高等数学极限的运算法则
高等数学：第五节 极限运算法则
lim
x
a0 xm b0 xn
a1 xm1 b1 xn1
am bn
a0 ,当n m, b0 0,当n m,
,当n m.
11/23
例5
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无穷小之和． 先变形再求极限.
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1
n(n 1)
lim 2 n
n2
lim
n
n2 n 2n2
1. 2
12/23
例6 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小,
x
而sin x是有界函数.
lim sin x 0. x x
y sin x x 13/23
例7
设
f (x)
1 x,
x
2
1,
x 0,求 lim f ( x). x 0 x0
证 lim f ( x) A, lim g( x) B. f ( x) A , g( x) B . 其中 0, 0. 由无穷小运算法则,得
2/23
[ f ( x) g( x)] ( A B) 0. (1)成立.
[ f ( x) g( x)] ( A B) ( A )(B ) AB
设函数y f [( x)]是由函数y f (u)与函数u ( x)复合而成，
f
[
(
x)]在x0的某个去心邻域有定义，若
lim
x x0
(
x)
u0
,
lim
高数求极限运算法则
高数求极限运算法则极限（Limit）是高等数学中非常重要的数学概念，是对函数在某一特定变量无穷接近某个值的概念，是理解微积分及其它研究的基础。
极限的求取是高数教学的重要内容，它不仅提高了学生的数学思维能力，还有助于培养其创新能力。
因此，高数求极限的运算法则的掌握就显得尤为重要。
一、定义极限又称无穷小，是指分母函数值趋近于无穷小，且分子函数值恒不变时，分母函数不变时其商函数极限，记作：$$lim_{xto a}f(x)=L$$其中$xto a$（x逼近a）表示x不断逼近a，当$xto a$时，$f(x)=L$。
二、极限的计算1、无穷小的消去法即在极限的运算中，若分母中出现无穷小，可让其消去，即$lim_{xto a}f(x)=f(a)$，$f(a)$为极限值。
2、无穷大的消去法即若极限运算中出现无穷大，首先判断一下分子和分母的大小，根据大小将分母合理改写，使无穷大可以化简消去，然后将合理改写后的分母和分子相除，得到极限的值。
3、积分型极限计算法则即若函数形式为$frac{f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+cdots+f(x_n)}{x_0+x_1+x_2+cdots+x_n}$，此时函数的极限可以用随机积分法求出。
4、指数函数极限计算法则即若函数形式为$a^x$,其中a为任意正数，当$xto infty$时极限值为无穷大；当$xto -infty$时极限值为0。
5、三角函数极限计算法则即当函数形式为$sin x$或$cos x$等三角函数的极限时，可以运用三角恒等公式，将它们改写成有限值表达式，求出其极限值。
6、指数型函数极限计算法则即当函数形式为$a^x$,其中a为任意正数，此时函数的极限可以用对数函数法求出，其计算方法是将该函数改写成对数函数形式，再用极限运算法则加以求解。
三、总结1、极限定义：极限是指函数在某一特定变量无穷接近某个值的概念，记作：$$lim_{xto a}f(x)=L$$2、求极限的方法：包括无穷小的消去法、无穷大的消去法、积分型极限计算法则、指数函数极限计算法则、三角函数极限计算法则、指数型函数极限计算法则等，其中各种方法有其特色，使用了正确的方法可以满足不同的求解要求。
高等数学极限公式汇总
高等数学极限公式汇总在高等数学中，极限是一个非常重要的概念，它贯穿了整个学科的始终。
极限的计算和应用需要掌握一系列的公式和方法，下面就为大家详细汇总一下高等数学中的极限公式。
一、数列极限1、定义：对于数列$＼｛a_n\｝＄，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n ＞ N$时，有$｜a_n A| ＜＼epsilon$，则称数列$＼｛a_n\｝＄的极限为$A$，记作$＼lim_{n\to\infty} a_n ＝ A$。
2、数列极限的性质（1）唯一性：如果数列$＼｛a_n\｝＄的极限存在，则极限是唯一的。
（2）有界性：如果数列$＼｛a_n\｝＄的极限存在，则数列$＼｛a_n\｝＄是有界的。
（3）保号性：如果$＼lim_{n\to\infty} a_n ＝ A ＞ 0$（或$A ＜0$），则存在正整数$N$，当$n ＞ N$时，有$a_n ＞ 0$（或$a_n ＜0$）。
