正弦定理求得底面直径d ,再利用锥体高h ,根据球直径D =求解即可.属于中等题型.12．设21,1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩,若方程1()2f x kx =-恰有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A．2) B ．(2,)eC．1(2 D．1(2【答案】C【解析】画出函数图像,再根据直线12y kx =-与()f x 有四个交点分析即可. 【详解】画出21,1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩图像,由12y kx =-过定点1(0,)2,故将直线绕着1(0,)2旋转进行分析,得出临界条件如图,直线过(1,0)B 和与ln y x =相切时为临界条件.当12y kx =-过(1,0)B 时,易得12k =.当1y kx =-与ln y x =相切时,设切点(,ln )A x x ,1'y =,故在(,ln )A x x 处切线斜率11k x =,故1111ln ()120x k x x --==-,故11ln 2x =,故1x e =,故11k x e == 故k 的取值范围是1(,)2e故选C 【点睛】本题主要考查了数形结合解决分段函数零点的问题,重点是画出图像,分析满足条件时的情况,再求得临界条件,最后得出斜率的取值范围,属于难题.二、填空题13．若向量(1,2)a x =+r和向量(1,2)b =-r 垂直，则a b -=r r _______．【答案】5【解析】利用垂直0a b ⋅=r r 求得x ,再求出a b -r r的向量坐标,进而求得模长即可.【详解】因为向量(1,2)a x =+r 和向量(1,2)b =-r 垂直,所以0a b ⋅=r r, (1,2)(1,2)0x +⋅-=故140,3x x +-==,故(4,2)a =r,故(41,2(2))(3,4)a b -=---=r r故22345a b -=+=r r故答案为5 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算,包括垂直的性质以及模长的运算等,属于基础题型. 14．函数3()2ln 2f x x x =-+的图象在1x =处的切线方程为【答案】20x y -+= 【解析】先求导函数'()f x ,再代入1x =于'()f x 内求得斜率, 代入1x =于()f x 内求得切点坐标,再用点斜式求直线方程即可. 【详解】由题3(1)12ln123f =-+=,又22'()3f x x x=-,故3()2ln 2f x x x =-+在(1,3)处的斜率为2'(1)311f =-=,故在(1,3)处的切线方程为31(1)20y x x y -=⨯-⇒-+= 故答案为：20x y -+= 【点睛】本题主要考查了导数几何意义,求在某点处切线的方程,属于基础题型. 15．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数．．，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+______.【答案】3+【解析】先根据等差中项的性质可知得2×（312a ）=a 1+2a 2，进而利用通项公式表示出q 2=1+2q ，求得q ，代入91078a a a a ++中即可求得答案．【详解】 依题意可得2×（312a ）=a 1+2a 2， 即，a 3=a 1+2a 2，整理得q 2=1+2q ， 求得∵各项都是正数 ∴q ＞0，∴91078a a a a ++=89116711a q a q a q a q ++故答案为：3+【点睛】知识的理 解．16．在直三棱柱111ABC A B C -中,若1BAC 90,AB AC AA °?== ，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于_________ 【答案】60o【解析】建立空间直角坐标系分别求得1=(0,1,1)BA -u u u r ，1(1,0,1)AC =u u u r，再利用111111,cos BA AC BA AC BA AC =×u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 即可得到所求角大小．【详解】Q 三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱,且BAC 90︒∠=∴ 以点A 为坐标原点，分别以AC ，AB ，1AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系设1=1AB AC AA ==，则(0,0,0)A ,(0,1,0)B ,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)C1=(0,1,1)BA -u u u r Q ，1(1,0,1)AC =u u u r∴1111111co 2,s 22BA AC BA AC BA AC ===´×u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r 又Q 异面直线所成的角在鞍（0,90]∴ 异面直线1BA 与1AC 所成的角等于60︒ ．【点睛】本题考查了异面直线所成角的计算，一般建立空间直角坐标系利用向量法来解决问题，属于中档题．三、解答题17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC ⊥BC ，AB ⊥1BB ，12AC BC BB ===，D 为AB 的中点，且CD ⊥1DA .(1)求证：1BB ⊥平面ABC ；(2)求三棱锥11B A DC -的体积.【答案】解：(1)见解析；(2)1111B A DC A B D V V --三棱三棱 ＝＝1311A B D S ∆·CD ＝16A 1B 1×B 1B×CD ＝16×2×2×2＝43. 【解析】本题考查线线垂直，线面垂直及多面体的体积的求法技巧，转化思想的应用，考查计算能力（1）证明CD ⊥BB 1，通过BB1⊥AB ，AB∩CD=D ，即可证明BB1⊥面ABC （2）所求的体积进行等价转化可以知道几何体的体积．解：(1)∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB ，又∵CD ⊥DA 1，∴CD ⊥平面ABB 1A 1，∴CD ⊥BB 1，又BB 1⊥AB ，AB∩CD ＝D ，∴BB 1⊥平面ABC(2)由(1)知CD ⊥平面AA 1B 1B ，故CD 是三棱锥C －A 1B 1D 的高，在Rt △ACB 中，AC ＝BC ＝2，∴AB ＝2，CD 2，又BB 1＝2，∴1111B A DC A B D V V --三棱三棱 ＝＝1311A B D S ∆·CD ＝16A 1B 1×B 1B×CD ＝16×2×2×2＝43 【详解】请在此输入详解！18．已知半径长为5的圆C 截y 轴所得弦长为6，圆心在第一象限且到直线:20l x y +=65． （1）求这个圆的方程；（2）求经过()1,0P -与圆C 相切的直线方程．【答案】（1）22(4)(1)25x y -+-=；（2）125120x y ++=和1x =-.【解析】(1)设圆心(,)C a b ,半径r =5,利用圆C 截y 轴所得弦长为6算出4a =.再利用C 到直线:20l x y +=的距离为655算得1b =即可. (2)分情况当斜率不存在时判断是否满足条件,再考虑当斜率存在时,设过()1,0P -的点斜式方程,再利用与圆C 相切列出圆心到直线的距离等于半径的方程,求解即可.【详解】由题圆心(,)C a b ,半径r =5Q 截y 轴弦长为62925,0a a ∴+=>Q 4a ∴=,由C 到直线:20l x y +=的距离为655,4265,55b d +==1,=b 所以圆的方程为22(4)(1)25x y -+-=（2）分情况讨论：当直线存在斜率时,设切线方程为：(1)y k x =+由C 到直线(1)y k x =+的距离222515(51)25(1)1k k k k -=⇒-=++125k ∴=- ∴切线方程：125120x y ++= 当直线过点()1,0-且斜率不存在时,方程1x =-也是所求的切线方程.综上,切线方程为125120x y ++=和1x =-【点睛】本题主要考查了直线与圆的方程问题.重点在于根据题目条件找到圆心半径的关系,相交一般利用垂径定理,相切一般用圆心到直线的距离等于半径列式求解.同时注意求过定点的直线时,要分斜率存在与不存在的情况,属于中等题型.19．如图，在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 长为3，且10cos B =，1cos 4ADC ∠=-．（1）求sin BAD∠的值；（2）求AC边的长．【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ）4；【解析】（1）由同角三角函数的关系、三角形内角的范围和两角差的正弦公式即可求出. （2）在ABDV中，利用正弦定理得2BD=，在ADCV中利用余弦定理即可求出. 【详解】解：()1因为10cos8B=，所以36sin8B=．又1cos4ADC∠=-，所以15sin ADC∠=，所以()sin sinBAD ADC B∠=∠-∠15101366sin cos cos sin4ADC B ADC B⎛⎫=∠-∠=-=⎪⎝⎭．()2在ABDV中，由sin sinAD BDB BAD=∠366=解得2BD=．故2DC=，在ADCV中，由余弦定理得2222cosAC AD DC AD DC ADC=+-⋅⋅∠22132232164⎛⎫=+-⨯⨯⨯-=⎪⎝⎭，得4AC=．【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题.20．已知数列{}n a的前n项和为n S，且22()n nS a n N*=-∈.（1）求数列{}n a的通项n a.（2）设(1)n nc n a=+，求数列{}n c的前n项和n T.【答案】（1）()*21,nna n n N=≥∈；（2）12nnT n+=⋅.【解析】(1)利用通项与前n 项和的关系求得关于n a 的递推公式满足等比数列,再求得首项与公比即可求得数列{}n a 的通项n a .(2) )2(1n nc n =+⋅为差比数列,故考虑用错位相减求和.【详解】解（1）1122,22(2,)n n n n S a S a n n N *--=-=-≥∈Q 两式相减得1122n n n n S S a a ---=-12n n a a -∴=,12(2)n n a n n N a *-∴=≥∈，即数列{a n }是等比数列． 1222(2,)n n n a n n N -*∴=⋅=≥∈112(1,)n n a S a n n N Q *=∴=≥∈(2)(1)2n n c n =+Q12312232422(1)2n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯ ①234122232422(1)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⨯++⨯ ②①﹣②得234142222(1)2n n n T n +-=++++⋅⋅⋅+-+⨯(1)2(12)2(1)212n n n +-=+-+⨯- 1112(1)22n n n n n +++=-+⨯=-⋅12n n T n +∴=⋅【点睛】本题主要考查了通项与前n 项和的关系,同时也考查了错误相减求和的方法,属于中等题型.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3100x y --=与圆O ：222(0)x y r r +=>相切．（1）直线l 过点(2，1)且截圆O所得的弦长为l 的方程；（2）已知直线y ＝3与圆O 交于A ，B 两点，P 是圆上异于A ，B 的任意一点，且直线AP ，BP 与y 轴相交于M ，N 点．判断点M 、N 的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1）2x =或34100x y +-=；（2）见解析.【解析】（1）记圆心到直线l 的距离为d ，利用垂径定理求得d ．当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为x=2，满足题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ﹣1=k （x ﹣2），利用圆心到直线的距离列式求得k ，则直线方程可求；（2）设P （x 1，y 1），由直线y=3与圆O 交于A 、B 两点，不妨取A （1，3），B （﹣1，3），分别求出直线PA 、PB 的方程，进一步得到M ，N 的坐标，由P 在圆上，整体运算可得M N y y ⋅为定值．【详解】∵直线x ﹣3y ﹣10=0与圆O ：x 2+y 2=r 2（r ＞0）相切，∴圆心O 到直线x ﹣3y ﹣10=0的距离为=（1）记圆心到直线l 的距离为d ，∴2=．当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为x=2，满足题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ﹣1=k （x ﹣2），即kx ﹣y+（1﹣2k ）=0．∴2d ==，解得k=﹣34，此时直线l 的方程为3x+4y ﹣10=0． 综上，直线l 的方程为x=2或3x+4y ﹣10=0；（2）点M 、N 的纵坐标之积为定值10．设P （x 1，y 1），∵直线y=3与圆O 交于A 、B 两点，不妨取A （1，3），B （﹣1，3），∴直线PA 、PB 的方程分别为y ﹣3=()11311y x x ---，y ﹣3=()11311y x x -++． 令x=0，得M （0，11131x y x --），N （0，11131x y x ++）， 则221111112111339111M N x y x y x y y y x x x -+-⋅=⋅=-+-（）． ∵点P （x 1，y 1）在圆C 上，∴221110x y +=，即221110y x =-，代入（）式，得()221121910101M N x x y y x --⋅==-为定值．【点睛】求定值问题常见的方法 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．已知定义在R 上的函数32()2(0)f x ax ax b a =-+>在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是11-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若[]1,1t ∈-时，()0f x tx +≤'恒成立，求实数x 的取值范围.【答案】（1）32()25f x x x =-+；（2）[0,1]【解析】（1）求出导函数，由导数确定单调性，得最值后可得,a b ，得解析式；（2）2()340,[1,1]f x tx x x tx t '+=-+≤∀∈-恒成立，作为t 的函数可以看作是一次函数，只要区间两个端点处函数值满足不等式即可．【详解】解：（1）2()34(0)f x ax ax a =->'令()0f x '=，解得0x =或43x =（舍）， 因为(2)16,(0),(1)f a b f b f a b -=-+==-+，由0a >知，()f x 在[2,0]-上单调递增，()f x 在[0,1]上单调递减，()f x 在[]2,1-上的最大值为(0)f ，最小值为(1)f -51611b a b =⎧∴⎨-+=-⎩， 解得51b a =⎧⎨=⎩， 32()25f x x x ∴=-+.（2）由（1）知2()34f x x x '=-，2()340,[1,1]f x tx x x tx t '+=-+≤∀∈-∴恒成立，令2()(34)g t x t x x =⋅+-，则()0g t ≤在[]1,1-上恒成立，等价于：(1)0(1)0g g -≤⎧⎨≤⎩，即22350330x x x x ⎧-≤⎨-≤⎩.解得01x ≤≤，故实数x 的取值范围为[0,1].【点睛】本题考查用导数研究函数的最值，考查不等式恒成立问题．解题中注意问题的转化，不等式恒成立问题常常要进行转化．。
甘肃省天水市第一中学2020届高三上学期第二次考试数学(理)试题 (含解析答案)
天水一中2020届高三第一学期第二次考试试题数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁B A=（） A. [3，+∞） B. （3，+∞）C. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D. （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 【答案】A 【解析】 因为2{|230}{|(1)(3)0}(1,3)A x x x x x x =--<=+-<=-，{}121(1,)x B x +==-+∞，所以[3,)B C A =+∞；故选A.2.下列说法错误的是（ ）A. 命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题是“若3x ≠，则2430x x -+≠”B. “1x >”是“||0x >”的充分不必要条件C. 若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D. 命题p ：“x R ∃∈，使得210x x ++<”，则非p ：“x R ∀∈，210x x ++≥” 【答案】C 【解析】 【分析】由命题的逆否命题为将条件、结论互换,再同时进行否定,可得A 正确； 由“||0x >”的充要条件为“0x ≠”,可得B 正确；由“且”命题的真假可得C 错误；由特称命题的否定为全称命题可得D 正确，得解. 【详解】解:对于选项A,命题的逆否命题为将条件、结论互换,再同时进行否定,可得命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题是“若3x ≠，则2430x x -+≠”,即A 正确；对于选项B, “||0x >”的充要条件为“0x ≠”,又“1x >”是“0x ≠”的充分不必要条件,即B 正确；对于选项C, p q ∧为假命题，则p 、q 至少有1个为假命题,即C 错误；对于选项D,由特称命题的否定为全称命题可得命题p ：“x R ∃∈，使得210x x ++<”，则非p ：“x R ∀∈，210x x ++≥”,即D 正确, 故选:C .【点睛】本题考查了四种命题的关系、充分必要条件及特称命题与全称命题，重点考查了简单的逻辑推理，属基础题.3.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①m α⊂，n ⊂α，m βP ，n βαβ⇒P P ②n m ∥，n m αα⊂⇒P ③αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒P ④m αP ，n m n α⊂⇒P 其中正确命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】A 【解析】①m α⊂，n α⊂，m P β，n βP ，则α与β可能相交，①错；②n m P ，n α⊂，则m 可能平面α内，②错；③αβP ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 可能异面，③错；④m αP ，n α⊂，则m 与n 可能异面，④错，故所有命题均不正确，故选A ．【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面平行判定与性质，属于中档题. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 4.若cos （8π-α）=16，则cos （34π+2α）的值为（ ） A.1718B. 1718-C. 1819D. 1819-【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式求出cos(2)4πα-的值，再利用诱导公式求出3cos(2)4πα+的值． 【详解】∵cos 8πα⎛⎫-⎪⎝⎭＝16， ∴cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝22cos 8πα⎛⎫- ⎪⎝⎭－1＝2×216⎛⎫ ⎪⎝⎭－1＝－1718，∴cos 324πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos 24ππα⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝－cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1718. 故选：A.【点睛】本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，是基础题．5.已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A. 1 B. 6C. 7D. 6或7【答案】B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.6.若直线()2200,0ax by a b ++=>>被圆222410x y x y ++++=截得弦长为4，则41a b+的最小值是（ ） A.12B. 4C. 9D.14【答案】C 【解析】【分析】由圆的标准方程可得，圆22(1)(2)4x y +++=的直径长为4，由题意可得直线()2200,0ax by a b ++=>>过圆的圆心()1,2--，则1a b +=，()0,0a b >>，再结合重要不等式求()a b +⋅41()a b+的最小值即可. 【详解】解：将圆的一般方程222410x y x y ++++=，化为标准式可得22(1)(2)4x y +++=，结合直线()2200,0ax by a b ++=>>被圆222410x y x y ++++=截得弦长为4，可得直线()2200,0ax by a b ++=>>过圆的圆心()1,2--，即2220a b --+=，则1a b +=，()0,0a b >>，则41a b +=()a b +⋅41()a b +=445529b a b aa b a b++≥+⋅=，当且仅当4b a a b =，即21,33a b ==时取等号，故选：C .【点睛】本题考查了圆的方程及直线与圆的位置关系，重点考查了重要不等式及运算能力，属中档题.7.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面ABC 是等边三角形，AA 1⊥底面ABC ，且AB =2， AA 1=1，则直线BC 1与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为（ ）2510 155【答案】C 【解析】 【分析】先作出直线BC 1与平面ABB 1A 1所成角，再根据直角三角形求结果. 【详解】取A 1B 1中点M ，连C 1M,BM,因为在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面ABC 是等边三角形，所以底面A 1B 1C 1是等边三角形， 从而C 1M ⊥A 1B 1,因为AA 1⊥底面ABC ，所以AA 1⊥底面A 1B 1C 1，即AA 1⊥C 1M ，从而C 1M ⊥平面ABB 1A 1，因此1C BM ∠为直线BC 1与平面ABB 1A 1所成角,因为2111315125,3sin5C B C M C BM =+==∴∠==,选C.【点睛】本题考查线面角，考查基本分析求解能力，属基础题. 8.已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 36π+B. 66π+C. 312π+D. 12【答案】A 【解析】由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积211113433436,4332V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+，故选A.9.,x y 满足约束条件20,{220,220.x y y x x y +-≤-+≥-+≥若2z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）A. 12或1-B. 1或12-C. 2或1D. 2或1-【答案】B 【解析】试题分析:由2z y ax =-得，2y ax z =+，作出可行域如下图所示，当22a =或21a =-时，即1a =或12a =-时，2z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，故选B.考点：线性规划.10.已知函数()()2730323(0)x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩，()3sin cos 4g x x x =++，若对任意[]3,3t ∈-，总存在0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()(0)f t a g s a +≤>成立，则实数a 的取值范围为( ) A. (]0,1 B. (]0,2 C. []1,2D. []2,9【答案】B 【解析】 【分析】分别求出()f x a +在[]3,3-的值域，以及()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域，令()f x a +在[]3,3-的最大值不小于()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值，得到a 的关系式，解出即可.【详解】对于函数()f x ，当0x ≤时，()733f x x =+， 由30x -≤≤，可得()[]4,3f t ∈-，当0x >时，()()222314f x x x x =-++=--+， 由03x <≤，可得()[]0,4f x ∈，∴对任意[]3,3t ∈-，()[]4,4f t ∈-，()[]4,4f t a a a +∈-+对于函数()cos 42sin 46g x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，2,663x πππ⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()4g x ⎡⎤∴∈+⎣⎦，∴对于0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()4g s ⎡⎤∈⎣⎦，Q 对任意[]3,3t ∈-，总存在0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()(0)f t a g s a +≤>成立，46a ∴+≤，解得02a <≤，实数a 的取值范围为(]0,2，故选B ．【点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）12,,x D x E ∀∈∀∈ ()()12f x g x ≥只需()()min max f x g x ≥；（2）1,x D ∀∈2x E ∃∈ ()()12f x g x ≥，只需()min f x ≥ ()min g x ；（3）1x D ∃∈，2,x E ∀∈ ()()12f x g x ≥只需()max ,f x ≥ ()max g x ；（4）12,x D x E ∃∈∃∈，()()12f x g x ≥，()max f x ≥ ()min g x . 11.已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足()sin sin AB AC OP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，(0,)λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A. 重心 B. 垂心C. 外心D. 内心【答案】A 【解析】试题分析：由正弦定理得sin sin AB B AC C t ==u u u r u u u r ，所以()1OP OA AB AC tλ=+⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r ，而2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ，所以()1AB AC tλ⋅+u u ur u u u r 表示与AD u u u r 共线的向量AP u u u r ，而点D 是BC 的中点，即P 的轨迹一定是通过三角形的重心，故选A. 考点：平面向量.【思路点晴】本题主要考查向量的加法和减法的几何意义，考查了解三角形正弦定理，考查了三角形四心等知识.在几何图形中应用平面向量加法和减法，往往要借助几何图形的特征，灵活应用三角形法则和平行四边形.当涉及到向量或点的坐标问题时，应用向量共线的充要条件解题较为方便.三角形的四心是：内心、外心、重心和垂心.12.