第12章稳恒磁场

磁感应强度的定义:
大小: B Fmax q0v
磁力 Fm
+
v 方向: 小磁针在该点的N 极指向
单位: T(特斯拉)
B
1T 104G (高斯)
12-3 毕奥---沙伐尔定律
一、毕奥---沙伐尔定律
I dB
电流元 Idl
dB
0 4
Idl sin
r2
Idl
.P
r 方平0向面 判，4d断B1和0：d7TIBmdlA的及1方r向三垂矢直量于满电足流矢元量Id叉l乘与关r系组。成的
r0
B
dB
0 4
Idl sin
r2
统一积分变量
O
a
dl a csc2 d
l actg( ) actg r a sin
dB
P
X
B
0 4
I
sindl
r2
0 4
sin2
a2
I
sin
ad sin2
2 0 I sind
1 4a
0I 4a
(cos1
cos2 )
B
0I 4a
(cos1
cos2 )
12-2 磁场 磁感应强度
一、基本磁现象 天然磁石 同极相斥 异极相吸
SN
S
N
电流的磁效应 1820年 奥斯特
I
SN
F F I
电子束
S
+
N
磁现象： 1、天然磁体周围有磁场； 2、通电导线周围有磁场； 3、电子束周围有磁场。
表现为： 使小磁针偏转
4、通电线能使小磁针偏转； 5、磁体的磁场能给通电线以力的作用； 6、通电导线之间有力的作用； 7、磁体的磁场能给通电线圈以力矩作用； 8、通电线圈之间有力的作用； 9、天然磁体能使电子束偏转。
dI
n
dS
方向：该点场强的方向。
二 电动势
一、电源、电动势 静电力欲使正电荷从高电位到低电位。 在回路中有稳恒电流就不能单靠静电场 必须有非静电力把正电荷从负极板搬到 正极板才能在导体两端维持有稳恒的电 势差。 提供非静电力的装置就是电源。
非静电力欲使正电荷从低电位到高电位。 电动势 描述非静电力作功能力大小的量.
rR
B
0I 2R
O
R
r
讨论：长直载流圆柱面。已知：I、R
B • dl Bdl 2rB
I
0
rR
R
0 I
rR
0
B
0I 2r
0I B
r R 2R
rR
OR
r
练习：同轴的两筒状导线通有等值反向的电流I,
求 B的分布。
取一半径为 r 的回路如
图示
B • dl L
0
Ii
r R2
LB • dl 2rB
2rB 0 I
B 0I 2r
I R
0
r
B
作积分环路并计算环流
如图 r R
B • dl Bdl 2rB
利用安培环路定理求 B
B • dl 0 I
0
I
R2
r 2
B
0 Ir 2R 2
I R
I
0
B
r
结论：无限长载流圆柱导体。已知：I、R
0 Ir
B
2R
2
rR
I R
0I 2r
表现为：
相互吸引 排斥 偏转等
安培指出： 天然磁性的产生也是由于磁体内部有电流流动。
分子电流
I n
N
S
电荷的运动是一切磁现象的根源。
二、磁场 磁感应强度
运动电荷 磁场
磁场 对运动电荷有磁力作用
电流（或磁铁） 磁场
电流（或磁铁）
磁场对外的重要表现为：
(1)磁场对进入场中的运动电荷或载流导体有磁力 作用. (2)载流导体在磁场中移动时，磁力将对载流导体 作功，表明磁场具有能量。
电流元 Idl
dB
0 4
Idl r2
r0
其中
I
q v
S
dl
I qnvS
载流子
总数 dN nSdl
电荷 密度
B
dB dN
0 4
qv sin(v , r0 )
r2
速率
截面积
运动电荷产生的磁场
B
0 4
qv
r
r3
若q 0, B与v r同向
•B
r
q
v
若q 0, B与v r反向
B
r
堂 中，过YOZ平面内
练 习
面积为S的磁通量。
Y
S
n
B
O
X
Z
m
B
•S
( 3i 2 j )• Si
3S
例1、两平行载流直导线
求 两线中点 BA
过图中矩形的磁通量
解：I1、I2在A点的磁场
B1
B2
0 I1 2 d 2
2.0 105T
BA B1 B2 4.0 105T
方向 •
I1
A
I2
O
0 IR 4r 3
dl
0 IR 4r 3
2R
r0
R x
2(
0 IR2
R2 x2
)3
2
大小：
B
2(
0 IR2
R2 x2
)3
2
结论
方向： 右手螺旋法则
dB dB
p•
dBx
X
B
0 IR2
2(R2 x2 )3
2
1. x R B ?