3、常见数列的极限（1）＄＼lim_{n\to\infty} ＼frac{1}｛n} ＝ 0$（2）＄＼lim_{n\to\infty} q^n ＝ 0$（＄｜q| ＜ 1$）（3）＄＼lim_{n\to\infty} C ＝ C$（＄C$为常数）二、函数极限1、定义（1）当$x\to x_0$时，函数$f(x)＄的极限对于函数$f(x)＄，如果对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正数$＼delta$，使得当$0 ＜｜x x_0| ＜＼delta$时，有$｜f(x) A| ＜＼epsilon$，则称函数$f(x)＄当$x\to x_0$时的极限为$A$，记作$＼lim_{x\to x_0} f(x) ＝ A$。
（2）当$x\to\infty$时，函数$f(x)＄的极限对于函数$f(x)＄，如果对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正数$M$，使得当$｜x| ＞ M$时，有$｜f(x) A| ＜＼epsilon$，则称函数$f(x)＄当$x\to\infty$时的极限为$A$，记作$＼lim_{x\to\infty} f(x) ＝A$。
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
同济大学《高等数学》(第四版)1-6节 极限的运算法则
3
x→2
小结: 小结: 1. 设 f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 + ⋯ + a n , 则有
x → x0
lim f ( x ) = a 0 ( lim x ) n + a1 ( lim x ) n −1 + ⋯ + a n
x → x0
n
x → x0
= a 0 x 0 + a1 x 0
n −1
+ ⋯ + a n = f ( x 0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) = , 且Q( x 0 ) ≠ 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) = = f ( x 0 ). = x → x0 lim Q ( x ) Q( x0 )
x → x0 x → x0
由无穷小与无穷大的关系,得 由无穷小与无穷大的关系 得
4x − 1 lim 2 = ∞. x →1 x + 2 x − 3
x −1 例3 求 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
2
0 解 x → 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 型) 0
先约去不为零的无穷小 因子 x − 1后再求极限 . 后再求极限
1 2 n 1+ 2 +⋯+ n lim ( 2 + 2 + ⋯ + 2 ) = lim 2 n→ ∞ n n→ ∞ n n n
1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim = lim (1 + ) = . 2 n→ ∞ n→ ∞ 2 n n 2
sin x 例6 求 lim . x→∞ x
高等数学 极限运算法则
x→ 0
x→ 0 2
x→ −∞
x→−∞
目录
上页
下页
返回
结束
内容小结
1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 2. 求函数极限的方法 分式函数极限求法 1 x →x0 时, 用代入法 ) ( 要求分母不为 0 ) 注意使用条件
2) x →x0 时, 对 0 型 , 约去公因子 0
x −1 f (0 ) = lim f (x) = lim( 3 ) =−1 x→ + 0 x→ + x +1 0 故 lim f (x) =−1 x→ 0 x2 −1 lim f (x) = xlim( 3 ) = 0 → +∞ x +1 x→ +∞ lim f (x) = lim(x −1) =−∞
x = 3 时分母为 0 !
目录
上页
下页
返回
结束
例5 . 求 解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 ,
2
但因
x −5x + 4 12 −5⋅1+ 4 lim = =0 x→ 2x −3 1 2⋅1−3
目录
上页
下页
返回
结束
结论：
1.已知多项式 2.已知分式函数 若 若 则 去公因子再求 则 求
目录
上页
下页
返回
结束
( C 为常数 ) ( n 为正整数 )
目录
上页
下页
返回
结束
思考： 思考：1. 答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 2.
问 是否存在 ? 为什么 ? 存在 , 矛盾 矛盾. 问 是否一定不存在 ?