已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y =-对称的点在()1g x kx =-的图像上，则k 的取值范围是( ) A. 13(,)34B. 13(,)24C. 1(,1)3D. 1(,1)2【答案】D 【解析】 【分析】根据对称关系可将问题转化为()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点；利用导数研究()f x 的单调性从而得到()f x 的图象；由直线1y kx =--恒过定点()0,1A -，通过数形结合的方式可确定(),AC AB k k k -∈；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得AC k 和AB k ，进而得到结果.【详解】()1g x kx =-关于直线1y =-对称的直线方程为：1y kx =--∴原题等价于()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点由1y kx =--可知，直线恒过点()0,1A - 当0x >时，()ln 12ln 1f x x x '=+-=-()f x ∴在()0,e 上单调递减；在(),e +∞上单调递增由此可得()f x 图象如下图所示：其中AB 、AC 为过A 点的曲线的两条切线，切点分别为,B C由图象可知，当(),AC AB k k k -∈时，()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点 设(),ln 2C m m m m -，0m >，则ln 21ln 10AC m m m k m m -+=-=-，解得：1m =1AC k ∴=-设23,2B n n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，0n ≤，则23132220AB n n k n n ++=+=-，解得：1n =- 31222AB k ∴=-+=-11,2k ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，则1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭本题正确选项：D【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且313n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+______．【答案】83【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得2201212171512121a a a a Sb b b b T ++==++，结合题中条件，即可求出结果.【详解】因为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，由等差数列的性质，可得121220121211217151212121()221()2a a a a a a Sb b b b b b T +++===+++， 又313n n S n T n +=+， 所以2202171521321182133a a Sb b T +⨯+===++.故答案为83【点睛】本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列的前n 项和，熟记等差数列的性质与前n 项和公式，即可得出结果. 14.已知12,e e→→为单位向量且夹角为3π ，设12a e e →→→=+，2b e →→=，a →在b→方向上的投影为______ ． 【答案】32【解析】 【分析】 可知这样即可求出 a b u u vv ⋅ 及b r 的值，从而得出a r 在b r方向上的投影的值． 【详解】由题可知1,b =v 故，a r 在b r方向上的投影为即答案为32. 【点睛】考查单位向量及投影的定义，数量积的运算及计算公式．15.如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角，若180A C +=︒，6AB =，4BC =，5CD =，5AD =，则四边形ABCD 面积是______．【答案】106【解析】 【分析】在ABD ∆，BCD ∆中，利用余弦定理可得6060cos A -=4141cos C -， 再结合180A C +=︒可得1cos 5A =，再结合三角形面积公式可得11sin sin 22ABD BCDS S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯，将值代入运算即可. 【详解】解：连接BD ，在ABD ∆中，2222cos 6060cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅=-， 在BCD ∆中，2222cos 4141cos BD BC CD BC CD C C =+-⋅=-， 所以6060cos A -=4141cos C -， 因为180A C +=︒， 所以cos cos A C =-， 所以1cos 5A =， 则26sin A =， 所以四边形ABCD 面积11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯ 126126654510622=⨯⨯+⨯⨯= 故答案为：6【点睛】本题考查了余弦定理及三角形的面积公式，重点考查了解三角形及运算能力，属中档题.16.如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为,,,,O E F G H 为圆O 上的点，,,,ABE BCF CDG ADH ∆∆∆∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起,,,ABE BCF CDG ADH ∆∆∆∆，使得,,,E F G H 重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．【答案】5003π【解析】如图，连结OE 交AB 于点I ，设,,,E F G H 重合于点P ，正方形的边长为()0x x >，则,6,22x x OI IE Q ==-该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，246222x x x ⎛⎫∴⋅-= ⎪⎝⎭，解得4x =，设该四棱锥的外接球的球心为Q ，半径为R ，则22OC =224223OP =-=()(222232RR =+，解得3R =，外接球的体积343Vπ==三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.等比数列{}n a的各项均为正数，52a，4a，64a成等差数列，且满足2434a a=．(Ⅰ)求数列{}n a的通项公式；(Ⅱ)设()()1111nnn naba a++=--，*n N∈，求数列{}n b的前n项和n S．【答案】（Ⅰ）a n=1()2n（n∈N*）（Ⅱ）1-n1121+-【解析】【分析】(Ⅰ)根据条件列关于公比与首项的方程组，解得结果代入等比数列通项公式即可，(Ⅱ)先化简n b，再根据裂项相消法求结果.【详解】解：（Ⅰ）设公比为q，则0,q>因为52a，4a，64a成等差数列，所以24a=52a+64a，即211202q q q q=+>∴=Q因为2434a a=，所以111111114()()2222n nna q a a-=∴=∴=⋅=（Ⅱ）b n=()()1111nn naa a++--=()()nn n122121+--=n121--n1121+-，n∈N*，∴数列{b n}的前n项和S n=2112121⎛⎫-⎪--⎝⎭+23112121⎛⎫-⎪--⎝⎭+…+n n1112121+⎛⎫-⎪--⎝⎭=1-n1121+-，n∈N*．【点睛】本题考查等比数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.18.ABC∆中，角,,A B C的对边分别是,,a b c，已知(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C +++=．（1）求C 的大小； （2）若c =ABC ∆周长的最大值．【答案】（1）23C π=；（2）2． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化角为边可得222a b c ab +-=-，再结合余弦定理可得1cos 2C =-，再求C 即可；（2）由正弦定理化边为角可得l 2sin 2sin A B =++l 2sin 3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由03A π<<利用三角函数值域的求法即可得解.【详解】解：（1）ABC ∆Q 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C +++=. ∴由已知，得(2)(2)2222a b ca b b a c R R R+⋅++⋅=⋅， 即222a b c ab +-=-，2221cos 22a b c C ab +-∴==-，由0C π<<，23C π∴=. （2）c =Qsin sin a bA B∴==2sin a A ∴=，2sin b B =.设ABC ∆的周长为l ，则l a b c =++2sin 2sin A B =+2sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2sin 2sincos 2cossin 333A A A ππ=+++sin 3cos 3A A =++2sin 33A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭03A π<<Q ，232sin 33A π⎛⎫∴<++ ⎪⎝⎭23≤+，故ABC ∆周长的最大值为23+.【点睛】本题考查了正弦定理及辅助角公式，主要考查了三角函数的值域，重点考查了三角函数的有界性及运算能力，属中档题.19.如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A −PB −C 的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）33-【解析】【详解】（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ． 由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD ． 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ． （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA u u u v的方向为x 轴正方向，AB u u u v 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得2A ⎫⎪⎪⎝⎭，2P ⎛ ⎝⎭，2B ⎫⎪⎪⎝⎭，2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以2222PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ，)2,0,0CB =u u uv ，2222PA ⎛=- ⎝⎭u u u v ，()0,1,0AB =u u uv . 设(),,n x y z =r是平面PCB 的法向量，则0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u uv r u u u v r 即220,2220,x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪=⎩ 可取(0,1,2n =--r.设(),,m x y z r=是平面PAB 的法向量，则0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u uu v r u u u v r 即220,220.x z y -=⎨⎪=⎩可取()1,0,1m =r. 则3cos ,3n m n m n m ⋅==-r rr rr r ，所以二面角A PB C --的余弦值为3【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面： ①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角； ③求二面角，关键是转化为两平面法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.20.已知点()()11,A x f x ,()()22,B x f x 是函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,0)2πωϕ>-<<图象上的任意两点,且角ϕ的终边经过点()1,3P -,若12()()4f x f x -=时,12x x -的最小值为3π． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若方程[]23()()0f x f x m -+=在4(,)99x ππ∈内有两个不同的解,求实数m 的取值范围．【答案】(1)()2sin(3)3f x x π=-；(2).【解析】【详解】试题分析：(1)由角ϕ的终边经过点()1,3P -可得3πϕ=-，由12()()4f x f x -=时,12x x -的最小值为3π可得周期23T π=得3ω∴=，即可求出函数的解析式；（2）先解得()f x 在4(,)99x ππ∈的值域，将问题转化成一元二次方程在给定的范围内解的个数问题，再将一元二次方程个数问题转化成二次函数与直线交点为个数问题，可解得m 的值.试题解析：（1）角ϕ的终边经过点(1,3)P -，tan 3ϕ=-，02πϕ-<<Q ，3ϕπ∴=-．由12()()4f x f x -=时,的最小值为3π，得23T π=，即223ππω=，3ω∴=．∴()2sin(3)3f x x π=-(2）4(,)99x ππ∈∴3(0,)3x ππ-∈，∴0sin(3)13x π<-≤．设()f x t =，问题等价于方程230t t m -+=在（0，1] 内有两个不同的解．∵-m = 3t 2-t ，t ∈(0, 1]． 作出曲线C ：y = 3t 2-t ，t ∈ (0, 1)与直线l ：y = -m 的图象．∵t =16时，y =112-；t = 0时，y = 0；t = 1时，y = 2． ∴当时，直线l 与曲线C 有两个公共点．∴m 的取值范围是：.考点：函数的图象、二次函数图象、一次函数图象.【思路点晴】第一问考查了三角函数的定义、函数性质．由题意很容易求出()f x 的解析式。
甘肃省天水市第一中学2020届高三上学期12月月考数学(理)试题 Word版含解析
天水一中2017级高三一轮复习第三次模拟考试数学试题（理科）一、选择题.1.已知集合41|22x A x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，集合{}2|3100B x x x =--≤，求A B =I （ ） A. ∅ B. [3,5]C. [2,3]-D. (3,5)【答案】B 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，再利用集合交集运算律可求出集合A B I 。
【详解】解不等式411222x --≥=，即41x -≥-，解得3x ≥，{}3A x x ∴=≥. 解不等式23100x x --≤，解得25x -≤≤，{}25B x x ∴=-≤≤， 因此，[]3,5A B =I ，故选：B 。
【点睛】本题考查集合的交集运算，解出不等式得出两个集合是解题的关键，考查计算能力，属于基础题。
2.若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A. a c b c +≥-B. ac bc >C. 20c a b>-D.2()0a b c -≥【解析】试题分析：A 、B 、C 三个选项的关系无法判断或错误，而所以,故选D 。
考点：比大小（或者不等式证明）。
3.下列命题的说法错误的是（ ）A. 对于命题p ：∀x∈R ，x 2+x+1＞0，则¬p ：∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0．B. “x=1“是“x 2﹣3x+2=0“的充分不必要条件．C. “ac 2＜bc 2“是“a ＜b“的必要不充分条件．D. 命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x 2﹣3x+2≠0”． 【答案】C 【解析】对于命题p :∀x ∈R ,x 2+x +1>0,则¬p : ∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0，是真命题； “x =1”是“x 2−3x +2=0“的充分不必要条件，是真命题； 若c =0时，不成立，是假命题；命题“若x 2−3x +2=0,则x =1”的逆否命题为：“若x ≠1,则x 2−3x +2≠0”，是真命题； 故选：C.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为5714n S a a +=，，则()11S n n = A. 140 B. 70 C. 154 D. 77【答案】D【分析】利用等差数列的前n 项和公式11111=112a a S +⋅，及等差数列的性质11157=a a a a ++，即可求出结果.【详解】Q 等差数列{}n a 的前n 项和为5714n S a a +=，，∴571111114=11=11=1177222a a a a S ++⋅⋅⋅=. 故选D.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的求法和等差数列的性质，属于基础题.5.已知双曲线22221x y a b -=（a >0，b >0，则椭圆22221x y a b+=的离心率为（ ）A.12B.C.D.2【答案】C 【解析】由双曲线22221x y a b -=（a >0，b >0）的离心率为2，得：22254a b a +=，即224b a =∴椭圆22221x y a b +===故选：C点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 6.函数()sin f x x x =，[,]x ππ∈-的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】判断函数()sin f x x x =的奇偶性排除选项A ，C ，然后取特殊值2x π=，计算2f π⎛⎫⎪⎝⎭判断即可得结果.【详解】[],x ππ∈-，定义域关于原点对称，∴()()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，所以()f x 为偶函数，即图象关于y 轴对称，则排除A ，C ，当2x π=时，02222f sin ππππ⎛⎫==>⎪⎝⎭，故排除D ，故选B ． 【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等.7.将函数2cos2y x =图象向左平移6π个单位长度，则平移后新函数图象对称轴方程为( ) A. ()62k x k Z ππ=-+∈ B. ()ππ122k x k Z =-+? C. ()62k x k Z ππ=+∈ D. ()122k x k Z ππ=+∈ 【答案】A 【解析】 【分析】利用图像左右平移的规律,得到平移后的函数图像对应的解析式,之后结合余弦函数图形的对称性,应用整体角思维得到结果.【详解】将函数2cos2y x =图象向左平移6π个单位长度，可得2cos 2()6y x π=+, 即2cos(2)3y x π=+,令2,3x k k Z ππ+=∈,解得,26k x k Z ππ=-∈, 则平移后图像的对称轴方程为,26k x k Z ππ=-∈, 故选A.【点睛】该题考查的是有关函数图像的平移变换，以及cos()y A x ωϕ=+的图像和性质，结合余弦曲线的对称轴，求得结果.8.在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 的长为3，BC =AB AC ⋅=u u u r u u u r（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 由题意得22()()()()()(69)3AB AC DB DA DC DA DB DA DB DA DB DA ⋅=-⋅-=-⋅--=--=--=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 【点睛】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。
2020届甘肃省天水市第一中学高三上学期10月月考数学(理)试题(解析版)
2020届甘肃省天水市第一中学高三上学期10月月考数学（理）试题一、单选题1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B =ð（ ）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-【答案】A【解析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2．已知平面向量(1,)a m =，(3,1)b =-且(2)//a b b +，则实数m 的值为（ ） A.13B.13-C.23D.23-【答案】B【解析】(2)//a b b +(1,21)//(3,1)m ⇒-+-13(21)13m m ⇒-+=-⇒=-,选B. 3．“2211og a og b <”是“11a b<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由2211og a og b <可推出a b <，再结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】若2211og a og b <，则0a b <<，所以110a b>>，即“2211og a og b <”不能推出“11a b <”，反之也不成立，因此“2211og a og b <”是“11a b<”的既不充分也不必要条件. 故选D本题主要考查充分条件和必要条件，熟记概念即可，属于基础题型.4．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =（ ） A ．60 B ．75C ．90D ．105【答案】B【解析】由条件，利用等差数列下标和性质可得5253a =，进而得到结果. 【详解】3482585325a a a a a a a ++=++==，即5253a =，而19959()25997523a a S a +===⨯=，故选B . 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查运算能力与推理能力，属于中档题. 5．已知函数y =f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （-2）=（ ） A.2 B.3C.4D.5【答案】D【解析】∵()y f x x =+是偶函数 ∴()()f x x f x x +=--当2x =时，()()2222f f +=--，又()21f = ∴()25f -= 故选：D6．如图所示的图象对应的函数解析式可能是A ．221x y x =-- B ．2sin 41x xy x ⋅=+ C ．ln x y x=D ．()22e xy x x =-【答案】D【解析】对于A ，∵221x y x =--，当x 趋向于-∞时，函数2xy =趋向于0，21y x =+∴函数221x y x =--的值小于0，故排除A 对于B ，∵sin y x =是周期函数∴函数2sin 41x xy x ⋅=+的图像是以x 轴为中心的波浪线，故排除B对于C ， ∵ln xy x=的定义域是()()0,11,⋃+∞，且在()0,1x ∈时，ln 0x < ∴0ln xy x=<，故排除C 对于D ，∵函数()22211y x x x =-=--，当0,1x x <>时，0y >；当01x <<时，0y <；且0x y e =>恒成立∴2()2x y x x e =-的图像在x 趋向于-∞时，0y >；01x <<时，0y <；x 趋向于+∞时，y 趋向于+∞ 故选D点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.7．已知:p m R ∀∈，210x mx --=有解，0:q x N ∃∈，020210x x --≤则下列选项中是假命题的为（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝ C ．p q ∨ D ．()p q ∨⌝【答案】B【解析】分别判断p 、q 命题的真假，然后判断选项即可. 【详解】∵2m 40∆=+>恒成立，∴对m R ∀∈，210x mx --=有解．所以p 是真命题.取00x N =∈，满足020210x x --≤，∴q 也是真命题.∴()p q ∧⌝是假命题，故选B ．【点睛】本题考查简单命题以及复合命题真假的判断，属于基础题. 8．平面上三个单位向量,,a b c 两两夹角都是23π，则a b -与a c +夹角是（ ）A ．3π B ．23π C ．12πD ．6π 【答案】D【解析】 由题意得，向量,,a b c 为单位向量，且两两夹角为23π， 则3,1a b a c -=+=， 且222213()()111cos11cos 11cos 133322a b a c a a c a b b c πππ-⋅+=+⋅-⋅-⋅=+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=+=，所以a b -与a c +的夹角为3()()2cos 31a b a c a b a cθ-⋅+===⨯-⋅+，且0θπ≤≤，所以a b -与a c +的夹角为6π，故选D. 9．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足n m m n S S S ++=(m n ，N *∈）且15a =，则8a =（ ） A ．40 B ．35C ．5D ．12【答案】C【解析】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m ∈N ）且a 1=5，令m=1，可得S n+1=S n +S 1，可得a n+1=5．即可得出． 【详解】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m ∈N ）且a 1=5， 令m=1，则S n+1=S n +S 1=S n +5．可得a n+1=5． 则a 8=5． 故选：C ． 【点睛】本题考查了数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知函数()sin 33f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()0ω>在区间3,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且在区间[]0,2π内恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是( ) A.20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D.13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由三角函数恒等变换的应用化简得f （x ）=2sinωx ()0ω>可得[﹣2πω，2πω]是函数含原点的递增区间，结合已知可得[﹣2πω，2πω]⊇[3,42ππ-]，可解得0＜ω≤23，又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得14 ⨯2πω 2π≤，得14ω≥，进而得解． 【详解】()sin 33f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2sinωx ()0ω>，∴[﹣2πω，2πω]是函数含原点的递增区间． 又∵函数在[3,42ππ-]上递增，∴[﹣2πω，2πω]⊇[3,42ππ-]， ∴得不等式组：﹣2πω≤34π-，且2π≤2πω，又∵ω＞0， ∴0＜ω≤23， 又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值， 根据正弦函数的性质可知14 ⨯ 2πω 2π≤且54 ⨯ 2πω2π> 可得ω∈[14，5)4．综上：ω∈12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：B ． 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于中档题．11．如图所示，O 为ABC ∆的外心，4AB =，2AC =，BAC ∠为钝角，M 为BC 边的中点，则AM AO ⋅的值为（ ）A ．B ．12C ．