排列组合知识点与方法归纳 (3)

排列组合

一、知识网络

二、高考考点

1、两个计数原理的掌握与应用；

2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；

3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）

三、知识要点

一．分类计数原理与分步计算原理

1 分类计算原理（加法原理）：

完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+…+ m n种不同的方法。

2 分步计数原理（乘法原理）：

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1× m2×…× m n种不同的方法。

3、认知：

上述两个原理都是研究完成一件事有多少种不同方法的计数依据，它们的区别在于，加法原理的要害是分类：将完成一件事的方法分成若干类，并且各类办法以及各类办法中的各种方法相互独立，运用任何一类办法的任何一种方法均可独立完成这件事；乘法原理的要害是分步：将完成一件事分为若干步骤进行，各个步骤不可缺少，只有当各个步骤依次完成后这件事才告完成（在这里，完成某一步的任何一种方法只能完成这一个步骤，而不能独立完成这件事）。

二．排列

1 定义

（1）从n个不同元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。

（2）从n个不同元素中取出m（）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为 .

2 排列数的公式与性质

（1）排列数的公式： =n（n-1）（n-2）…（n-m+1）=特例：当m=n

时， =n！=n（n-1）（n-2）…×3×2×1

规定：0！=1

（2）排列数的性质：

（Ⅰ） =（排列数上标、下标同时减1（或加1）后与原排列数的联系）

（Ⅱ）（排列数上标加1或下标减1后与原排列数的联系）

（Ⅲ）（分解或合并的依据）

三．组合

1 定义（1）从n个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

（2）从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元

素中取出m个元素的组合数，用符号表示。

2 组合数的公式与性质

（1）组合数公式：（乘积表示）

（阶乘表示）特例：

（2）组合数的主要性质：

（Ⅰ）（上标变换公式）

（Ⅱ）（杨辉恒等式）

认知：上述恒等式左边两组合数的下标相同，而上标为相邻自然数；合二为一后的右边组合数下标等于左边组合数下标加1，而上标取左边两组合数上标的较大者。

3 比较与鉴别

由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排成一列”两个过程，而获得一个组合只需要“取出元素”，不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。

（1）排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。

（2）注意到获得（一个）排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系：

四、经典例题

例1、某人计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60、70元的单片软件和盒装磁盘，要求软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式是（）

A .5种 B.6种 C. 7种 D. 8种

分析：依题意“软件至少买3片，磁盘至少买2盒”，而购得3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，只需讨论剩下的180元如何使用的问题。

解：注意到购买3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，这里只讨论剩下的180元如何使用，可从购买软件的情形入手分类讨论：第一类，再买3片软件，不买磁盘，只有1

种方法；第二类，再买2片软件，不买磁盘，只有1种方法；

第三类，再买1片软件，再买1盒磁盘或不买磁盘，有2种方法；第四类，不买软件，再买2盒磁盘、1盒磁盘或不买磁盘，有3种方法；于是由分类计数原理可知，共有

N=1+1+2+3=7种不同购买方法，应选C。

例2、已知集合M={-1，0，1}，N={2，3，4，5}，映射，当x∈M时，为奇数，则这样的映射的个数是（） A.20 B.18 C.32 D.24

分析：由映射定义知，当x∈M时，

当x∈M时，这里的x可以是奇数也可以是偶数，但必须为奇数，因此，对M中x的对应情况逐一分析，分步考察：

第一步，考察x=-1的象，当x=-1时，，此时可取N中任一数值，即M中的元素-1与N中的元素有4种对应方法；

第二步，考察x=0的象，当x=0时，为奇数，故只有2种取法（ =3或=5），即M中的元素0与N中的元素有2种对应方法；

第三步，考察x=1的象，当x=1时，为奇数，故可为奇数也可为偶数,可取N中任一数值，即M中的元素1与N中的元素有4种对应方法，于是由分步计数原理可知，映射共有4×2×4=32个。

例3、在中有4个编号为1，2，3，4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上

红、蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种，使有相邻边的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂法？

解：根据题意，有相邻边的小三角形颜色不同，但“对角”的两个小三角形可以是相同颜色，于是考虑以对角的小三角形1、4同色与不同色为标准分为两类，进而在每一类中分步计算。

第一类：1与4同色，则1与4有5种涂法，2有4种涂法，3有4种涂法，故此时有N1=5×4×4=80种不同涂法。

第二类：1与4不同色，则1有5种涂法，4有4种涂法，2有3种涂法，3有3种涂法，故此时有N2=5×4×3×3=180种不同涂法。综上可知，不同的涂法共有80+180=260种。

点评：欲不重不漏地分类，需要选定一个适当的分类标准，一般地，根据所给问题的具体情况，或是从某一位置的特定要求入手分类，或是从某一元素的特定要求入手分类，或是从问题中某一事物符合条件的情形入手分类，或是从问题中有关事物的相对关系入手分类等等。

例4、将字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A.6种 B.9种

C.11种

D.23种

解法一（采用“分步”方法）：完成这件事分三个步骤。

第一步：任取一个数字，按规定填入方格，有3种不同填法；

第二步：取与填入数字的格子编号相同的数字，按规定填入方格，仍有3种不同填法；

第三步：将剩下的两个数字按规定填入两个格子，只有1种填法；

于是，由分步计数原理得，共有N=3×3×1=9种不同填法。

解法二：（采用“列举”方法）：从编号为1的方格内的填数入手进行分类。

第一类：编号为1的方格内填数字2，共有3种不同填法：

2 4 1

3 2 1

4 3 2 3 4 1

第二类：编号1的方格内填数字3，也有3种不同填法：

3 1

4 2 3 4 1 2 3 4 2 1

第三类：编号为1的方格内填数字4，仍有3种不同填法：

4 1 2 3 4 3 1 2 4 3 2 1

于是由分类计数原理得共有N=3+3+3=9种不同填法，应选B

解法三（间接法）：将上述4个数字填入4个方格，每格填一个数，共有N1=4×3×2×1=24种不同填法，其中不合条件的是(1)4个数字与4个格子的编号均相同的填法有1种；(2)恰有两个数字与格子编号相同的填法有6种；