矢量代数运算和微积分共27页
矢量的基本代数运算
Ch.2 曲线论§1曲线与矢函数一般地说，若一个矢量r 决定于一个（纯量）变数t ，我们就把它叫做变量t 的矢函数，写成)(t r 。
在标架],,;[321e e e O =σ中，曲线的（分量式）参数矢方程为：332211)()()()(e e e r r t x t x t x t ++==§2矢函数的导矢与曲线的切线某矢函数在某点连续的充要条件是其各分量在该点都连续。
若矢函数332211)()()()(e e e r t x t x t x t ++=在t 0连续，则其导矢为30320210100)()()()()(e e e r r t x t x t x t t dt d t '+'+'==' 导矢函数 332211)()()()(e e e r t x t x t x t '+'+'= 有时也简称为导矢。
设21)(t t t t ≤≤=Γ，：r r为任意空间曲线。
若矢函数在闭节],[21t t 里每一个t 值连续，则曲线Γ成为连续曲线。
导矢的几何意义：0)(0≠'t r 保证曲线Γ在t 0值对应点的切线存在而且)(0t r '代表这条切线的方向。
)(0t r '就叫做Γ在该点的一个切（线）矢（量）。
若在闭节],[21t t 里，0)(≠'t r 而且连续，则Γ的切线随着切点的移动而连续变动位置，这样的曲线叫做光滑曲线。
矢函数的微分dt t d )(r r '=，)(t dtd r r '= 这个定义在形式上和纯量函数一样。
若1r ，2r ，3r 是含纯量变数t 的矢函数，λ 为t 的纯量函数，则r r r '+'=λλλ)(dtd2121)(r r r r '+'=+dtd 212121)(r r r r r r '+'=dtd 212121)(r r r r r r '⨯+⨯'=⨯dtd ),,(),,(),,(),,(321321321321r r r r r r r r r r r r '+'+'=dt d 有了导矢的概念就可以引进高阶导矢、多元矢函数的偏导矢、高阶偏导矢和全微分等概念，也有泰勒公式，不定积分和定积分概念。
大学物理矢量运算
chap0 矢量代数0.1矢量与标量一．标量定义：只有大小，没有方向的量。
表示：数字（可带正负号）。
加法：代数和。
二．矢量定义：既有大小，又有方向的量。
表示：0A v v 矢量的模）矢量的大小A v (:1）A A = 方向的单位矢量沿A A v:0 2）有向线段 矢量的方向方向矢量的模）矢量的大小长度:(:加法：平行四边形法则或三角形法则。
0.2矢量的合成与分解一．矢量的合成Av Av v C v B v Bv Cv Av Bv Cv Dv Ev 说明：)(B A B A vv v v −+=−BA C v v v +=BA C v v +=DC B A E v v v v v +++=A v Bv Cv Bv −Av Cv Bv二．矢量的分解把一个矢量看成两个或两个以上的矢量相加。
1．矢量的分解Ø一般一个矢量有无穷多种分解法Av Cv B v A v xA v yA v CB A v v v +→yx A A A v v v +→2．矢量的正交分解z三．矢量和（差）的正交分量表示k A j A i A A z y x v vv v ++=v vv v k B j B i B B z y x ++=k B A j B A i B A B A z z y y x x v vv v v )()()(±+±+±=±0.3矢量的乘积定义：一.矢量乘以标量Am B v v=二.矢量的标积定义：性质：1）A B B A v v v v ⋅=⋅v θψcos AB B A =⋅=vv )],([B A v v =θ2）C A B A C B A v v v v v v ⋅+⋅=+⋅)(3）B A B A v v v v ⊥⇔=⋅0 4）2A A A =⋅v v 矢量的标积的正交分量表示：zz y y x x B A B A B A B A ++=⋅vv 1=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅k k j j i i i k k j j i v v v v v v v v v v v v三.矢量的矢积定义：==×=大小：)],([sin B A AB S BA S vv v v v θθ性质：⊥⊥满足右螺旋定则方向：,,B S A S v v v v 1）A B B A v v v v ×−=×2）C A B A C B A v v v v v v v ×+×=+×)(3）B A B A v v v v //0↔=×4）0=×A A v v矢量的标积的正交分量表示：0.4矢量函数的导数与积分一.矢量函数矢量A v与变量t 之间存在一定的关系，如果当变量t 取定某个值后，矢量A v有唯一确定的值（大小和方向）与之对应，则A v称为t 的矢量函数，即：)(t A A v v =二.矢量函数的导数定义tt A t t A t Adt A d t t ∆∆∆∆∆∆)()(lim lim 00v v vv −+==→→zv xy)(t A A v v =)('t t A A ∆+=v)()(t A t t A A v v v −+=∆∆O1）dtBd dt A d B A dt d vv v v ±=±)(2）dtAd m A dt dm A m dt d vv v +=)(B d A d d v v v v v v 性质三.