6D ．5【答案】D【解析】取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥ ，所求 AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅ ，由数量积的定义可得,AD AO AD AE AO AE ⋅=⋅= ，代值即可．【详解】如图所示，取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥，∵M 是边BC 的中点，∴1()2AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r .11AM ()()22AO AB AC AO AB AO AC AO AD AO AE AO ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅，由数量积的定义可得cos ,AD AO AD AO AD AO ⋅= ，而cos ,AO AD AO AD = ，故2224||422AB AD AO AD ⎛⎫⎛⎫⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 同理可得2222||122AC AE AO AE ⎛⎫⎛⎫⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故415AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅=+=. 故选：D ．【点睛】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题．12．设定义在R 上的函数()f x ，满足()1f x >，()3y f x =-为奇函数，且()'()1f x f x +>，则不等式ln(()1)ln 2f x x ->-的解集为（ ）A.()1,+∞B.()(),01,-∞⋃+∞C.()(),00,-∞⋃+∞D.()0,∞+【答案】D【解析】分析：构造函数g （x ）=e x f （x ）+e x ，（x ∈R ），求函数的导数，研究g （x ）的单调性，将不等式进行转化求解即可．详解：设g （x ）=e x f （x ）-e x ，（x ∈R ），则g′（x ）=e x f （x ）+e x f′（x ）-e x =e x [f （x ）+f′（x ）-1]，∵f （x ）+f′（x ）＞1，∴f （x ）+f′（x ）+1＞0，∴g′（x ）＞0，∴y=g （x ）在定义域上单调递增，不等式ln （f （x ）-1）＞ln2-x 等价为不等式ln[f （x ）-1]+x ＞ln2， 即为ln[f （x ）-1]+lne x ＞ln2，即e x （f （x ）-1）＞2，则e x f （x ）-e x ＞2，∵y=f （x ）-3为奇函数，∴当x=0时，y=0，即f （0）-3=0，得f （0）=3，又∵g （0）=e 0f （0）-e 0=3-1=2，∴e x f （x ）-e x ＞2等价为g （x ）＞g （0），∴x ＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）， 故选：D ．点睛：本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，综合性较强，有一定的难度．二、填空题13．已知112,1,,,1,2,322a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x a =为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则a =____． 【答案】1-【解析】先根据单调性判断出a 的正负，然后根据奇偶性判断出a 的可取值. 【详解】112,1,,,1,2,322a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭幂函数()f x 在(0,)+∞上递减， ∴ 0a <，即12,1,2a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭又因为()f x x a=为奇函数，∴ 1a =-． 故答案为：1-. 【点睛】本题考查根据幂函数奇偶性、单调性判断幂指数的取值，难度较易.幂函数中的幂指数大于零时，则幂函数在(0,)+∞递增，若幂指数小于零时，则幂函数在(0,)+∞递减.14．将函数2sin3y x =的图象向左平移π12个单位长度得到()y f x =的图象，则π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为___．【答案】【解析】先由平移得f(x)的解析式，再将π3代入解析式求值即可 【详解】 f(x)=2sin3(x+π)12=2sin(3x+π)4,则π5πf 2sin 34⎛⎫== ⎪⎝⎭故答案为 【点睛】本题考查图像平移，考查三角函数值求解，熟记平移原则，准确计算是关键，是基础题15．已知函数1(10)()1)x x f x x +-≤≤⎧=<≤则11()f x dx -⎰的值为____． 【答案】124π+ 【解析】由函数()f x的解析式，得到111()(1)f x dx x dx --=++⎰⎰，即可求解.【详解】由题意，根据函数1(10)()1)x x f x x +-≤≤⎧⎪=<≤，可得111()(1)f x dx x dx --=++⎰⎰201112424x x ππ-⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中解答中根据函数的解析式，利用微积分基本定理，得到11()f x dx -⎰，然后利用定积分求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.16．已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式223(5)n n n a λ--<-，对n N +∀∈恒成立，则整数λ的最大值为______．【答案】4 【解析】【详解】当1n =时，21122S a =-，得14a =，当2n ≥时，122nn n S a -=-， 又122n n n S a +=-，两式相减得1222nn n n a a a -=--，得122nn n a a -=+，所以11122n n n n a a ---=． 又1122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列， 12n na n =+，即(1)2nn a n =+⋅． 因为0n a >，所以不等式223(5)n n n a λ--<-，等价于2352nn λ-->． 记122311,,224n n n b b b -==-=， 2n ≥时，112121223462n n nnn b n n b n ++--==--． 所以3n ≥时，1max 331,()8n n n b b b b +<==． 所以33375,5888λλ-><-=，所以整数λ的最大值为4． 【考点】1．数列的通项公式；2．解不等式．三、解答题17．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求C ； （2）若c =ABC ∆，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）3C π=；（2）5.【解析】（1）利用正弦定理进行边角代换，化简即可求角C ； （2）根据1sin C 22ab =，及πC 3=可得6ab =．再利用余弦定理可得()225a b +=，从而可得ΑΒC △的周长为5．【详解】（1）由已知及正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C ΑΒΒΑC +=，()2cos sin sin C ΑΒC +=．故2sin cos sin C C C =． 可得1cos 2C =，所以πC 3=．（2）由已知ABC ∆，所以1sin 2ab C =． 又πC 3=，所以6ab =．因为2222271cos 2122a b c a b C ab +-+-=== ，所以2213a b +=，从而()225a b +=．解得：5a b +=，所以ΑΒC △的周长为5+． 【点睛】本题考查用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式解三角形，常用的解题方法是利用正弦定理或余弦定理进行“边化角”或“角化边”的转换，本题属于基础题.18．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）；（2）详分布列见解析，35. 【解析】（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知1(3,)5X B ~，分别求得0331464(0)()()55125P X C ===；11231448(1)()()55125P X C ===；22131412(2)()()55125P X C ===；3303141(3)()()55125P X C ===，即可知的概率分布及其期望.【详解】（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝， 1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝， 2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝， 由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥， 且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12CB B =+， ∵142()105P A ==，251()102P A ==， ∴11212211()()()()525P B P A A P A P A ===⨯=，2121212121212()()()()()(1())(1())()P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A =+=+=-+-21211(1)(1)52522=⨯-+-⨯=， 故所求概率为1212117()()()()5210P C P B B P B P B =+=+=+=； （2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15， ∴1(3,)5X B ~，于是00331464(0)()()55125P X C ===；11231448(1)()()55125P X C ===；22131412(2)()()55125P X C ===；3303141(3)()()55125P X C ===，故的分布列为的数学期望为13()355E X =⨯=. 【考点】1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望. 【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.19．如图，ABC △ 中，4AB BC ==， 90ABC ∠=︒，,E F 分别为 AB ，AC 边的中点，以EF 为折痕把AEF 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且PB BE =．（1）证明： BC ⊥平面 PBE ；（2）求平面 PBE 与平面 PCF 所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2 【解析】（1）由E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，可得EFBC ，由已知结合线面垂直的判定可得EF ⊥平面PBE ，从而得到BC ⊥平面PBE ；（2）取BE 的中点O ，连接PO ，由已知证明PO ⊥平面BCFE ，过O 作OMBC 交CF 于M ，分别以OB ，OM ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PCF 与平面PBE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值．【详解】（1）因为,E F 分别为AB ，AC 边的中点， 所以EFBC ，因为90ABC ∠=︒，所以EF BE ⊥，EF PE ⊥， 又因为BE PE E ⋂=， 所以EF ⊥平面PBE ， 所以BC ⊥平面PBE ．（2）取BE 的中点O ，连接PO ，由（1）知BC ⊥平面PBE ，BC ⊂平面BCFE ， 所以平面PBE ⊥平面BCFE ， 因为PB BE PE ==， 所以PO BE ⊥，又因为PO ⊂平面PBE ，平面PBE ⋂平面BCFE BE =，所以PO ⊥平面BCFE ， 过O 作OMBC 交CF 于M ，分别以OB ，OM ，OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(P ，()1,4,0C ，()1,2,0F -．(1,4,PC =，(1,2,PF =-，设平面PCF 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,PC m PF m ⎧⋅=⎨⋅=⎩即40,20,x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 则()1,1,3m =-，易知()0,1,0n =为平面PBE 的一个法向量，cos<,m n >===， 所以平面PBE 与平面PCF【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，两半平面所成的二面角与面的法向量之间所成的角相等或互补，主要通过题意或图形来确定最后结果.20．已知()0,0A x ，()00,B y 两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y 满足23OP OA OB =+．()1求出动点P 的轨迹对应曲线C 的标准方程；()2一条纵截距为2的直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，若以PQ 直径的圆恰过原点，求出直线方程．【答案】（1）22143x y +=（2）y 2x =+【解析】（1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程．（2）直线l 1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k 的值，问题得以解决． 【详解】(1) 因为23OP OA OB =+即()()()()0000,2,030,2x y x y x =+=所以002,x x y ==所以001,2x x y y == 又因为1AB =,所以22001x y +=即:22112x y ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即22143x y += 所以椭圆的标准方程为22143x y +=(2) 直线1l 斜率必存在，且纵截距为2,设直线为2y kx =+联立直线1l 和椭圆方程222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得: ()22341640kxkx +++=由>0∆,得214k >()* 设()()112,2,,P x y Q x y 以PQ 直径的圆恰过原点 所以OP OQ ⊥,•0OP OQ = 即12120x x y y +=也即()()1212220x x kx kx +++= 即()()212121240kx xk x x ++++= 将(1)式代入,得()2224132403434k kk k+-+=++ 即()()22241324340kk k +-++=解得243k =,满足（）式，所以3k =±所以直线2y x =±+ 21．已知函数2()2x f x e x a b =-++（x ∈R ）的图象在0x =处的切线为y bx =（e 为自然对数的底数） （1）求,a b 的值； （2）若k Z ∈，且21()(352)02f x x x k +--≥对任意x ∈R 恒成立，求k 的最大值. 【答案】(1)a=-1,b=1;(2)-1.【解析】（1）对()f x 求导得()2xf x e x '=-，根据函数()f x 的图象在0x =处的切线为y bx =，列出方程组，即可求出,a b 的值；（2）由（1）可得()21xf x e x =--，根据()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立，等价于215122x k e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立，构造()215122xh x e x x =+--，求出()h x '的单调性，由()00h '<，()10h '>，102h ⎛⎫< ⎪⎭'⎝，304h ⎛⎫> ⎪⎭'⎝，可得存在唯一的零点013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，利用单调性可求出()()0min h x h x =，即可求出k 的最大值.（1）()22xf x e x a b =-++，()2xf x e x '=-.由题意知()()01201011f a b a f b b ⎧=++==-⎧⎪⇒⎨⎨==='⎪⎩⎩.（2）由（1）知：()21xf x e x =--，∴()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立 2151022x e x x k ⇔+---≥对任意x R ∈恒成立215122x k e x x ⇔≤+--对任意x R ∈恒成立.令()215122x h x e x x =+--，则()52xh x e x ='+-.由于()'10xh x e +'=>，所以()h x '在R 上单调递增.又()3002h =-<'，()3102h e =->'，121202h e ⎛⎫=-< ⎪'⎝⎭，343737104444h e ⎛⎫=->+-⎪'= ⎝⎭，所以存在唯一的013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h x '=，且当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '>. 即()h x 在()0,x -∞单调递减，在()0,x +∞上单调递增.所以()()02000min 15122xh x h x e x x ==+--. 又()00h x '=，即00502xe x +-=，∴0052x e x =-. ∴ ()()2200000051511732222h x x x x x x =-+--=-+.∵ 013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴ ()0271,328h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.又因为215122xk e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立()0k h x ⇔≤， 又k Z ∈，∴ max 1k =-.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2【解析】（1）首先利用221cos sin ϕϕ+=对圆C 的参数方程1{x cos y sin ϕϕ=+=（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（2）设11P ρθ（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11ρθ，；设22Q ρθ（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22ρθ，，可得PQ ． 【详解】（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ= 所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）设()11,ρθP ，则由2{3cos ρθπθ==解得11ρ=，13πθ=，得1,3P π⎛⎫⎪⎝⎭；设()22Q ,ρθ，则由2sin 3{3πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=解得23ρ=，23πθ=，得3,3Q π⎛⎫⎪⎝⎭； 所以Q 2P = 【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题. 23．已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++ (1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集； (2)当()f x 的最小值为3时,求111a b c++的最小值. 【答案】（1）{|11}x x x <->或；（2）3【解析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）先用绝对值不等式的性质求出最小值为a +b +c ＝3，然后用基本不等式可得． 【详解】（1）()111f x x x =-+++，∴1123x x ≤-⎧⎨->⎩或1133x -<<⎧⎨>⎩或1213x x ≥⎧⎨+>⎩，解得{|11}x x x 或-.（2）f x x a x b c =-+++ a x x b c a b c ≥-+++=++ 3a b c =++=，()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭133b a c a c b a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()1322233≥+++=. 当且仅当1a b c ===时取得最小值3. 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
甘肃省天水市一中2020届高三数学上学期第四次考试试题理
甘肃省天水市一中2020届高三数学上学期第四次考试试题 理一、选择题(每题5分，共60分)1．设集合{|1}A x y x ==-，{|(1)(3)0}B x x x =+-<，则B A C R I )(（ ）A ．[1,3)B ．(1,3)C ．(1,0][1,3)-UD ．(1,0](1,3)-U2．以下四个命题：①“若x y =，则22x y =”的逆否命题为真命题②“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件 ③若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题④对于命题p ：0x R ∃∈，20010x x ++<，则p ⌝为：x R ∀∈，210x x ++≥其中真命题的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知0.3log 2a =，0.12b =，sin 789c =o ，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．函数f (x )=Asin (ωx +φ)，（A ，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图，则f (x )=（ ） A ．()243f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()243f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．()48239f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．()48239f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭5．已知F 1、F 2为椭圆221259x y +=的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若2212F A F B +=，则|AB |= ( ) A ．6B ．7C ．5D ．86．将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，另两人各2本，则不同的分配方法是( )种(用数字作答）A ．108B ．90C ．18D ．1207．定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x >时，()20192019log xf x x =+，则函数()f x 的零点的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．58．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中b =1，a b c b -+=sinCsinA sinB sinC+-，若A =2B ，则△ABC 的周长为（ ） A ．3 B ．4C ．23+D ．33+9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大的侧面的面积为（ ） A ．22B ．3 C ．5 D ．210．实数,x y 满足条件10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩.当目标函数(),0z ax by a b =+>在该约束条件下取到最小值4时，12a b+的最小值为（ ） A ．6B ．4C ．3D ．211．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若双曲线的左支上存在一点P ，使得2PF 与双曲线的一条渐近线垂直于点H ，且224PF F H =，则此双曲线的离心率为（ ） A ．263B ．43C ．13 D ．5312．定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的曲线，且()()2xf x f x e =-，当0x >时，()()f x f x '>恒成立，则下列判断一定正确的是（ ）A ．()()523e f f <- B ．()()523f e f <- C ．()()523e f f -> D ．()()523f e f -<二、填空题(每题5分，共20分)13．已知向量()1,2a =-r，3b =r ，7a b -=r r ，则|a b +=r r ______.14．由曲线2y x=，直线y =2x ，x =2所围成的封闭的图形面积为______． 15．已知二项式31()nx x+的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为____. （用数字作答）16．如图所示，两半径相等的圆A ，圆B 相交，CD 为它们的公切线段，且两块阴影部分的面积相等，在线段AB 上任取一点M ，则M 在线段EF 上的概率为 .三、解答题（共70分）17．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312S =，6919a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设23n a n b n -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．(本小题满分12分)如图，已知三棱锥P ABC -，平面PAC ⊥平面ABC ，122AB BC PA PC ====，120ABC ∠=︒． （1）证明：PA BC ⊥；（2）设点E 为PC 中点，求直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值．19．(本小题满分12分)甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为23.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响且无平局.求：（1）前三局比赛甲队领先的概率；（2）设本场比赛的局数为ξ，求ξ的概率分布和数学期望. (用分数表示)20．(本小题满分12分)已知抛物线()2:20E y px p =>，过其焦点F 的直线与抛物线相交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，满足124y y =-.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为()2,0-，记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值.21．(本小题满分12分) 已知函数()22ln f x x ax x =-+（其中a 是实数）．（1）求的单调区间；（2）若设，且有两个极值点1x 2x ，求a 取值范围．（其中e 为自然对数的底数选做：共10分。
