第7章弯曲正应力(1,2)

(a)对称截面情况只须校核Mmax处使
maxt [ ]t , maxc [ ]c
(b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核 M+max与 M-max两处。
三、 举例
[例7-1]：两矩形截面梁，尺寸和材料均相同， 但放置分别如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条 件确定两者许可载荷之比 P1／P2＝？
该梁满足强度条件，安全
M
11.25
[例7-4]图示铸铁梁，许用拉应力[σ t ]=30MPa，许 用压应力[σ c ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试校核此 梁的强度。
52
9 kN
1m
4 kN
D
88
C截面
C
A z
C
1m
B
2.5 kN
2.5 88 t 28.8MPa ＜ t Iz 2.5 52 c 17MPa ＜ Iz
M y z dA 0 zE
A
A
y

dA
E
zydA 0
A
y E
zydA I yz 0
M z y dA M
A
A
截面的惯性积（ y为对称轴）
M
y
yE dA M
A
y

y
A
2
dA I z
设中性轴为z
z
dA
截面对z轴（中性轴）的惯性 矩
M x y Iz
（二）梁弯曲正应力强度条件
等直梁的危险截面：最大弯矩Mmax所在的截面; 等直梁的危险点：危险截面上离中性轴最远的点。 其正应力强度条件可写成：
max [ ]
或
max
M max [ ] WZ
利用上式可以进行三方面的强度计算：
①已知外力、截面尺寸、许用应力，校核梁的强度；
解：
A
C
l P 22
2
ห้องสมุดไป่ตู้
2
l 2
D
B
P2
A
B
主梁AB:
M max AB P (l a ) 4
M
(l a) / 2
(l a) / 2
M maxAB P(l a) / 4
P
副梁CD:
C a
D
M max CD
Pa 4
M
由 (M max ) AB (M max )CD
(M max ) CD
讨论 （1）应用正应力公式时，一般将 M和y 用绝对值代入. 根据截面
弯矩的正负号就可直接判断 的正负号. 例如截面弯矩M为正时，
中性轴以下为受拉区，则该区域各点的正应力为拉应力；而中性 轴以上为受压区，则该区域各点的正应力为压应力。 （2）梁某截面上的最大正应力发生在该横截面上离中性轴最 远的点处.
Examine the deformation， then propose the hypothesis
Distribution regularity of deformation
变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系
观察变形， 提出假设
变形的分布规律
Distribution regularity of stress
z
a 166
560 375 10 N mm 21 mm 2 65586 104 mm4 148 MPa
6
21


或根据正应力沿梁高的线性分布关系的 12.5 560 z a 166
max 160MPa
21
ya a max y max
560 21 2 160 MPa 148 MPa 560 2
此时 max
M max 153MPa Wz
误差小于5%，可用
FA
FB
20
y 20
F 解：1、梁的支反力为 FA 4
7 FB F 4
134
b
180
A
C b
B b
D
C 形心
86
例7-7 图示槽形截面铸铁梁，已知：b = 2m，截面 对中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4， 铸铁的许用 拉应力[ t ]=30 MPa，许用压应力[ c ] =90 MPa。 试求梁的许可荷载[F ] 。 120 q=F/b F
d z
y
b
Iz bh3 / 12 bh 2 矩形截面 Wz h/2 h/2 6
h
z y D d
空心圆截面
πD Wz (1 4 ) 32
3
d α D
z y
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面（有两个抗弯截面模量） 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
yc max 和 yt max 直接代入公式 My σ Iz σc max
第七章 弯曲应力
第七章 弯曲应力
§7-1梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件
§7-2 梁横截面切应力·梁的切应力强度条件
§7-4 提高梁强度的主要措施 §7–5 弯曲中心的概念
比较—分类法
第7章知识点
梁的正应力 （公式、适用范 围、最大正应力）
梁的切应力 （各种截面的切应力 及其最大切应力）
提高梁强度的措施 （三方面）
②已知外力、截面形状、许用应力，设计截面尺寸;
M max Wz [ ]
③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷
[M ] Wz [ ]
注意：在进行强度校核、选则截面尺寸、确 定许用荷载时，若 （1） （2）
[ ]t [ ]c
（塑性材料）只须校核Mmax处
（脆性材料）
[σ ]t [σ ]c
σ max
M ymax Iz
Iz 引用记号 Wz —抗弯截面系数（或称为抗弯截面模量）， ymax 单位：m3、cm3，mm3。
则公式改写为
σ max
M Wz
请同学们思考等直梁最大正应 力公式如何写?
梁的抗弯截面系数（抗弯截面模量）：
（1）当中性轴Z为对称轴时
Iz πd 4 / 64 πd 3 实心圆截面 Wz d /2 d /2 32
M 中性层的曲率公式 EI z
1
将
M y 代入 σ E EI z
1
得到纯弯曲时横截面上任一点正应力的计算公式:
My σ Iz
式中：M为梁横截面上的弯矩； y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离； Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩. 注意：上述公式是由矩形截面梁在纯弯曲情况下推导出来的， 但它对具有所有横截面形状对称于y轴的梁都适用，例如截面 为圆形、工字形和梯形等。此外，上述公式是在直梁的条件下 推导的，一般不能用于曲梁；但当曲梁的曲率半径于截面高度 之比大于10时，也可以近似应用。该公式适用于弹性范围。
Pa 4
Pa P (l a ) 4 4
得
l a 2
[例7-3]受均布载荷的外伸梁材料许用应力[ ] 160MPa 校核该梁的强度。
10kN / m
200
2m
FS
25
45kN
4m
100
15kN
解：由弯矩图可见
M max 20kN m
20 15
20
M max 20 103 t 0.1 0.2 2 / 6 Wz t 30MPa< [ ]
c
105 . kN 4
1m
M
2.5
B截面 4 52 t 27MPa＜
Iz
t
4 88 c 46MPa ＜ Iz
c
例7-5 图示简支梁由56a号工字钢制成，已知 F=150kN。试求危险截面上的最大正应力max 和同 一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力a 。
40 z
180
A
20
y 20
M M
max max
弯曲中心的概念
梁的正应力强度条件 及其解决的三问题
梁的切应力强度 条件及其计算
σydA M τdA F
A A s
dA M
dA FS
M
在横截面上，只有法向内力 元素σdA才能合成弯矩M， 只有切向内力元素τdA才能 合成剪力FS
dA
FS
y
dA
z
M
FS
yc max
M
σ t max
σ c max
My t max Iz My c max
Iz
Iz
M Wz1
M Wz 2
Iz yc max
z
yt max
y
σ tmax
Wz1
yt max
,Wz 2
二、 横力弯曲时的正应力和梁的正应力强度条件
（一）横力弯曲时的正应力
My IZ
上式是在平面假设和单向受力假设的基础上推导的， 实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。 对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形， 使横截面发生翘曲，不再保持为平面。理论证明在L/h大于5 时该式的精度能满足工程要求。
横截面上只有正应力，没有剪应力。
a
C
横力弯曲或剪切弯曲 （AC段和DB段）：
FS ≠ 0，M ≠ 0
l
F F
a
B
FS
横截面上既有正应力，又有剪应力。
M
Fa
梁弯曲动画
弯曲正应力公式推导思路
deformation geometric relationship physical relationship
三.静力平衡
F N dA
A
A
E
y