矢量函数的积分定义v v v v B d v v，若)(t A A =，)(t B B =，且A dt=则B v称为A v 的积分，记为：∫=dt A B v v性质1）dt B dt A dt B A ∫∫∫±=±v v v v )(2）dt A m dt A m ∫∫=vv )( 常量）=m (3）dt A C dt A C ∫∫⋅=⋅vv v v )(常量）=C r (r 矢量函数积分的正交分量表示k dt A j dt A i dt A dt A z y x v v v v )()()(∫∫∫∫++=4）dt A C dt A C ∫∫×=×vv v v )(常量）=C (例题0-1 两矢量：k j i a v v v v−+=34，k j i b v v v v 543+−=，通过矢量运算求：求：（1）以a v 、b v为两邻边所作的平行四边形两对角线的长度；例0-2 两矢量函数：j i t a v v v2)12(+−=，j t i b v v v )32(−+−=。
矢量运算及微积分初步
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) . x x0
应当指出，函数 f(x) 的导数 f ´(x) 本身也是x的一 个函数，因此我们可以再取它对x的导数，这叫函 数 y = f(x) 的二阶导数。
y f (x) d 2 y d ( dy ) d f (x) dx2 dx dx dx
19
2) 矢量积（叉积、外积） A B C 是一个轴矢量
大小：平行四边形面积
C A B ABsin (0 )
C
B A
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绪论
方向：右手螺旋
20
绪论
矢积的性质：
A B B A
A ( B C) A B AC
A A 0
A(BC) B( A•C) C( A• B)
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18
直角坐标系下的表示
因为Ｘ、Ｙ、Ｚ轴相互垂直，所以
i i 1; i j 0;
j j 1; i k 0;
k k 1 jk 0
A B (Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk )
Ax Bx Ay By Az Bz
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R
D
C AB
R ABCD
精品课件
14
绪论
2) 矢量的数乘
大小
A
C
方向
C A 0 C平行于 A
0 C平行于－A
结合律： ( A) ( ) A 分配律： ( A B) A B
精品课件
15
绪论
3) 矢量的分解 在一个平面内，若存在两个不共线的矢量 e1和e2 则 平面内的任一矢量可以分解为：
矢量的混合积 结果为平行六面体的体积 （A B) • C (C A) • B (B C) • A
矢量的运算PPT课件
矢量加法：服从平行四边形法则，合矢量是平行四边形的对角线。
A
B
C 记为 C A B
C
A
对矢量加法有：交换率
AB B A
B
也可以用三 角形表示。
结合率 (A B) C A (B C)
矢量的减法： A B A (B)
定义为：加上 B 矢量的负矢量。
A
AB
B
2
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矢量的模：矢量的大小称为矢量的模，记为
r
或r
单位矢量: 模为 1 的矢量称为单位矢量，用于表示方向。常用
r0 表示。
矢量相等：两矢量大小相等，方向相同，则两矢量相等。（即
A
使他们不再同一起点上。）
记为
BA
B
负矢量： 一矢量的负矢量与该矢量大小相等，方向相反。
A
记为
B A
B
1
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矢量与数量相乘：记为
C mA
定义为： C = | m | A （即C的模为A的m倍） 当m大于0时, C与A方向相同。 当m小于0时，C与A方向相反。
利用上述乘法的定义，任意一个矢量都可以表示为该矢量的
模与该矢量方向上的单位矢量的乘积。
r rr0
r
任意矢量的单位矢量也可 以表示为：
r0
r
其中r是该矢量的模，而括号中的 项是r方向上的单位矢量。
r0 cos i sin j
在已知x及y的情况下
r x2 y2
tg y
x
例1、设矢量
r (6i 8 j)m
写出该矢量的模和单位矢量，并用图表示该矢量。
5
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Y
利用矢量的解析表示法，设两矢量
chapter00数学基本知识(微积分及其运算矢量及其运算)
叉积结果为零； （3）当两矢量垂直时,点积结果为0，叉积
结果最大。
22
解析法
一、矢 量的导数
若 A(t) = Ax (t)i + Ay (t) j + Az (t)k
则
dA(t)
=
j
+
dAz (t)
(3)
u u'v - uv'
( )'= v
v2
(4) y = f (u),u = g(x),
即y = f [g(x)],
则y'x = y'u •u'x
7
例 计算下列函数的导数
(1) y = 3x2 - 4x + 10
1 (2) y = + 7sin x + 8 cosx - 100
x (3) y = x2 cos x
微积分及其运算 矢量及其运算
1
§1：导数和微分
一、极限：
1、定义：当自变量x无限趋近于某一个数 值x0时，函数f(x)的值无限趋近于某一个 确定的数值a，则 a 称为x→x0时f(x)的极 限值，记作