【月考试卷】甘肃省天水一中2020届高三上学期第二阶段考试 理科数学(含答案)
天水一中2020届高三上学期第二阶段考试理科数学（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={x |x 2-2x -3＜0}，集合B ={x |2x +1＞1}，则C B A =（）A.B. C. D.2. 下列说法错误的是（）A. 命题“若,则”的逆否命题是“若,则”B. “”是“”的充分不必要条件C. 若为假命题,则p 、q 均为假命题D. 命题p ：“,使得”,则非p ：“,”3. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题：①，，，②，③，，④，其中正确命题的个数有（ ）A. 3个 B. 1个 C. 2个 D. 0个4. 若cos （-α）=，则cos （+2α）的值为（）A. B. C. D.5.已知等差数列的前n项为，且，，则使得取最小值时的n为( )A. 1 B. 6 C. 7 D. 6或76.若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是A. B. 4 C. 9 D.7.如图，在三棱柱ABC-AB1C1中，底面ABC是等边三角形，AA1⊥底面ABC，且AB=2，AA1=1，则直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为（）A. B. C. D.8.已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为B.A.D. 12C.9.满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）A.或 B. 1或 C. 2或1 D. 2或10.已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为( ) A.B.C. D.11.是平面上一定点是平面上不共线的三个点,动点满足,则点的轨迹一定通过( )A. 重心B. 垂心C. 内心D. 外心12.已知函数g(x)＝kx－1，f(x)的图像上有且仅有四个不同的点关于直线y＝－1的对称点在g(x)的图像上，则k的取值范围是A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.等差数列，的前n项和分别为，，且，则______ ．14.已知，为单位向量且夹角为，设=+，=，在方向上的投影为______ ．15.如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角，若A+C=180°，AB=6，BC=4，CD=5，AD=5，则四边形ABCD面积是______．16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6 cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O．E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为________．三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设，，求数列的前n项和．18.（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（2a+b）sin A+（2b+a）sin B=2c sin C．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若，求△ABC周长的最大值．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值．20.（12分）（12分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-＜φ＜0）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P（1，-），若|f（x1）-f（x2）|=4时，|x1-x2|的最小值为（1）求函数f（x）的解析式；（2）若方程3[f（x）]2-f（x）+m=0在x∈（，）内有两个不同的解，求实数m的取值范围．21.（12分）已知函数f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，且f（x）+g（x）=log4（4x+1）．（1）求f（x），g（x）的解析式；（2）若函数h（x）=f（x）-在R上只有一个零点，求实数a的取值范围．22.（12分）已知函数,,．当时,求函数的单调区间,并求出其极值；若函数存在两个零点,求k的取值范围．答案1.A2.C3.D4.A5.B6.C7.C8.A9.B10.B11.A解：由正弦定理得 ,所以,而，所以表示与共线的向量，而点D是BC的中点，即P的轨迹一定是通过三角形的重心.12.D解：y＝kx－1关于直线y＝－1的对称直线为y＝mx－1，(m＝－k)，先考虑特殊位置：y＝mx －1与(x≤0)相切，得(舍去正数)，y＝mx－1与y＝x lnx－2x，x＞0相切，由导数几何意义得，结合图像可知，故选D．13.14.15.1016.解：连接OE交AB与I，E，F，G，H重合为P，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD的边长为x．则OI=，IE=6-．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得，解得：x=4．设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC=，OP=，．∴．该四棱锥的外接球的体积V=．故答案为：．17.解：（Ⅰ）a n=（n∈N*）；（Ⅱ）b n===-，n∈N*，∴数列{b n}的前n项和S n=++…+=1-，n∈N*．18.解：（Ⅰ）．（Ⅱ）19.解：（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，AB ⊥平面PAD，AD⊥AB，AB OE，∴OE⊥平面PAD，OE⊥AD以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A-PB-C为钝角，∴二面角A-PB-C的余弦值为．20.解：（1）角φ的终边经过点P（1，-），tanφ=-，∵-＜φ＜0，∴φ=-．由|f（x1）-f（x2）|=4时，|x1-x2|的最小值为，得T=，即=，∴ω=3．∴f（x）=2sin（3x-）（2）∵x∈（，），∴3x-∈（0，π），∴0＜sin（3x-）≤1．设f（x）=t，问题等价于方程3t2-t+m=0在（0，2）仅有一根或有两个相等的根，∵-m=3t2-t，t∈（0，2），作出曲线C：y=3t2-t，t∈（0，2）与直线l：y=-m的图象，∵t=时，y=-；t=0时，y=0；t=2时，y=10，∴当-m=-或0≤-m＜10时，直线l与曲线C有且只有一个公共点，∴m的取值范围是：m=或-10＜m≤0．21解：（1）因为，…①，∴，∴…②由①②得，．（2）由=．得：，令t=2x，则t＞0，即方程…（*）只有一个大于0的根，①当a=1时，，满足条件；②当方程（*）有一正一负两根时，满足条件，则，∴a＞1，③当方程（*）有两个相等的且为正的实根时，则△=8a2+4（a-1）=0，∴，a=-1（舍）时，，综上：或a≥1．22解：（1）当k=1时，，∴f'（x）=（x+1）e x-（x+1）=（x+1）（e x-1），故x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数.故函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（0，+∞）；单调减区间为（-1，0）．所以函数的极大值为；极小值为f（0）=0．（2）由已知，，g（x）=ke x-x，∴，∴F'（x）=kxe x-x=x（ke x-1）.①当k＜0时，F（x）在（-∞，0）为增，在（0，+∞）为减，且注意到F（0）=-k＞0，函数F（x）的图象两边向下无限伸展，故此时F（x）存在两个零点，适合题意．②当k=0时，在（-∞，0）为增，在（0，+∞）为减，且F（0）=0，故此时F（x）只有一个零点．③当k=1时，,故函数（-∞，+∞）为增，易知函数F（x）只有一个零点．④当k∈（0，1）时，，F（x）在（-∞，0）为增，为减，为增，且F（0）=-k＜0易知F（x）只有一个零点．⑤当k∈（1，+∞）时，，F（x）在为增，为减，（0，+∞）为增，且，F（0）=-k＜0易知F（x）只有一个零点．综上，k的取值范围是（-∞，0）.。
2020届甘肃省天水市第一中学等八校联考高三12月联考数学(文)试题(有答案解析)
乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；
丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；
事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（）
A．甲走桃花峪登山线路B．乙走红门盘道徒步线路
C．丙走桃花峪登山线路D．甲走天烛峰登山线路
（1）记圆心到直线l的距离为d，∴d= ．
又BB1⊥AB，AB∩CD＝D，∴BB1⊥平面ABC
(2)由(1)知CD⊥平面AA1B1B，故CD是三棱锥C－A1B1D的高，
在Rt△ACB中，AC＝BC＝2，∴AB＝2 ，CD＝ ，
又BB1＝2，∴ ＝ ·CD
＝ A1B1×B1B×CD＝ ×2 ×2× ＝
【详解】
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18．已知半径长为 的圆 截 轴所得弦长为 ，圆心在第一象限且到直线 的距离为 ．
故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.
综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路,丙走红门盘道徒步线路
故选：D
【点睛】
本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.
（2）已知直线y＝3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M，N点．判断点M、N的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】（1） 或 ；（2）见解析.
【解析】（1）记圆心到直线l的距离为d，利用垂径定理求得d．当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=2，满足题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y﹣1=k（x﹣2），利用圆心到直线的距离列式求得k，则直线方程可求；
甘肃省天水市第一中学2020届高三上学期10月月考数学(理)试题 Word版含解析
天水一中2020届2019—2020学年度第一学期第一次考试数学理科试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B =I ð（ ） A. {}1- B. {}0,1 C. {}1,2,3- D. {}1,0,1,3-【答案】A 【解析】 【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2.已知平面向量(1,)a m =r，(3,1)b =-r且(2)//a b b +r rr，则实数m 的值为（ ）A.13B. 13-C.23D. 23-【答案】B 【解析】(2)//a b b +rr r (1,21)//(3,1)m ⇒-+-13(21)13m m ⇒-+=-⇒=-,选B.3.“2211og a og b <”是“11a b<”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】由2211og a og b <可推出a b <，再结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.【详解】若2211og a og b <，则0a b <<，所以110a b>>，即“2211og a og b <”不能推出“11a b <”，反之也不成立，因此“2211og a og b <”是“11a b<”的既不充分也不必要条件. 故选D【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，熟记概念即可，属于基础题型.4.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =（ ） A. 60 B. 75C. 90D. 105【答案】B【解析】 分析】由条件，利用等差数列下标和性质可得5253a =，进而得到结果. 【详解】3482585325a a a a a a a ++=++==，即5253a =，而19959()25997523a a S a +===⨯=，故选B . 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查运算能力与推理能力，属于中档题.5.已知函数y =f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （-2）=（ ） A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D 【解析】∵()y f x x =+是偶函数 ∵()()f x x f x x +=--当2x =时，()()2222f f +=--，又()21f = ∵()25f -= 故选：D6.如图所示的图象对应的函数解析式可能是【A. 221x y x =--B. 2sin 41x x y x ⋅=+C. ln x y x=D. ()22e xy x x =-【答案】D 【解析】对于A ，∵221xy x =--，当x 趋向于-∞时，函数2xy =趋向于0，21y x =+趋向于+∞∴函数221xy x =--的值小于0，故排除A 对于B ，∵sin y x =是周期函数∴函数2sin 41x x y x ⋅=+的图像是以x 轴为中心的波浪线，故排除B对于C ， ∵ln xy x=的定义域是()()0,11,⋃+∞，且在()0,1x ∈时，ln 0x < ∴0ln xy x=<，故排除C 对于D ，∵函数()22211y x x x =-=--，当0,1x x <>时，0y >；当01x <<时，0y <；且0x y e =>恒成立∴2()2xy x x e =-的图像在x 趋向于-∞时，0y >；01x <<时，0y <；x 趋向于+∞时，y 趋向于+∞ 故选D点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.7.已知:p m R ∀∈，210x mx --=有解，0:q x N ∃∈，020210x x --≤则下列选项中是假命题的为（ ） A. p q ∧B. ()p q ∧⌝C. p q ∨D.()p q ∨⌝【答案】B 【解析】 【分析】分别判断p 、q 命题的真假，然后判断选项即可.【详解】∵2m 40∆=+>恒成立，∴对m R ∀∈，210x mx --=有解．所以p 是真命题.取00x N =∈，满足020210x x --≤，∴q 也是真命题.∴()p q ∧⌝是假命题，故选B ．【点睛】本题考查简单命题以及复合命题真假的判断，属于基础题.8.平面上三个单位向量,,a b c r r r两两夹角都是23π，则a b -r r 与a c +r r 夹角是（ ） A.3π B.23π C. 12πD.6π 【答案】D由题意得，向量,,a b c r r r 为单位向量，且两两夹角为23π，则1a b a c -=+=vv v v，且222213()()111cos 11cos 11cos 133322a b a c a a c a b b c πππ-⋅+=+⋅-⋅-⋅=+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=+=v v v v v v v v v v v，所以a b -r r 与a c +r r的夹角为3()()cos a b a c a b a cθ-⋅+===-⋅+v v v v v v v v，且0θπ≤≤， 所以a b -r r 与a c +r r 的夹角为6π，故选D.9.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足n m m n S S S ++=(m n ，N *∈）且15a =，则8a =（ ） A. 40 B. 35C. 5D. 12【答案】C 【解析】 【分析】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m∵N *）且a 1=5，令m=1，可得S n+1=S n +S 1，可得a n+1=5．即可得出．【详解】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m∵N *）且a 1=5， 令m=1，则S n+1=S n +S 1=S n +5．可得a n+1=5．故选：C ．【点睛】本题考查了数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.已知函数()sin 33f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()0ω>在区间3,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且在区间[]0,2π内恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是( )A. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D.13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数恒等变换的应用化简得f （x ）=2sinωx ()0ω>可得[﹣2πω，2πω]是函数含原点的递增区间，结合已知可得[﹣2πω，2πω]⊇[3,42ππ-]，可解得0＜ω≤23，又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得14 ⨯ 2πω 2π≤，得14ω≥ ，进而得解．【详解】()sin 33f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2sinωx ()0ω>， ∵[﹣2πω，2πω]是函数含原点的递增区间．又∵函数在[3,42ππ-]上递增， ∵[﹣2πω，2πω]⊇[3,42ππ-]， ∴得不等式组：﹣2πω≤34π-，且2π≤2πω， 又∵ω＞0，∵0＜ω≤23， 又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数性质可知14 ⨯ 2πω 2π≤且54 ⨯ 2πω2π> 可得ω∵[14，5)4．综上：ω∈12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：B ．【点睛】本题主要考查正弦函数图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于中档题．11.如图所示，O 为ABC ∆的外心，4AB =，2AC =，BAC ∠为钝角，M 为BC 边的中点，则AM AO ⋅u u u u v u u u v的值为（ ）的的A. B. 12 C. 6 D. 5【答案】D 【解析】 【分析】取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥ ，所求AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，由数量积的定义可得,AD AO AD AE AO AE ⋅=⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，代值即可．【详解】如图所示，取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥，∵M 是边BC 的中点，∴1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r.11AM ()()22AO AB AC AO AB AO AC AO AD AO AE AO ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， 由数量积的定义可得cos ,AD AO AD AO AD AO ⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，而cos ,AO AD AO AD =u u u v u u u v u u u v u u u v ，故2224||422AB AD AO AD ⎛⎫⎛⎫⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v ； 同理可得2222||122AC AE AO AE ⎛⎫⎛⎫⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v ， 故415AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅=+=u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v.故选：D ．【点睛】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题．12.设定义在R 上的函数()f x ，满足()1f x >，()3y f x =-为奇函数，且()'()1f x f x +>，则不等式ln(()1)ln 2f x x ->-的解集为（ ）A. ()1,+∞B. ()(),01,-∞⋃+∞C. ()(),00,-∞⋃+∞D.()0,∞+【答案】D 【解析】分析：构造函数g （x ）=e x f （x ）+e x ，（x∵R ），求函数的导数，研究g （x ）的单调性，将不等式进行转化求解即可．详解：设g （x ）=e x f （x ）-e x ，（x∵R ），则g′（x ）=e x f （x ）+e x f′（x ）-e x =e x [f （x ）+f′（x ）-1]，∵f （x ）+f′（x ）＞1，∵f （x ）+f′（x ）+1＞0，∵g′（x ）＞0，∵y=g （x ）在定义域上单调递增，不等式ln （f （x ）-1）＞ln2-x 等价为不等式ln[f （x ）-1]+x ＞ln2， 即为ln[f （x ）-1]+lne x ＞ln2，即e x （f （x ）-1）＞2，则e x f （x ）-e x ＞2，∵y=f （x ）-3为奇函数，∴当x=0时，y=0，即f （0）-3=0，得f （0）=3，又∵g （0）=e 0f （0）-e 0=3-1=2，∵e x f （x ）-e x ＞2等价为g （x ）＞g （0），∵x ＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）， 故选：D ．点睛：本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，综合性较强，有一定的难度．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知112,1,,,1,2,322a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x a =为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则a =____． 【答案】1- 【解析】 【分析】先根据单调性判断出a 的正负，然后根据奇偶性判断出a 的可取值.【详解】112,1,,,1,2,322a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭Q 幂函数()f x 在(0,)+∞上递减，∵ 0a <，即12,1,2a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭又因为()f x x a=为奇函数，∵ 1a =-． 故答案为：1-.【点睛】本题考查根据幂函数奇偶性、单调性判断幂指数的取值，难度较易.幂函数中的幂指数大于零时，则幂函数在(0,)+∞递增，若幂指数小于零时，则幂函数在(0,)+∞递减.14.将函数2sin3y x =的图象向左平移π12个单位长度得到()y f x =的图象，则π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为___．【答案】 【解析】 【分析】先由平移得f(x)的解析式，再将π3代入解析式求值即可 【详解】f(x)=2sin3(x+π)12=2sin(3x+π)4,则π5πf 2sin 34⎛⎫== ⎪⎝⎭故答案为【点睛】本题考查图像平移，考查三角函数值求解，熟记平移原则，准确计算是关键，是基础题15.已知函数1(10)()1)x x f x x +-≤≤⎧=<≤则11()f x dx -⎰的值为____． 【答案】124π+ 【解析】 【分析】由函数()f x的解析式，得到111()(1)f x dx x dx --=++⎰⎰，即可求解.【详解】由题意，根据函数1(10)()1)x x f x x +-≤≤⎧=<≤，可得111()(1)f x dx x dx --=++⎰⎰201112424x x ππ-⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中解答中根据函数的解析式，利用微积分基本定理，得到11()f x dx -⎰，然后利用定积分求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.16.已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式223(5)n n n a λ--<-，对n N +∀∈恒成立，则整数λ的最大值为______．【答案】4 【解析】【详解】当1n =时，21122S a =-，得14a =，当2n ≥时，122nn n S a -=-，又122n n n S a +=-，两式相减得1222n n n n a a a -=--，得122nn n a a -=+，所以11122n n nn a a ---=． 又1122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列， 12n na n =+，即(1)2nn a n =+⋅．因为0n a >，所以不等式223(5)n n n a λ--<-，等价于2352nn λ-->． 记122311,,224n n n b b b -==-=， 2n ≥时，112121223462n n nnn b n n b n ++--==--． 所以3n ≥时，1max 331,()8n n n b b b b +<==． 所以33375,5888λλ-><-=，所以整数λ的最大值为4． 考点：1．数列的通项公式；2．解不等式．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程成演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求C ；（2）若c =ABC ∆的面积为2，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）3C π=；（2）5+.【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边角代换，化简即可求角C ；（2）根据1sin C 22ab =，及πC 3=可得6ab =．再利用余弦定理可得()225a b +=，从而可得ΑΒC △的周长为5．【详解】（1）由已知及正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C ΑΒΒΑC +=，()2cos sin sin C ΑΒC +=．故2sin cos sin C C C =．可得1cos 2C =，所以πC 3=．（2）由已知ABC ∆，所以1sin 2ab C =． 又πC 3=，所以6ab =．因为2222271cos 2122a b c a b C ab +-+-=== ，所以2213a b +=，从而()225a b +=．解得：5a b +=，所以ΑΒC △的周长为5．【点睛】本题考查用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式解三角形，常用解题方法是利用正弦定理或余弦定理进行“边化角”或“角化边”的转换，本题属于基础题.18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）详分布列见解析，35. 