《点阵中的规律》

五年级上册《点阵中的规律》教学实录

一、谈话引入

师：从小我们就学数数、用数字，那么对于数字的发明和发展过程，你们都哪些了解（学生交流课前搜集的相关信息）

生1：古时候人们用石子来计数，比如打一只兔子就摆一块石子。

生2：还有用绳子打结的，有几个人就打几个结。

生3：我知道我们现在用的数字是印度人发明的，从阿拉伯传到我国的，所以叫阿拉伯数字。

……

师：大家了解的信息真不少！阿拉伯数字的发明，使我们的记录和计算更加方便，但是在表现数字的特征方面，有时候图形会更加直观。今天老师请来了一位图形朋友——点（老师在黑板上画点），看到这个点，你能快速地想到哪个数字？

生齐：1。

师：不要小看了这个小小的点，早在2000多年前，古希腊的数学家们就是从这样一个小小的点开始研究，发现了由许多个这样的点组成的图形中的规律，还给这些图形取了一个好听的名字，叫点阵。同学们想不想过一把当数学家的瘾，自己来寻找这些规律？

生齐：想。

师：今天，我们就一起来探究点阵中隐含的规律。（板书课题：点阵中的规律）

二、探究正方形点阵中的规律

1、探究一组正方形点阵的规律。

师：我们一起来看看数学家们当年研究的点阵图，边看边说出各个点阵的点子数。

（依次出示前四个正方形点阵图，并逐步引导学生想像、猜测：下一个点阵图会是什么样子呢）

生：第一个是1个点；第二个是4个点；

师：在心里想第三个、第四个点阵图是什么样子。（示图）与你的想像一样吗？

生1：一样。就是9个点。

生2：我知道第四个点阵有16个点，肯定是的。

（随着点阵图的依次出现，学生的思维逐渐活跃，当第三个点阵图出现的时候，学生不用数，已经忍不住地说出了点数。说明学生已经发现了这组正方形点阵中的规律。但这时，教师没有急于让学生发表自己的看法，而

是给学生留出了完善自己想法的时间，同时也暗示学生：规律的呈现不能依靠一个或几个图形来归纳，应该有耐心地继续自己的观察活动。）

师：除了能说出各个点阵的点数之外，仔细观察点阵图：你们还有什么其它的发现？

生1：第一个点阵是1个点，其余的都是正方形的。

生2：我发现从第一个图开始点子数分别是加3、加5、加7。

生3：我发现它们的点子数能写成1×1、2×2、3×3、4×4。

师：你们真了不起！这种形状的点阵就是正方形点阵，大家不但用数字表示每个点阵的点数，还能用算式来表示这组点阵的规律。根据刚才发现的规律，想一想：第五个点阵是什么样子呢自己画出来，并用算式表示点数。（学生活动：独立画出第五个5×5的点阵图，全班交流。）

师：照这样的规律继续画下去，第9个点阵的点数如何用算式来表示第100个呢第n个呢在小组内交流一下。生：第九个点阵表示为9×9；

第100个点阵表示为100×100；

第n个点阵就表示为n×n。

（结合发现的规律，引导学生逐步完善自己的想法，建立总结正方形点阵规律的模型。）

师：那么你们觉得每个正方形点阵的点子总数与什么有关系在小组内讨论交流。

生1：点子总数与正方形点阵每一排的点子数有关系。

生2：就是边长乘边长。

生3：还与是第几个有关系，第一个就是1×1，第二个就是2×2，第三个就是3×3，一直这样数下去。

（学会用简单的语言表述自己的想法，使得初步的形象感知得到提升）

师：说得真好！每个正方形点阵的点子总数可以看作是一个相同数字相乘的积，这个数字与点阵的序号有关，与每个正方形点阵每排的点子数也有关系。

2、同一个点阵的不同划分中的规律。

师：刚才我们研究了一组正方形点阵中隐含的规律，那么对于同一个点阵来说，如果划分的方法不同，所呈现的规律也就不同。

请大家仔细观察第五个正方形点阵中点的划分方法，你能发现什么规律与同桌交流你的想法。

生1：我发现都是用折线分开的。

生2：我发现从短的线开始，每条线内的点分别是1、3、5、7、9。

生3：这个正方形点阵的点数用算式表示就是：1＋3＋5＋7＋9=25。

师：大家的发现真不少！那如果把每条线所包围的点子数记下来，如何用算式来表示？

学生汇报：

第一条线： 1 = 1；

第二条线： 1＋3 = 4；

第三条线： 1＋3＋5 = 9；

第四条线： 1＋3＋5＋7 = 16；

第五条线： 1＋3＋5＋7＋9 = 25；

师：你们觉得这组算式有什么特点？

生1：一个算式比一个算式多加一个数。

生2：它们的得数正好是刚才那一排点阵的点子数。

生3：都是连续的奇数在相加。

师：是从几开始的连续奇数呢？

生：是从1开始的连续奇数在相加。

师：如果按这样的划分方法划分第六个正方形点阵，它的点数该如何用算式来表示？

生：1＋3＋5＋7＋9＋11 ＝ 36。

师：刚才我们是把这个5×5的正方形点阵用折线进行了划分，你们还有哪些不同的划分的方法如何用算式表示在小组内研究一下。

学生汇报：

生1：我们是用横线划分的，算式是：5＋5＋5＋5＋5＋5 ＝ 25。

生2：还可以用竖线划分，算式也是：5＋5＋5＋5＋5＋5 ＝ 25。

生3：这些都可以写成是5×5 ＝ 25。

生4：我们的方法不一样。我们是用斜线划分的，用算式表示就是1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1。

师：这种划分方法有新意！仔细观察这个算式，你们发现了什么？

生1：算式里最大的数是5。

生2：这个算式是从1开始加到5再加回到1。

生3：这个算式的两边是对称的，5在中间。

生4：这个点阵的点数是就中间那个数字5乘5的积。

师：照这样的规律类推，第六个正方形点阵的点数如何表示第9个呢第n个呢？