0
M
y 设中性轴为z
M y z dA 0 M z y dA M
A
z
dA
FN dA 0
A


E dA 0 A
y
E


A
ydA 0

A
ydA S z 0
中性轴 Z必过截面形心
横截面对Z轴的静矩
中性层
中性层与横截面的交线称为中性轴
横截面上任一点的线应变
y
dx
y
z
y
d

y ( y)d d dx d
dx
结论：一点的的线应变与它到中性层 的距离成正比。 二. 物理关系 y E E dx
y
dx

结论：一点的正应力与它到中性层的距离成正比。
dA
所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力。 本章研究主要研究等直梁在平面弯曲时，其横截面上的 正应力、剪应力以及有关的强度计算。
§7-1梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件
一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力
纯弯曲（CD段）：
FS = 0，M = const
F A
F
F
D
F
例7-6 图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简 图。钢的许用弯曲正应力[ ]=152 MPa 。试选择 工字钢的号码。
F A FA 2.5m 2.5m 2.5m 10 m 2.5m
F
F=75kN
B FB
单位： kN· m
解：1、支反力为 作弯矩图如上。
3 FA FB F 102 .5 kN 2
应力的分布规律
static relationship
Establish the formula
建立公式
一.几何变形 弯曲变形动画
（1）aa、bb弯成 弧线，aa缩短，bb 伸长,部分纵向线 段缩短，另一部分 纵向线段伸长。
M
m a
b m
n a
b n
M
（2）mm、nn变形后 仍保持为直线，且仍 与变为弧线的aa，bb 正交。
l
P 1l 2 解： max1 Wz1 bh / 6 M max2 P2l max2 2 Wz2 hb / 6 由 max 1 max 2 [ ] 得:
M max1
P1 h P2 b
[例7-2]主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高 承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则 副梁的最佳长度a为多少？ P a a
M
M
1.平面假设：
梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形 后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。 2.单向受力假设：
梁由无数根纵向纤维组成，假设各纵向纤维之间互不 挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。
中性层 梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面 部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层。 中性轴
12.5
A FA 5m C 10m B 375 kN.m FB z a 166 560 F
M 解：1、作弯矩图如上， M max
Fl 375 kN m 4
21
2、查型钢表得
56号工字钢 3、求正应力为
I z 65586cm4
Wz 2342cm3
max
12.5
560
M max 375 106 N mm 160 MPa 3 3 Wz 2342 10 mm M max y a a Iz
281 375
M max 375 kN m
2、根据强度条件确定截面尺寸
Wz
M max

M max Wz 6 375 10 N mm 2460 103 mm3 152 MPa
查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值
Wz 2447cm3 2447103 mm3