【解析】 【分析】（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知1(3,)5X B ~，分别求得00331464(0)()()55125P X C ===；11231448(1)()()55125P X C ===；22131412(2)()()55125P X C ===；3303141(3)()()55125P X C ===，即可知的概率分布及其期望.【详解】（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝， 1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝， 由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12CB B =+， ∵142()105P A ==，251()102P A ==， ∵11212211()()()()525P B P A A P A P A ===⨯=， 2121212121212()()()()()(1())(1())()P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A =+=+=-+-21211(1)(1)52522=⨯-+-⨯=， 故所求概率为1212117()()()()5210P C P B B P B P B =+=+=+=； （2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15， ∵1(3,)5X B ~，于是0331464(0)()()55125P X C ===； 11231448(1)()()55125P X C ===；22131412(2)()()55125P X C ===；3303141(3)()()55125P X C ===，故的分布列为的数学期望为13 ()355E X=⨯=.考点：1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.【此处有视频，请去附件查看】19.如图，ABC△中，4AB BC==，90ABC∠=︒，,E F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把AEFV折起，使点A到达点P的位置，且PB BE=．（1）证明：BC⊥平面PBE；（2）求平面 PBE 与平面 PCF 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2 【解析】 【分析】（1）由E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，可得EF BC P ，由已知结合线面垂直的判定可得EF ⊥平面PBE ，从而得到BC ⊥平面PBE ；（2）取BE 的中点O ，连接PO ，由已知证明PO ⊥平面BCFE ，过O 作OM BC P 交CF 于M ，分别以OB ，OM ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PCF 与平面PBE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值． 【详解】（1）因为,E F 分别为AB ，AC 边的中点， 所以EF BC P ， 因为90ABC ∠=︒，所以EF BE ⊥，EF PE ⊥， 又因为BE PE E ⋂=， 所以EF ⊥平面PBE ， 所以BC ⊥平面PBE ．（2）取BE 的中点O ，连接PO ，由（1）知BC ⊥平面PBE ，BC ⊂平面BCFE ， 所以平面PBE ⊥平面BCFE ， 因为PB BE PE ==，所以PO BE ⊥，又因为PO ⊂平面PBE ，平面PBE ⋂平面BCFE BE =， 所以PO ⊥平面BCFE ，过O 作OM BC P 交CF 于M ，分别以OB ，OM ，OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(P ，()1,4,0C ，()1,2,0F -．(1,4,PC =u u u v，(1,2,PF =-u u u v，设平面PCF 的法向量为(),,m x y z v=，则0,0,PC m PF m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v即40,20,x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩则(m v=-，易知()0,1,0n v=为平面PBE 的一个法向量，cos<,m n >===v v 所以平面PBE 与平面PCF【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，两半平面所成的二面角与面的法向量之间所成的角相等或互补，主要通过题意或图形来确定最后结果.20.已知()0,0A x ，()00,B y 两点分别x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y满足2OP OA =+u u u r u u u r u u r．()1求出动点P 的轨迹对应曲线C 的标准方程；()2一条纵截距为2的直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，若以PQ 直径的圆恰过原点，求出直线方程．【答案】（1）22143x y +=（2）y 2x =±+【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程．（2）直线l 1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k 的值，问题得以解决．【详解】(1) 因为2OP OA =+u u u v u u u v u u v即()())()0000,2,00,2x y x y x ==所以002,x x y ==所以001,2x x y y ==又因为1AB =,所以22001x y +=即:22112x y ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即22143x y +=所以椭圆的标准方程为22143x y +=(2) 直线1l 斜率必存在，且纵截距为2,设直线为2y kx =+联立直线1l 和椭圆方程222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得: ()22341640kxkx +++= 由>0∆,得214k >()* 设()()112,2,,P x y Q x y 以PQ 直径的圆恰过原点所以OP OQ ⊥,•0OP OQ =u u u v u u u v即12120x x y y +=也即()()1212220x x kx kx +++=即()()212121240kx xk x x ++++=将(1)式代入,得()2224132403434k kk k+-+=++即()()22241324340kkk +-++=解得243k =,满足（*）式，所以3k =±所以直线2y x =+21.已知函数2()2x f x e x a b =-++（x ∈R ）的图象在0x =处的切线为y bx =（e 为自然对数的底数） （1）求,a b 的值；（2）若k Z ∈，且21()(352)02f x x x k +--≥对任意x ∈R 恒成立，求k 的最大值. 【答案】(1)a=-1,b=1;(2)-1. 【解析】（1）对()f x 求导得()2xf x e x '=-，根据函数()f x 的图象在0x =处的切线为y bx =，列出方程组，即可求出,a b 的值；（2）由（1）可得()21x f x e x =--，根据()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立，等价于215122x k e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立，构造()215122x h x e x x =+--，求出()h x '的单调性，由()00h '<，()10h '>，102h ⎛⎫< ⎪⎭'⎝，304h ⎛⎫> ⎪⎭'⎝，可得存在唯一的零点013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，利用单调性可求出()()0min h x h x =，即可求出k 的最大值. （1）()22xf x e x a b =-++，()2xf x e x '=-.由题意知()()01201011f a b a f b b ⎧=++==-⎧⎪⇒⎨⎨==='⎪⎩⎩.（2）由（1）知：()21xf x e x =--，∴()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立 2151022x e x x k ⇔+---≥对任意x R ∈恒成立 215122x k e x x ⇔≤+--对任意x R ∈恒成立. 令()215122xh x e x x =+--，则()52x h x e x ='+-. 由于()'10xh x e +'=>，所以()h x '在R 上单调递增.又()3002h =-<'，()3102h e =->'，121202h e ⎛⎫=-< ⎪'⎝⎭，343737104444h e ⎛⎫=->+-⎪'= ⎝⎭，所以存在唯一的013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h x '=，且当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '>. 即()h x 在()0,x -∞单调递减，在()0,x +∞上单调递增.所以()()02000min 15122xh x h x e x x ==+--. 又()00h x '=，即00502xe x +-=，∴005 2x e x =-. ∴ ()()2200000051511732222h x x x x x x =-+--=-+.∴ 013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴ ()0271,328h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 又因为215122xk e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立()0k h x ⇔≤， 又k Z ∈，∴ max 1k =-.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2 【解析】 【分析】（1）首先利用221cos sin ϕϕ+=对圆C 的参数方程1{x cos y sin ϕϕ=+=（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（2）设11P ρθ（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11ρθ，；设22Q ρθ（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22ρθ，，可得PQ ．【详解】（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ= 所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）设()11,ρθP ，则由2{3cos ρθπθ==解得11ρ=，13πθ=，得1,3P π⎛⎫⎪⎝⎭；设()22Q ,ρθ，则由2sin 3{3πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=解得23ρ=，23πθ=，得3,3Q π⎛⎫⎪⎝⎭； 所以Q 2P =【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.23.已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++ (1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集；(2)当()f x 的最小值为3时,求111a b c++的最小值. 【答案】（1）{|11}x x x <->或；（2）3【解析】【分析】∵1∵通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可∵∵2）先用绝对值不等式的性质求出最小值为a +b +c ∵3，然后用基本不等式可得． 【详解】（1）()111f x x x =-+++，∴1123x x ≤-⎧⎨->⎩或1133x -<<⎧⎨>⎩或1213x x ≥⎧⎨+>⎩，解得{|11}x x x 或-.（2）f x x a x b c =-+++ a x x b c a b c ≥-+++=++ 3a b c =++=，()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭133b a c a c b a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()1322233≥+++=. 当且仅当1a b c ===时取得最小值3. 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
甘肃省天水市第一中学2020届高三数学上学期10月月考试题理(含解析)
甘肃省天水市第一中学2020届高三数学上学期10月月考试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B =I ð（ ） A. {}1- B. {}0,1 C. {}1,2,3- D. {}1,0,1,3-【答案】A 【解析】 【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2.已知平面向量(1,)a m =r ，(3,1)b =-r 且(2)//a b b +rr r ，则实数m 的值为（ ）A.13B. 13-C.23D. 23-【答案】B 【解析】(2)//a b b +rr r (1,21)//(3,1)m ⇒-+-13(21)13m m ⇒-+=-⇒=-,选B.3.“2211og a og b <”是“11a b<”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】由2211og a og b <可推出a b <，再结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.【详解】若2211og a og b <，则0a b <<，所以110a b>>，即“2211og a og b <”不能推出“11a b <”，反之也不成立，因此“2211og a og b <”是“11a b<”的既不充分也不必要条件. 故选D【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，熟记概念即可，属于基础题型.4.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =（ ） A. 60 B. 75C. 90D. 105【答案】B 【解析】 【分析】由条件，利用等差数列下标和性质可得5253a =，进而得到结果. 【详解】3482585325a a a a a a a ++=++==，即5253a =，而19959()25997523a a S a +===⨯=，故选B . 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查运算能力与推理能力，属于中档题.5.已知函数y =f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （-2）=（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D 【解析】∵()y f x x =+是偶函数 ∴()()f x x f x x +=-- 当2x =时，()()2222f f +=--，又()21f =∴()25f -= 故选：D6.如图所示的图象对应的函数解析式可能是A. 221x y x =-- B. 2sin 41x xy x ⋅=+C. ln x y x=D. ()22e xy x x =-【答案】D 【解析】对于A ，∵221x y x =--，当x 趋向于-∞时，函数2xy =趋向于0，21y x =+趋向于+∞∴函数221x y x =--的值小于0，故排除A对于B ，∵sin y x =是周期函数∴函数2sin 41x xy x ⋅=+的图像是以x 轴为中心的波浪线，故排除B对于C ， ∵ln xy x=的定义域是()()0,11,⋃+∞，且在()0,1x ∈时，ln 0x < ∴0ln xy x=<，故排除C 对于D ，∵函数()22211y x x x =-=--，当0,1x x <>时，0y >；当01x <<时，0y <；且0xy e =>恒成立∴2()2xy x x e =-的图像在x 趋向于-∞时，0y >；01x <<时，0y <；x 趋向于+∞时，y 趋向于+∞故选D点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.7.已知:p m R ∀∈，210x mx --=有解，0:q x N ∃∈，020210x x --≤则下列选项中是假命题的为（ ） A. p q ∧B. ()p q ∧⌝C. p q ∨D.()p q ∨⌝【答案】B 【解析】 【分析】分别判断p 、q 命题的真假，然后判断选项即可.【详解】∵2m 40∆=+>恒成立，∴对m R ∀∈，210x mx --=有解．所以p 是真命题.取00x N =∈，满足020210x x --≤，∴q 也是真命题.∴()p q ∧⌝是假命题，故选B ．【点睛】本题考查简单命题以及复合命题真假的判断，属于基础题.8.平面上三个单位向量,,a b c r r r两两夹角都是23π，则a b -r r 与a c +r r 夹角是（ ） A.3π B.23π C. 12π D. 6π【答案】D 【解析】由题意得，向量,,a b c r r r 为单位向量，且两两夹角为23π，则1a b a c -=+=v v v v，且222213()()111cos 11cos 11cos 133322a b a c a a c a b b c πππ-⋅+=+⋅-⋅-⋅=+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=+=v v v v v v v v v v v，所以a b -r r 与a c +r r的夹角为3()()cos 2a b a c a b a cθ-⋅+===-⋅+v v v v v v v v，且0θπ≤≤，所以a b -r r 与a c +r r 的夹角为6π，故选D.9.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足n m m n S S S ++=(m n ，N *∈）且15a =，则8a =（ ）A. 40B. 35C. 5D. 12【答案】C 【解析】 【分析】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m∈N *）且a 1=5，令m=1，可得S n+1=S n +S 1，可得a n+1=5．即可得出．【详解】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m∈N *）且a 1=5， 令m=1，则S n+1=S n +S 1=S n +5．可得a n+1=5． 则a 8=5． 故选：C ．【点睛】本题考查了数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.已知函数()sin 33f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()0ω>在区间3,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且在区间[]0,2π内恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是( ) A. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D.13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数恒等变换的应用化简得f （x ）=2sinωx ()0ω>可得[﹣2πω，2πω]是函数含原点的递增区间，结合已知可得[﹣2πω，2πω]⊇[3,42ππ-]，可解得0＜ω≤23，又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得14 ⨯ 2πω2π≤，得14ω≥，进而得解． 【详解】()sin 3cos 33f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2sinωx ()0ω>， ∴[﹣2πω，2πω]是函数含原点的递增区间． 又∵函数在[3,42ππ-]上递增，∴[﹣2πω，2πω]⊇[3,42ππ-]， ∴得不等式组：﹣2πω≤34π-，且2π≤2πω，又∵ω＞0， ∴0＜ω≤23， 又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值， 根据正弦函数的性质可知14 ⨯ 2πω 2π≤且54 ⨯ 2πω2π> 可得ω∈[14，5)4．综上：ω∈12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：B ．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于中档题．11.如图所示，O 为ABC ∆的外心，4AB =，2AC =，BAC ∠为钝角，M 为BC 边的中点，则AM AO ⋅u u u u v u u u v的值为（ ）A. 23B. 12C. 6D. 5【答案】D【解析】 【分析】取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥ ，所求AM AO AD AO AE AO⋅=⋅+⋅u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，由数量积的定义可得,AD AO AD AE AO AE ⋅=⋅=u u u v u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v，代值即可．【详解】如图所示，取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥，∵M 是边BC 的中点，∴1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r.11AM ()()22AO AB AC AO AB AO AC AO AD AO AE AO ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，由数量积的定义可得cos ,AD AO AD AO AD AO ⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，而cos ,AO AD AO AD =u u u v u u u v u u u v u u u v ，故2224||422AB AD AO AD ⎛⎫⎛⎫⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v ； 同理可得2222||122AC AE AO AE ⎛⎫⎛⎫⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v ， 故415AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅=+=u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v. 故选：D ．【点睛】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题．12.设定义在R 上的函数()f x ，满足()1f x >，()3y f x =-为奇函数，且()'()1f x f x +>，则不等式ln(()1)ln 2f x x ->-的解集为（ ） A. ()1,+∞B. ()(),01,-∞⋃+∞C. ()(),00,-∞⋃+∞D.()0,∞+【答案】D 【解析】分析：构造函数g （x ）=e x f （x ）+e x ，（x∈R），求函数的导数，研究g （x ）的单调性，将不等式进行转化求解即可．详解：设g （x ）=e x f （x ）-e x ，（x∈R），则g′（x ）=e x f （x ）+e x f′（x ）-e x =e x [f （x ）+f′（x ）-1]，∵f（x ）+f′（x ）＞1，∴f（x ）+f′（x ）+1＞0，∴g′（x ）＞0，∴y=g（x ）在定义域上单调递增，不等式ln （f （x ）-1）＞ln2-x 等价为不等式ln[f （x ）-1]+x ＞ln2， 即为ln[f （x ）-1]+lne x ＞ln2，即e x （f （x ）-1）＞2，则e x f （x ）-e x ＞2，∵y=f（x ）-3为奇函数，∴当x=0时，y=0，即f （0）-3=0，得f （0）=3，又∵g （0）=e 0f （0）-e 0=3-1=2，∴e x f （x ）-e x ＞2等价为g （x ）＞g （0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）， 故选：D ．点睛：本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，综合性较强，有一定的难度．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知112,1,,,1,2,322a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x a =为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则a =____． 【答案】1- 【解析】 【分析】先根据单调性判断出a 的正负，然后根据奇偶性判断出a 的可取值.【详解】112,1,,,1,2,322a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭Q幂函数()f x 在(0,)+∞上递减， ∴ 0a <，即12,1,2a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭又因为()f x x a=为奇函数，∴ 1a =-． 故答案为：1-.【点睛】本题考查根据幂函数奇偶性、单调性判断幂指数的取值，难度较易.幂函数中的幂指数大于零时，则幂函数在(0,)+∞递增，若幂指数小于零时，则幂函数在(0,)+∞递减.14.将函数2sin3y x =的图象向左平移π12个单位长度得到()y f x =的图象，则π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为___．【答案】 【解析】 【分析】先由平移得f(x)的解析式，再将π3代入解析式求值即可 【详解】f(x)=2sin3(x+π)12=2sin(3x+π)4,则π5πf 2sin 34⎛⎫== ⎪⎝⎭故答案为【点睛】本题考查图像平移，考查三角函数值求解，熟记平移原则，准确计算是关键，是基础题15.已知函数1(10)()1)x x f x x +-≤≤⎧=<≤则11()f x dx -⎰的值为____． 【答案】124π+ 【解析】 【分析】由函数()f x的解析式，得到1011()(1)f x dx x dx --=++⎰⎰，即可求解.【详解】由题意，根据函数1(10)()1)x x f x x +-≤≤⎧=<≤，可得111()(1)f x dx x dx --=++⎰⎰201112424x x ππ-⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中解答中根据函数的解析式，利用微积分基本定理，得到11()f x dx -⎰，然后利用定积分求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.16.已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式223(5)n n n a λ--<-，对n N +∀∈恒成立，则整数λ的最大值为______．【答案】4 【解析】【详解】当1n =时，21122S a =-，得14a =，当2n ≥时，122nn n S a -=-， 又122n n n S a +=-，两式相减得1222nn n n a a a -=--，得122nn n a a -=+，所以11122n n nn a a ---=． 又1122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列， 12n na n =+，即(1)2nna n =+⋅． 因为0n a >，所以不等式223(5)n n n a λ--<-，等价于2352nn λ-->． 