lim f (x) a x x0
2
2、极限的运算法则：
lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) lim f (x) • g(x) lim f (x) • lim g(x)
lim 记作
b
n
a f (x)dx xi 0 i1 f ( i )xi
15
2、定积分的性质
b
a
(1) a f (x)dx b f (x)dx
《矢量运算》课件
矢量加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A和(A+B)+C=A+(B+C) 。
详细描述
交换律和结合律是矢量加法的基本性质，它们表明矢量的加法不依赖 于其排列顺序。
数乘运算
总结词
数乘运算是矢量运算中的一种运算，它表示矢量与实数的 乘积。
总结词
数乘运算满足分配律，即k(A+B)=kA+kB。
详细描述
描述物体速度变化快慢的物理量，包括大 小和方向。加速度可以通过速度的变化量 与时间的比值来定义，也可以通过速率和 方向来描述。加速度是矢量，具有方向性 。通过研究速度和加速度的关系，可以深 入理解物体运动的变化规律和动力学问题 。
06
矢量在数学中的拓展
向量场
向量场是由一组向量构成 的数学结构，这些向量定 义在某个空间或流形上。
内积的定义与性质
总结词
内积是矢量的一种运算，表示两个矢量之间的点乘。
详细描述
内积定义为两个矢量A和B的内积，记作A·B，等于A的模长与B的模长之积与它 们之间夹角的余弦的乘积。内积的结果是一个标量，与矢量的方向无关，只与 矢量的长度和夹角有关。内积具有交换律和分配律。
外积与内积的应用
总结词
外积和内积在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
力的分解
将一个力分解为两个或多个分力的过程。力的分解有多种方 法，如正交分解和任意分解。通过力的分解可以更深入地理 解力的作用效果和力的作用方式。
运动的合成与分解
运动的合成
当物体同时参与两个或多个运动时，其合运动可以通过运动的合成来描述。运动的合成包括速度的合 成和加速度的合成。通过运动的合成可以确定合速度的大小和方向，以及合加速度的大小和方向。
矢量运算法则ppt课件
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力 F 、速度 v 、电场 E 等
矢量表示为： A | A| aˆ
其中：|
A
|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
aˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3. 散度：
a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。
b.表达式： divF lim S F dS
c.散度的计算：
V 0 V
在直角坐标系中，如图做一封闭
z
S6
S1
S3
S4
S2
曲面，该封闭曲面由六个平面组成。
S5
y
Az
A
o
Ay
Ax
y
x
cos Ax , cos Ay , cos Az
| A|
| A|
| A|
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
A B C (Ax Bx Cx )aˆx (Ay By Cy )aˆy (Az Bz Cz ) aˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2.减法：换成加法运算
第1章 矢量分析
b.矢量积（叉积）：
aˆc
B
A B | A | | B | sin aˆc
•含义：
A
两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量
组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三
者符合右手螺旋法则。
推论1：不服从交换律： A B B A, A B B A
§1.1 矢量代数
第一章矢量分析§1.1 矢量代数与位置矢量§1.2 标量场及其梯度§1.3 矢量场的通量及散度§1.4 矢量场的环量及旋度§1.5 场函数的高阶微分运算§1.6 矢量场的积分定理§1.7 赫姆霍兹定理§1.1 矢量代数与位置矢量1、矢量和标量矢量：如A 或、a 或等；aA 标量：如f 、g 、ϕ、ψ等。
矢量A 的模记作|A |或A 。
矢量A 的图示:A2、矢量运算图1-1两矢量相加ABA +B ABA +B ( a ) 平行四边形法则( b ) 首尾相接法则两矢量A 和B 相加定义为一个新矢量A +B图1-2两矢量相减-BBAA -B交换律A +B =B+A(1-1)结合律A ±B ±C =A ±(B ±C )=(A ±B )±C(1-2)直角坐标系中的矢量及运算模：A =(A 2x +A 2y +A 2z )1/2(1-4)A xA yA zAyzx图1-3直角坐标中的A 及其各分矢量若已知 A =e x A x +e y A y +e z A z B = e x B x +e y B y +e z B zA =e x A x +e y A y +e z A z(1-3)则A ±B =e x (A x ±B x ) + e y (A y ±B y ) + e z (A z ±B z ) （1-5）|A ±B |=[ (A x ±B x )2 + (A y ±B y )2+ (A z ±B z )2]1/2（1-6）A 和B 相减为新矢量A -B图1-4f 与A 相乘AƒA (ƒ>0)ƒA (ƒ<0)由 A =e x A x +e y A y +e z A z 可得ƒA =e x fA x +e y fA y +e z fA z（1-7）标量ƒ与矢量A 的乘积定义为一新矢量，用ƒA 表示，它是A 的ƒ倍。