2. x 0 B ?
B
0 IR2
2x3
载流圆环 圆心角 2
Y
I 2
dl
r
l
1
r0
O
a
dB
P
X
B
0I 4a
(cos1
cos2 )
无限长载流直导线1 0 2
B 0I 2a
半无限长载流直导线 1 2
2
B 0I 4a
直导线延长线上 B ? B
dB
0 4
Idl sin
r2
0 dB 0
I
B0
I
aB
2. 圆型电流轴线上的磁场
已知: R、I，求轴线上P
]ldr r)
0 I1l ln r1 r2 0 I2l ln d r1
2
r1
2
d r1 r2
2.26 106 wb
三、 安培环路定理
静电场 磁场
?
E
dl
0
B dl
I
l
r
B
1、圆形积分回路
B dl
0I 2r
dl
0I 2r
dl
0I 2r
2r
B dl 0I
改变电流方向 B dl 0I
R2
方向：规定为正电荷运动方向。
用电流强度还不能细致地描述电流的分布。
I
所谓分布不同是指在导 体的不同地方单位面积 中通过的电流不同。
I
电流密度
当通过任一截面的电量不均匀时，用电流强度
来描述就不够用了，有必要引入一个描述空间不同
点的电流的大小的物理量。 电流密度
J
单位时间内通过dS的电量
dQ qnvdS
的任意曲面的电流强度）的代数和的
倍。即：
0
B • dl 0 Ii
I1 I2
说明：
I4
I3
电流取正时与环路成右旋关系
l
如图 B • dl 0 Ii
0(I2 I3)
由环路内电流决定
B • dl 0 Ii 0 (I2 I3 )
由环路内外电流产生
环路所包围的电流
I1 I2
I4
I3
对d一B 段 4载0流I导drl线—3 r—B右手d定毕B则奥 4-萨0 伐L 尔Idrl定3律r
二、毕奥---沙伐尔定律的应用 Y
1. 载流直导线的磁场
I 2
已解知:建：立真坐空标中系I、1、 2、a
OXY
dl
任取电流元 Idl
大小 dB 0
方向
Idl
4
r0
Idl sin
r2
l
r
1
J dQ qnv
J
qdnSv
J
n
qni vi
i`
dI
q v
dS
dl
导体中任一面积元 dS
nv
单位时间内通过dS的电量 即电流强度
dQqnvd•IdSqnvJc•osdSdS
dI J • dS
穿过任一曲面的电流强度: I J • dS S
电流强度是电流密度的通量。
电流密度
J
0
r
2
rdr
R4
4
方向：
12-4 磁场的高斯定理和安培环路定理
一、磁感应线 (或磁力线 B线) Bb
方向：切线
b
Bc
c
大小： B dm dS
Ba a
直线电流
圆电流
B
通电螺线管
I
I
I
I
磁感应线的基本性质: 1、每一条磁力线都是环绕电流的闭合曲线，因此 磁场是涡旋场。磁力线是无头无尾的闭合回线。 2、任意两条磁力线在空间不相交。 3、磁力线的环绕方向与电流方向之间可以分 别用右手定则表示。
• BA
l
r1
r2 d r3
d 40cm
r2 20cm
l 25cm
r1 r3 10cm
I1 I2 20A
如图取微元
dm B • dS Bldr
B 0I1 0I2 2r 2 (d r )
方向 •
B
•
I2
I1
l
r dr
r1
r2 d r3
m
dm
r1 r1
r2
[
0 I1 2r
0I2 2 (d
计算磁感应强度
1. 无限长载流圆柱导体的磁场分布
I
R
已知：I、R
电流沿轴向，在截面上均匀分布
分析对称性
电流分布——轴对称 磁场分布——轴对称
B的方向判断如下：
r
dS1
O
l
dS2
dB dB2 dB1
P
作积分环路并计算环流
如图 r R
B • dl
Bdl
2rB
利用安培环路定理求 B
B • dl 0 I
点的磁感应强度。
解:建立坐标系OXY
任取电流元 Idl
大小
dB
0 4
Idl r2
Y
I Idl
r0
OR
dB dB
p•
dBx
X
方向
Idl r0
分析对称性、写出分量式
B
dB 0
Bx
dB x
0 4
Idl sin
r2
统一积分变量
Y
sin R r
Bx
dB x
0 4
Idl sin
r2
I Idl
q
v
例1、 氢原子中电子绕核作圆周运动
已知
v 0.2 106 ms1 r 0.53 1010m
求: 轨道中心处 B
电子的磁矩 pm
解:
B
0
4
qv r0 r2
又
vr0
B 0 4
ev r2
13T
方向
r v
pm
pm
ISn
IS
1 2
S r 2 I v e
2r vre 0.93 1023 Am 2
m B • dS B cosdS
磁场中的高斯定理
m B • dS
B • dS 0
S
B
穿过任意闭合曲面的磁通量为零
磁场是无源场。
1. 求均匀磁场中 半球面的磁通量
B S1
R
O S2
S1 S2 0 S1 ( BR2 ) 0 S1 BR2
课 2. 在均匀磁场B 3i 2 j
2、任意积分回路
B dl B cos dl
.I
0I 2r
cosdl
0I 2r
rd
0I 2
2
B • dl 0I
3、回路不环绕电流
.
