整数的性质及应用(四)整数的分类-

整数的性质及应用（四）整数的分类

一、 例题：

1.一个六位数的左边第一个数是1，如果把这个数从左边第一位移到右边第一位，那么所得的数字是原数的3倍，求原数。

2.1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的各数字之和，那么他的年龄是多少岁？

3.已知存在正整数n ，能使数111

11n 个被1987整除。 求证：数p=1(1)9(1)8111999888777n n ++(n+1)个个个(n+1)个7和q=1(1)9(1)8111999888777n n ++(n+1)个个个(n+1)个7

都能被1987整除。

4.有大、小两个位数，在大数的右边写上一个0后再写上小数，得到一个五位数；又在小数的右边写上大数，然后再写上一个0，也得到一个五位数；第一个五位数除以第二个五位数得到的商为2，余数为590，此外，二倍大数与三倍小数的和是72，求这两个两位数。

5.试求：4343和9

999999的末位数字。

6.如果用记号n ！表示前n 个自然数的乘积，如321!3⨯⨯=。试求!1992!3!2!1++++= s 的末位数字。

7.已知，199719961995199619951994199519941993199419931992⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=N 则N 的末位数字是多少？

8.不超过100的所有质数的乘积减去不超过60的且个位数字是7的所有质数的乘积所得之差的个位数字是多少？

9.根据报道，目前用超级计算机找到的最大的质数是12

859433-，这个质数的末位数字是多

少？

10.编写一本数学书的页数共用去6869个数字（例如一本10页的书，它的页数是一位数的9个，两位数的1个，总共用去数字11129=⨯+个），那么这本书的页数是多少？

11.请说明三个连续自然的平方和能否是某个自然数的平方。

12.黑板上写有1，2，…，1998，1998个自然数，对它们进行998次操作，每次操作规则如下：擦掉写在黑板上的三个数后，再添上所擦掉的三个数之和的末位数字。例如：擦掉5，13和1998后，添加上6；若再擦掉6，6，38，添加上0等。如果最后发现黑板上剩下两个数，一个是25，则另一个数是多少？

14.一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13，求满足条件的所有自然数。

15.“三三数之剩二，五五数之无剩余，七七数之剩四”，求满足条件的最小数。

16.求证：如果a 和b 是整数，那么2222,,,b a b a b a -+中一定有一个能被5整除。

17.已知自然数a, b, c 满足条件[a, b]=24, (b, c)=6, [c, a]=36, 则满足上述条件的数组（a,b,c ）共有几组？

二、 练习题：

1.求证n 是正整数是，2 (2n+1）形式的数不能表示成为两个整数的平方差。

2. 求证大于11的正整数一定可以表示成两个合数之和。

3. 判断20042003200220019732+++的奇偶性。

4. 求19981999

19991998+的个位数字。 5. 有一个四位数，已知其十位数字减去2等于个位数字，其个位数字加上2等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于9988，求这个四位数。

6. 圆上有9个数码，已知从某一位起把这些数码按顺时针方向记下，得到的是一个9位数，并且能被27整除。证明：如果从任何一位起把把这些数码按顺时针方向记下的话，那么所得的一个9位数也能被27整除。

7. 若199519961997

=N ，那么N 的个位数字是几？ 8. 试证：113112111113112111++能被10整除。

9. 求证：两相邻自然数乘积的个位数只能是0，2，6.

10. 存在这样的自然数n ，使12++n n 是15的倍数吗？

11. 试证：（1）33533353-是10的倍数；（2）1998199843+是5的倍数。

12. 自然数1，2，3，…，1989，1990的所有数位上的数字的和是多少？

13. 求19955的末三位数。

14. 设整数a, b, c 满足333,,,41c b a c b a ≤≤ 的个位数字依次为x, y, z ，当

))()((x z z y y x ---为最小值时，求积abc 的值。

15. 已知a, b 是正整数，证明 a+b, ab, a-b 三个数之中，至少有一个是3的倍数。

16. 证明：任意一个大于23的自然数，都可以由若干个5和若干个7相加而得到。

17. 设p 是大于3的质数，求证1|242-p

18. 一个五位数983ab 能被11与9 整除，求这个五位数。

19. 绝对值小于1998，且被3除余2所有整数的和为多少？

20. 除以8和9都是余1的所有3位数的和是多少？

21. 已知一个七位自然数是99的倍数（其中x 、y 是阿拉伯数字），试求950x+24y+1之值，简写出求解过程。

22.在所有五位数中，各个数字之和等于43，且能被11整除的数是什么数？