记122311,,224n n n b b b -==-=，2n ≥时，112121223462n n nnn b n n b n ++--==--． 所以3n ≥时，1max 331,()8n n n b b b b +<==． 所以33375,5888λλ-><-=，所以整数λ的最大值为4． 考点：1．数列的通项公式；2．解不等式．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程成演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求C ； （2）若c =ABC ∆ABC ∆的周长. 【答案】（1）3C π=；（2）5.【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角代换，化简即可求角C ； （2）根据1sin C 2ab =πC 3=可得6ab =．再利用余弦定理可得()225a b +=，从而可得ΑΒC △的周长为5．【详解】（1）由已知及正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C ΑΒΒΑC +=，()2cos sin sin C ΑΒC +=．故2sin cos sin C C C =． 可得1cos 2C =，所以πC 3=． （2）由已知ABC ∆的面积为2，所以1sin 22ab C =．又πC 3=，所以6ab =．因为2222271cos 2122a b c a b C ab +-+-=== ，所以2213a b +=，从而()225a b +=．解得：5a b +=， 所以ΑΒC △的周长为57+．【点睛】本题考查用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式解三角形，常用的解题方法是利用正弦定理或余弦定理进行“边化角”或“角化边”的转换，本题属于基础题.18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）；（2）详分布列见解析，35. 【解析】 【分析】（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知1(3,)5X B ~，分别求得00331464(0)()()55125P X C ===；11231448(1)()()55125P X C ===；22131412(2)()()55125P X C ===；3303141(3)()()55125P X C ===，即可知的概率分布及其期望.【详解】（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝，1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝， 由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥， 且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12CB B =+， ∵142()105P A ==，251()102P A ==， ∴11212211()()()()525P B P A A P A P A ===⨯=，2121212121212()()()()()(1())(1())()P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A =+=+=-+-21211(1)(1)52522=⨯-+-⨯=， 故所求概率为1212117()()()()5210P C P B B P B P B =+=+=+=； （2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15， ∴1(3,)5X B ~，于是00331464(0)()()55125P X C ===；11231448(1)()()55125P X C ===；22131412(2)()()55125P X C ===；3303141(3)()()55125P X C ===，故的分布列为123P6412548125121251125的数学期望为13()355E X =⨯=. 考点：1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注. 【此处有视频，请去附件查看】19.如图，ABC △ 中，4AB BC ==， 90ABC ∠=︒，,E F 分别为 AB ，AC 边的中点，以EF 为折痕把AEF V 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且PB BE =．（1）证明： BC ⊥平面 PBE ；（2）求平面 PBE 与平面 PCF 所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（25【解析】 【分析】（1）由E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，可得EF BC P ，由已知结合线面垂直的判定可得EF ⊥平面PBE ，从而得到BC ⊥平面PBE ；（2）取BE 的中点O ，连接PO ，由已知证明PO ⊥平面BCFE ，过O 作OM BC P 交CF 于M ，分别以OB ，OM ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PCF 与平面PBE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值． 【详解】（1）因为,E F 分别为AB ，AC 边的中点，所以EF BC P ， 因为90ABC ∠=︒，所以EF BE ⊥，EF PE ⊥， 又因为BE PE E ⋂=， 所以EF ⊥平面PBE ， 所以BC ⊥平面PBE ．（2）取BE 的中点O ，连接PO ，由（1）知BC ⊥平面PBE ，BC ⊂平面BCFE ， 所以平面PBE ⊥平面BCFE ， 因为PB BE PE ==， 所以PO BE ⊥，又因为PO ⊂平面PBE ，平面PBE ⋂平面BCFE BE =，所以PO ⊥平面BCFE ，过O 作OM BC P 交CF 于M ，分别以OB ，OM ，OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(P ，()1,4,0C ，()1,2,0F -．(1,4,PC =u u u v，(1,2,PF =-u u u v，设平面PCF 的法向量为(),,m x y z v=，则0,0,PC m PF m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v即40,20,x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩则(m v=-，易知()0,1,0n v=为平面PBE 的一个法向量，cos<,m n >===v v所以平面PBE 与平面PCF【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，两半平面所成的二面角与面的法向量之间所成的角相等或互补，主要通过题意或图形来确定最后结果.20.已知()0,0A x ，()00,B y 两点分别x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y 满足23OP OA OB =+u u u r u u u r u u r ．()1求出动点P 的轨迹对应曲线C 的标准方程；()2一条纵截距为2的直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，若以PQ 直径的圆恰过原点，求出直线方程．【答案】（1）22143x y +=（2）23y 23x =±+【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程．（2）直线l 1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k 的值，问题得以解决．【详解】(1) 因为23OP OA OB =u u u v u u u v u u v即()())()0000,2,030,23x y x y x == 所以002,3x x y =所以001,2x x y y == 又因为1AB =,所以22001x y +=即:221123x y ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即22143x y += 所以椭圆的标准方程为22143x y +=(2) 直线1l 斜率必存在，且纵截距为2,设直线为2y kx =+联立直线1l 和椭圆方程222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得: ()22341640kxkx +++=由>0∆,得214k >()* 设()()112,2,,P x y Q x y 以PQ 直径的圆恰过原点 所以OP OQ ⊥,•0OP OQ =u u u v u u u v即12120x x y y +=也即()()1212220x x kx kx +++= 即()()212121240kx xk x x ++++= 将(1)式代入,得()2224132403434k kk k+-+=++ 即()()22241324340kk k +-++=解得243k =,满足（*）式，所以k =所以直线23y x =±+21.已知函数2()2xf x e x a b =-++（x ∈R ）的图象在0x =处的切线为y bx =（e 为自然对数的底数） （1）求,a b 的值； （2）若k Z ∈，且21()(352)02f x x x k +--≥对任意x ∈R 恒成立，求k 的最大值. 【答案】(1)a=-1,b=1;(2)-1. 【解析】（1）对()f x 求导得()2xf x e x '=-，根据函数()f x 的图象在0x =处的切线为y bx =，列出方程组，即可求出,a b 的值；（2）由（1）可得()21x f x e x =--，根据()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立，等价于215122x k e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立，构造()215122x h x e x x =+--，求出()h x '的单调性，由()00h '<，()10h '>，102h ⎛⎫< ⎪⎭'⎝，304h ⎛⎫> ⎪⎭'⎝，可得存在唯一的零点013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，利用单调性可求出()()0min h x h x =，即可求出k 的最大值. （1）()22xf x e x a b =-++，()2xf x e x '=-.由题意知()()01201011f a b a f b b ⎧=++==-⎧⎪⇒⎨⎨==='⎪⎩⎩.（2）由（1）知：()21xf x e x =--，∴()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立 2151022x e x x k ⇔+---≥对任意x R ∈恒成立215122x k e x x ⇔≤+--对任意x R ∈恒成立.令()215122x h x e x x =+--，则()52xh x e x ='+-.由于()'10xh x e +'=>，所以()h x '在R 上单调递增.又()3002h =-<'，()3102h e =->'，121202h e ⎛⎫=-< ⎪'⎝⎭，343737104444h e ⎛⎫=->+-⎪'= ⎝⎭，所以存在唯一的013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h x '=，且当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '>. 即()h x 在()0,x -∞单调递减，在()0,x +∞上单调递增.所以()()02000min 15122xh x h x e x x ==+--. 又()00h x '=，即00502xe x +-=，∴0052x e x =-. ∴ ()()2200000051511732222h x x x x x x =-+--=-+. ∵ 013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ ()0271,328h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.又因为215122xk e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立()0k h x ⇔≤， 又k Z ∈，∴ max 1k =-.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2 【解析】【分析】（1）首先利用221cos sin ϕϕ+=对圆C 的参数方程1{x cos y sin ϕϕ=+=（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（2）设11P ρθ（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11ρθ，；设22Q ρθ（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22ρθ，，可得PQ ． 【详解】（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ= 所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）设()11,ρθP ，则由2{3cos ρθπθ==解得11ρ=，13πθ=，得1,3P π⎛⎫⎪⎝⎭； 设()22Q ,ρθ，则由2sin 3{3πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=解得23ρ=，23πθ=，得3,3Q π⎛⎫⎪⎝⎭；所以Q 2P =【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.23.已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++ (1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集； (2)当()f x 的最小值为3时,求111a b c++的最小值. 【答案】（1）{|11}x x x <->或；（2）3 【解析】 【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）先用绝对值不等式的性质求出最小值为a +b +c ＝3，然后用基本不等式可得．【详解】（1）()111f x x x =-+++，∴1123x x ≤-⎧⎨->⎩或1133x -<<⎧⎨>⎩或1213x x ≥⎧⎨+>⎩， 解得{|11}x x x 或-.（2）f x x a x b c =-+++ a x x b c a b c ≥-+++=++ 3a b c =++=， ()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 133b a c a c b a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()1322233≥+++=. 当且仅当1a b c ===时取得最小值3.【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2020届甘肃省天水市高三上学期考试数学（理）试题
2020届甘肃省天水市第一中学高三上学期第一次考试数学（理）试题一、单选题1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则UA B =（ ）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-【答案】A【解析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2．已知平面向量(1,)a m =，(3,1)b =-，且()//a b b +，则实数m 的值为（ ） A ．13B ．13-C ．23D ．23-【答案】B【解析】先求出a b +的坐标，再由向量共线，列出方程，即可得出结果. 【详解】因为向量(1,)a m =，(3,1)b =-，所以(2,1)+=-+a b m ， 又()//a b b +，所以213(1)0-⨯++=m ，解得13m =-. 故选B 【点睛】本题主要考查由向量共线求参数的问题，熟记向量的坐标运算即可，属于常考题型. 3．“2211og a og b <”是“11a b<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由2211og a og b <可推出a b <，再结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】若2211og a og b <，则0a b <<，所以110a b>>，即“2211og a og b <”不能推出“11a b <”，反之也不成立，因此“2211og a og b <”是“11a b<”的既不充分也不必要条件. 故选D 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，熟记概念即可，属于基础题型.4．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =（ ） A ．60 B ．75C ．90D ．105【答案】B【解析】由条件，利用等差数列下标和性质可得5253a =，进而得到结果. 【详解】3482585325a a a a a a a ++=++==，即5253a =，而19959()25997523a a S a +===⨯=，故选B . 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查运算能力与推理能力，属于中档题. 5．已知函数y =f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （-2）=（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】∵()y f x x =+是偶函数 ∴()()f x x f x x +=--当2x =时，()()2222f f +=--，又()21f = ∴()25f -= 故选D6．如右图所示的图象对应的函数解析式可能是（ ）A ．()22xy x x e -= B ．2sin 41x xy x ⋅=+ C ．ln x y x=D ．221x y x =--【答案】A【解析】根据图像判断函数的定义域可排除B,C 选项，对于选项D 分析函数值的正负可得出错误，对选项A 可通过求导，求出单调区间，极值，函数值的正负，可判断正确. 【详解】选项A ：()22,(2)(2)(2)2x x xy x e x x e e x y x '-==-=， 令0,22,(,2)(2,),0y x x x y ''==-=∈-∞-+∞>或，(2,2),0x y '∈-<，函数的单调递增区间是(,2),(2,)-∞+∞，单调递减区间是(2,2)-，函数的极大值点为2-， 20,2，(,0)(2,),0x y ∈-∞+∞>，(0,2),0x y ∈<，故选项A 满足题意；选项B ：函数定义域为11(,)(,)44-∞-+∞，不合题意； 选项C ：函数的定义域为(0,)+∞，不合题意； 选项D ：当31,02x y =-=-<时，不合题意. 故选:A 【点睛】本题考查了函数的图像和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与值域的图像特征，是综合性题目.7．已知:p m R ∀∈，210x mx --=有解，0:q x N ∃∈，020210x x --≤则下列选项中是假命题的为（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．()p q ∨⌝【答案】B【解析】分别判断p 、q 命题的真假，然后判断选项即可. 【详解】∵2m 40∆=+>恒成立，∴对m R ∀∈，210x mx --=有解．所以p 是真命题.取00x N =∈，满足020210x x --≤，∴q 也是真命题.∴()p q ∧⌝是假命题，故选B ．【点睛】本题考查简单命题以及复合命题真假的判断，属于基础题. 8．同一平面上三个单位向量,,a b c 两两夹角都是23π，则a b -与a c +的夹角是( ) A ．3πB ．23π C ．12π D ．6π【答案】D【解析】根据向量的数量积，可得a b -，a c +，然后利用向量的夹角公式，可得结果. 【详解】 由21cos32a b a b π==- 21cos 32a c a c π==-,所以3a b -=,1a c =+,则()2()a a c a a b b a c b c ⋅=+⋅-⋅--+⋅ 所以()()a b a c ⋅-+112111cos 223π=+--⨯⨯ 即()13()122a ba c ⋅==-++. 设a b -与a c +的夹角为θ,则()3()2cos 23a b a c a b a cθ⋅===⨯⋅-+-+, 又0θπ≤≤,所以a b -与a c +的夹角为6π. 故选：D .【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，属基础题.9．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足n m m n S S S ++=(m n ，N *∈）且15a =，则8a =（ ） A ．40 B ．35C ．5D ．12【答案】C【解析】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m ∈N ）且a 1=5，令m=1，可得S n+1=S n +S 1，可得a n+1=5．即可得出． 【详解】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m ∈N ）且a 1=5， 令m=1，则S n+1=S n +S 1=S n +5．可得a n+1=5． 则a 8=5． 故选C ． 【点睛】本题考查了数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知函数()sin 33f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (0)>ω在区间3,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且在区间[0,2]π内恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是( ) A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由三角函数恒等变换的应用化简得可得()2sin (0)f x x ωω=>,,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数含原点的递增区间，结合已知可得3,,2242ππππωω⎡⎤⎡⎤-⊇-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可解得203ω<≤，又函数在区间[0,2]π上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得3242ππω⨯≤，得14ω≥，进而得解． 【详解】()sin 33f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin (0)x ωω=>∴,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数含原点的递增区间． 又∵函数在3,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增， ∴3,,2242ππππωω⎡⎤⎡⎤-⊇-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ∴得不等式组：324ππω-≤-，且22ππω≤， 又∵0>ω， ∴203ω<≤， 又函数在区间[0,2]π上恰好取得一次最大值， 根据正弦函数的性质可知1224ππω⨯≤且5224ππω⨯> 可得15,44ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．综上：12,43ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于中档题．11．如图所示，O 为ABC ∆的外心，4AB =，2AC =，BAC ∠为钝角，M 为BC 边的中点，则AM AO ⋅的值为（ ）A ．3B ．12C ．6D ．5【答案】D【解析】取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥ ，所求 AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅ ，由数量积的定义可得,AD AO AD AE AO AE ⋅=⋅= ，代值即可．【详解】如图所示，取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥， ∵M 是边BC 的中点，∴1()2AM AB AC =+ . 11AM ()()22AO AB AC AO AB AO AC AO AD AO AE AO ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅，由数量积的定义可得cos ,AD AO AD AO AD AO ⋅= ，而||cos ,||AO AD AO AD <>= ，故2224||422AB AD AO AD ⎛⎫⎛⎫⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 同理可得2222||122AC AE AO AE ⎛⎫⎛⎫⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故415AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅=+=. 故选D ．【点睛】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题．12．设定义在R 上的函数()f x ，满足()1f x >，()3y f x =-为奇函数，且()'()1f x f x +>，则不等式ln(()1)ln 2f x x ->-的解集为（ ）A ．()1,+∞B ．()(),01,-∞⋃+∞C ．()(),00,-∞⋃+∞D ．()0,∞+【答案】D【解析】分析：构造函数g （x ）=e x f （x ）+e x ，（x ∈R ），求函数的导数，研究g （x ）的单调性，将不等式进行转化求解即可．详解：设g （x ）=e x f （x ）-e x ，（x ∈R ），则g′（x ）=e x f （x ）+e x f′（x ）-e x =e x [f （x ）+f′（x ）-1]，∵f （x ）+f′（x ）＞1，∴f （x ）+f′（x ）+1＞0，∴g′（x ）＞0，∴y=g （x ）在定义域上单调递增，不等式ln （f （x ）-1）＞ln2-x 等价为不等式ln[f （x ）-1]+x ＞ln2， 即为ln[f （x ）-1]+lne x ＞ln2，即e x （f （x ）-1）＞2，则e x f （x ）-e x ＞2，∵y=f （x ）-3为奇函数，∴当x=0时，y=0，即f （0）-3=0，得f （0）=3，又∵g （0）=e 0f （0）-e 0=3-1=2，∴e x f （x ）-e x ＞2等价为g （x ）＞g （0），∴x ＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）， 故选：D ．点睛：本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，综合性较强，有一定的难度．二、填空题13．已知112112322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，，，，，，，若幂函数()af x x =为奇函数，且在()0+∞，上递减，则a =____． 【答案】-1【解析】由幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a 是奇数，且a ＜0，由此能求出a 的值． 【详解】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣1122，，1，2，3}，幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减， ∴a 是奇数，且a ＜0， ∴a=﹣1． 