高数极限运算法则讲解
高数极限运算法则讲解极限是数学中最重要的概念，它是用来描述一个函数d（x）在某个点a接近而不是等于某个值L时，对x的变化可以推导出一个结果。
也就是说，当x趋向于a时，d（x）会趋向于L，这时d（x）就称为以a为极限的函数。
实际应用中，很多复杂的数学问题都可以通过极限来解决。
极限也是高等数学的重点。
二、极限的运算法则（1）极限加法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的和也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)+g(x)]=lim_x→a f(x)+lim_x→a g(x)。
（2）极限减法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的差也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)-g(x)]=lim_x→a f(x)-lim_x→a g(x)。
（3）极限乘法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的积也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)*g(x)]=lim_x→a f(x)*lim_x→a g(x)。
（4）极限除法：当函数f (x)和g (x)都有极限，且lim_x→a g(x)非零时，两函数的极限的商也存在，其极限关系式为：lim_x→a [f(x)/g(x)]=lim_x→a f(x)/lim_x→a g(x)。
（5）极限交换法则：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，函数的项可以进行交换，即lim_x→a[f(x)g(x)]=lim_x→a g(x)lim_x→a f(x)。
（6）极限重复法则：当函数f (x)有极限，当x趋向于a时，函数f (x)重复m次，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)^m]=[lim_x →a f(x)]^m。
三、极限的应用（1）冯科普雷定理：当n≥3时，给定f（x）在区间[a,b]上有n次连续可导，且f（a）=f（b），就一定存在某一点c∈(a,b)，使得f′（c）=0。
高等数学极限方法总结_2
一、 极限定义、运算法则和一些结果1. 定义: （各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述）。
说明: （1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明, 例如: ； ； ；等等（2）在后面求极限时, （1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用, 而不需再用极限严格定义证明。
2. 极限运算法则定理1 已知 , 都存在, 极限值分别为A, B, 则下面极限都存在, 且有 （1）（2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim（3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B BA x g x f 说明: 极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件, 当条件不满足时, 不能用。
3. 两个重要极限（1） 1sin lim 0=→xx x （2） e x x x =+→1)1(lim ； e x x x =+∞→)11(lim 说明: ( 1 )不仅要能够运用这两个重要极限本身, 还应能够熟练运用它们的变形形式.（2）一定注意两个重要极限成立的条件。
一定注意两个重要极限 成立的条件。
例如: , , ；等等。
4. 洛比达法则定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当 时, 下列函数都是无穷小（即极限是0）, 且相互等价, 即有:x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。
说明: 当上面每个函数中的自变量x 换成 时（ ）, 仍有上面的等价关系成立, 例如: 当 时, ～ ； ～ 。
定理4 如果函数 都是 时的无穷小, 且 ～ , ～ , 则当 存在时, 也存在且等于 , 即 = 。
5. 洛比达法则定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时, 函数 和 满足: （1） 和 的极限都是0或都是无穷大；（2） 和 都可导, 且 的导数不为0；（3）)()(lim x g x f ''存在（或是无穷大）； 则极限 也一定存在, 且等于 , 即 = 。
高等数学极限的公式总结
高等数学极限的公式总结在高等数学中，极限的公式是非常重要的概念，这些公式能够帮助我们理解函数的极限，并进行极限的运算。
以下是一些常见的高等数学极限的公式总结：1. 极限的四则运算性质：lim(a+b) = lim a + lim blim(a-b) = lim a - lim blim(ab) = lim a lim b (假设lim a 和 lim b都存在)lim(a/b) = lim a / lim b (假设lim b 不等于0)2. 极限的常数性质：lim a = a (当a是一个常数)3. 极限的单调性：lim(f(x0+delta x) - f(x0)) / delta x = f'(x0) (当delta x -> 0)4. 连续函数的性质：如果f(x)在x0处连续，那么lim f(x) = f(x0) 当 x -> x05. 无穷小量与无穷大量：当x -> 0时，x是无穷小量，1/x是无穷大量。