B • dl 0
B
rd
dl
rd
安培环路定理
意闭在合真曲空线中的的线稳 积分恒（电也流称磁场B中的，环磁流感）应，强等度于穿B过沿该任
闭合Biblioteka Baidu线的所有电流强度（即穿过以闭合曲线为边界
方向
例2、均匀带电圆环
已知：q、R、 圆环绕轴线匀速旋转。
求圆心处的
B
B
q
解： 带电体转动，形成运流电流。
I q q q T 2 2
R
B 0I 0q 2R 4R
例3、 均匀带电圆盘
已知：q、R、 圆盘绕轴线匀速旋转。
dr
求圆心处的
B
及圆盘的磁矩
解：如图取半径为r,宽为dr的环带。
B 0I
2R
载流圆弧
圆心角
B 0 I • 0 I 2R 2 4R
B
I
B
I
练
如图，求圆心O点的
B
习
I
O
•
R
B 0I
4R
I
R
O•
B 0I •
8R
R
•O I
B 0I 0I 4R 2R
•
2 3 I
•R
O
B 0I 0I (1 3 ) 6R 2R 2
三、运动电荷的磁场
电流 电荷定向运动
磁场没有保守性，它是 非保守场，或无势场
B • dS 0
磁力线闭合、 无自由磁荷
磁场是无源场
四、安培环路定理的应用举例
B dl L
0 Ii
L内
B cosdl L
0
L内
Ii
I
若能找到某个回路L使之满足：
B cos
dl
L
0
L内
Ii
L
B 0 Ii / cosL
L
当场源分布具有高度对称性时，利用安培环路定理
+–
电源电动势: 把单位正电荷从电源的
负极移到正极非静电力所作的功。 A
电源电动势方向：电源内部由负极到 q
非静电场强
正极方向
EK
FK
q
+–
A
_电源
qE
内
K
dl
E _电源内 K dl
如果整个回路都存在非静电力，则电动势
A
q
L EK dl
电动势描述电路中非静电力做功本领
二、磁通量、磁场中的高斯定理
磁通量——穿过磁场中任一曲面的磁力线的条数.
B dm dS
dm BdS BdS cos
B • dS
m dm B cosdS B • dS
S
S
S
S
B
S
n
B
m BS
S
dS
n
B
m B • S BS cos
S
dS
n
B
m B • dS B cosdS
r• R
元电流 dI dq dq dq
T 2 2
dq ds 2rdr
其中
q
R2
q
dI rdr
dB 0dI 0 rdr
2r 2r
B
dB
0dI
2r
0R
0
2r
rdr
0R 0q
2
2R
线圈磁矩 pm ISn
dr
r
B
R q
如图取微元 dpm SdI r 2rdr
pm
dpm
R
12-1 稳恒电流和电动势
一 电流强度与电流密度 电荷的定向运动形成的电流。
传导电流:导体中大量自由电子在电场作用 下有规则的 移动，如金属中电子在电场作用下的运动。
运流电流: 宏观带电物体在空间作机械运动,形成的 电流。
电流强度—— 单位时间内通过某截面的电量。
大小： I dq 单位（SI）：安培（A） dt
l
不变
? ? B • dl 0 Ii 0 (I2 I3 )
? 改变
不变
I1 I2
I4
I3
l
I1 I2
I4
I3
l
位置移动
静电场
E dl 0
电场有保守性，它是 保守场，或有势场
E • dS
1
s
0
qi
电力线起于正电荷、
止于负电荷。
静电场是有源场
稳恒磁场
B dl 0 Ii i