故答案为﹣1． 【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．将函数2sin3y x =的图像向左平移12π个单位长度得到()y f x =的图像，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为________．【答案】【解析】根据三角函数图像变换法则可得()2sin 34y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,进而求值即可 【详解】由题意,()2sin 32sin 3124y f x x x ππ⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 当3x π=时,2sin 32sin 3344f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故答案为：【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查三角函数值的计算15．已知函数1(10)()1)x x f x x +-≤≤⎧⎪=<≤则11()f x dx -⎰的值为____． 【答案】124π+ 【解析】由函数()f x的解析式，得到111()(1)f x dx x dx --=++⎰⎰，即可求解.【详解】由题意，根据函数1(10)()1)x x f x x +-≤≤⎧=<≤，可得111()(1)f x dx x dx --=++⎰⎰201112424x x ππ-⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中解答中根据函数的解析式，利用微积分基本定理，得到11()f x dx -⎰，然后利用定积分求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.16．已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式223(5)n n n a λ--<-，对n N +∀∈恒成立，则整数λ的最大值为______．【答案】4 【解析】【详解】当1n =时，21122S a =-，得14a =，当2n ≥时，122nn n S a -=-， 又122n n n S a +=-，两式相减得1222nn n n a a a -=--，得122nn n a a -=+，所以11122n n n n a a ---=． 又1122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列， 12nn a n =+，即(1)2n n a n =+⋅． 因为0n a >，所以不等式223(5)n n n a λ--<-，等价于2352nn λ-->． 记122311,,224n nn b b b -==-=， 2n ≥时，112121223462n n nnn b n n b n ++--==--． 所以3n ≥时，1max 331,()8n n n b b b b +<==． 所以33375,5888λλ-><-=，所以整数λ的最大值为4． 【考点】1．数列的通项公式；2．解不等式．三、解答题17．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长. 【答案】（1）3C π=（2）5【解析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长.试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒= （2）11sin 6222ABC S ab C ab ab ∆=⇒=⋅⇒= 又2222cos a b ab C c +-=2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=ABC ∆∴的周长为57+【考点】正余弦定理解三角形.18．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）；（2）详分布列见解析，35. 【解析】（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知1(3,)5X B ~，分别求得0331464(0)()()55125P X C ===；11231448(1)()()55125P X C ===；22131412(2)()()55125P X C ===；3303141(3)()()55125P X C ===，即可知的概率分布及其期望.【详解】（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝， 1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝， 由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥， 且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12CB B =+，∵142()105P A ==，251()102P A ==， ∴11212211()()()()525P B P A A P A P A ===⨯=，2121212121212()()()()()(1())(1())()P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A =+=+=-+-21211(1)(1)52522=⨯-+-⨯=， 故所求概率为1212117()()()()5210P C P B B P B P B =+=+=+=； （2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15， ∴1(3,)5X B ~，于是00331464(0)()()55125P X C ===；11231448(1)()()55125P X C ===；22131412(2)()()55125P X C ===；3303141(3)()()55125P X C ===，故的分布列为123P6412548125121251125的数学期望为13()355E X =⨯=. 【考点】1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望. 【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.19．如图，ABC 中，4AB BC ==， 90ABC ∠=︒，,E F 分别为 AB ，AC 边的中点，以EF 为折痕把AEF 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且PB BE =．（1）证明： BC ⊥平面 PBE ；（2）求平面 PBE 与平面 PCF 所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（25【解析】（1）由E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，可得EFBC ，由已知结合线面垂直的判定可得EF ⊥平面PBE ，从而得到BC ⊥平面PBE ；（2）取BE 的中点O ，连接PO ，由已知证明PO ⊥平面BCFE ，过O 作OMBC 交CF 于M ，分别以OB ，OM ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PCF 与平面PBE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值． 【详解】（1）因为,E F 分别为AB ，AC 边的中点， 所以EFBC ，因为90ABC ∠=︒，所以EF BE ⊥，EF PE ⊥， 又因为BE PE E ⋂=， 所以EF ⊥平面PBE ， 所以BC ⊥平面PBE ．（2）取BE 的中点O ，连接PO ，由（1）知BC ⊥平面PBE ，BC ⊂平面BCFE ， 所以平面PBE ⊥平面BCFE ， 因为PB BE PE ==， 所以PO BE ⊥，又因为PO ⊂平面PBE ，平面PBE ⋂平面BCFE BE =，所以PO ⊥平面BCFE ， 过O 作OMBC 交CF 于M ，分别以OB ，OM ，OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,3P ，()1,4,0C ，()1,2,0F -．()1,4,3PC =-，()1,2,3PF =--，设平面PCF 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,PC m PF m ⎧⋅=⎨⋅=⎩即430,230,x y z x y z ⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩ 则()1,1,3m =-，易知()0,1,0n =为平面PBE 的一个法向量，()()2221011305cos<,55113m n -⨯+⨯+⨯>===-++， 所以平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值55．【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，两半平面所成的二面角与面的法向量之间所成的角相等或互补，主要通过题意或图形来确定最后结果.20．已知()0,0A x ，()00,B y 两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y 满足23OP OA OB =+．()1求出动点P 的轨迹对应曲线C 的标准方程；()2一条纵截距为2的直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，若以PQ 直径的圆恰过原点，求出直线方程．【答案】（1）22143x y +=（2）y 23x =±+【解析】（1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程．（2）直线l 1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k 的值，问题得以解决． 【详解】(1) 因为23OP OA OB =+即()())()0000,2,00,2x y x y x == 所以002,3x x y y ==所以001,23x x y y == 又因为1AB =,所以22001x y +=即:22112x y ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即22143x y += 所以椭圆的标准方程为22143x y +=(2) 直线1l 斜率必存在，且纵截距为2,设直线为2y kx =+联立直线1l 和椭圆方程222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得: ()22341640kxkx +++=由>0∆,得214k >()* 设()()112,2,,P x y Q x y 以PQ 直径的圆恰过原点 所以OP OQ ⊥,•0OP OQ = 即12120x x y y +=也即()()1212220x x kx kx +++= 即()()212121240kx xk x x ++++= 将(1)式代入,得()2224132403434k kk k+-+=++ 即()()22241324340kk k +-++=解得243k =,满足（）式，所以k =所以直线23y x =±+ 21．已知函数2()2x f x e x a b =-++（x ∈R ）的图象在0x =处的切线为y bx =（e 为自然对数的底数） （1）求,a b 的值； （2）若k Z ∈，且21()(352)02f x x x k +--≥对任意x ∈R 恒成立，求k 的最大值. 【答案】(1)a=-1,b=1;(2)-1.【解析】（1）对()f x 求导得()2xf x e x '=-，根据函数()f x 的图象在0x =处的切线为y bx =，列出方程组，即可求出,a b 的值；（2）由（1）可得()21xf x e x =--，根据()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立，等价于215122x k e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立，构造()215122xh x e x x =+--，求出()h x '的单调性，由()00h '<，()10h '>，102h ⎛⎫< ⎪⎭'⎝，304h ⎛⎫> ⎪⎭'⎝，可得存在唯一的零点013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，利用单调性可求出()()0min h x h x =，即可求出k 的最大值.（1）()22xf x e x a b =-++，()2xf x e x '=-.由题意知()()01201011f a b a f b b ⎧=++==-⎧⎪⇒⎨⎨==='⎪⎩⎩. （2）由（1）知：()21xf x e x =--，∴()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立 2151022x e x x k ⇔+---≥对任意x R ∈恒成立215122x k e x x ⇔≤+--对任意x R ∈恒成立. 令()215122x h x e x x =+--，则()52xh x e x ='+-.由于()'10xh x e +'=>，所以()h x '在R 上单调递增.又()3002h =-<'，()3102h e =->'，121202h e ⎛⎫=-< ⎪'⎝⎭，343737104444h e ⎛⎫=->+-⎪'= ⎝⎭，所以存在唯一的013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h x '=，且当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '>. 即()h x 在()0,x -∞单调递减，在()0,x +∞上单调递增.所以()()02000min 15122xh x h x e x x ==+--. 又()00h x '=，即00502xe x +-=，∴0052x e x =-. ∴ ()()2200000051511732222h x x x x x x =-+--=-+.∵ 013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴ ()0271,328h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 又因为215122xk e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立()0k h x ⇔≤， 又k Z ∈，∴ max 1k =-.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2【解析】（1）首先利用221cos sin ϕϕ+=对圆C 的参数方程1{x cos y sin ϕϕ=+=（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（2）设11P ρθ（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11ρθ，；设22Q ρθ（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22ρθ，，可得PQ ． 【详解】（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ= 所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）设()11,ρθP ，则由2{3cos ρθπθ==解得11ρ=，13πθ=，得1,3P π⎛⎫⎪⎝⎭； 设()22Q ,ρθ，则由2sin 3{3πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=解得23ρ=，23πθ=，得3,3Q π⎛⎫⎪⎝⎭；所以Q 2P = 【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题. 23．已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++ (1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集； (2)当()f x 的最小值为3时,求111a b c++的最小值. 【答案】（1）{|11}x x x <->或；（2）3【解析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）先用绝对值不等式的性质求出最小值为a +b +c ＝3，然后用基本不等式可得． 【详解】（1）()111f x x x =-+++，∴1123x x ≤-⎧⎨->⎩或1133x -<<⎧⎨>⎩或1213x x ≥⎧⎨+>⎩，解得{|11}x x x 或-.（2）f x x a x b c =-+++ a x x b c a b c ≥-+++=++ 3a b c =++=，()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭133b a c a c b a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()1322233≥+++=. 当且仅当1a b c ===时取得最小值3. 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
天水市一中2020届高三上学期第三次考数学(理)试卷附答案详析
天水市一中2020届高三上学期第三次考试数学（理）试卷（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题（每小题5分，共60分） 1．已知集合A={x|2x−4≥12}，集合B ={x|x 2−3x −10≤0}，求A ∩B =（ ）A.∅B.[3,5]C.[−2,3]D.(3,5)2．若，且，则下列不等式一定成立的是 （ ）A ．B ．C ．D ．3．下列命题的说法错误的是（ ）A.对于命题2:,10,p x R x x ∀∈++>则2000:,10p x R x x ⌝∃∈++≤.B.“1x =”是”2320x x -+=”的充分不必要条件.C.“22ac bc <”是”a b <”的必要不充分条件.D.命题”若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：”若1x ≠，则2320x x -+≠”.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1475=+a a ,则=11S ( ) A. 140 B. 70 C. 154 D. 775．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为25,则椭圆12222=+by a x 的离心率为( )A.21B. 33C.23 D. 226．函数()[]ππ,,sin -∈=x x x x f 的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．7．将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，则平移后新函数图象的对称轴方程为（ ） A.(k Z)62k x ππ=-+∈ B.(k Z)122k x ππ=-+∈ C.(k Z)62k x ππ=+∈ D.(k Z)122k x ππ=+∈ 8．在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 的长为3，26BC =，则AB AC⋅=u u u r u u u r（ ）A.1-B.1C.2D.39．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．12 B ．36C ．24D ．7210．已知()()4,0,0,4AB -,点C 是圆222x y +=上任意一点，则ABC ∆面积的最大值为 （ ） A.8 B.42 C.12 D.6211．函数()221f x x ex m =-++-，函数()()20e g x x x x=+>，（其中e 为自然对数的底数， 2.718e ≈）若函数()()()h x f x g x =-有两个零点，则实数m 取值范围为（ ）A.221m e e <-++B.221m e e >-+C.221m e e >-++D.221m e e <-+12．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x ，过原点作一条倾斜角为3π直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( )A ．21+ B ．31+ C ．2 D ．5二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知x ，y 满足约束条件330040x y x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_____．14．动点M 在椭圆C ：1222=+y x 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NM NP 2=．则点P 的轨迹方程______.15．已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为__________．16．已知函数()11+-=xx e e x f ，()()11+-=x f x g ，()*12321N n n n g n g n g n g a n ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ，则数列{a n }的通项公式为______．三、解答题（共70分）17．(10分)已知函数()R x x x x x x f ∈-+=,sin cos sin 32cos 22．（Ⅰ）求函数()x f 的单调增区间； （Ⅱ）求方程()0=x f 在(]π，0内的所有解．18．（12分）已知数列{}n a 是等差数列, 前n 项和为S n , 且353a S =，864=+a a ． （Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）设n nn a b ⋅=2, 求数列{}n b 的前n 项和T n19．（12分）在△ABC 中 , 角A , B , C 所对的边分别是a , b , c , 已知ACa cb cos cos 2=-。
2020-2021学年甘肃天水高三上数学月考试卷
则 ， ， ．
由双曲线的对称性可知四边形 是平行四边形，
且 ，
则
即
解得：
故 ．
故选 ．
二、填空题
【答案】
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量的坐标运算
【解析】
本题考查平面向量．
【解答】
解：由题意可得 ， ．
因为 ，
所以 ，
解得： ．
故答案为： ．
【答案】
【考点】
两角和与差的正弦公式
解得： ， ．
故椭圆 的标准方程为 ．
假设直线 存在，由 可得， ，
当直线 的斜率为 时，由题意可得， ， ，
则四边形 的面积为 ．
当直线 的斜率不存在时，由题意可得， ， ，
A. B. C. D.
9.在三棱柱 中，底面 是边长为 的等边三角形， ， ，则三棱柱 的高是
A. B. C. D.
10.已知 ， 是函数 图象与 轴的两个不同的交点．若 的最小值是 ，则
A. B. C. D.
11.已知 ， ， ，则
A. B. C. D.
12.已知双曲线 的右焦点为 ，过原点的直线 与双曲线 交于 ， 两点，且 ，延长 ，交双曲线 于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为( )
月 日至 月 日景区 累计参观人次的增长率为 ，
因为 ，故 错误；
， 月 日至 月 日景区 累计参观人次的增长率为 ，
因为 ，故 正确．
故选 .
4.
【答案】
C
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
【解析】
【解答】
解：画出可行域如图所示，
当直线 过点 时， 取得最大值，最大值为 ．
甘肃省天水市第一中学2021年高三上学期12月月考数学(理)试题
甘肃省天水市第一中学2021年高三上学期12月月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．34()12i i -=+A ．12i -B ．2i -C ．2i --D ．12i -- 2．已知全集为R ,集合{}2|2A x x x =+-<0，{}2|0B x x x =-+<，则()()R A C B ⋃=A ．[)(,2)1,-∞-⋃+∞B ．(,0](1,)-∞+∞C ．(2,1]-D ．(]1,1- 3．在等差数列{}n a 中,已知578a a +=,则该数列前11项和11S =（ ） A ．44 B ．55 C ．143 D ．1764．函数3()cos ()x x x x f x e+=的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．5．动点A 在圆221x y +=上移动时，它与定点()3,0B 连线的中点的轨迹方程是 （） A ．22320x y x +++=B ．22320x y x +-+=C ．22320x y y +++=D ．22320x y y +-+=6．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若//,m n αβ⊥且m n ⊥则αβ⊥B ．若,m n αβ⊥⊥且//m n 则//αβC ．若,////m n m n αβαβ⊥⊥且则D ．若,m n αβ⊂⊂且//m n 则//αβ7．函数()()2f x sin x ωϕ+＝（0ω＞，22ππϕ-<<）的部分图象如图所示，则ωϕ，的值分别是（ ）A ．2,3π- B ．2,6π- C ．4,6π- D ．4,3π 8．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ）A ．甲走桃花峪登山线路B ．乙走红门盘道徒步线路C ．丙走桃花峪登山线路D ．甲走天烛峰登山线路9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,(1,2,,6)i E i =分别是棱的中点，则多面体1123456B E E E E E E 的体积为（ ）A ．916B ．14C ．38D ．1310．已知圆22:2640C x y x y +--+=与直线:0l x y b ++=，若直线l 与圆C 交于,A B 两点，90(AOB O ∠=︒为坐标原点），则b 的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．211．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB BCD ⊥平面，BCD 是边长为3的等边三角形，若2AB =，则球O 的表面积为( )A ．16πB ．323πC ．12πD ．32π12．如图1四边形ABCD 与四边形ADEF分别为正方形和等腰梯形，//,AD EF AF =4,2AD EF ==,沿AD 边将四边形ADEF 折起，使得平面ADEF ⊥平面ABCD ，如图2，动点M 在线段EF 上，,N G 分别是,AB BC 的中点，设异面直线MN 与AG 所成的角为α，则cos α的最大值为 （ ）ABCD二、填空题13．若向量(1,2)a x =+和向量(1,2)b =-垂直，则a b -=_______．14．函数3()2ln 2f x x x =-+的图象在1x =处的切线方程为______________________.15．已知各项都是正数的等比数列{}n a 中，1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a +=+______．16．已知函数2()|3|,f x x x x R =+∈.若方程()10f x a x --=恰有3个互异的实数根，则实数a 的取值集合为__________．三、解答题17．如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，已知CC '⊥平面ABC ，90ACB ∠=，3BC =，4AC CC='=.(1) 求证：AC A B '⊥'；(2) 求直线CC '与平面ABC '所成角的正弦值.18．已知半径长为5的圆C 截y 轴所得弦长为6，圆心在第一象限且到直线:20l x y +=． （1）求这个圆的方程；（2）求经过()1,0P -与圆C 相切的直线方程．19．