6. 洛必达法则：如果lim (f'(x)/g'(x))存在，那么lim (f(x)/g(x)) = lim (f'(x)/g'(x)) (当x->a时)。
7. 泰勒公式：对于任何n阶可导函数f(x)，存在一个多项式Pn(x)，使得对于所有-∞ < x < ∞，有f(x) = Pn(x) + o(x^n)，其中o(x^n)是高阶无穷小。
8. 夹逼准则：如果存在一个区间或闭区间[a, b]，满足f(a) <= g(a), f(b) >= g(b)，并且lim f(x) = lim g(x)，则lim g(x)存在，并且lim g(x) = lim f(x)。
9. 无穷大与无穷小的关系：lim x -> ∞ f(x) = lim x -> ∞ f(x) （如果存在的话）lim x -> ∞ f(x) = 0 （如果lim x -> ∞ f(x)存在的话）10. 极限的唯一性：对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当x - x0 < δ时，有f(x) - A < ε。
《应用高等数学》极限的四则运算法则
《应用高等数学》极限的四则运算法则应用高等数学中的极限的四则运算法则是指在计算数列或函数极限时，可以利用四则运算的运算规则进行运算，以便更方便地求出极限值。
四则运算法则主要包括极限和、极限差、极限积和极限商四种情况。
1.极限和法则：若函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，则它们的和函数[f(x)+g(x)]在点x=a处也存在极限，且极限等于两个函数在点x=a处极限的和，即：lim (x→a) [f(x) + g(x)] = lim (x→a) f(x) + lim (x→a) g(x) 2.极限差法则：若函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，则它们的差函数[f(x)-g(x)]在点x=a处也存在极限，且极限等于两个函数在点x=a处极限的差，即：lim (x→a) [f(x) - g(x)] = lim (x→a) f(x) - lim (x→a) g(x) 3.极限积法则：若函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，则它们的积函数[f(x)*g(x)]在点x=a处也存在极限，且极限等于两个函数在点x=a处极限的积，即：lim (x→a) [f(x) * g(x)] = (lim (x→a) f(x)) * (lim (x→a)g(x))4.极限商法则：若函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，并且g(x)≠0，则它们的商函数[f(x)/g(x)]在点x=a处也存在极限，且极限等于两个函数在点x=a处极限的商，即：lim (x→a) [f(x) / g(x)] = (lim (x→a) f(x)) / (lim (x→a) g(x))需要注意的是，上述四则运算法则只适用于函数在点x=a处极限存在的情况，且在使用这些法则时应保持合理性，并且注意避免除以零等错误操作。
这些四则运算法则在高等数学中被广泛应用于求解各种极限问题，通过利用这些法则，可以更简洁、方便地求出函数的极限值，从而帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
高等数学 极限运算法则
x)
Pn ( x0 ) Pm ( x0 )
f ( x0 ).
16
极限运算法则
例 求 lim x2 2x 3 ( 0 型 )
x3 x 3
0
解 方法：消去零因子
x2 2x 3 lim
lim ( x 3)( x 1)
x3 x 3
x3 ( x 3)
lim( x 1) 4 x3
预习：
1.无穷小
无穷小的定义和性质 等价无穷小替换的使用规则
2. 无穷大
无穷大的定义和性质 无穷大和无穷小的关系
1
第三节 极限运算法则
极限四则运算法则 极限的复合运算则 两个极限存在准则
第一章 函数与极限
2
极限运算法则
一、极限四则运算法则
lim f ( x)泛指任一种极限
定理1(四则运算) 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则
limqn 0(| q | 1)
n
解 方 法 先作恒等变形, 变成基础极限。
2n 3n lim n 2n 3n
2 n 1 lim 2 n lim1
lim 3
n 3
n
n 2 n 1 lim 2 n lim1
3
n 3 n
1
例
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
1 lim 0 n n
x21,源自x 0,求 lim f ( x). x 0 x0
解 x 0 是函数的分段点,
10
lim f ( x) A
x x0
左极限f ( x0 0)和右极限f ( x0 0)均存在
f ( x0 0) f ( x0 0) A
高等数学极限求法总结
导 ，等效替换，换元等。
3.掌握基础，多做精题，总结方法。 精选例题：（多数为书上的好题难题，最重要掌握方法哦~） 一．求下面极限
1.
