矩阵论——讲稿

(Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即
∀ x ∈V , ∀ k ∈ K , 对应唯一 元素(kx)∈V , 且满足 (5) 数对元素分配律： k( x + y) = kx + ky (∀y ∈V ) (6) 元素对数分配律： (k + l )x = kx + lx (∀l ∈ K ) (7) 数因子结合律： k(lx) = (kl )x (∀l ∈ K ) (8) 有单位数：单位数1∈ K , 使得 1x = x . 则称V 为 K 上的线性空间．
例 3 K = R 时， R n —向量空间；
R m×n —矩阵空间
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
3
Pn[t]—多项式空间； C[a,b] —函数空间 K = C 时， Cn —复向量空间； Cm×n —复矩阵空间 例 4 集合 R + = {m m是正实数 } ，数域 R = {k k是实数 } ．
0
a 12
a
22
ai
j1
I
S 2
=
{A
=
a11
0
0
a
22
a 11
, a22
∈
R}
S 1
U
S 2
=
{A
=
a11 a21
a 12
a
22
aa 12 21
=
0,
ai
j
∈
R}
S 1
+
S 2
=
{A
=
a11 a21
a 12
a 22
ai j ∈ R}
2．数域：关于四则运算封闭的数的集合．
2．减法运算：线性空间V 中， x − y = x + (− y) ．
3．线性组合： x, xi ∈V , 若存在 ci ∈ K ,
使
x
=
c 1
x 1
+
L
+
cm
xm
,
则称 x
是
x 1
,L,
xm
的线性组合，或者
x
可由
x 1
,L,
xm
线性表示．
数乘封闭，(5)～(8)成立．故 R+ 是 R 上的线性空间． 例 5 集合 R 2 = {α = (ξ1 , ξ 2 ) ξ i ∈ R} ，数域 R ．设 β = (η1 , η2 ), k ∈ R ．
运算方式 1 加法： α + β = (ξ1 + η1 , ξ 2 + η2 ) 数乘： kα = (kξ1 , kξ2 )
(Ⅰ) 定义的加法运算封闭, 即
∀ x, y ∈V , 对应唯一 元素( x + y) ∈V , 且满足 (1) 结合律： x + ( y + z) = ( x + y) + z (∀z ∈V ) (2) 交换律： x + y = y + x
(3) 有零元： ∃θ ∈V , 使得 x + θ = x (∀x ∈V ) (4) 有负元： ∀x ∈V , ∃ (− x)∈V , 使得 x + (− x) = θ .
加法： m, n ∈ R + , m ⊕ n = mn
数乘： m ∈ R + , k ∈ R, k ⊗ m = m k
验证 R + 是 R 上的线性空间．
证 加法封闭，且(1)～(2)成立．
(3) m ⊕ θ = m ⇒ mθ = m ⇒ θ = 1 (4) m ⊕ (−m) = θ ⇒ m(−m) = 1 ⇒ (−m) = 1 m
=
S 2
时，称映射σ
为
S 上的变换． 1
例 2 S = { A = (ai j )n×n ai j ∈ R} (n ≥ 2) ．
映射σ 1 ：σ 1 ( A) = detA
(S → R)
变换σ 2 ：σ 2 ( A) = (detA) In (S → S )
二、线性空间及其性质
1．线性空间：集合V 非空，给定数域 K ，若在V 中
矩阵论讲稿
讲稿编者： 张 凯 院
使用教材：《矩阵论》（第 2 版） 西北工业大学出版社 程云鹏 等编
辅助教材：《矩阵论导教导学导考》 《矩阵论典型题解析及自测试题》 西北工业大学出版社 张凯院 等编
课时分配：第一章 17 学时 第二章 5 学时 第三章 8 学时
第四章 8 学时 第五章 8 学时 第六章 8 学时
运算方式 2 加法： α ⊕ β = (ξ1 + η1 , ξ2 + η2 + ξ1η1 )
数乘：
k
oα
=
(kξ1 ,
kξ 2
+
1 k(k 2
−
1)ξ
2 1
)
可以验证 R 2 (+ ⋅) 与 R2 (⊕ o) 都是 R 上的线性空间．
[注]
在 R2 (⊕ o) 中,
θ = (0,0) ,
−α
=
(−ξ1 , − ξ2
+
x 2
=θ
+
x 2
=
x 2
+θ
=
x 2
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
4
例 6 在线性空间V 中，下列结论成立．
0x = θ ：1x + 0x = (1 + 0)x = 1x ⇒ 0x = θ
kθ = θ ： kx + kθ = k( x + θ ) = kx ⇒ kθ = θ
(−1)x = (− x) ： (−1)x = (−1)x + [ x + (− x)] = [(−1)x + 1x] + (− x) = (− x)
⊆
S 2
∀b ∈
S 2
⇒
b∈
S 1
,
即S 2
⊆
S 1
交：
S 1
I
S 2
=
{a
a
∈
S 1
且
a∈
S2 }
并：
S 1
U
S 2
=
{a
a
∈
S 1
或
a
∈
S 2
}
和： S 1
+
S 2
=
{a
=
a 1
+
a 2
a 1
∈
S 1
,
a 2
∈
S 2
}
例1
S 1
=
{A
=
a 11
a21
0
a
22
ai j ∈ R}
S 2
=
{A
=
a11
+
ξ
2 1
)
．
Th1 线性空间V 中的零元素唯一，负元素也唯一．
证
设θ 与θ 都是V
1
2
的零元素,
则θ1
= θ1
+θ2
= θ2
+ θ1
= θ2
设
x 1
与
x
2
都是
x
的负元素,
则由 x +
x 1
=θ及x+
x 2
=θ
可得
x 1
=
x 1
+θ
=
x 1
+
(x
+
x2 )
=
(
x 1
+
x) +
x 2
=
(x +
x 1
)
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
1
第一章 线性空间与线性变换
§1.1 线性空间
一、集合与映射
1．集合：能够作为整体看待的一堆东西．
列举法：
S
=
{
a 1
,
a
2
,
a 3
,L}
性质法： S = { a a 所具有的性质 }
相等
(
S 1
=
S2 ) ：指下面二式同时成立
∀a
∈
S 1
⇒
a
∈
S2 ,
即S 1
例如：实数域 R ，复数域 C ，有理数域 Q ，等等．
3．映射：设集合
S与 1
S 2
，若对任意的 a
∈
S1 ，按照法则σ
，对应唯一的
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
2
b ∈ S2 , 记作σ (a) = b.
称σ
为由
S到 1
S 2
的映射；称 b 为 a
的象，
a 为 b 的象源．
变换：当
S 1