如图，在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 长为3，且cos B =，1cos 4ADC ∠=-．（1）求sin BAD ∠的值；（2）求AC 边的长．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22()n n S a n N *=-∈.（1）求数列{}n a 的通项n a .（2）设(1)n n c n a =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F M 为椭圆上一动点，当12MF F ∆的面积最大时，其内切圆半径为3b ，设过点2F 的直线l 被椭圆C 截得线段RS ,当l x ⊥轴时，3RS =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆C 的左顶点，,P Q 是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，若1214k k =-，试问直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.22．已知函数(1)(1ln )()3x x f x m x++=-，()ln g x mx x =-+(R)m ∈. (1)求函数()g x 的单调区间与极值.(2)当0m >时，是否存在[]12,1,2x x ∈，使得12()()f x g x >成立？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.参考答案1．D【分析】上下同时乘以12i -再化简即可.【详解】234(34)(12)31081051212(12)(12)55i i i i i i i i i i ----+--====--++- 故选D【点睛】本题主要考查复数的四则运算,属于基础题型.2．C【分析】分别求得集合,A B 再求()R AC B 即可.【详解】 {}{}{}2|2|(2)(1)|21A x x x x x x x x =+-<0=+-<0=-<<{}{}2|0|(1)0{|1B x x x x x x x x =-+<=->=>或0}x <故{}|01R C B x x =≤≤,故{}()|21R A C B x x ⋃=-<≤故选：C【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,属于基础题型.3．A【分析】根据等差数列的性质计算即可.【详解】由等差数列{}n a 中,则5766842,a a a a ===+,故1161144S a ==故选A【点睛】 本题主要考查了等差数列的基本性质,包括等和性与当n 为奇数时,前n 项和12nn S na += .属于基础题型.4．A【分析】先分析奇偶性,再分析当0x +→时函数值的正负即可.【详解】33()cos ()cos ()()x x x x x x x x f x f x e e--+-==-=-,故()f x 为奇函数.排除C,D 又当0x +→时, 30,cos 00,x x x x e +>>>,此时()0f x >,排除B故选A【点睛】本题主要考查了函数图像的判断,一般先分析奇偶性,再分析特殊位置的正负即可.属于基础题型.5．B【分析】设连线的中点为(,)P x y ,再表示出动点A 的坐标,代入圆221x y +=化简即可.【详解】设连线的中点为(,)P x y ,则因为动点(,)A A A x y 与定点()3,0B 连线的中点为(,)P x y ,故 3232202A A A A x x x x y yy y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩ ,又A 在圆221x y +=上,故22()(231)2x y -+=, 即2222412941,412840x x y x x y -++=-++=即22320x y x +-+=故选B【点睛】本题主要考查了轨迹方程的一般方法,属于基础题型.6．B【解析】试题分析：对于A 中，若//,m n αβ⊥且m n ⊥则α与β可能是平行的，所以不正确；对于C 中，,////m n m αβα⊥且则可能//n β，所以不正确；对于D 中，若,m n αβ⊂⊂且//m n 则α与β可能是相交的，所以不正确，故选B ．考点：直线与平面位置关系的判定．7．A【分析】 利用115212122T πππ=-=，求出ω，再利用5212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求出ϕ即可 【详解】115212122T πππ=-=，∴2T wππ==，2ω∴=，则有 ()()22f x sin x ϕ+＝，代入512x π=得 552221212f sin ππϕ⎛⎫⎛⎫⋅+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，则有516sin πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 52,()62k k z ππϕπ+=+∈， 23k πϕπ=-+，又22ππϕ-<<，3ϕπ∴=-故答案选A【点睛】本题考查三角函数的图像问题，依次求出ω和ϕ即可，属于简单题8．D【分析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路 故选D【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.9．C【分析】由题易得123456E E E E E E 为正六边形,故连接对角线取中心O ,再求得高1B O 与底面123456E E E E E E 面积即可.【详解】取123456E E E E E E 为正六边形中心O ,则易得1,,D O B 共线,再建立如图空间直角坐标系,则1(1,1,1)DB =,14(1,0,1)E E =-,1611(0,,)22E E =-故1140DB E E ⋅=,1160DB E E ⋅= 故1OB ⊥面123456E E E E E E ,故1123456B E E E E E E 体积123456211136338E E E E E E V S OB =⨯⨯=⨯=故选：C【点睛】本题主要考查立体几何中的垂直平行关系,同时注意正六边形的面积可以用六个小正三角形进行计算,属于中等题型.10．B设与圆C 相交于,A B 的圆方程0C ,再根据0C 过原点,且圆心在直线:0l x y b ++=上再计算即可.【详解】设过原点的圆0C 与圆C 相交于,A B ,则202264()0x y x y x y b C λ+--++++==, 因为圆0C 过原点,故40b λ+=,又90AOB ∠=︒且O 在圆0C 上,故0C 的圆心26(,)22λλ--在:0l x y b ++=上. 即2402026b b λλλ+=⇒--++=- 故40(4)4040b b b b λλ+=⎧⇒++=⎨-+=⎩ ,即2440b b ++=,2b =-故选：B 【点睛】当题目中有直线与圆相交于,A B 两点的问题时可以设过于,A B 的圆系方程进行求解.如本题设过原点的圆0C 与圆C 相交于,A B 为重要思路, 属于中等题型. 11．A 【分析】先求底面外接圆直径,再求球的直径,再利用表面积2S D π=求解即可. 【详解】BCD外接圆直径sin CD d CBD ===∠ ,故球的直径平方22222216D AB d =+=+=,故外接球表面积216S D ππ== 故选：A 【点睛】本题主要考查侧棱垂直底面的锥体外接球表面积问题,先利用正弦定理求得底面直径d ,再利用锥体高h ,根据球直径D =.属于中等题型.【分析】以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，表示出相应的点的坐标，利用向量夹角公式求解。
{高中试卷}甘肃省2020年上学期天水一中高三数学理第一次考试试题答案
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：甘肃省2021年上学期天水一中高三数学理第一次考试试题答案1．B2．D3．A4．C5．D6．D7．B8．A9．A10．Cx1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），由（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0，∴x2＞x1时，f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（﹣∞，0]为增函数，∵f （x）为偶函数，∴f（x）在[0，+∞）为减函数，∵n+1＞n＞n﹣10，∴f（n+1）＜f（n）＜f（n﹣1），∴f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）11．C圆的圆心为，圆的圆心为，关于直线的对称点为，，故的最小值是.12．A由条件可知函数恰有6个不同的零点，转化为与恰有6个不同的交点，，的周期，且时，，是偶函数，图象关于轴对称，如图，在同一坐标系下画出函数和的图象，①当时，的图象如图所示，轴左侧有4个交点，右侧有2个交点，此时应满足，解得；②当时，与在轴左侧有2个交点，右侧有4个交点，此时应满足，解得：；综上可知，的取值范围是. 13．1514．15．.16．由于，当，即时，函数单调递减，显然合乎题意；当，即时，函数递增，显然不合乎题意；当，即，可得，解得，当，即有，由题意可得，解得，当，即时，函数单调递减，显然合乎题意；综上可得的范围是，故答案为：.17．（1）；（2）618．（1）；（2）.（2）由题意知：，所以，则，两式相减得，因此，.19．（1）（2）平均数为71，中位数为73.33（3）（1）由，得.（2）平均数为，设中位数为，则，得.故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33.（3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个，由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品、二等品各有3个、2个.记这3个一等品为，，，2个二等品为，，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：，，，，，，，，，，共10种，其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有：，，，，，.共6种.故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为.20．（1）证明见解析；（2）90°．解：（1）连接，交于，连接，∵是的中点，∴，∵，∴，∵平面，平面，∴平面．（2）∵平面，在平面内，∴ ，∵四边形为正方形，所以,∴两两垂直，∴建立如图所示的空间坐标系，则，，，．，，，，设平面的法向量为，∴，令，则．设平面的法向量为，∴，令，则，∴，，即二面角的大小为90°．21．（1）（2）解：（1）即，∴，∵，时取等号，∴，∴即的取值范围是，（2）即，∴，∴，∵有两个实数解，∴有两个的实数解，令，即，有两个正的实数解.∴，，∴即的取值范围是.22．(1)由题意，直线的直角坐标方程为：，直线的极坐标方程为：，曲线的直角坐标方程：，曲线的极坐标方程为：.(2)由题意设：，，由(1)得，，，，，当，即时，,此时取最大值.23．（1）或；（2）证明见解析.（1）由，得，的解集为，则，，得．不等式可化为，则或或，解得或或，所以原不等式的解集为或．（2）因为，，所以，即．所以，当且仅当，即，时取等号．所以不等式得证.。
甘肃省天水市数学高三上学期理数12月联考试卷
甘肃省天水市数学高三上学期理数12月联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·太原期中) 已知复数z=3+4i，则|z|等于（）A . 25B . 12C . 7D . 52. （2分） (2020高三上·海淀期末) 已知集合，，，则集合是（）A .B .C .D .3. （2分）已知直线平面,直线,则“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2017高二下·赣州期末) 定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A . 0B . 6C . 12D . 185. （2分）下列函数中，为偶函数且有最小值的是（）A . f(x) =+xB . f(x) = |lnx|C . f(x) =xsinxD . f(x) =6. （2分） (2016高一下·衡水期末) 数列{an}满足：且{an}是递增数列，则实数a 的范围是（）A .B .C . （1，3）D . （2，3）7. （2分） (2017高一下·怀仁期末) 执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为（）A . 7B . 15C . 31D . 638. （2分）(2017·河北模拟) 已知符号函数sgn（x）= ，那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）的大致图象是（）A .B .C .D .9. （2分）(2016·连江模拟) 一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A . 3πB . 4πC .D . 6π10. （2分） (2020高一上·上海期中) 设均为正实数，则三个数，，（）A . 都大于2B . 都小于2C . 至少有一个不大于2D . 至少有一个不小于211. （2分）(2018·长春模拟) 已知，设函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为（）A .B .C .D .12. （2分） (2020高一下·重庆期末) 梯形中平行于 , ，为腰所在直线上任意一点，则的最小值是（）A .B .C . 4D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一下·铜川期末) 已知，若，则________.14. （1分） (2016高一上·淮阴期中) 已知奇函数f（x），当x＞0时f（x）=x+ ，则f（﹣1）=________15. （1分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球O 的表面上，且球O的表面积为7π，则此三棱柱的体积为________16. （1分） (2018高二上·舒兰月考) 在三角形ABC中, 分别是内角A,B,C所对的边，，且满足，若点是三角形ABC外一点，，，，则平面四边形OACB面积的最大值是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高三上·上海期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，且（Sn﹣1）2=anSn（n∈N*）．（1）求S1 ， S2 ， S3的值；（2）求出Sn及数列{an}的通项公式；（3）设bn=（﹣1）n﹣1（n+1）2anan+1（n∈N*），求数列{bn}的前n项和为Tn ．18. （10分） (2015高三上·合肥期末) 如图，三棱柱中ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D为棱AC的中点，侧面A1ACC1为边长为2的菱形，AC⊥CB，BC=1．（1）证明：AC1⊥平面A1BC；（2）求三棱锥B﹣A1B1C的体积．19. （10分） (2020高一下·永年期中) 已知的内角的对边分别为，且.（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由.20. （10分） (2015高三上·承德期末) 已知实数a、b满足：a＞0，b＞0．（1）若x∈R，求证：|x+a|+|x﹣b|≥2 ．（2）若a+b=1，求证： + + ≥12．21. （10分） (2020高二下·上海期中) 已知梯形中，，，G是的中点. ，E、F分别是、上的动点，且，设（），沿将梯形翻折，使平面平面，如图.（1）当时，求证：；（2）若以B、C、D、F为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；（3）当取得最大值时，求二面角的余弦值.22. （10分）(2018·河南模拟) 已知函数．（1）若曲线在处的切线经过坐标原点，求及该切线的方程；（2）设，若函数的值域为，求实数的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
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………外……………内……绝密★启用前 甘肃省天水市第一中学2020年高三上学期12月月考数学（理)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．()12i =+ A ．12i - B ．2i - C ．2i -- D ．12i -- 2．已知全集为R ,集合{}2|2A x x x =+-<0，{}2|0B x x x =-+<，则()()R A C B ⋃= A ．[)(,2)1,-∞-⋃+∞ B ．(,0](1,)-∞+∞ C ．(2,1]- D ．(]1,1- 3．在等差数列{}n a 中,已知578a a +=,则该数列前11项和11S =（ ） A ．44 B ．55 C ．143 D ．176 4．函数3()cos ()x x x x f x e +=的大致图象是（ ） A ． B ．………装…………○………○……※※不※※要※※在※※装※………装…………○………○……C ． D ． 5．动点A 在圆221x y +=上移动时，它与定点()3,0B 连线的中点的轨迹方程是 （ ） A ．22320x y x +++= B ．22320x y x +-+= C ．22320x y y +++= D ．22320x y y +-+= 6．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若//,m n αβ⊥且m n ⊥则αβ⊥B ．若,m n αβ⊥⊥且//m n 则//αβC ．若,////m n m n αβαβ⊥⊥且则D ．若,m n αβ⊂⊂且//m n 则//αβ7．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2π)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( )A ．2，－3πB ．2，－6πC ．4，－6πD ．4，3π8．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；……外…………………○…………：___________……内…………………○…………（ ） A ．甲走桃花峪登山线路 B ．乙走红门盘道徒步线路 C ．丙走桃花峪登山线路 D ．甲走天烛峰登山线路 9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,(1,2,,6)i E i =分别是棱的中点，则多面体1123456B E E E E E E 的体积为（ ） A ．916 B ．14 C ．38 D ．13 10．已知圆22:2640C x y x y +--+=与直线:0l x y b ++=，若直线l 与圆C 交于,A B 两点，90(AOB O ∠=︒为坐标原点），则b 的值为（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2 11．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB BCD ⊥平面，BCD 是边长为3的等边三角形，若2AB =，则球O 的表面积为( ) A ．16π B ．323π C ．12π D ．32π 12．如图1四边形ABCD 与四边形ADEF 分别为正方形和等腰梯形，//,AD EF AF =4,2AD EF ==,沿AD 边将四边形ADEF 折起，使得平面ADEF ⊥平面ABCD ，如图2，动点M 在线段EF 上，,N G 分别是,AB BC 的中点，设异面直线MN 与AG 所成的角为α，则cos α的最大值为 （ ） A B C D………装…………※※不※※要※※在※※装………装…………请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．若向量(1,2)a x=+和向量(1,2)b=-垂直，则a b-=_______．14．函数3()2ln2f x x x=-+的图象在1x=处的切线方程为______________________.15．已知等比数列{}n a中，各项都是正数．．，且1321,,22a a a成等差数列，则91078a aa a+=+______.16．已知函数2()|3|,f x x x x R=+∈.若方程()10f x a x--=恰有3个互异的实数根，则实数a的取值集合为__________．三、解答题17．如图，在三棱柱ABC A B C'''-中，已知CC'⊥平面ABC，90ACB∠=，3BC=，4AC CC='=.(1) 求证：AC A B'⊥'；(2) 求直线CC'与平面ABC'所成角的正弦值.18．已知半径长为5的圆C截y轴所得弦长为6，圆心在第一象限且到直线:20l x y+=的距离为5．（1）求这个圆的方程；（2）求经过()1,0P-与圆C相切的直线方程．19．如图，在中，边上的中线长为3，且，．……○…………○…… （1）求 的值； （2）求 边的长． 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22()n n S a n N *=-∈. （1）求数列{}n a 的通项n a .（2）设(1)n n c n a =+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,,F F M 为椭圆上一动点，当12MF F ∆的面积最大时，其内切圆半径为3b ，设过点2F 的直线l 被椭圆C 截得线段RS , 当l x ⊥轴时，3RS =. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若点A 为椭圆C 的左顶点，,P Q 是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，若1214k k =-，试问直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 22．已知函数(1)(1ln )()3x x f x m x ++=-，()ln g x mx x =-+(R)m ∈. (1)求函数()g x 的单调区间与极值. (2)当0m >时，是否存在[]12,1,2x x ∈，使得12()()f x g x >成立？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.参考答案1．D【解析】【分析】上下同时乘以12i -再化简即可.【详解】234(34)(12)31081051212(12)(12)55i i i i i i i i i i ----+--====--++- 故选：D【点睛】本题主要考查复数的四则运算,属于基础题型.2．C【解析】【分析】分别求得集合,A B 再求()R AC B 即可.【详解】 {}{}{}2|2|(2)(1)|21A x x x x x x x x =+-<0=+-<0=-<<{}{}2|0|(1)0{|1B x x x x x x x x =-+<=->=>或0}x <故{}|01R C B x x =≤≤,故{}()|21R A C B x x ⋃=-<≤故选：C【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,属于基础题型.3．A【解析】【分析】根据等差数列的性质计算即可.【详解】由等差数列{}n a 中,则5766842,a a a a ===+,故1161144S a ==【点睛】本题主要考查了等差数列的基本性质,包括等和性与当n 为奇数时,前n 项和12nn S na += . 属于基础题型.4．A【解析】【分析】先分析奇偶性,再分析当0x +→时函数值的正负即可.【详解】33()cos ()cos ()()x x x x x x x x f x f x e e--+-==-=-,故()f x 为奇函数.排除C,D 又当0x +→时, 30,cos 00,x x x x e +>>>,此时()0f x >,排除B故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的判断,一般先分析奇偶性,再分析特殊位置的正负即可.属于基础题型.5．B【解析】【分析】设连线的中点为(,)P x y ,再表示出动点A 的坐标,代入圆221x y +=化简即可.【详解】设连线的中点为(,)P x y ,则因为动点(,)A A A x y 与定点()3,0B 连线的中点为(,)P x y ,故 3232202A A A A x x x x y yy y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩ ,又A 在圆221x y +=上,故22(23)(2)1x y -+=, 即2222412941,412840x x y x x y -++=-++=即22320x y x +-+=故选：B本题主要考查了轨迹方程的一般方法,属于基础题型.6．B【解析】试题分析：对于A 中，若//,m n αβ⊥且m n ⊥则α与β可能是平行的，所以不正确；对于C 中，,////m n m αβα⊥且则可能//n β，所以不正确；对于D 中，若,m n αβ⊂⊂且//m n 则α与β可能是相交的，所以不正确，故选B ．考点：直线与平面位置关系的判定．7．A【解析】【分析】由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象，求得T 、ω和φ的值．【详解】由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象知，3T 5π412=-（π3-）3π4=， ∴T 2πω==π，解得ω＝2； 又由函数f （x ）的图象经过（5π12，2）， ∴2＝2sin （25π12⨯+φ）， ∴5π6+φ＝2k ππ2+，k∈Z， 即φ＝2k ππ3-， 又由π2-＜φπ2＜，则φπ3=-； 综上所述，ω＝2、φπ3=-． 故选：A ．【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．8．D【分析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路故选：D【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.9．C【解析】【分析】由题易得123456E E E E E E 为正六边形,故连接对角线取中心O ,再求得高1B O 与底面123456E E E E E E 面积即可.【详解】取123456E E E E E E 为正六边形中心O ,则易得1,,D O B 共线,再建立如图空间直角坐标系,则 1(1,1,1)DB =,14(1,0,1)E E =-,1611(0,,)22E E =-故1140DB E E ⋅=,1160DB E E ⋅= 故1OB ⊥面123456E E E E E E ,故1123456B E E E E E E 体积123456211136()3328E E E E E E V S OB =⨯⨯=⨯=故选：C 【点睛】本题主要考查立体几何中的垂直平行关系,同时注意正六边形的面积可以用六个小正三角形进行计算,属于中等题型. 10．B 【解析】 【分析】设与圆C 相交于,A B 的圆方程0C ,再根据0C 过原点,且圆心在直线:0l x y b ++=上再计算即可.【详解】设过原点的圆0C 与圆C 相交于,A B ,则202264()0x y x y x y b C λ+--++++==, 因为圆0C 过原点,故40b λ+=,又90AOB ∠=︒且O 在圆0C 上,故0C 的圆心26(,)22λλ--在:0l x y b ++=上. 即2402026b b λλλ+=⇒--++=- 故40(4)4040b b b b λλ+=⎧⇒++=⎨-+=⎩ ,即2440b b ++=,2b =- 故选：B 【点睛】当题目中有直线与圆相交于,A B 两点的问题时可以设过于,A B 的圆系方程进行求解.如本题设过原点的圆0C 与圆C 相交于,A B 为重要思路, 属于中等题型. 11．A【解析】 【分析】先求底面外接圆直径,再求球的直径,再利用表面积2S D π=求解即可. 【详解】BCD外接圆直径sin 2CD d CBD ===∠ ,故球的直径平方22222216D AB d =+=+=,故外接球表面积216S D ππ== 故选：A 【点睛】本题主要考查侧棱垂直底面的锥体外接球表面积问题,先利用正弦定理求得底面直径d ,再利用锥体高h ,根据球直径D =.属于中等题型. 12．A 【解析】 【分析】以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，表示出相应的点的坐标，利用向量夹角公式求解。