lim
x
3x2 +x+1 x3 +4x2 -1
解法一：判断形式为 ，法则不可直接用，结合“思路”中的第 5 个方法，分子分母同除
最高次幂
x3 ，即： lim x
x 2n
=
lim
n
sin
x 2n
x
x=x
2n
解法二：等价无穷小的替换，当
n→∞时，sin
x 2n
~
x 2n
，所以 lim 2n n
sin
x 2n
= lim 2n n
x 2n
=x
6. lim 1- cos x x0+ （x 1-cos x）
解：眼尖的可以一眼看出此式中有 2 个熟悉的形式
a-
b （有理化）和1- cos x~ 1 x2 2
满 足 条 件 1. g x f x （h x）， 2. lim g x =A，lim （h x）=A ， 则
x x0
x x0
lim f x 存在，且 lim f x =A
x x0
x x0
7 求极限的基本数学思想：
1． 步骤：判断形式 联系知识公式 巧妙变换转化 极限法则求极限
2.思路：从无极限走向有极限，各种方法轮着用，但是不乱用，错用。
lim（1+a）b
elimab ，另外注意 (1 O)
1,
(11
O O
)
1, O
0】
3. lima b =elimbln a 【因为 eblna (eln a )b ab 】
高等数学极限运算法则
x ＋2 ＋ax b) 2, 求a、b. 例6 设 lim( x x 1
2
2
解
x 2 axx 1 bx 1 左边 lim x x 1 2 1 a x a b x 2 b lim x x 1
商的极限存在，必须
a0 b , 当n m , 0 m m 1 a0 x a1 x a m lim 0, 当 n m , n n 1 x b x b x bn 0 1 , 当n m ,
无穷小分出法:以分子、分母中自变量的最高次 幂除分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.
解 所以 lim f ( x ) 1. 此外，易求得
1 3 1 2 3 x 2 3 x 1 x x x 0, lim f ( x ) lim lim 3 x x x 1 x 1 1 3 x lim f ( x ) . lim ( x 1 ) x x
解
所以 lim f ( x ) 1. 此外，易求得
x 0
x 1 , x 0 2 例 10 已知 f ( x ) x 3 x 1 , , x 0 3 x 1 求 lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ). x 0 x x
lim
x 0
1 1 x2 1
1 2
x3 a 例12 求 lim 3 . x a xa
3
解:
x a ( x a) 原式 lim 3 3 2 2 3 x a x a ( x ax a )
3 2
lim
x a
3 3 2
( x a)
高等数学极限运算法则
二、、 复合函数的极限运算法则
定理7. 设 且 x 满足 时,
( x) a , 又
x x0
则有
lim f [ ( x) ]
说明: 若定理中 lim ( x) , 则类似可得
x x0
x x0
lim f [ ( x) ] lim f (u ) A
u
x
x
BD
证: 当 x ( 0 , ) 时， 2
BC AB AD
1 x A o C
即
sin x x tan x
(0 x ) 2
sin x cos x 1(0 x ) 2 x
令t x
用于含三角或 0 反三角的 型 0
例. 1、求
n
1
1 n 1
e
lim (1 1 ) n 1 lim [(1 1 ) n 1 1） e （ n ] n n
n
1) x lim (1 x x
e
当
时, 令 x (t 1) , 则
1 lim (1 t 1) (t 1) t
x 3 3 10 10
10 x lim(1 ) e10 x x3
x 7 7
7 7 (1 ) 1 e7 10 x x 3 e 或 lim lim 3 x x e 3 x x 3 1 (1 ) x 3 lim(1 tan x)cot x
x x0 ( x )
lim f ( x) A
证明
证: 当 x 0 时, 设 n x n 1, 则
(1 n1 1) n
n n
1 ) x (1 1 ) n 1 (1 x n
高等数学极限的运算法则与性质
例1
求
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
x2
x3 1 3x
5
lim( x3 1)
x
a0 xm b0 xn
a1xm1 b1xn1
am bn
0,当n m,
,当n m,
7
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例4
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无限多个无穷小之和．
先变形再求极限.
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2
13
首页
上页
返回
下页
结束
铃
3. 函数极限的局部保号性
如果lim f (x) A, 且A 0(或A 0),那么 x x0
存在常数 0, 使得当0 x x0 时，有
f (x) 0(或f (x) 0).
14
首页
上页
返回
下页
结束
铃
问题讨论
思考题
在某个过程中，若 f ( x) 有极限，g( x) 无极限，那么f ( x) g( x)是否有极限？为
极限运算法则【高等数学PPT课件】
3
( x 2)( x 1)
lim
x1
(
x
1)(
x2
x
1)
x2
lim
x 1
x2
x
1
1
定理7 （复合函数的极限运算法则）
设 lim uu0
f (u)
A,函数u ( x)当x
x0时的极限存在
0
且等于u0，即
lim
x x0
(
x)
u0
,
但在U
(
x0
)内(
x)
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
(3)
lim
f
(x)
A ,
其中B 0.
g(x) B
推论1 如果 lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
推论2 如果 lim f ( x)存在,而n是正整数,则
lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
例1
求
lim
例6 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小,
x
而sin x是有界函数.