附录-矢量和微积分初步PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
sin x ' cos x
arcsin x ' ( 1 x2 )1(1 x 1)
cos x ' sin x arccos x ' ( 1 x2 )1(1 x 1)
tan x ' sec2 x arctan x ' (1 x2 )1( x )
cot x ' csc2 x arc cot x ' (1 x2 )1( x )
dy dy du dx du dx
附录一 矢量
18
物理学
第五版
附录：矢量与微积分
若 y f x 旳导数 f ' x 对 x 可导，
则 f ' x '叫做 f (x) 旳二阶导数，记作
f '' x, y '' 或
d2y dx2
函数旳极值点和极值：
若函数 y f x 在 x0 某一邻域内有定义，且 f x0 比在 x0 某邻域内全部各点 f x 旳值都大(都小)，则称 f x0 是函数 f x 旳一种极大值(极小值)。x0 点称为函数 f x 旳一种极
附录一 矢量
3
物理学
第五版
附录：矢量与微积分
d
c
BC
B
a
b
A
图4两矢量相加旳三角形法则
自矢量 A 旳末端画出矢量 B ，再从矢量 A旳始端 到矢量 B 旳末端画出矢量 C ，则 C 就是 A 和 B
旳合矢量。
附录一 矢量
4
物理学
第五版
附录：矢量与微积分
2、利用计算措施计算合矢量旳大小和方向：
C
A
10
物理学
矢量的代数运算和微积分
Ay Ax Az cos cos cos A A A 用方向余 A A(cos i cos j cos k ) 弦表示
直角坐标系中矢量的模为 y 2 2 2 A Ax Ay Az
y
j A
i
z
o
例：写出以下物理量在直角坐标系中的表达式 vy v v 5m / s 速度
(2) 遵守分配率： C ( A B ) C A C B
(3) 平行或反平行的两矢量的矢积为0。
A B B A
注意坐 标轴的 右手螺 旋定则
五
1.
矢量的微积分
矢量的微分(differential) 只要把矢量的性质应用于标量的导数公式即可：
大学物理补充知识
一 矢量和标量
矢 量
二 矢量的描述 三 矢量的加减
四 矢量的乘除
一
矢量(vector)和标量(scalar quantity)
标量：只具有大小而没有方向的物理量，我们 把它称之为标量。 如：温度 T、功A 等
例：功 A 5J
矢量：既具有大小又具有方向的物理量， 我们把它称之为矢量。
A A B B
A B B
矢量合成的解析法
1. 矢量相加(addition)
A B ( Axi Ay j Az k ) ( Bxi By j Bz k ) ( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
z
k x
x
3 A Ax i Ay j Az k vx v vx i v y j vz k 4 v 4i 3 j 0k 4i 3 j m / s
《大学物理》矢量运算ppt课件
就是合矢量
A
O
C
Asin BAcos
C A B
大小:
C A2B22AB cos
方向：arctB a A n sAic nos
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4
矢量加法的其他法则
（1）多矢量相加时，可依次相加。
A A B C E C F
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作业5 、已知 a6,b22,
a 与 求b 夹 a 角 4 2 b ， 5 a 为 3 b
解：
a 2 b a 3 b
a a 3 a b 2 a b 6 b b a a a b 6 b b
a 2 acbo 4 s 5 6 b 2
量值都是标量、方向沿x、y、z，在同一坐标轴上的分矢量就可
用代数法则运算（可用正、负的数值表示分矢量，只有两个指
向），从而使问题简化。
若 AAA0，A 则 0叫A 做 方向单 上位 的， 矢量
其大 A0小 1，方A 最向 新的 课件与 方向一致。 7
3. 矢量的正交分解（坐标表示）
在直角坐标系中，常用 i、j、k
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矢量的非法运算
1 A
ln B
C
eD
A2B1c5m 1c0m 2B
*矢量与标量不能相等 ！！！
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Thinking
一条小船从A地向东航行50 km到达B地, 又从B地向北偏东30°航行30 km到达C地。
这个过程的总效果相当于？？？
相当于小船从A地出发沿直线到达C地
C
位移、速度等
大小 C Cx2 Cy2
方向
C arctan
矢量的代数运算和微积分PPT文档29页
矢量的代数运算和微积分
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
ห้องสมุดไป่ตู้50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克