lim sin x 0. x x
大学高数2-3极限的运算法则
03
复合函数的极限运算法则
函数的极限与复合函数的极限
函数的极限
当函数在某点的自变量趋于某值时，函数值的极限。
复合函数的极限
对于复合函数$f(g(x))$，当$x$趋于某值时，$g(x)$趋于某值，则$f(g(x))$的极限存在。
复合函数的极限运算法则
乘法法则
若$f(x)$和$g(x)$在某点的极 限都存在，则$f(x) cdot g(x)$ 在该点的极限也存在，且$f(x) cdot g(x) = f(x) cdot g(x)$。
01
02
03
04
加法运算性质
两个无穷小量的和仍为无穷小 量。
减法运算性质
两个无穷小量的差仍为无穷小 量。
乘法运算性质
有限个无穷小量的乘积仍为无 穷小量。
除法运算性质
有限个无穷小量的商仍为无穷 小量，但除数不能为无穷大量 。
05
极限的运算技巧
利用等价无穷小替换求极限
等价无穷小替换是求极限的一种常用方法，通过将复杂的表达式替换为简单的无穷 小量，可以简化计算过程。
在等价无穷小替换中，常用的等价无穷小量包括：当x趋近于0时，sin x ≈ x，tan x ≈ x，e^x - 1 ≈ x，ln(1 + x) ≈ x等。
使用等价无穷小替换求极限时，需要注意替换的准确性和适用范围，以确保结果的 正确性。
利用洛必达法则求极限
01
02
03
洛必达法则是求极限的一种重要 法则，适用于0/0型和∞/∞型的 极限问题。
利用反常函数求极限
总结词
反常函数包括无界函数和无穷大量，求极限时需要注意函数的定义域和性质。
详细描述
对于无界函数和无穷大量，需要分别讨论其类型和性质，利用等价无穷小替换、夹逼准则等方法求极 限。在处理反常函数时，需要注意函数的定义域和性质，以及无穷小与无穷大的关系。
高等数学极限知识点总结
高等数学极限知识点总结
以下是高等数学极限知识点总结：
1. 极限的定义：极限是描述函数在某一点的行为的数学工具。
它包括数列的极限和函数的极限。
2. 极限的性质：包括唯一性，有界性，和收敛性。
3. 极限的四则运算法则：如果lim f(x)，lim g(x)存在，那么对于加减乘除四种运算，极限都存在。
4. 极限的夹逼定理：如果一个数列被两个已知极限的数列夹在中间，那么这个数列的极限就是这两个数列的极限。
5. 函数极限的运算法则：如果lim f(x)存在，那么lim [f(x) + c] = lim f(x) + lim c，lim [f(x) c] = lim f(x) lim c，其中c是一个常数。
6. 无穷小和无穷大的概念：无穷小是一个趋于0的变量，无穷大是一个趋于无穷的变量。
7. 洛必达法则：当分子和分母的极限都存在时，可以求出函数的极限。
8. 泰勒级数：将一个函数表示为其各阶导数的无限和的方法。
9. 单侧极限和双侧极限：函数在某一点的单侧极限是指函数在该点的左侧或右侧的极限；双侧极限是指函数在这一点左侧和右侧的极限。
10. 连续性和可微性：如果一个函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则称该函数在该点连续；如果一个函数在某一点的导数存在，则称该函数在该点可微。
以上就是高等数学极限的基本知识点，希望对你有所帮助。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
运算法则，通常应设法去掉分母中的“零因子”.
目录 上一页 下一页 退 出
1 1 x2 x 2 lim lim x 2 故 lim 2 x2 x2 4 x 2 x 4 x 2 x 2 x7 3 例5 求 lim . x2 x2
解
由于分子分母的极限均为零，不能直接运用极限
1 1 x7 3 6
目录 上一页 下一页 退 出
例6
解
次幂
3x 2 x 2 求 lim 2 . x 2 x x 3
由于分子分母均为无穷大，不能直接运用极限
运算法则，通常把分子分母同除以分母中自变量的最高
1 3 2 3x x 2 lim x lim 2 x 1 x 2 x x 3 2 x
x 4 x 2 0 因为lim 0 x 2 x 2 lim x 2 4 x 2 x2 再由无穷小与无穷大的关系，得到lim 2 x 2 x 4 x2 例4 求 lim 2 . x 2 x 4 解 由于分子分母的极限均为零，不能直接运用极限
2
lim x 2 4
令u 3 x，因x 8时，u 2，则
x 2 u2 lim lim 3 x 8 x 8 u 2 u 8
3
u2 lim u 2 (u 2)(u 2 2u 4)
1 1 lim 2 u 2 u 2u 4 12
目录
上一页 下一页
退 出
f x A lim f ( x) （3） lim B 0 g x B lim g ( x)
.
（2） lim f x g x A B lim f x lim g x
推论1 若lim f x 存在，C为常数，则lim Cf x C lim f x
运算法则，采用根式有理化的方法去掉分母中的“零因子”.
x2 lim lim x 2 ( x 2)( x 7 3) x 2
x 7 3 lim lim ( x 7 3)( x 7 3) x 2 x 2 x2 ( x 2)( x 7 3)
1 2 2 lim 3 2 x 2 x x x 1 3 1 lim 2 2 x x x x2
3 2
目录
上一页 下一页
退 出
x4 求 lim 2 . 例7 x x 9 解 由于分子分母均为无穷大，不能直接运用极限 运算法则，通常把分子分母同除以分母中自变量的最高 1 4 次幂 2 x4 lim 2 lim x x 0 x x 9 x 9 1 2 x a0 设a0 0, b0 0，m, n为正整数，则: b ,m n 0 n n 1 a0 x a1 x an 1 x an lim 0, m n m m 1 x b x b x bm 1 x bm 0 1 , m n
§2.4 极限的运算法则
目 录
2.4.1 极限的四则运算法则 2.4.2 复合函数的极限
目录
上一页 下一页
退 出
2.4.1 极限的四则运算法则
定理1
若lim f x A， lim g x B则
（1） lim f x g x A B lim f x lim g x
lim
x 1
x 2 1 x x
2
1
目录
上一页 下一页
退 出
2 n 1 例9 求 lim 2 2 2 . n n n n
解 由于有无穷多项，不能直接运用极限运算法则
可以先变形，再求极限
2 n 1 lim 2 2 2 n n n n
目录 上一页 下一页 退 出
例8
3 1 求 lim . 3 x 1 1 x 1 x
解 由于两个分式均为无穷大，不能直接运用极限
运算法则，可以先通分，再求极限
x 1 x 2 3 1 x x2 3 1 lim lim lim 3 3 x 1 1 x 1 x x 2 x 1 1 x x 1 1 x 1 x
例2 解
2 x 1 5 2 x 1 lim 由运算法则 3 有 lim 2 = x 2 2 5 x 2 x 3 lim x 3 1
x2
目录 上一页 下一页 退 出
2x 1 求 lim 2 . x 2 x 3
x2 例3 求 lim 2 . x 2 x 4 解 因为分母的极限为0，所以不能用运算法则
x2
=2 lim x lim x 3 2 23 22 3 15
x2 x2
3
Байду номын сангаасx2
x2
x2
2
设多项式函数P x an xn an1 xn1 a1 x a0
n n 1 则 lim P x an x0 an 1 x0 a1 x0 a0 P x0 x x0
推论2 若 lim f x 存在，n N，则 lim f x lim f x
n
目录 上一页 下一页
n
退 出
例1
解
求 lim 2x 3 x 2 3
x2
lim 2x3 x 2 3 = lim 2x3 lim x 2 lim 3
1 2 n lim n2 n
1 n n 1 1 1 1 2 lim 1 lim 2 n 2 n n n 2
目录
上一页 下一页
退 出
2.4.2 复合函数的极限
如果 lim ( x) u0，且在x0的一个去心邻域内， ( x) u0
u x 0 u 0
x 0
s i n x
1
n x). 例11 求limsin(l x1
解
故limsin(ln )=0 x 因limln x 0， limsin u 0， x 1
x1 u 0
目录 上一页 下一页 退 出
x 2 . 例12 求 lim x 8 x 8
3
解
又 lim f (u ) A，则 lim f ( ( x)) A.
u u0 x x0
定理2 设函数y f ( ( x))是由y f (u), u ( x)复合而成，
x x0
例10 求 limesin x .
x 0
.
解
因limsin x 0， lime 1，故 lime